四川省2020届高三大数据精准教学第二次统一监测理科数学试题 含答案详解及评分标准

四川省 2017 级高三大数据精准教学第二次统一监测 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试 条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答 案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸 上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 4.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.函数 的大致图像是（ ） U R= { }2 4 3 0A x x x= − + > { }1 2B x x= − < < ( )UC A B = ( ]1,1− [ )1,2 [ ]1,3 ( ]1,3− z ( )1,2 1 z i =− 1 3 2 2 i− − 1 3 2 2 i− + 1 3i+ 1 3i− − ( )1 ,2a λ= + ( )3,4b = //a b  λ = 11 3 − 5 2 − 1 2 5 3 5cos 4 5 π α − =   sin 2α = 3 5 − 3 5 4 5 − 4 5 ( ) 2 x x xf x e e−= + A. B. C. D. 6.若 展开式的常数项为 160，则 （ ） A.1 B.2 C.4 D.8 7.若过点 的直线 是圆 的一条对称轴，将直线 绕点P旋转30°得到直线 ， 则直线 被圆 C 截得的弦长为（ ） A.4 B. C.2 D.1 8.如图，已知圆锥底面圆的直径 与侧棱 ， 构成边长为 的正三角形，点 C 是底面圆上异于 A，B 的动点，则 S，A，B，C 四点所在球面的面积是（ ） A. B. C. D.与点 C 的位置有关 9.甲、乙、丙、丁 4 名学生参加体育锻炼，每人在 A，B，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲 不选 A 项、乙不选 B 项的概率为（ ） A. B. C. D. 10.若函数 的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则 （ ） A. B. C. D. 6 2 ax x  +   a = ( )3,1P l ( )2 2: 2 3 4C x y− + = l l′ l′ 2 3 AB SA SB 2 3 4π 32 3 π 16π 1 3 4 9 5 9 7 12 ( )sin 0, 0, 0y A x A xω ω= > > > A ω⋅ = 4π 2π π 2 π 11.若函数 ，且 ，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.已知 O 为直角坐标系的原点，矩形 的顶点 A，C 在抛物线 上，则直线 的斜率的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若实数 x，y 满足 ，则 的最小值为_________________. 14.已知平面 平面 ，直线 ，且 不是平面 ， 的交线.给出下列结论： ①平面 内一定存在直线平行于平面 ；②平面 内一定存在直线垂直于平面 ； ③平面 内一定存在直线与直线 平行；④平面 内一定存在直线与直线 异面. 其中所有正确结论的序号是__________________________. 15.阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平 面内到两定点的距离的比值为常数 的动点轨迹”.设 的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，顶点 C 在以 A，B 为定点， 的一个阿氏圆上，且 ， 的面积为 ，则 _______________. 16.若关于 x 的不等式 恒成立，则 的最大值是________________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. ( ) 1ln1 xf x xx −= −+ ( ) ( )2 1 0f a f a+ − > 1, 3  −∞   1 1,2 3  −   10, 3      10, 2      OABC 2 4x y= OB ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ ( ] [ ), 4 4,−∞ − +∞ ( ), 2 2, −∞ − +∞  ( ), 2 2 2 2, −∞ − +∞  1 2 0 2 0 y x y x y ≤  − − ≤  + − ≥ 2z x y= + α ⊥ β l α⊂ l α β β α β α β l β l ( )0, 1λ λ λ> ≠ ABC△ 2λ = 3C π= ABC△ 3 2 c = 21ln 1x x bxa ≤ − + ab （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 已知数列 的前 n 项和是 ，且 ，等差数列 中， ， . （1）求数列 和 的通项公式； （2）定义： .记 ，求数列 的前 10 项的和 . 18.（12 分） 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系.现收集了 该种植物月生长量 y（cm）与月平均气温 x（℃）的 8 组数据，并制成如图所示的散点图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 18 12.325 224.04 235.96 （1）求出 y 关于 x 的线性回归方程（最终结果的系数精确到 0.01），并求温度为 28℃时月生长量 y 的预报 值； （2）根据 y 关于 x 的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果. { }na nS 2 2n nS a= − { }nb 1 20b = 3 16b = { }na { }nb ,* , a a ba b b a b ≤=  > *n n nc a b= { }nc 10T x y ( )8 2 1 i i x x = −∑ ( )( ) 1 8 i i i y y x x = − −∑ 附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 ， . 19.（12 分） 如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，E 是 的中点.现将 沿 翻折，使点 A 移动至平面 外的点 P. （1）若 ，求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 20.（12 分） 在直角坐标系内，点 A，B 的坐标分别为 ， ，P 是坐标平面内的动点，且直线 ， 的斜 率之积等于 .设点 P 的轨迹为 C. （1）求轨迹 C 的方程； （2）某同学对轨迹 C 的性质进行探究后发现：若过点 且倾斜角不为 0 的直线 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，则直线 ， 的交点 Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线 方程；若不正确，请说明理由. ( ) ( ) ( )1 2 2, , , , , ,n nv v vω ω ω… ˆˆˆv α βω= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n l i i n i i v vω ω β ω ω = = − − = − ∑ ∑ ˆˆ vα βω= − ABCD //AD BC AB AD⊥ 30ABE∠ = ° 90BEC∠ = ° 2AD = AD ABE△ BE BCDE 3FC PF=  //DF PBE PBE ⊥ BCDE PBE PCD ( )2,0− ( )2,0 PA PB 1 4 − ( )1,0 l AM BN 21.（12 分） 已知函数 . （1）若曲线 在 处切线的斜率为 ，判断函数 的单调性； （2）若函数 有两个零点 ， ，证明 ，并指出 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 （t 为参数），曲线 ，（ 为参数），以 坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线 ， 的极坐标方程； （2）射线 分别交 ， 于 A，B 两点，求 的最大值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知函数 . （1）求 的值域； （2）记函数 的最小值为 M.设 a，b，c 均为正数，且 ，求证： . 四川省 2017 级高三大数据精准教学第二次统一监测 理科数学参考答案及评分标准 评分说明： 1.本解答只给出了一种（或两种）解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在菜一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 ( ) ( ) ( )21 1 02x a xf x x ae += + ≠ ( )y f x= 1x = − 1e − ( )f x ( )f x 1x 2x 1 2 0x x+ > xOy 1 4 3: x tC y t  = + = − 2 1 cos: sin xC y θ θ = +  = θ 1C 2C tan 0,0 2y x x πα α = ≥ < 1x < 3x > ( ) ( ),1 3,A = −∞ +∞ ( ) [ ] ( ) ( ]1,3 1,2 1,3UC A B = − = −  1 2z i= + ( )( )1 2 11 2 1 3 1 1 2 2 2 i iz i ii i + ++= = = − +− − //a b  ( )4 1 2 3λ+ = × 1 2 λ = 2 2 5 3sin 2 cos 2 2cos 1 2 12 4 5 5 π πα α α     = − = − − = × − = −            5cos 4 5 π α − =   10cos sin 5 α α+ = 21 2sin cos 5 α α+ = 32sin cos 5 α α = − 3sin 2 5 α = − 由 可知， 为奇函数，排除 A，B；当 时， . 6.本小题主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力. 二项式展开式的常数项为 ，解得 . 7.本小题主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和 创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 由题意知，点 P 在圆 C 上，且圆心 C 在直线 上，所以 .如图，设 与圆交于 P，Q 两点，线段 的中点为 H，则在 中， ，故直线 被圆 C 截得的弦长 . 8.本小题主要考查圆锥的概念、球面面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 如图，设底面圆的圆心为 O，S，A，B，C 四点所在球面的球心为 ，连接 ，则 平面 ，且 在 线 段 上 . 易 知 ， . 设 球 的 半 径 为 R ， 在 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ，解得 .故球面面积为 . 9.本小题主要考查分类加法原理和分步乘法原理、概率等基础知识；考查应用意识、创新意识；考查分类与 整合等思想方法. ( ) ( )f x f x− = − ( )f x 0x > ( ) 2 2 x x xf x x e e− < = ⋅ ( ) 3 33 3 3 6 62 8 160aC x C ax   = × =   1a = l 2PC = l′ PQ Rt PHC△ cos30 3PH PC= ° = l′ 2 3PQ = 1O SO SO ⊥ ABC 1O SO 3SO = 3AO = 1O 1Rt O AO△ ( ) 22 23 3R R− + = 2R = 24 16Rπ π= 法一：每位学生选择三个锻炼项目有 种，则 4 人总的选择方式共有 种；其中甲、乙的选择方 式有 种，其余两人仍有 种，故甲不选 A、乙不选 B 项目的概率为 . 法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为 3 种，受到限制后均为 2 种，而甲乙的选择相互独立，故甲不 选 A、乙不选 B 项目的概率为 . 10.本小题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查 化归与转化、数形结合等思想方法. 作出函数 的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.设其中两个最大值 点为 M，N，最小值点为 P.根据正弦函数图象的对称性，易知 为等腰直角三角形，且斜边上的高 ， 所 以 斜 边 ， 则 周 期 . 由 ， 有 ， 所 以 . 11.本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 由题知 的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数且在 上 单 调 递 减 . 由 ， 可 知 ， 于 是 有 ， 解 得 . 12.本小题主要考査直线与抛物线的方程及其位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力及创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 1 3C ( )41 4 3 3C = ( ) 2 2 1 2 2C = ( )21 2 3 3C = 2 2 4 2 3 4 3 9 × = 2 2 4 3 3 9 × = ( )sin 0, 0, 0y A x A xω ω= > > > MNP△ 2PQ A= 4MN A= siny A xω= 4T A= 2T π ω= 2 2 4T A π πω = = 2A πω⋅ = ( )f x ( )1,1− ( ) 1 2ln ln 11 1 xf x x xx x −  = − = − − + +  ( )f x ( )1,1− ( ) ( )2 1 0f a f a+ − > ( ) ( )2 1f a f a> − 1 1 1 1 2 1 2 1 a a a a − < − ( ) 0f x > ( )1y x aba = − ( )f x 0a < 0a > ab ( )1y x aba = − ( )f x ( ) 0f x = x e= ab e 2a e= 1b e = ( )f x ( ),0e { }na 1n = 2 2n nS a= − 1 2a = 2n ≥ 2 2n nS a= − 1 12 2n nS a− −= − 12n na a −= { }na { }na 2n na = 设等差数列 的公差为 d，则 ，解得 ， 所以数列 的通项公式 .……………………………………6 分 （2）由（1）知： .……………………8 分 所以， .………………………………………………10 分 .…………………………12 分 18.（本小题满分 12 分） 本小题主要考査回归方程、统计案例等基础知识；考查抽象概括、数据处理、运算求解等能力和应用意识. （1）设月生长量 y 与月平均气温 x 之间的线性回归方程为 . ，.………………………………4 分 所以 ， 则 y 关于 x 的线性回归方程为 .………………………………6 分 当 时， （cm）. 所以，在气温在 28℃时，该植物月生长量的预报值为 22.77cm.…………………………8 分 （2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，该回归方程的 预报精度相应会较高，说明拟合效果较好.…………………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查平面与平面垂直的性质、直线与平面平行的判定、空间向量等基础知识；考查空间想象能 { }nb 3 1 16 20 4 2b b d− = − = = 2d = − { }nb 22 2nb n= − ( )*2 ,1 3 22 2 * , 4 n n n n nc a b n N n n  ≤ ≤= = ∈ − ≥ 10 1 2 3 4 5 6 10T a a a b b b b= + + + + + +…+ ( ) ( )3 1 4 101 7 1 2 a q b b q − += +− ( ) ( )3 42 1 2 7 14 2 2 2 56 701 2 2 − += + = − + =− ˆˆ ˆy a bx= + ( )( ) ( ) 8 1 8 2 1 235.96ˆ 1.053224.04 i i i i i y y x x b x x = = − − = = ≈ − ∑ ∑ ˆˆ 12.325 1.053 18 6.63a y bx= − = − × ≈ − ˆ 1.05 6.63y x= − 28x = 1.05 28 6.63 22.77y = × − = 力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法. （1）法一：依题意得 ， ， .…………………………1 分 如图，在线段 上取靠近点 P 的四等分点 G，连接 ， ， 因为 ，所以 . 所以 .……………………………………3 分 所以四边形 为平行四边形，可得 .…………………………4 分 又 平面 ， 平面 ，.………………………………5 分 所以 平面 .………………………………6 分 法二：如图，在线段 上取靠近点 B 的四等分点 H，连接 ， ， 因为 ，所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .……………………………………2 分 依题意得 ， ， ， 2BE = 4BC = 1// 4DE BC PB FG EG 1 4 PG PF PB PC = = 1// 4GF BC //DE GF DEGF //DF EG DF ⊄ PBE EG ⊂ PBE //DF PBE BC FH DH 3 4 CF CH CP CB = = //HF PB HF ⊄ PBE PB ⊂ PBE //HF PBE 2BE = 4BC = 1// 4DE BC 而 ，所以 . 所以四边形 为平行四边形. 所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .………………………………4 分 而 平面 ， 平面 ， ， 所以平面 平面 . 因为 平面 ，所以 平面 .………………………………6 分 （2）由 ，得 . 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 .……………………………………7 分 以 E 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 由 ，得 .…………………………………………8 分 则 ， . 1 4BH BC= //DE BH DEBH //DH EB DH ⊄ PBE EB ⊂ PBE //DH PBE DH ⊂ DFH FH ⊂ DFH DH FH H= //DFH PBE DF ⊂ DFH //DF PBE 90BEC∠ = ° BE EC⊥ PBE ⊥ BCDE PBE  BCDE BE= EC ⊥ PBE E xyz− ( )0,0,0E 1 3,0,2 2P       ( )0,2 3,0C ( )2,0,0B 1 4ED BC=  1 3, ,02 2D  −    1 3, 2 3,2 2CP  = −     1 3 3, ,02 2DC  =      设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 故可取 .………………………………9 分 又 平面 ，可取平面 的一个法向量为 ，.…………………………10 分 则 . 所以，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .………………………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化 归与转化等思想方法. （1）由 ，得 ，即 . 故轨迹 C 的方程为： .………………………………4 分 （2）根据题意，可设直线 的方程为： ， 由 ，消去 x 并整理得 .…………………………6 分 其中， . 设 ， ，则 ， . PCD ( ), ,n x y z= 0 0 CP n DC n  ⋅ = ⋅ =     1 32 3 02 2 1 3 3 02 2 x y z x y  − + =  + = ( )3 3,1,7n = − EC ⊥ PBE PBE ( )0,2 3,0EC = 77cos , 77 n ECn EC n EC ⋅= =      PBE PCD 77 77 1 2 2 4 y y x x ⋅ = −+ − 2 24 4y x= − ( )2 2 1 04 x y y+ = ≠ ( )2 2 1 04 x y y+ = ≠ MN 1x my= + 2 2 1 14 x my x y = + + = ( )2 24 2 3 0m y my+ + − = ( )2 2 24 12 4 16 48 0m m m∆ = + + = + > ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 2 4 my y m + = − + 1 2 2 3 4y y m = − + 因 直 线 的 倾 斜 角 不 为 0 ， 故 ， 不 等 于 （ ， 不 为 0 ），从 而 可 设 直 线 的 方 程 为 ①， 直线 的方程为 ②， 所以，直线 ， 的交点 的坐标满足： .………………………………………………9 分 而 ， 因此， ，即点 Q 在直线 上. 所以，探究发现的结论是正确的.………………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查函数图象和性质、函数零点、不等式、函数的导数等基础知识；考査运算求解能力、推理 论证能力、应用意识和创新意识；考查分类与整合、化归与转化、数形结合等思想方法. （1）由题 ，.…………………………1 分 则 ，得 ，.……………………………………2 分 此时 ，由 得 . 则 时， ， 为增函数； 时， ， 为增函数，且 ，所以 l 1x 2x 2± 1y 2y AM ( )1 1 22 yy xx = ++ BN ( )2 2 22 yy xx = −− AM BN ( )0 0,Q x y ( ) ( ) ( )2 1 0 0 1 2 22 22 y xx xy x ++ = ⋅ −− ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 2 1 y x y my my y y y x y my my y y + + += =− − − ( ) ( ) 212 2 1 2 112 3 23 9 3 44 4 33 3 4 4 m m y m m ym m m m m yym −  + − −  − − ++ + = = =− − − +−+ 0 4x = 4x = ( ) x x x ax e af x x xe e  −′ = − =    ( )1 1 1f ea e′ − = − = − 1a = ( ) 1x x ef x x e  −′ =    ( ) 0f x′ = 0x = 0x < ( ) 0f x′ > ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0 0f ′ = 为 R 上的增函数.………………………………4 分 （2）①当 时，由 得 或 ， 若 ，由（1）知， 为 R 上的增函数. 由 ， ， 所以 只有一个零点，不符合题意.……………………………………6 分 若 ，则 时， ， 为增函数； 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数. 而 ，故 最多只有一个零点，不符合题意.……………………6 分 若 时，则 时， ， 为增函数； 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数，得 ，故 最多 只有一个零点，不符合题意.……………………………………7 分 ②当 时，由 得 ， 由 得 ， 为减函数，由 得 ， 为增函数， 则 . 又 时， ， 时， ， 所以当 时， 始终有两个零点 ， ，.……………………8 分 不妨令 ， ，构造函数 ， 所以 ， 由于 时， ，又 ，则 恒成立， ( )f x 0a > ( ) 0f x′ = 0x = lnx a= 1a = ( )f x ( ) 11 02f − = > ( ) 22 2 0f e− = − + < ( )f x 0 1a< < lnx a< ( ) 0f x′ > ( )f x ln 0a x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )0 0f x f a= = > 极小 ( )f x 1a > 0x < ( ) 0f x′ > ( )f x 0 lnx a< < ( ) 0f x′ < ( )f x lnx a> ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( ) ( )21ln ln ln 1 02f a a af x = + + >= 极小 ( )f x 0a < ( ) 0f x′ = 0x = 0x ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )0 0f x f a= = < 极小 x → −∞ ( ) 0f x > x → +∞ ( ) 0f x > 0a < ( )f x 1x 2x 1 0x < 2 0x > ( ) ( ) ( )F x f x f x= − − ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x e a e ax x ax e eeF x f x f ex − − −    − −− = −    ′ ′ ′= + −  =   0x > 0x xe e−− > 0a < ( ) ( ) 0x xF x ax e e−′ = − − 1 2 0x x+ > ( ),0−∞ 1C 3 4 0x y+ − = 1C cos 3 sin 4 0ρ θ ρ θ+ − = θ 2C ( )2 21 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − = 2C 2 2 cos 0ρ ρ θ− = 2cosρ θ= tan 0,0 2y x x πα α = ≥ <