四川省成都市2020届高中毕业班第三次诊断性检测理科数学试题 含答案

成都市 2017 级高中毕业班第三次诊断性检测 数 学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）1 至 2 页，第Ⅱ卷（非选择题）3 至 4 页，共 4 页， 满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净 后，再选涂其它答案标号. 3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5. 考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 ， .若 ，则实数 的值为（ ） A. 0 或 2 B. 0 或 4 C. 2 或 4 D. 0 或 2 或 4 2. 若复数 满足 （ 为虚数单位），则 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ） { }0,A x= { }0,2,4B = A B⊆ x z 2 5zi i= + i z ( )2,5 ( )2, 5− ( )5,2− ( )5, 2− 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + ≤ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + > x R∀ ∈ 2 1 0x x− + ≤ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + ≥ x R∀ ∈ 2 1 0x x− + > A. B. C. D. 5. 已知函数 ，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 在等比数列 中，已知 ，则该数列的公比是（ ） A. -3 B. 3 C. D. 9 8. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，经过点 且与 轴垂直的直线与双曲线 的一条渐近线相交于点 ，且 .则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 ，圆心角为 的扇形空地 的内部修建一平行四 ( ) 2 2x xf x −= − ( )2log 3f = 8 3 10 3 x y 1 0 2 0 5 0 x y x y − ≥  − ≥  + − ≤ 2z x y= + { }na 1 9n n na a + = 3± ( ) 3 3f x x x= − 1a > ( ) ( )1f a f> 1F 2F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2F x A 1 26 4F AF π π≤ ∠ ≤ 5, 7   5, 13   3, 13   7,3   20 2m 4 π OPQ 边形观赛场地 ，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥 中， ， 在底面 上的投影为 的中点 ， .有下 列结论： ①三棱锥 的三条侧棱长均相等； ② 的取值范围是 ； ③若三棱锥的四个顶点都在球 的表面上，划球 的体积为 ； ④若 ， 是线段 上一动点，则 的最小值为 . 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数 ， ，且 在区间 上的最大值为 .若对任意的 ，都有 成立，则实数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上. ABCD 2200m ( ) 2400 2 2 m− ( ) 2400 3 1 m− ( ) 2400 2 1 m− P ABC− AB BC⊥ P ABC AC D 1DP DC= = P ABC− PAB∠ ,4 2 π π     O O 2 3 π AB BC= E PC DE BE+ 6 2 2 + ( ) sin 1( 0,0 1)4f x A x A πω ω = + − > < F 0 2 πα α < + C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )1 3,0F − 31, 2Q       C C O 2 2 5x y+ = P C A B PA PB O P M N 0OM ON+ =   OAB△ 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，其中 . （Ⅰ）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）在平面直角坐标系 中，设直线 与曲线 相交于 ， 两点.若点 恰为线段 的三 等分点，求 的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）记函数 的最大值为 .若正实数 ， ， 满足 ，求 的最小 值. 成都市 2017 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学（理科）参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分） 1-5：CDDAB 6-10：CBBAD 11-12：CA 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 0.54 15. 16. 2 xOy l 8 2 3 2 4 2 3 2 x t y t  = − +  = + t O x C 2 6 cos aρ ρ θ+ = 0a > l C xOy l C A B 8 4,3 3P −   AB a ( ) 1 2f x x x= − − + ( )f x x< ( )f x M a b c 14 9 3a b c M+ + = 1 9 3c a c ab ac − −+ 2 3 − 10 31 三、解答题：（共 70 分） 17. 解：（Ⅰ）该小组共有 11 名销售员 2019 年度月均销售额超过 3.52 万元，分别是：3.54，3.56，3.56， 3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70. ∴月均销售额超过 3.52 万元的销售员占该小组的比例为 . ∵ ，故不需要对该销售小组发放奖励. （Ⅱ）由题意，随机变量 的可能取值为 1，2，3，4. 则 ， ， ， . ∴随机变量 的分布列为 1 2 3 4 ∴ . 18. 解：（Ⅰ）在 中，∵ ， ∴ . 由正弦定理，得 . 整理，得 . ∴ . ∴ . 又 ，∴ . 11 55%20 = 55% 65%< X 1 5 1 1( 1) 5P X A = = = 1 4 2 5 1( 2) 5 AP X A = = = 2 4 3 5 1( 3) 5 AP X A = = = 3 1 4 2 4 5 2( 4) 5 A A AP X = = = X X ( )P X 1 5 1 5 1 5 2 5 1 1 1 2 14( ) 1 2 3 45 5 5 5 5E X = × + × + × + × = ABC△ sin( ) sin( ) sinA B C Cπ+ = − = ( )sin ( )(sin sin )a c C a b A B− = − + ( ) ( )( )a c c a b a b− = − + 2 2 2c a b ac+ − = 2 2 2 1 2 2 c a b ac + − = 1cos 2B = 0 B π< < 3B π= （Ⅱ）∵ ，∴ ， 即 ， ∵ ，∴ . ∴ . ∴ ，当且仅当 时等号成立. ∴ 的最大值为 8. 19. 解：（Ⅰ）如图，取 的中点 .连接 ， . 在矩形 中，∵ ， 分别为线段 ， 的中点， ∴ . 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 在 中，∵ ， 分别为线段 ， 的中点， ∴ . 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 又 ， 平面 ， ∴平面 平面 . 又 平面 ， ∴ 平面 . （Ⅱ）如图，取 的中点 ，连接 . ∵四边形 是等腰梯形， 为 的中点， 4b = 2 2 16a c ac+ − = 2( ) 16 3a c ac+ − = 2 2 a cac + ≤    2 2( ) 16 3 2 a ca c + + − ≤    21 ( ) 164 a c ≤+ 8a c+ ≤ a c= a c+ AD O OM ON ADEF O M AD EF / /OM AF OM ⊄ ACF AF ⊂ ACF / /OM ACF ACD△ O N AD CD / /ON AC ON ⊄ ACF AC ⊂ ACF / /ON ACF OM ON O= ,OM ON ⊂ MON / /MON ACF MN ⊂ MON / /MN ACF BC T OT ABCD O AD ∴ . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 以 为坐标原点，分别以 ， ， 方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系 . 连接 .在 中，∵ ， ，∴ . ∵ ，∴ . 在 中， . 设 .则 ， ， . 取平面 的一个法向量为 . ∴ .解得 . 连接 . ∴ . OT AD⊥ ADEF ⊥ ABCD ADEF  ABCD AD= OT ⊂ ABCD OT ⊥ ADEF O OT OD OM x y z Oxyz OB ABD△ AB BD⊥ 4AD = 1 22OB AD= = 2BC = 1BT = Rt OBT△ 3OT = AF h= ( )3,1,0C ( )0, 2,F h− ( )3,3,FC h= − ADEF ( )1,0,0n = 2 3 3 9 s 3 4in , h FC n == = + +   2h = BE ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BDCV V V V V− − − −= + = + 1 1 1 1 12 4 3 2 3 23 3 3 3 2ADEF BCDS OT S DE= ⋅ + ⋅ = × × × + × × × ×△ 10 3 3 = 20. 解：（Ⅰ）当 时， ，则 . ∵ 在 上单调递增，且 ， ∴当 时， ；当 时， . ∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （Ⅱ）设 ，则 . 令 ，解得 . ∴当 时， ，即 在 上单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递增. ∴ . ∴ 在 上恒成立. 现要证 ，只需证 . 可证 ，即 . 设 . 则 . 令 ，解得 . ∴当 时， ，即 在 上单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递增. ∴ . 1a m= = ( ) 1 lnxg x e x−= − ( ) 1 1' xg x e x −= − ( )'g x ( )0,+∞ ( )' 1 0g = ( )0,1x∈ ( )' 0g x < ( )1,x∈ +∞ ( )' 0g x > ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) 1 lnh x x x= − − ( ) 1' 1h x x = − ( )' 0h x = 1x = ( )0,1x∈ ( )' 0h x < ( )h x ( )0,1 ( )1,x∈ +∞ ( )' 0h x > ( )h x ( )1,+∞ ( ) ( )1 0h x h= = 最小值 ln 1x x≥ + ( )0,+∞ ( )24 1 lnxe x x− > + 2 24 xe x− > ( )2 2ln 4 lnxe x− > 2 ln 4 2lnx x− + > ( ) 2ln 2 ln 4x xt x = − − + ( ) 2' 1t x x = − ( )' 0t x = 2x = ( )0,2x∈ ( )' 0t x < ( )t x ( )0,2 ( )2,x∈ +∞ ( )' 0t x > ( )t x ( )2,+∞ ( ) ( )2 0t x t= = 最小值 ∴ 在 上恒成立. 综上，可知 ，当 时等号成立； ，当 时等号成立. ∴当 ， 时， . 21. 解：（Ⅰ）∵椭圆 的左焦点 ，∴ . 将 代入 ，得 . 又 ，∴ ， . ∴椭圆 的标准方程为 . （Ⅱ）（i）设点 . ①当直线 ， 的斜率都存在时，设过点 与椭圆 相切的直线方程为 . 由 ，消去 ，得 . . 令 ，整理得 . 设直线 ， 的斜率分别为 ， .∴ . 又 ，∴ . ∴ ，即 为圆 的直径，∴ . ②当直线 或 的斜率不存在时，不妨设 ，则直线 的方程为 . ∴ ， ，也满足 . 2 ln 4 2lnx x− + ≥ ( )0,+∞ ln 1x x≥ + 1x = 2 ln 4 2lnx x− + ≥ 2x = 4a = 2m = ( ) ( )1 lnf x x x> + C ( )1 3,0F − 3c = 31, 2Q       2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 1 3 14a b + = 2 2 3a b− = 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y PA PB P C ( )0 0y k x x y= − + ( )0 0 2 24 4 0 y k x x y x y  = − +  + − = y ( ) ( ) ( )22 2 0 0 0 01 4 8 4 4 0k x k y kx x y kx+ + − + − − = ( ) ( ) ( )2 22 2 0 0 0 064 4 1 4 4 4k y kx k y kx ∆ = − − + − −  0∆ = ( )2 2 2 0 0 0 04 2 1 0x k x y k y− + + − = PA PB 1k 2k 2 0 1 2 2 0 1 4 yk k x −= − 2 2 0 0 5x y+ = ( )2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 1 5 4 14 4 x xk k x x − − −= = = −− − PM PN⊥ MN O 0OM ON+ =   PA PB ( )2,1P PA 2x = ( )2, 1M − ( )2,1N − 0OM ON+ =   综上，有 . （ii）设点 ， . 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 . 由 ，消去 ，得 . . 令 ，整理得 . 则 . ∴直线 的方程为 .化简可得 ，即 . 经验证，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，也满足 . 同理，可得直线 的方程为 . ∵ 在直线 ， 上，∴ ， . ∴直线 的方程为 . 由 ，消去 ，得 . ∴ ， . ∴ 0OM ON+ =   ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA PA ( )1 1 1y k x x y= − + ( )1 1 1 2 24 4 0 y k x x y x y  = − +  + − = y ( ) ( ) ( )22 2 1 1 1 1 1 1 1 11 4 8 4 4 0k x k y k x x y k x+ + − + − − = ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 164 4 1 4 4 4k y k x k y k x ∆ = − − + − −  0∆ = ( )2 2 2 1 1 1 1 1 14 2 1 0x k x y k y− + + − = 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 14 4 4 x y x y xk x y y − −= − = =− PA ( )1 1 1 14 xy x x yy −= − + 2 2 1 1 1 14 4x x y y y x+ = + 1 1 14 x x y y+ = PA PA 2x = 2x = − 1 1 14 x x y y+ = PB 2 2 14 x x y y+ = ( )0 0,P x y PA PB 1 0 1 0 14 x x y y+ = 2 0 2 0 14 x x y y+ = AB 0 0 14 x x y y+ = 0 0 2 2 14 4 4 x x y y x y  + =  + = y ( )2 2 2 0 0 03 5 8 16 16 0y x x x y+ − + − = 0 1 2 2 0 8 3 5 xx x y + = + 2 0 1 2 2 0 16 16 3 5 yx x y −= + 2 0 1 22 0 1 16 x x xyAB = + − ( )( ) ( ) 2 2 22 0 0 00 22 20 0 64 4 3 5 16 1615 5 16 3 5 x y yy y y  − + −+  =  +  . 又点 到直线 的距离 . ∴ . 令 ， .则 . 又 ，∴ 的面积的取值范围为 . 22. 解：（Ⅰ）由直线 的参数方程，消去参数 ，得直线 的普通方程为 . 由 ， ，得曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，并整理，得 . 设 ， 是方程 的两个根，则有 ， ， . 由题意，不妨设 . ∴ . 解得 ，符合条件 .∴ . 23. 解：（Ⅰ）不等式 即 . ①当 时，化简得 .解得 ； ②当 时，化简得 .解得 ； ( ) ( )22 04 20 0 02 2 2 0 0 0 2 5 3 13 12 5 33 5 3 5 yy y yy y y ++= + =+ + O AB 2 2 2 0 0 0 4 4 16 5 3 1 d x y y −= = + + ( )2 0 2 2 0 0 2 5 3 11 4 2 3 5 5 3 1OAB y S y y + = ⋅ ⋅+ +△ 2 0 2 0 4 3 1 3 5 y y += + 2 03 1y t+ = [ ]1,4t ∈ 2 4 4 44OAB tS t t t = =+ + △ [ ]4 4,5t t + ∈ OAB△ 4 ,15      l t l 4 0x y− + = 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = C 2 2 6 0x y x a+ + − = l C 2 5 2 64 03 9t t a+ − − = (*) 1t 2t (*) 0∆ > 1 2 5 2 3t t+ = − 1 2 64 9t t a = − +   1 22t t= − 2 2 32 50 9 2 9 at = + = 4a = 0a > 4a = ( )f x x< 1 2x x x− − + < 1x ≥ 3 x− < 1x ≥ 2 1x− < < 2 1x x− − < 1 13 x− < −   ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x− − + ≤ − − + = 2x ≤ − 3M = 4 9 1a b c+ + = 1 9 3 4 1 3 1 1 1c a c a b ab ac ab c a a b c − − ++ = + − = + + , , 0a b c > 1 1 1 1 1 1 ( 4 9 )a b ca b c a b c  + + = + + + +   21 1 14 9a b c a b c  ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅   ( )21 2 3 36= + + = 1 1 1 4 9 a b c a b c = = 1 9 3c a c ab ac − −+