2020年成都中考数学密押试卷 【解析版】

2020 年四川省成都市中考数学密押试卷（一） 一、选择题 1．﹣ 的倒数是（  ） A．2 B．﹣2 C． D． 2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（  ） A． B． C． D． 3．下列运算错误的是（  ） A．（﹣m2）3＝﹣m6 B．6a3b2÷3a2＝2ab2 C．2a2•a﹣1＝2a D．x2+3x2＝4x4 4．如图，在△ABC 中，已知∠B＝50°，∠C＝30°．分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 E，F，作直线 EF，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度数为（  ） A．70° B．60° C．55° D．45° 5．小明家 1 月至 10 月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（  ） A．30 和 25 B．30 和 22.5 C．30 和 20 D．30 和 17.5 6．分式方程 +2＝ 的解为（  ） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝ 7．若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0 有实数根．则 k 的取值范围是（  ） A．k≤ B．k＞ C．k＜ D．k≥ 8．设点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是反比例函数 y＝ 图象上的两点，当 x1＜x2＜0 时， y1＞y2，则一次函数 y＝﹣3x+k 的图象不经过的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 F 在线段 AD 上，EF∥BD， 且交 AB 于点 E，FH∥AC，且交 CD 于点 H，则下列结论一定正确的是（  ） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 10．已知二次函数 y＝﹣x2﹣2x+8，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直 线 x＝1；③y 的最大值是 9；④图象与 y 轴的交点坐标为（0，﹣8）；⑤当 x＞﹣1 时， y 的值随 x 值的增大而减小．其中正确的是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤ 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上） 11．分解因式：3a3﹣12a2+12a＝   ． 12．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST 的反射面总面积相 当于 35 个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为 7140m2，则用科学记数 法表示 FAST 的反射面总面积约为   m2．（精确到小数点后一位） 13．如图，在▱ABCD 中，AH⊥BC，垂足为 H，若 AB＝10，BC＝16，sinB＝ ，则 tan∠ CDH＝   ． 14．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝6，BC＝4，以 CD 为直径作⊙O，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转，使所得矩形 A′B′C′D′的边 A′B′与⊙O 相切，切点为 M，边 CD′ 与⊙O 相交于点 N，则 CN 的长为   ． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 15．（1）计算：| ﹣2|﹣ +6cos30°﹣（ ）﹣2+（π﹣3.14）0． （2）求不等式组 的非负整数解． 16．先化简，再求值： ÷ + ，其中 a＝ ﹣1． 17．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 80m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处 的俯角为 50°，测得底部 C 处的俯角为 62°．求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC．（结 果取整数；参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88） 18．我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅 不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）请将条形统计图补全； （2）获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级． 现准备从获得一等奖的同学中任选两人參加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所 选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率． 19．如图，设反比例函数的解析式为 y＝ （k＞0）． （1）若该反比例函数与正比例函数 y＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为 2，求 k 的值； （2）若该反比例函数与过点 M（﹣2，0）的直线 l：y＝kx+b 的图象交于 A，B 两点， 如图所示，当△ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式． 20．如图，已知⊙O 的两条直径 AB，CD 互相垂直，过 BA 延长线上一点 P 作 PE 切⊙O 于 点 E，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，连接 AE． （1）求证：∠PEA＝∠AEF； （2）若 AP＝AE，PE＝6．求 PB 的长； （3）连接 PD 交⊙O 于点 G，连接 OG，FD，若∠AOG＝∠FDO，OD＝2．求四边形 AGDB 的面积． 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上） 21．若关于 x 的不等式组 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是   ． 22．如图，已知 AC 与 BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点 A，B，C，D 得到四边形 ABCD ．若 AC＝10，∠BAC＝36°，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的 概率为   ． 23．已知 x1，x2 是方程 x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0 的两个实数根，而 a 是关于 y 的方程 y2 ﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0 的实数根，则代数式（ ﹣ ）÷ • 的值是   ． 24．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径作半圆，E 是 AD 的中点，CE 与 半圆交于点 F，连接 AF．给出如下结论： ①AF＝1；② ＝ ；③S△EAF＝ ；④cos∠BAF＝ ． 其中正确的结论是   ．（只填序号） 25．在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为“和谐点”，例 如点（﹣ ，﹣ ），（5，5），（﹣ ，﹣ ），…都是“和谐点”．若二次函数 y＝ ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”（ ， ），当 0≤x≤m 时，函数 y＝ax2+4x+c﹣ （a≠0）的最小值为﹣3，最大值为 1，则 m 的取值范围是   ． 五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策；提供 16 万元的无息创业贷款． 小吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收 5 名员工，销售一种畅销产品，并约定用 该网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件 4 元，员工每人每 月的工资为 4000 元，该网店还需每月支付其他费用 1 万元．该产品每月销售量 y（万件 ）与销售单价 x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求该网店每月利润 W（万元）与销售单价 x（元）之间的函数表达式； （2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清 16 万元的无息贷款？ 27．已知菱形 ABCD 中 BD 为对角线，P、Q 两点分别在 AB、BD 上，且满足∠PCQ＝∠ABD （1）如图 1，当∠BAD＝90°时，求： 的值； （2）如图 2，当∠BAD＝120°时，求证： DQ+BP＝2CD； （3）如图 3，在（2）的条件下，延长 CQ 交 AD 边于点 E 交 BA 的延长线于点 M，作∠ DCE 的平分线交 AD 边于点 F，若 ＝ ，EF＝ ，求线段 CD 的长 28．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝ x+ 相交于 A（﹣1，0），B（4，m）两 点，抛物线 y＝ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣ ），交 x 轴正半轴于点 D，抛物线的顶 点为 M． （1）求抛物线的表达式及点 M 的坐标； （2）设 P 为直线 AB 下方的抛物线上一动点，当△PAB 的面积最大时，求此时△PAB 的面积及点 P 的坐标； （3）Q 为 x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点 Q 与点 M 对应） 时，求点 Q 的坐标． 参考答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只 有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．﹣ 的倒数是（  ） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可化简绝对值，根据乘积为 1 的两个数互为 倒数，可得答案． 解：﹣|﹣ |的倒数是﹣2， 故选：B． 2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（  ） A． B． C． D． 【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案． 解：从上面看有两层，底层的左边是一个正方形，上层是三个正方形． 故选：B． 3．下列运算错误的是（  ） A．（﹣m2）3＝﹣m6 B．6a3b2÷3a2＝2ab2 C．2a2•a﹣1＝2a D．x2+3x2＝4x4 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 解：A、（﹣m2）3＝﹣m6，故选项 A 正确，不符合题意； B、6a3b2÷3a2＝2ab2，故选项 B 正确，不符合题意； C、2a2•a﹣1＝2a，故选项 C 正确，不符合题意； D、x2+3x2＝4x2，故选项 D 错误，符合题意． 故选：D． 4．如图，在△ABC 中，已知∠B＝50°，∠C＝30°．分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 E，F，作直线 EF，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度数为（  ） A．70° B．60° C．55° D．45° 【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知 DA＝DC，即∠DAC＝∠C ＝30°，从而得出答案． 解：在△ABC 中，∵∠B＝50°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°， 由作图可知 MN 为 AC 的中垂线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°， 故选：A． 5．小明家 1 月至 10 月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（  ） A．30 和 25 B．30 和 22.5 C．30 和 20 D．30 和 17.5 【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可 得． 解：将这 10 个数据从小到大重新排列为：10、10、15、15、20、20、25、30、30、30， 所以该组数据的众数为 30、中位数为 ＝20， 故选：C． 6．分式方程 +2＝ 的解为（  ） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝ 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解． 解： +2＝ ， 去分母得：x﹣1+2（x﹣2）＝﹣3， 解得：x＝ ， 经检验 x＝ 是分式方程的解． 故选：D． 7．若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0 有实数根．则 k 的取值范围是（  ） A．k≤ B．k＞ C．k＜ D．k≥ 【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即 可得出结论． 解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0 有实数根， ∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）＝﹣8k+12≥0， 解得：k≤ ． 故选：A． 8．设点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是反比例函数 y＝ 图象上的两点，当 x1＜x2＜0 时， y1＞y2，则一次函数 y＝﹣3x+k 的图象不经过的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据“当 x1＜x2＜0 时，y1＞y2”，判断出k＜0，进而根据一次函数的性质得出 一次函数 y＝﹣3x+k 的图象经过的象限，即可得出结论． 解：∵点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是反比例函数 y＝ 图象上的两个点，当 x1＜x2＜0 时，y1＞y2， ∴当 x1＜x2＜0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴k＞0， 针对于一次函数 y＝﹣3x+k，比例系数﹣3＜0，常数项 k＞0， ∴一次函数 y＝﹣3x+k 的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数 y＝﹣2x+k 的图象不经过第三象限， 故选：C． 9．如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 F 在线段 AD 上，EF∥BD， 且交 AB 于点 E，FH∥AC，且交 CD 于点 H，则下列结论一定正确的是（  ） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 【分析】根据 EF∥BD，可得△AEF∽△ABD，根据 FH∥AC，可得△DHF∽△DCA， 再根据相似三角形的性质即可求解． 解：∵EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴ ＝ ，故 A 错误； ＝ ， ＝ ． ∵FH∥AC， ∴△DHF∽△DCA， ∴ ＝ ，故 B 错误； ＝ ， ＝ ， ∴ ≠ ，故 C 错误； ＝ ，故 D 正确． 故选：D． 10．已知二次函数 y＝﹣x2﹣2x+8，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直 线 x＝1；③y 的最大值是 9；④图象与 y 轴的交点坐标为（0，﹣8）；⑤当 x＞﹣1 时， y 的值随 x 值的增大而减小．其中正确的是（  ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤ 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式 y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且 a，h，k 是常数）， 开口方向，它的对称轴是直线 x＝h，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，在对称轴的 右侧 y 随 x 的增大而增大． 解：∵二次函数 y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9， ∴抛物线的对称轴是直线 x＝﹣1，故说法②错误， 当 x＝﹣1 时，y 的最大值为 9，故说法③正确， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，故说法①正确， 当 x＞﹣1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，故说法⑤正确， 针对于二次函数 y＝﹣x2﹣2x+8， 令 x＝0，则 y＝8， ∴图象与 y 轴的交点坐标为（0，8），故说法④错误， 即正确的有①③⑤， 故选：B． 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上） 11．分解因式：3a3﹣12a2+12a＝ 3a（a﹣2）2 ． 【分析】首先提取公因式 3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解：原式＝3a（a2﹣4a+4）＝3a（a﹣2）2， 故答案为：3a（a﹣2）2． 12．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST 的反射面总面积相 当于 35 个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为 7140m2，则用科学记数 法表示 FAST 的反射面总面积约为 2.5×105 m2．（精确到小数点后一位） 【分析】先计算 FAST 的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表 示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易错点，由于 249900≈250000 有 6 位，所以可以确定 n＝6﹣1＝5． 解：根据题意得：7140×35＝249900≈2.5×105（m2） 故答案为：2.5×105． 13．如图，在▱ABCD 中，AH⊥BC，垂足为 H，若 AB＝10，BC＝16，sinB＝ ，则 tan∠ CDH＝   ． 【分析】根据题意，可以求得 AH 和 BH 的长，从而可以得到 CE 的长，然后即可得到 DE 的长，从而可以得到 tan∠CDH 的值． 解：∵AB＝10，sinB＝ ，AH⊥BC，BC＝16， ∴AH＝8，∠AHB＝90°， ∴BH＝6， ∴CH＝10， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，BC＝16， ∴AD∥BC，AD＝BC＝16， ∴∠AHB＝∠HAD＝90°， ∴HD＝ ＝8 ， 作 CE⊥DH 于点 E， ， 即 ， 解得，CE＝2 ， ∴HE＝ ＝4 ， ∴DE＝4 ， ∴tan∠CDH＝ ＝ ， 故答案为： ． 14．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝6，BC＝4，以 CD 为直径作⊙O，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转，使所得矩形 A′B′C′D′的边 A′B′与⊙O 相切，切点为 M，边 CD′ 与⊙O 相交于点 N，则 CN 的长为 4  ． 【分析】连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′ CD′＝90°、AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，从而得出四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩形且 OE＝OD＝OC＝3，继而求得 CG＝B′E＝OH＝ ＝2 ，根据 垂径定理可得 CF 的长． 解：连接 OM，延长 MO 交 CD 于点 G，作 OH⊥B′C 于点 H， 则∠OMB′＝∠OHB′＝90°， ∵矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 A′B′C′D′， ∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4， ∴四边形 OMB′H 和四边形 MB′CG 都是矩形，OE＝OD＝OC＝3， ∴B′H＝OM＝3， ∴CH＝B′C﹣B′H＝1， ∴CG＝B′M＝OH＝ ＝2 ， ∵四边形 MB′CG 是矩形， ∴∠OGC＝90°，即 OG⊥CD′， ∴CN＝2CG＝4 ， 故答案为：4 ． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 15．（1）计算：| ﹣2|﹣ +6cos30°﹣（ ）﹣2+（π﹣3.14）0． （2）求不等式组 的非负整数解． 【分析】（1）先算绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂 ，再算加减法即可求解； （2）首先确定不等式组的解集，再根据非负整数解的定义即可求解． 解：（1）| ﹣2|﹣ +6cos30°﹣（ ）﹣2+（π﹣3.14）0 ＝﹣ +2﹣2 +6× ﹣9+1 ＝﹣ +2﹣2 +3 ﹣9+1 ＝﹣6； （2） ， 由①得 x＜4； 由②得 x≤8； 故原不等式组的解集为 x＜4，非负整数解为 0，1，2，3． 16．先化简，再求值： ÷ + ，其中 a＝ ﹣1． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，约分后通分，接着再约分得到原式＝ ，然后把 a 的值代入计算． 解：原式＝ • + ＝ + ＝ ＝ ＝ ， 当 a＝ ﹣1， 所以原式＝ ＝ +1． 17．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 80m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处 的俯角为 50°，测得底部 C 处的俯角为 62°．求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC．（结 果取整数；参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88） 【分析】作 DE⊥AB 于 E，根据正切的定义分别求出 AB、AE，得到答案． 解：作 DE⊥AB 于 E， 则四边形 EBCD 为矩形， ∴DE＝BC＝80m，BE＝CD， 由题意得，∠ADE＝50°，∠ACB＝62°， 在 Rt△ADE 中，tan∠ADE＝ ， 则 AE＝DE•tan∠ADE≈80×1.19＝95.2， 在 Rt△ACB 中，tan∠ACB＝ ， 则 AB＝BC•tan∠ACB≈80×1.88＝150.4≈150（m）， 则 CD＝BE＝AB﹣AE＝150.4﹣95.2＝55.2≈55（m）， 答：甲建筑物的高度 AB 约为 156m，乙建筑物的高度 DC 约为 55m． 18．我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅 不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）请将条形统计图补全； （2）获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级． 现准备从获得一等奖的同学中任选两人參加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所 选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率． 【分析】（1）先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一 等奖的人数，然后补全条形统计图； （2）条件题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级一人，九年级两人，再画树 状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学 的结果数，然后根据概率公式计算． 解：（1）调查的总人数为 10÷25%＝40（人）， 所以获一等奖的人数为 40﹣8﹣6﹣12﹣10＝4（人）， 条形统计图为： （2）获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级， 则获得一等奖的同学中七年级一人，八年级一人，九年级两人， 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为 4， 所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝ ＝ ． 19．如图，设反比例函数的解析式为 y＝ （k＞0）． （1）若该反比例函数与正比例函数 y＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为 2，求 k 的值； （2）若该反比例函数与过点 M（﹣2，0）的直线 l：y＝kx+b 的图象交于 A，B 两点， 如图所示，当△ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式． 【分析】（1）由题意可得 A（1，2），利用待定系数法即可解决问题； （2）把 M（﹣2，0）代入 y＝kx+b，可得 b＝2k，可得 y＝kx+2k，由 消去 y 得到 x2+2x﹣3＝0，解得 x＝﹣3 或 1，推出 B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO 的面积为 ，可得 •2•3k+ •2•k＝ ，解方程即可解决问题； 解：（1）由题意 A（1，2）， 把 A（1，2）代入 y＝ ，得到 3k＝2， ∴k＝ ． （2）把 M（﹣2，0）代入 y＝kx+b，可得 b＝2k， ∴y＝kx+2k， 由 消去 y 得到 x2+2x﹣3＝0，解得 x＝﹣3 或 1， ∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k）， ∵△ABO 的面积为 ， ∴ •2•3k+ •2•k＝ ， 解得 k＝ ， ∴直线 l 的解析式为 y＝ x+ ． 20．如图，已知⊙O 的两条直径 AB，CD 互相垂直，过 BA 延长线上一点 P 作 PE 切⊙O 于 点 E，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，连接 AE． （1）求证：∠PEA＝∠AEF； （2）若 AP＝AE，PE＝6．求 PB 的长； （3）连接 PD 交⊙O 于点 G，连接 OG，FD，若∠AOG＝∠FDO，OD＝2．求四边形 AGDB 的面积． 【分析】（1）连接 OM，由条件易得∠PEA+∠OEA＝90°，∠AEF+∠EAO＝90°， 由 OE＝OA 可得∠OEA＝∠OAE，从而得到∠PEA＝∠AEF． （2）由 AP＝AE 得∠MPA＝∠PEA，在△PFE 中，运用三角形内角和定理可求出∠EPA 的值，然后利用三角函数就可求出 OE、OP 的长，就可求出 PB 的长． （3）过点 G 作 GH⊥OA 于点 H，如图 2，易证△OFE∽△OEP，从而有 ＝ ，由 OE＝OD 得 ＝ ，从而可以证到△FOD∽△DOP，进而可以证到∠FDO＝∠DPO＝ ∠POG＝α，根据三角形内角和定理可求出 α 的值，然后利用三角函数就可求出 PO、GH 的长，进而可求出 PA、PB 的长，就可求出四边形 AGDB 的面积． 【解答】（1）证明：连接 OE． ∵PE 切⊙O 于点 E， ∴∠PEO＝90°． ∴∠PEA+∠OEA＝90°． ∵EF⊥AB， ∴∠AGF+∠GAO＝90°． ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠OAE， ∴∠PEA＝∠AEF． （2）解：∵AP＝AE， ∴∠EPA＝∠PEA． ∴∠EPA＝∠PEA＝∠AEF． ∴∠EPA+∠PEF＝90°． ∴3∠EPA＝90°． ∴∠EPA＝30°． ∴tan∠EPO＝ ＝ ＝ ， ∴OE＝2 ∴OP＝ ＝4 ， ∴PB＝PO+OB＝PO+OE＝6 ∴PB 的长为 6 ． （3）解：过点 G 作 GH⊥OA 于点 H． ∵∠EFO＝∠PEO＝90°，∠EOF＝∠POE， ∴△OFE∽△OEP． ∴ ＝ ， ∵OE＝OD， ∴ ＝ ， ∵∠FOD＝∠DOP，设∠FOD＝∠DOP＝α， ∴△FOD∽△DOP． ∴∠FDO＝∠DPO． ∵∠POG＝∠FDO， ∴∠POG＝∠DPO＝α． ∴∠OGD＝2α， ∵OG＝OD， ∴∠ODG＝∠OED＝2α． ∵∠POD＝90°， ∴α+2α＝90°． ∴α＝30°． ∴∠PDO＝60°． ∵GH⊥AO， ∴GH＝ OG＝ OD＝1． 在 Rt△POD 中， tan∠PDO＝ ＝ ＝ ， ∴OP＝2 ∴AP＝OP﹣OA＝OP﹣OD＝2 ﹣2． ∴S 四边形 AGDB＝S△DBP﹣S△GAP ＝ BP•OD﹣ AP•GH ＝ ×（2 +2）×2﹣ ×（2 ﹣2）×1 ＝3+ ∴四边形 AEDB 的面积为 3+ ． 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上） 21．若关于 x 的不等式组 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是 ﹣3＜a≤ ﹣  ． 【分析】将原不等式组的两不等式分别记作①和②，分别利用不等式的基本性质表示出 ①和②的解集，找出公共部分，表示出不等式组的解集，根据此解集只有 4 个整数解， 列出关于 a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 a 的取值范围． 解： ， 由①去括号得：x+9＞2x﹣6， 解得：x＜15， 由②去分母得：2（x+1）＜3x+3a， 去括号得：2x+2＜3x+3a， 解得：x＞2﹣3a， ∴不等式组的解集为 2﹣3a＜x＜15， ∵不等式组只有 4 个整数解， ∴其整数解为 11，12，13，14， 则 10≤2﹣3a＜11， 可化为： ， 由③解得：a≤﹣ ； 由④解得：a＞﹣3， 则 a 的范围为﹣3＜a≤﹣ ． 故答案为：﹣3＜a≤﹣ ． 22．如图，已知 AC 与 BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点 A，B，C，D 得到四边形 ABCD ．若 AC＝10，∠BAC＝36°，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的 概率为   ． 【分析】根据已知条件得到四边形 ABCD 是矩形，求得图中阴影部分的面积＝S 扇形 AOD+S 扇形 BOC＝2S 扇形 AOD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ABO＝36°，由圆周 角定理得到∠AOD＝72°，于是得到阴影区域的面积，再根据圆的面积和概率公式即可 求得结论． 解：∵AC 与 BD 是⊙O 的两条直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠DAB＝∠BCD＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴△ABO 与△CDO 的面积的和＝△AOD 与△BOC 的面积的和， ∴图中阴影部分的面积＝S 扇形 AOD+S 扇形 BOC＝2S 扇形 AOD， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠ABO＝36°， ∴∠AOD＝72°， ∴图中阴影部分的面积＝2× ＝10π， ∴针尖落在阴影区域内的概率为＝ ＝ ． 故答案为： ． 23．已知 x1，x2 是方程 x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0 的两个实数根，而 a 是关于 y 的方程 y2 ﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0 的实数根，则代数式（ ﹣ ）÷ • 的值是 ﹣  ． 【分析】根据根与系数的关系得出 x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1，求出 x1+x2﹣2k＝ 2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝﹣1，求出方程②，求出 a2﹣2a﹣1＝0，即可得出答案． 解：∵x1，x2 是方程 x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0①的两个实数根， ∴x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1， ∴x1+x2﹣2k＝2（k+1）﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝x1•x2﹣（x1+x2）k+k2＝k2+2k﹣1 ﹣（2k+2）k+k2＝﹣1， 方程 y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0②为 y2﹣2y﹣1＝0， ∵a 是关于 y 的方程 y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣1＝2a， ∴（ ﹣ ）÷ • ＝ × × ＝ × × ＝﹣ ． 故答案为：﹣ ． 24．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径作半圆，E 是 AD 的中点，CE 与 半圆交于点 F，连接 AF．给出如下结论： ①AF＝1；② ＝ ；③S△EAF＝ ；④cos∠BAF＝ ． 其中正确的结论是 ①②④ ．（只填序号） 【分析】①连接 OF，OA，如图 1．易证四边形 AOCE 是平行四边形，从而可得 AO∥CE ．结合 OB＝OF，可证到∠BOA＝∠FOA，从而证到△BOA≌△FOA，则有 AF＝AB＝ 1； ②连接 BF，如图 2，根据勾股定理可求出 CE．易证 Rt△△BFC∽Rt△CDE（SAS）， 运用相似三角形的性质可求出 CF，从而求出 EF 的值，就可得到 的值； ③过点 F 作 FH⊥AD 于 H，如图 3．易证△EHF∽△EDC，运用相似三角形的性质可 求出 EH，从而可求出 S△EAF 的值； ④过点 F 作 FN⊥AB 于 N，如图 4．易得 AE∥NF∥BC，根据平行线分线段成比例可得 ＝ ＝ ，把 BN＝1﹣AN 代入，即可求出 AN，然后在 Rt△ANF 中运用三角函数 的定义，就可求出 cos∠BAF 的值． 解：正确结论是①②④． ①连接 OF，OA，如图 1． 则四边形 AOCE 是平行四边形， 则 AO∥CE． ∵OB＝OF， ∴∠BOA＝∠FOA， ∴△BOA≌△FOA（SAS）， ∴AF＝AB＝1． 故①正确； ②连接 BF，如图 2． 则 DE＝ ，CE＝ ＝ ． 则 Rt△BFC∽Rt△CDE， 由相似三角形的性质可得 CF＝ ， 则 EF＝ ﹣ ＝ ， ∴ ＝ ． 故②正确； ③过点 F 作 FH⊥AD 于 H，如图 3． 则△EHF∽△EDC， 由相似三角形的性质可得 FH＝ ， ∴S△EAF＝ AE•FH＝ × × ＝ ． 故③错误； ④过点 F 作 FN⊥AB 于 N，如图 4． 则 AE∥NF∥BC， 根据平行线分线段成比例可得 ＝ ＝ ， 则 ＝ ， 解得：AN＝ ． 由 AF＝1，得 cos∠BAF＝ ＝ ． 故④正确． 综上所述：正确结论是①②④． 故答案为：①②④． 25．在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为“和谐点”，例 如点（﹣ ，﹣ ），（5，5），（﹣ ，﹣ ），…都是“和谐点”．若二次函数 y ＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”（ ， ），当 0≤x≤m 时，函 数 y＝ax2+4x+c﹣ （a≠0）的最小值为﹣3，最大值为 1，则 m 的取值范围是 2≤m≤ 4 ． 【分析】根据和谐点的概念令 ax2+4x+c＝x，即 ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0， 即 4ac＝9，方程的根为 ＝ ，从而求得 a＝﹣1，c＝﹣ ，所以函数 y＝ax2+4x+c﹣ ＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据 y 的取值，即 可确定 x 的取值范围． 解：令 ax2+4x+c＝x，即 ax2+3x+c＝0， 由题意，△＝32﹣4ac＝0，即 4ac＝9， 又方程的根为 ＝ ， 解得 a＝﹣1，c＝﹣ ． 故函数 y＝ax2+4x+c﹣ ＝﹣x2+4x﹣3， 如图，该函数图象顶点为（2，1），与 y 轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象 也经过点（4，﹣3）． 由于函数图象在对称轴 x＝2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减 小，且当 0≤x≤m 时，函数 y＝﹣x2+4x﹣3 的最小值为﹣3，最大值为 1， ∴2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上） 26．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策；提供 16 万元的无息创业贷款． 小吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收 5 名员工，销售一种畅销产品，并约定用 该网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件 4 元，员工每人每 月的工资为 4000 元，该网店还需每月支付其他费用 1 万元．该产品每月销售量 y（万件 ）与销售单价 x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求该网店每月利润 W（万元）与销售单价 x（元）之间的函数表达式； （2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清 16 万元的无息贷款？ 【分析】（1）y（万件）与销售单价 x 是分段函数，根据待定系数法分别求直线 AB 和 BC 的解析式，又分两种情况，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论； （2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解． 解：（1）设直线 AB 的解析式为：y＝kx+b， 代入 A（4，4），B（6，2）得： ，解得： ， ∴直线 AB 的解析式为：y＝﹣x+8， 同理代入 B（6，2），C（8，1）可得直线 BC 的解析式为：y＝﹣ x+5， ∵工资及其它费用为：0.4×5+1＝3 万元， ∴当 4≤x≤6 时，w1＝（x﹣4）（﹣x+8）﹣3＝﹣x2+12x﹣35， 当 6＜x≤8 时，w2＝（x﹣4）（﹣ x+5）﹣3＝﹣ x2+7x﹣23； （2）当 4≤x≤6 时， w1＝﹣x2+12x﹣35＝﹣（x﹣6）2+1， ∴当 x＝6 时，w1 取最大值是 1， 当 6＜x≤8 时， w2＝﹣ x2+7x﹣23＝﹣ （x﹣7）2+ ， 当 x＝7 时，w2 取最大值是 1.5， ∴ ， 即最快在第 11 个月可还清 10 万元的无息贷款． 27．已知菱形 ABCD 中 BD 为对角线，P、Q 两点分别在 AB、BD 上，且满足∠PCQ＝∠ABD （1）如图 1，当∠BAD＝90°时，求： 的值； （2）如图 2，当∠BAD＝120°时，求证： DQ+BP＝2CD； （3）如图 3，在（2）的条件下，延长 CQ 交 AD 边于点 E 交 BA 的延长线于点 M，作∠ DCE 的平分线交 AD 边于点 F，若 ＝ ，EF＝ ，求线段 CD 的长 【分析】（1）当∠BAD＝90°时四边形 ABCD 是正方形，易证△APC∽△DQC，则可 以得到 AP＝ DQ，则可求得答案； （2）作∠QCK＝∠PCQ，过 B 作 BL∥CK，连接 AC，易证△DLB∽△DQC 则 DL＝ DQ，然后证明△ACP≌△DCK，即可证得； （3）设 BC＝5k，则 MC＝7k，过 C 作 CG⊥AB 于 G，则∠CGB＝90°，在直角△BCG 中，利用三角函数求得 BG，CG，然后在直角△MCG 中，利用勾股定理求得 MG 的长， 证明△AME∽△DCE，根据相似三角形的对应边的比相等求得 AE 的长，延长 CF、BM 交于 H，可以证得△DFC∽△AFH，求得 AF 的长，根据 EF＝AF﹣AE 求得 k 的值，即 可求解． 解： （1）如图 1，连接 AC，在菱形 ABCD 中， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形 ABCD 是正方形． ∴∠PCQ＝∠CDQ＝45°，∠PAC＝∠QDC＝∠ACD＝45° ∴∠ACP+∠ACQ＝∠ACQ+∠QCD＝45°， ∴∠ACP＝∠QCD ∴△APC∽△DQC， ∴ ＝ ＝ ； （2）如图 2，作∠QCK＝∠PCQ，过 B 作 BL∥CK，连接 AC． ∵∠QCK＝∠ADB， ∴∠CQD＝∠CKD ∵CK∥BL， ∴∠CKD＝∠BLD， ∴△DLB∽△DQC． ∴DL＝ DQ， ∴CD+DK＝ DQ， 又∵四边形 APCK 对角互补，AC 平分∠PAK， ∴△ACP≌△DCK， ∴DK＝AP， ∴CD+DK＝CD+AP＝2CD﹣BP＝ DQ， 即 DQ+BP＝2CD； （3）在菱形 ABCD 中，∠ABD＝∠BDC＝30°， ∵∠PCQ＝∠ABD＝30°， ∴∠PCQ＝∠CDQ． ∵BM∥CD， ∴∠PMC＝∠DCQ， ∴△DQC∽△MPC ∴CQ：PM＝DC：MC＝5：7， ∴BC：MC＝5：7． 设 BC＝5k，则 MC＝7k，如图 3，过 C 作 CG⊥AB 于 G，则∠CGB＝90° ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°． ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴BG＝ k，CG＝ k． 在 Rt△MGC 中，MG＝ ＝ k， ∴BM＝8k． ∵AB＝BC＝5k， ∴AM＝BM﹣AB＝3k． ∵AM∥CD， ∴∠AMC＝∠DCM， ∵∠AEM＝∠DEC， ∴△AME∽△DCE， ∴AM：DC＝AE：DE． ∴AE＝ k． 延长 CF、BM 交于 H，则∠DCF＝∠MHC ∵FC 平分∠ECD， ∴∠ECF＝∠DCF， ∴∠MCH＝∠MHC， ∴MH＝MC＝7k， ∴AH＝AM+MH＝10k． ∵∠HFA＝∠CFD， ∴△DFC∽△AFH， ∴DF：AF＝DC：AH ∴AF＝ k，EF＝AF﹣AE＝ k， ∵EF＝ k， ∴k＝1． ∴DC＝5． 28．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝ x+ 相交于 A（﹣1，0），B（4，m）两 点，抛物线 y＝ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣ ），交 x 轴正半轴于点 D，抛物线的顶 点为 M． （1）求抛物线的表达式及点 M 的坐标； （2）设 P 为直线 AB 下方的抛物线上一动点，当△PAB 的面积最大时，求此时△PAB 的面积及点 P 的坐标； （3）Q 为 x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点 Q 与点 M 对应） 时，求点 Q 的坐标． 【分析】（1）将点 B 代入直线解析式求出 m 的值，再代入点 A、B、C 即可求出抛物线 的解析式． （2）过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AB 与点 H，设点 P 的坐标，表示线段 PH 的长度， 表示△PAB 的面积，利用二次函数求最值问题配方即可． （3）先证出△MAD 为等腰直角三角形，再构造″K″字形求点 Q 的坐标即可． 解：（1）把点 B（4，m）代入 y＝ x+ 中，得 m＝ ， ∴B（4， ）， 把点 A（﹣1，0）、B（4， ）、C（0，﹣ ）代入抛物线中，得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣x﹣ ， ∵y＝ x2﹣x﹣ ＝ （x﹣1）2﹣2， ∴点 M 的坐标为（1，﹣2）． （2）∵点 P 为直线 AB 下方抛物线上一动点， ∴﹣1＜x＜4， 如图 1 所示，过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H， 设点 P 的坐标为（m， m2﹣m﹣ ），则点 H（m， m+ ）， S△PAB＝ •HP•（xB﹣xA）＝ •（﹣ m2+ m+2）×5＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∵﹣ ＜0， ∴当 m＝ 时，S 最大，最大为 ，此时点 P（ ，﹣ ）． （3）如图 2 所示， 令 y＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝3， ∴D（3，0）， ∵M（1，﹣2），A（﹣1，0）， ∴△AMD 为等腰直角三角形， 设点 N 的坐标为（n， n2﹣n﹣ ）， ∵△QEN≌△MFQ（AAS）， ∴FQ＝EN＝2，MF＝EQ＝ n2﹣n﹣ ， ∴ n2﹣n﹣ +1＝n+2， 解得 n＝5 或﹣1（舍）， ∴点 Q 的坐标为（7，0）， 根据对称性可知，点 Q 的坐标为（﹣5，0）时也满足条件， ∵△ADM 是等腰直角三角形， ∴当点 Q 是 AD 的中点，N 与 A 或 D 重合时，△QMN∽△MAD， 此时 Q（1，0）时． 综上所述：点 Q 的坐标为（7，0）或（﹣5，0）或（1，0）．