四川省成都市2020届高中毕业班第三次诊断性检测文科数学试题 含答案

成都市 2017 级高中毕业班第三次诊断性检测 数 学（文科） 本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）1 至 2 页，第Ⅱ卷（非选择题）3 至 4 页，共 4 页， 满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净 后，再选涂其它答案标号. 3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5. 考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 ， .若 ，则实数 的值为（ ） A. 0 或 2 B. 0 或 4 C. 2 或 4 D. 0 或 2 或 4 2. 若复数 满足 （ 为虚数单位），则 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ） { }0,A x= { }0,2,4B = A B⊆ x z 2 5zi i= + i z ( )2,5 ( )2, 5− ( )5,2− ( )5, 2− 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + ≤ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + > x R∀ ∈ 2 1 0x x− + ≤ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + ≥ x R∀ ∈ 2 1 0x x− + > A. B. C. D. 5. 已知函数 ，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 的半圆形空地 的内部修建一矩形观赛场地 ， 如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列 中，已知 ，则该数列的公比是（ ） A. -3 B. 3 C. D. 9 9. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ） ( ) 2 2x xf x −= − ( )2log 3f = 8 3 10 3 x y 1 0 2 0 5 0 x y x y − ≥  − ≥  + − ≤ 2z x y= + 20 2m O ABCD 2400m 2400 2m 2600m 2800m { }na 1 9n n na a + = 3± ( ) 3 3f x x x= − 1a > ( ) ( )1f a f> A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，经过点 且与 轴垂直的直线与双曲 线的一条渐近线相交于点 ，且 .则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥 中， ， 在底面 上的投影为 的中点 ， .有下 列结论： ①三棱锥 的三条侧棱长均相等； ② 的取值范围是 ； ③若三棱锥的四个顶点都在球 的表面上，划球 的体积为 ； ④若 ， 是线段 上一动点，则 的最小值为 . 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 12. 已知函数 的图象经过点 ，且将图象向左平移 个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的 ，都有 成立，则实数 的最大值是 （ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上. 13. 已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为______. 1F 2F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2F x A 1 26 4F AF π π≤ ∠ ≤ 5, 7   5, 13   3, 13   7,3   P ABC− AB BC⊥ P ABC AC D 1DP DC= = P ABC− PAB∠ ,4 2 π π     O O 2 3 π AB BC= E PC DE BE+ 6 2 2 + ( ) sin 1( 0,0 1)4f x A x A πω ω = + − > < F 4 π A B AB x M 4p FM 65% ABC△ A B C a b c ( )sin( ) ( )(sin sin )a c A B a b A B− + = − + B 4b = a c+ ABCDEF ADEF ABCD / /BC AD 2BC = 4AD = 且 ，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求多面体 的体积. 20. 已知函数 ，其中 . （Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间； （Ⅱ）当 时，证明： . 21. 已知椭圆 ： 的左焦点 ，点 在椭圆 上. （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）经过圆 ： 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ， ，直线 ， 分 别与圆 相交于异于点 的 ， 两点. （i）当直线 ， 的斜率都存在时，记直线 ， 的斜率分别为 ， .求证： ； （ii）求 的取值范围. 请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应的标号涂黑. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 AB BD⊥ ADEF ⊥ ABCD M N EF CD / /MN ACF 2DE = ABCDEF ( ) ln x m ef x xe = − m R∈ 1m = ( )f x 2m = ( ) 0f x > C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )1 3,0F − 31, 2Q       C C O 2 2 5x y+ = P C A B PA PB O P M N PA PB PA PB 1k 2k 1 2 1k k = − AB MN 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，其中 . （Ⅰ）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）在平面直角坐标系 中，设直线 与曲线 相交于 ， 两点.若点 恰为线段 的三 等分点，求 的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）记函数 的最大值为 .若正实数 ， ， 满足 ，求 的最小 值. 成都市 2017 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学（文科）参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分） 1-5：CDDAB 6-10：CDBAB 11-12：CA 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 0.54 15. 16. 2 三、解答题：（共 70 分） xOy l 8 2 3 2 4 2 3 2 x t y t  = − +  = + t O x C 2 6 cos aρ ρ θ+ = 0a > l C xOy l C A B 8 4,3 3P −   AB a ( ) 1 2f x x x= − − + ( )f x x< ( )f x M a b c 14 9 3a b c M+ + = 1 9 3c a c ab ac − −+ 2 3 − 79 2 17. 解：（Ⅰ）该小组共有 11 名销售员 2019 年度月均销售额超过 3.52 万元，分别是：3.54，3.56，3.56， 3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70. ∴月均销售额超过 3.52 万元的销售员占该小组的比例为 . ∵ ，故不需要对该销售小组发放奖励. （Ⅱ）由题意，可得月均销售额不低于 3.60 万元的销售员有 5 名，其中超过 3.68 万元的销售员有 2 名，记 为 ， ，其余的记为 ， ， . 从上述 5 名销售员中随机抽取 2 名的所有结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， .共有 10 种. 其中至少有 1 名销售员月均销售额超过 3.68 万元的结果为 ， ， ， ， ， ， ，共有 7 种. 故所求概率为 . 18. 解：（Ⅰ）在 中，∵ ， ∴ . 由正弦定理，得 . 整理，得 . ∴ . ∴ . 又 ，∴ . （Ⅱ）∵ ，∴ ， 即 ， 11 55%20 = 55% 65%< 1A 2A 1a 2a 3a ( )1 2,A A ( )1 1,A a ( )1 2,A a ( )1 3,A a ( )2 1,A a ( )2 2,A a ( )2 3,A a ( )1 2,a a ( )1 3,a a ( )2 3,a a ( )1 2,A A ( )1 1,A a ( )1 2,A a ( )1 3,A a ( )2 1,A a ( )2 2,A a ( )2 3,A a 7 10P = ABC△ sin( ) sin( ) sinA B C Cπ+ = − = ( )sin ( )(sin sin )a c C a b A B− = − + ( ) ( )( )a c c a b a b− = − + 2 2 2c a b ac+ − = 2 2 2 1 2 2 c a b ac + − = 1cos 2B = 0 B π< < 3B π= 4b = 2 2 16a c ac+ − = 2( ) 16 3a c ac+ − = ∵ ，∴ . ∴ . ∴ ，当且仅当 时等号成立. ∴ 的最大值为 8. 19. 解：（Ⅰ）如图，取 的中点 .连接 ， . 在矩形 中，∵ ， 分别为线段 ， 的中点， ∴ . 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 在 中，∵ ， 分别为线段 ， 的中点， ∴ . 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 又 ， 平面 ， ∴平面 平面 . 又 平面 ，∴ 平面 . （Ⅱ）如图，过点 作 于 . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 同理 平面 . 连接 ， .在 中，∵ ， ， 2 2 a cac + ≤    2 2( ) 16 3 2 a ca c + + − ≤    21 ( ) 164 a c ≤+ 8a c+ ≤ a c= a c+ AD O OM ON ADEF O M AD EF / /OM AF OM ⊄ ACF AF ⊂ ACF / /OM ACF ACD△ O N AD CD / /ON AC ON ⊄ ACF AC ⊂ ACF / /ON ACF OM ON O= ,OM ON ⊂ MON / /MON ACF MN ⊂ MON / /MN ACF C CH AD⊥ H ADEF ⊥ ABCD ADEF  ABCD AD= CH ⊂ ABCD CH ⊥ ADEF DE ⊥ ABCD OB OC ABD△ AB BD⊥ 4AD = ∴ . 同理 . ∵ ，∴等边 的高为 ，即 . 连接 . ∴ . 20. 解：（Ⅰ）当 时， .则 . ∵ 在 上单调递增，且 ， ∴当 时， ；当 时， . ∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （Ⅱ）当 时， .则 . ∵ 在 上单调递增，且 ， ， ∴存在唯一的 ，使得 . 1 22OB AD= = 2OC = 2BC = OBC△ 3 3CH = BE ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCDV V V V V− − − −= + = + 1 1 1 1 12 4 3 2 3 23 3 3 3 2ADEF BCDS CH S DE= ⋅ + ⋅ = × × × + × × × ×△ 10 3 3 = 1m = ( ) ln xef x xe = − ( ) 1' xef x e x = − ( )'f x ( )0,+∞ ( )' 1 0f = ( )0,1x∈ ( )' 0f x < ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 2m = ( ) 2 ln xef x xe = − ( ) 2 1' xef x e x = − ( )'f x ( )0,+∞ ( ) 1' 1 1 0f e = − < ( ) 1' 2 1 02f = − > ( )0 1,2x ∈ ( )0' 0f x = ∴当 时， ，即 在 上单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递增， ∴ . 又 ，即 .化简，得 . ∴ . ∵ ，∴ . ∴当 时， . 21. 解：（Ⅰ）∵椭圆 的左焦点 ，∴ . 将 代入 ，得 . 又 ，∴ ， . ∴椭圆 的标准方程为 . （Ⅱ）（i）设点 .设过点 与椭圆 相切的直线方程为 . 由 ，消去 ，得 . . 令 ，整理得 . ( )00,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )00, x ( )0 ,x x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) 0 0 02 ln xef x ef x x= = − 最小值 0 2 0 1xe e x = 0 2 0 1ln lnxe x − = 0 02 lnx x− = − ( ) 0 0 02 0 1ln 2 xe x xf xx e = − = + − 最小值 ( )0 1,2x ∈ ( ) 0 0 0 0 1 12 2 2 0x xxf xx = + − > ⋅ − = 最小值 2m = ( ) 0f x > C ( )1 3,0F − 3c = 31, 2Q       2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 1 3 14a b + = 2 2 3a b− = 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y P C ( )0 0y k x x y= − + ( )0 0 2 24 4 0 y k x x y x y  = − +  + − = y ( ) ( ) ( )22 2 0 0 0 01 4 8 4 4 0k x k y kx x y kx+ + − + − − = ( ) ( ) ( )2 22 2 0 0 0 064 4 4 1 4 4k y kx k y kx ∆ = − − + − −  0∆ = ( )2 2 2 0 0 0 04 2 1 0x k x y k y− + + − = 由已知，则 . 又 ，∴ . （ii）设点 ， . 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 . 由 ，消去 ，得 . . 令 ，整理得 . 则 . ∴直线 的方程为 . 化简，可得 ，即 . 经验证，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，也满足 . 同理，可得直线 的方程为 . ∵ 在直线 ， 上，∴ ， . ∴直线 的方程为 . 由 ，消去 ，得 . 2 0 1 2 2 0 1 4 yk k x −= − 2 2 0 0 5x y+ = ( )2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 1 5 4 14 4 x xk k x x − − −= = = −− − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA PA ( )1 1 1y k x x y= − + ( )1 1 1 2 24 4 0 y k x x y x y  = − +  + − = y ( ) ( ) ( )22 2 1 1 1 1 1 1 1 11 4 8 4 4 0k x k y k x x y k x+ + − + − − = ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 164 4 1 4 4 4k y k x k y k x ∆ = − − + − −  0∆ = ( )2 2 2 1 1 1 1 1 14 2 1 0x k x y k y− + + − = 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 14 4 4 x y x y xk x y y = − = − = −− PA ( )1 1 1 14 xy x x yy = − − + 2 2 1 1 1 14 4x x y y y x+ = + 1 1 14 x x y y+ = PA PA 2x = 2x = − 1 1 14 x x y y+ = PB 2 2 14 x x y y+ = ( )0 0,P x y PA PB 1 0 1 0 14 x x y y+ = 2 0 2 0 14 x x y y+ = AB 0 0 14 x x y y+ = 0 0 2 2 14 4 4 x x y y x y  + =  + = y ( )2 2 2 0 0 03 5 8 16 16 0y x x x y+ − + − = ∴ ， . ∴ . 又由（i）可知当直线 ， 的斜率都存在时， ；易知当直线 或 斜率不存在时，也有 . ∴ 为圆 的直径，即 . ∴ . 又 ，∴ . ∴ 的取值范围为 . 22. 解：（Ⅰ）由直线 的参数方程，消去参数 ，得直线 的普通方程为 . 由 ， ，得曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，并整理，得 . 设 ， 是方程 的两个根，则有 ， ， . 由题意，不妨设 . 0 1 2 2 0 8 3 5 xx x y + = + 2 0 1 2 2 0 16 16 3 5 yx x y −= + 2 0 1 22 0 1 16 x x xyAB = + − ( )( ) ( ) 2 2 22 0 0 00 22 20 0 64 4 3 5 16 1615 5 16 3 5 x y yy y y  − + −+  =  +  ( ) ( )22 04 20 0 02 2 2 0 0 0 2 5 3 13 12 5 33 5 3 5 yy y yy y y ++= + =+ + PA PB PM PN⊥ PA PB PM PN⊥ MN O 2 5MN = ( )2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 5 3 1 3 5 3 1 413 5 3 52 5 y y y y y AB MN + + += = = −+ + [ ]2 0 0,5y ∈ 2 0 4 1 41 ,3 5 5 5y  − ∈ +   AB MN 1 4,5 5      l t l 4 0x y− + = 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = C 2 2 6 0x y x a+ + − = l C 2 5 2 64 03 9t t a+ − − = (*) 1t 2t (*) 0∆ > 1 2 5 2 3t t+ = − 1 2 64 9t t a = − +   1 22t t= − ∴ . 解得 ，符合条件 .∴ . 23. 解：（Ⅰ）不等式 即 . ①当 时，化简得 .解得 ； ②当 时，化简得 .解得 ； ③当 时，化简得 .此时无解. 综上，所求不等式的解集为 . （Ⅱ）∵ ，当且仅当 时等号成立. ∴ ，即 . ∵ ， 又 ， ∴ . 当且仅当 时取等号. ∴ 的最小值为 36. 2 2 32 50 9 2 9 at = + = 4a = 0a > 4a = ( )f x x< 1 2x x x− − + < 1x ≥ 3 x− < 1x ≥ 2 1x− < < 2 1x x− − < 1 13 x− < < 2x ≤ − 3 x< 1| 3x x > −   ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x− − + ≤ − − + = 2x ≤ − 3M = 4 9 1a b c+ + = 1 9 3 4 1 3 1 1 1c a c a b ab ac ab c a a b c − − ++ = + − = + + , , 0a b c > 1 1 1 1 1 1 ( 4 9 )a b ca b c a b c  + + = + + + +   21 1 14 9a b c a b c  ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅   ( )21 2 3 36= + + = 1 1 1 4 9 a b c a b c = = 1 9 3c a c ab ac − −+