四川省2020届高三大数据精准教学第二次统一监测文科数学试题 含答案详解及评分标准

四川省 2017 级高三大数据精准教学第二次统一监测 文科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试 条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答 案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸 上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.某人坚持跑步锻炼，根据他最近 20 周的跑步数据，制成如下条形图： 根据条形图判断，下列结论正确的是（ ） A.周跑步里程逐渐增加 B.这 20 周跑步里程平均数大于 30km C.这 20 周跑步里程中位数大于 30km ( )( ){ }1 3 0A x x x= − − ≤ { }1 2B x x= − < < A B = ( ]1,1− [ )1,2 [ ]1,3 ( ]1,3− z ( )1 2 3 4z i i⋅ + = + z = 1 2i+ 1 2i− 5 10i+ 5 10i− D.前 10 周的周跑步里程的极差大于后 10 周的周跑步里程的极差 4.若 x，y 满足 ，则 的最大值为（ ） A.6 B.4 C.3 D.0 5. 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， ，则 的值为（ ） A. B. C.2 D. 6.函数 的大致图像是（ ） A. B. C. D. 7.已知直线 经过圆 的圆心， 与圆 C 的一个交点为 P，将直线 绕点 P 按顺时针方 向旋转 30°得到直线 ，则直线 被圆 C 截得的弦长为（ ） A.4 B. C.2 D.1 8.如图，已知圆锥底面圆的直径 与侧棱 ， 构成边长为 的正三角形，点 C 是底面圆上异于 A，B 的动点，则 S，A，B，C 四点所在球面的半径是（ ） A.2 B. C.4 D.与点 C 的位置有关 9.以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它 0 0 2 0 x y x y ≥  ≥  + − ≤ 2z x y= + ABC△ sin 2sinB A= 3C π= c a 3 3 3 1 2 ( ) 2 x x xf x e e−= + l ( )2 2: 2 3 4C x y− + = l l l′ l′ 2 3 AB SA SB 2 3 2 3 是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现.如图，D，E，F 为正三角 形 各边中点，作出正三角形 的勒洛三角形 （阴影部分），若在 中随机取一点，则 该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（ ） A. B. C. D. 10.若函数 的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则 （ ） A. B. C. D. 11.若函数 ，且 ，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.已知直线 与抛物线 交于 A，B 两点， （其中 O 为坐标原点）.若 ， 则直线 的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 ， ，若 ，则实数 ______________. 14.若 ，则 ____________. ABC DEF DEF ABC△ 3 2 π − 2 3 3 9 π − 3 3 6 π − 3 2 6 π − ( )sin 0, 0, 0y A x A xω ω= > > > A ω⋅ = 2 π π 2π 4π ( ) 1ln1 xf x xx −= −+ ( ) ( )2 1 0f a f a+ − > 1, 3  −∞   1 1,2 3  −   10, 3      10, 2      l 2 4x y= 0OA OB⋅ =  OP OA OB= +   OP ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ ( ] [ ), 4 4,−∞ − +∞ ( ), 2 2, −∞ − +∞  ( ), 2 2 2 2, −∞ − +∞  ( )1 ,2a λ= + ( )3,4b = //a b  λ = 5cos 4 5 π α − =   sin 2α = 15.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间 的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面 截几何体所得的截面）的面积分别为 ， ， ，高为 h，则拟柱体的体积为 .若某 拟柱体的三视图如图所示，则其体积为______________________. 16.若关于 x 的不等式 恒成立，则 的最小值是________________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 已知数列 的前 n 项和是 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项的和 的最大值. 18.（12 分） 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系.现收集了 该种植物月生长量 y（cm）与月平均气温 x（℃）的 8 组数据，并制成如图所示的散点图. S′ S 0S ( )0 1 6V h S S S′= + + ln 1x ax≤ + a { }na nS 2 2n nS a= − { }na 222 2logn nb a= − { }nb n nT 根据收集到的数据，计算得到如下值： 18 12.325 224.04 235.96 （1）求出 y 关于 x 的线性回归方程（最终结果的系数精确到 0.01），并求温度为 28℃时月生长量 y 的预报 值； （2）根据 y 关于 x 的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果. 附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 ， . 19.（12 分） 如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，E 是 的中点.现将 沿 翻折，使点 A 移动至平面 外的点 P. x y ( )8 2 1 i i x x = −∑ ( )( ) 1 8 i i i y y x x = − −∑ ( ) ( ) ( )1 2 2, , , , , ,n nv v vω ω ω… ˆˆˆv α βω= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n l i i n i i v vω ω β ω ω = = − − = − ∑ ∑ ˆˆ vα βω= − ABCD //AD BC AB AD⊥ 30ABE∠ = ° 90BEC∠ = ° 2AD = AD ABE△ BE BCDE （1）若 ，求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ，三棱锥 的体积为 ，求线段 的长. 20.（12 分） 在直角坐标系内，点 A，B 的坐标分别为 ， ，P 是坐标平面内的动点，且直线 ， 的斜 率之积等于 .设点 P 的轨迹为 C. （1）求轨迹 C 的方程； （2）设过点 且倾斜角不为 0 的直线 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求证：直线 ， 的交点在 直线 上. 21.（12 分） 已知函数 . （1）若曲线 在 处切线的斜率为 ，判断函数 的单调性； （2）若函数 有两个零点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 （t 为参数），曲线 ，（ 为参数），以 坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线 ， 的极坐标方程； 3FC PF=  //DF PBE PBE ⊥ BCDE C PDE− 1 4 BE ( )2,0− ( )2,0 PA PB 1 4 − ( )1,0 l AM BN 4x = ( ) ( ) ( )21 1 02x a xf x x ae += + ≠ ( )y f x= 1x = − 1e − ( )f x ( )f x xOy 1 4 3: x tC y t  = + = − 2 1 cos: sin xC y θ θ = +  = θ 1C 2C （2）射线 分别交 ， 于 A，B 两点，求 的最大值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知函数 . （1）求 的值域； （2）记函数 的最小值为 M.设 a，b，c 均为正数，且 ，求证： . 四川省 2017 级高三大数据精准教学第二次统一监测 文科数学参考答案及评分标准 评分说明： 1.本解答只给出了一种（或两种）解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在菜一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 程度决定后部分的给分，但不得超过该正确部分解答得分的一半；如果后继部分的解得有严重错误，就不 再给分. 3.只给整数分.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D B A D B A C A C D 1.本小题主要考査一元二次不等式的解法、并集等基础知识；考查运算求解能力. 由 得 ，所以 . 2.本小题主要考査复数模的概念、复数运算其运算等基础知识；考査运算求解能力. 由 . tan 0,0 2y x x πα α = ≥ < ( ) 2 2 x x xf x x e e− < = ⋅ 2PC = l′ PQ Rt PHC△ cos30 3PH PC= ° = l′ 2 3PQ = 1O SO SO ⊥ ABC 1O SO 3SO = 3AO = 1O 1Rt O AO△ ( ) 22 23 3R R− + = 2R = 9.本小题主要考査概率等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识. 设三角形 边长为2，则正三角形 边长为1，图中勒洛三角形面积为 ， 面积为 ，所求概率 . 10.本小题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查 化归与转化、数形结合等思想方法. 作出函数 的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.设其中两个最大值 点为 M，N，最小值点为 P.根据正弦函数图象的对称性，易知 为等腰直角三角形，且斜边上的高 ， 所 以 斜 边 ， 则 周 期 . 由 ， 有 ， 所 以 . 11.本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. ABC DEF 3 3 33 6 4 4 2 π π  −× − + =    ABC△ 3 3 3 3 62 3 P π π− −= = ( )sin 0, 0, 0y A x A xω ω= > > > MNP△ 2PQ A= 4MN A= siny A xω= 4T A= 2T π ω= 2 2 4T A π πω = = 2A πω⋅ = 由题知 的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数且在 上单调递减. 由 ，可知 ，于是有 ，解得 . 12.本小题主要考査直线与抛物线的方程及其位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力及创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 如图，设 ， ，则 ，依题意， ，即 ，即 ，即 ，从而，直线 的斜率为 ，则 ， ， 当 且 仅 当 ， 即 时 等 号 成 立 ， 故 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 题号 13 14 15 16 答案 13.本小题主要考查共线向量、平面向量的数量积等基础知识；考查运算求解能力. ( )f x ( )1,1− ( ) 1 2ln ln 11 1 xf x x xx x −  = − = − − + +  ( )f x ( )1,1− ( ) ( )2 1 0f a f a+ − > ( ) ( )2 1f a f a> − 1 1 1 1 2 1 2 1 a a a a − < − ( )f x ( )2 ,x e∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x 2x e= 2 1 e 2 1a e ≥ 2 1 e 1y ax= + ( )0,1 1y ax= + lny x= 最小值，设切点 ，切线斜率为 ，则切线方程为 ，过点 ，则 ，解得 ，切线斜率为 ，所以 a 的最小值为 . 三、解答题：共 70 分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查等比数列和等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式等基础知识；考查运算求解能力及 应用意识；考查分类与整合、化归与转化等思想方法. （1）对于数列 ，当 时，由 得 ..…………………………1 分 当 时，由 ， 两式相减得 ，.……………………3 分 所以数列 是首项为 2，公比也为 2 的等比数列， 所以数列 的通项公式 .………………………………5 分 （2）由（1）知： .……………………7 分 由 ，解得 .………………………………9 分 所以当 或 11 时，数列 的前 n 项和 取得最大值，其最大值为 .…………………………12 分 18.（本小题满分 12 分） 本小题主要考査回归方程、统计案例等基础知识；考查抽象概括、数据处理、运算求解等能力和应用意识. （1）设月生长量 y 与月平均气温 x 之间的线性回归方程为 . ( )0 0,lnx x 0 1 x ( )0 0 0 1lny x x xx − = − ( )0,1 ( )0 0 0 11 ln 0x xx − = − 2 0x e= 2 1 e 2 1 e { }na 1n = 2 2n nS a= − 1 2a = 2n ≥ 2 2n nS a= − 1 12 2n nS a− −= − 12n na a −= { }na { }na 2n na = ( )* 222 2log 2 22 2n nb n n N= − = − ∈ ( )1 22 2 0 22 2 1 0 n n b n b n+ = − ≥  = − + ≤ 10 11n≤ ≤ 10n = { }nb nT ( ) ( )1 10 10 11 10 5 20 2 1102T b bT T += = = += =最大值 ˆˆ ˆy a bx= + ，.………………………………4 分 所以 ， 则 y 关于 x 的线性回归方程为 .………………………………6 分 当 时， （cm）. 所以，在气温在 28℃时，该植物月生长量的预报值为 22.77cm.…………………………8 分 （2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，该回归方程的 预报精度相应会较高，说明拟合效果较好.…………………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查平面与平面垂直的性质、直线与平面平行的判断、棱锥体积公式等基础知识；考査空间想 象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识. （1）法一：设 ，依题意得 ， ， .…………………………1 分 如图，在线段 上取靠近点 P 的四等分点 G， 连接 ， ， 因为 ，所以 . 所以 .……………………………………3 分 所以四边形 为平行四边形. ( )( ) ( ) 8 1 8 2 1 235.96ˆ 1.053224.04 i i i i i y y x x b x x = = − − = = ≈ − ∑ ∑ ˆˆ 12.325 1.053 18 6.63a y bx= − = − × ≈ − ˆ 1.05 6.63y x= − 28x = 1.05 28 6.63 22.77y = × − = DE a= 2BE a= 4BC a= 1// 4DE BC PB FG EG 1 4 PG PF PB PC = = 1// 4GF BC //DE GF DEGF 所以 .…………………………4 分 又 平面 ， 平面 ，.………………………………5 分 所以 平面 .………………………………6 分 法二：如图，在线段 上取靠近点 B 的四等分点 H，连接 ， ， 因为 ，所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .……………………………………2 分 设 ，依题意得 ， ， ， 而 ，所以 . 所以四边形 为平行四边形. 所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .………………………………4 分 而 平面 ， 平面 ， ， 所以平面 平面 . 因为 平面 ，所以 平面 .………………………………6 分 （2）由 ，得 . //DF EG DF ⊄ PBE EG ⊂ PBE //DF PBE BC FH DH 3 4 CF CH CP CB = = //HF PB HF ⊄ PBE PB ⊂ PBE //HF PBE DE a= 2BE a= 4BC a= 1// 4DE BC 1 4BH BC= //DE BH DEBH //DH EB DH ⊄ PBE EB ⊂ PBE //DH PBE DH ⊂ DFH FH ⊂ DFH DH FH H= //DFH PBE DF ⊂ DFH //DF PBE 90BEC∠ = ° BE EC⊥ 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 .……………………………………8 分 由（1）， ， ， 所以 .…………………………10 分 则 . 由 ，解得 . 所以 ………………………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化 归与转化等思想方法. （1）由 ，得 ，即 . 故轨迹 C 的方程为： .………………………………4 分 （2）根据题意，可设直线 的方程为： ， 由 ，消去 x 并整理得 .…………………………6 分 其中， . 设 ， ，则 ， . 因 直 线 的 倾 斜 角 不 为 0 ， 故 ， 不 等 于 （ ， 不 为 0 ），从 而 可 设 直 线 的 方 程 为 ①， PBE ⊥ BCDE PBE  BCDE BE= EC ⊥ PBE 4BC DE= 4BEC DECS S=△ △ 1 1 1 4 4 4C PDE P CDE P BEC C PBEV V V V− − − −= = = = 1C PBEV − = 21 1 32 3 13 3 2C PBE PBEV EC S a a a− = × = × × = =△ 1a = 2BE = 1 2 2 4 y y x x ⋅ = −+ − 2 24 4y x= − ( )2 2 1 04 x y y+ = ≠ ( )2 2 1 04 x y y+ = ≠ MN 1x my= + 2 2 1 14 x my x y = + + = ( )2 24 2 3 0m y my+ + − = ( )2 2 24 12 4 16 48 0m m m∆ = + + = + > ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 2 4 my y m + = − + 1 2 2 3 4y y m = − + l 1x 2x 2± 1y 2y AM ( )1 1 22 yy xx = ++ 直线 的方程为 ②， 所以，直线 ， 的交点 的坐标满足： .………………………………………………9 分 而 ， 因此， ，即点 Q 在直线 上.………………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查函数图象和性质、函数零点、不等式、函数的导数等基础知识；考査运算求解能力、推理 论证能力、应用意识和创新意识；考查分类与整合、化归与转化、数形结合等思想方法. （1）由题 ，.…………………………1 分 则 ，得 ，.……………………………………2 分 此时 ，由 得 . 则 时， ， 为增函数； 时， ， 为增函数，且 ，所以 为 R 上的增函数.………………………………4 分 （2）①当 时，由 得 或 ， 若 ，由（1）知， 为 R 上的增函数. BN ( )2 2 22 yy xx = −− AM BN ( )0 0,Q x y ( ) ( ) ( )2 1 0 0 1 2 22 22 y xx xy x ++ = ⋅ −− ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 2 1 y x y my my y y y x y my my y y + + += =− − − ( ) ( ) 212 2 1 2 112 3 23 9 3 44 4 33 3 4 4 m m y m m ym m m m m yym −  + − −  − − ++ + = = =− − − +−+ 0 4x = 4x = ( ) x x x ax e af x x xe e  −′ = − =    ( )1 1 1f ea e′ − = − = − 1a = ( ) 1x x ef x x e  −′ =    ( ) 0f x′ = 0x = 0x < ( ) 0f x′ > ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0 0f ′ = ( )f x 0a > ( ) 0f x′ = 0x = lnx a= 1a = ( )f x 由 ， ， 所以 只有一个零点，不符合题意.……………………………………6 分 若 ，则 时， ， 为增函数； 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数. 而 ，故 最多只有一个零点，不符合题意.……………………8 分 若 时，则 时， ， 为增函数； 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数. 得 ， 故 最 多 只 有 一 个 零 点 ， 不 符 合 题 意.……………………………………10 分 ②当 时，由 得 ， 由 得 ， 为减函数，由 得 ， 为增函数， 则 . 又 时， ， 时， ， 所以当 时， 始终有两个零点. 综上所述，a 的取值范围是 .………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程及其互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、 化归与转化等思想方法. ( ) 11 02f − = > ( ) 22 2 0f e− = − + < ( )f x 0 1a< < lnx a< ( ) 0f x′ > ( )f x ln 0a x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )0 0f x f a= = > 极小 ( )f x 1a > 0x < ( ) 0f x′ > ( )f x 0 lnx a< < ( ) 0f x′ < ( )f x lnx a> ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( ) ( )21ln ln ln 1 02f a a af x = + + >= 极小 ( )f x 0a < ( ) 0f x′ = 0x = 0x ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )0 0f x f a= = < 极小 x → −∞ ( ) 0f x > x → +∞ ( ) 0f x > 0a < ( )f x ( ),0−∞ （1）消去参数 t，得曲线 的直角坐标方程为 ， 则曲线 的极坐标方程为 .…………………………2 分 消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程为 ，即 ， 所以曲线 的极坐标方程为 ，即 .……………………4 分 （2）射线 的极坐标方程为 ，.………5 分 联立 ，得 ， 所以 ；.………………………………6 分 由 ，得 ，则 ，.…………………………7 分 因此 .…………………………9 分 由 ，得 . 所以，当 ，即 时， . 故 的最大值为 .…………………………………………10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 本小题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推 理论证能力；考查化归与转化等思想方法. 1C 3 4 0x y+ − = 1C cos 3 sin 4 0ρ θ ρ θ+ − = θ 2C ( )2 21 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − = 2C 2 2 cos 0ρ ρ θ− = 2cosρ θ= tan 0,0 2y x x πα α = ≥ <