2020 年高考模拟训练
数学试题
2020．06
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无
效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知全集 U 为实数集，集合 ， ，则集合 为
A． B． C． D．
2．若复数 ， 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且 ，则复数
A． B．1 C． D．
3．已知直线 ，直线 ，若 ，则
A． B． C． D．
4．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称．登泰山的线路有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，
天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路．甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线
路均不同，且均没走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
{ }| 1 3A x x= − < < { }| ln(1 )B x y x= = − A B∩
{ }|1 3x x≤ < { }3x x| < { }1x x| ≤ − { }1 1x x| − < <
1z 2z 1 2z i= − 1
2
z
z
=
1− 3 4
5 5 i+ 3 4
5 5 i−
1 : sin 1 0l x yα + − = 2 : 3 cos 1 0l x y α− + = 1 2l l⊥ sin2α =
2
3
3
5
± 3
5
− 3
5
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路．
事实上，甲，乙，丙三人的陈述都只对了一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是
A．甲走桃花峪登山线路 B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路 D．甲走天烛峰登山线路
5．已知直线 与圆 相交于 A、B 两点（O 为坐标原点），则“ ”是
“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如下图所示，点 F 是抛物线 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 及圆 的
实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则 的周长取值范围是
A． B． C． D．
7．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示．其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工
艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2
所示．已知球的半径为 R，酒杯内壁表面积为 设酒杯上部分（圆柱）的体积为 ，下部分（半
球）的体积为 ，则
2 0x y a− + = 2 2: 2O x y+ = 5a =
0OA OB⋅ =
2 8y x= 2 8y x= 2 2( 2) 16x y− + =
FAB
( )2,6 ( )6,8 ( )8,12 ( )10,14
214
3 Rπ 1V
2V 1
2
V
V
=
A．2 B． C．1 D．
8．已知双曲线 的左，右焦点分别为 、 ，A 为左顶点，过点 A 且斜率为
的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若 ，则该双曲线的离心率是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期
间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是
A．年接待游客量逐年增加
B．各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月
C．2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
10．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 E、F，且 ，则下列结
论中正确的是
3
2
3
4
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F 3
3
1 2 0MF MF⋅ =
2 21
3
13
3
5
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D 1
2EF =
A．线段 上存在点 E、F 使得 B． 平面 ABCD
C． 的面积与 的面积相等 D．三棱锥 A-BEF 的体积为定值
11．已知函数 ，其中 表示不超过实数 x 的最大整数，关于 有下述
四个结论正确的是：
A． 的一个周期是 ； B． 是非奇非偶函数；
C． 在 单调递减； D． 的最大值大于
12．若存在实常数 k 和 b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：
和 恒 成 立 ， 则 称 此 直 线 为 和 的 “ 隔 离 直 线 ”，已 知 函 数
， ， （ 为自然对数的底数），则
A． 在 内单调递增；
B． 和 之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为-4；
C． 和 之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是[-4，1]；
D． 和 之间存在唯一的“隔离直线” ．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知向量 ， ， ，则实数 __________．
14．已知 ，则 __________．
1 1B D / /AE BF / /EF
AEF BEF
( ) [ ] [ ]sin cos cos sinf x x x= + [ ]x ( )f x
( )f x 2π ( )f x
( )f x (0, )π ( )f x 2
( )F x ( )G x ( )F x kx b≥ +
( )G x kx b≤ + y kx b= + ( )F x ( )G x
2( ) ( )f x x x R= ∈ 1( ) ( 0)g x xx
= < ( ) 2elnh x x= e
( ) ( ) ( )m x f x g x= −
3
1( ,0)
2
x ∈ −
( )f x )(g x
( )f x )(g x
( )f x ( )h x 2 e ey x= −
( )1,0a = ),2(b λ= 2a b a b− = + λ =
10 2
0 1 2 10(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x a a x a x a x+ = + − + − +…+ − 8a =
15．函数 的部分图象如图所示，则 __________；将函数 的
图像沿 x 轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 __________．（第一个空 2
分，第二个空 3 分）
16．设集合 ，则集合A中满足条件：“ ”
的元素个数为__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解
答．
已 知 等 比 数 列 的 公 比 ， 前 n 项 和 为 ， 若 _________ ， 数 列 满 足 ，
．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 ，并证明 ．
18．（12 分）
的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 ， ．
（1）求 ；
（2）若 D 是 AC 边上的中点， ，求 ．
19．（12 分）
( ) sin( ) 0,| | 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > nS { }nb 1
1
3b a=
1n n na b b+ =
{ }na { }nb
{ }1n n na b b + nT 1
3nT <
ABC 17a = sin sin co2 17 2 sA B b Ab − =
tan A
2ABD
π∠ = sin DBC∠
已知在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， 是正三角形， 平面 PAD，
E、F、G、O 分别是 PC、PD、BC、AD 的中点
（1）求证： 平面 ABCD；
（2）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小；
（3）线段 PA 上是否存在点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 若存在，求线段 PM 的长度；
若不存在，说明理由．
20．（12 分）
已知椭圆 的左，右两个焦点为 ， ，抛物线 与椭
圆 有公共焦点 ．且两曲线 、 在第一象限的交点 P 的横坐标为 ．
（1）求椭圆 和抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 的交点为 Q，O（O 为坐标原点），与椭圆 的交点为 M，N（N 在线
段 OQ 上），且 ．问满足条件的直线 有几条，说明理由．
21．（12 分）
为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验．试验方案如下：每一轮
选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结
果 得 出 后 ， 再 安 排 下 一 轮 试 验 ． 4 轮 试 验 后 ， 就 停 止 试 验 ． 甲 、 乙 两 种 药 的 治 愈 率 分 别 是 和
．
（1）若 ，求 2 轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多 1 只的概率；
PAD CD ⊥
PO ⊥
6
π
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F 2F 2
2 : 4 ( 0)C y mx m= >
1C ( )2 1,0F 1C 2C 2
3
1C 2C
:l y kx= 2C 1C
| | | |MO NQ= l
2
5
3 4( , )5 5
β β ∈
3
5
β =
（2）已知 A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为 3
千元和 千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和 A 公司各承担该轮
试验耗材总费用的 50%；若甲药治愈，乙药未治愈，则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 75%，其余由科
研机构承担若甲药未治愈，乙药治愈，则 A 公司承担该轮试验耗材总费用的 25%，其余由科研机构承担．以
A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求 A 公司 4 轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？
22．（12 分）
已知函数 ，其中 ；
（1）判断函数 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（2）讨论在 上函数 的零点个数
2020 年高考模拟训练
数学试题参考答案
2020．06
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1－4 DCDD 5－8 ACAB
1．答案：D
解析： ，故选 D．
2．答案：C
解析： ，所以 ，选 C．
3．答案：D
解析：因为 ，所以 ，所以 ，
(10 1)β −
( ) ln sinf x x ax x= + + ,( ]0x π∈
( )f x
[ ],2
π π ( )f x
{ } { } { }| | |1 3 1 1 1A B x x x x x x∩ = − < < ∩ < = − < <
2 2z i= − − 1
2
2 (2 )( 2 ) 3 4
2 5 5 5
z i i i iz i
− − − += = = − +− −
1 2l l⊥ sin 3cos 0α α− = tan 3α =
所以 ．故选 D．
4．答案：D
若丙：甲走天烛峰登山线路正确，则乙走红门盘道徒步线路错误．乙走桃花峪登山线路正确；丙走红门
盘道徒步线路正确；
5．答案：A
解析：易知 斜边上的高为 1，
则由点到直线距离公式得 ，解得 ，
所以“ ”是“ 的充分不必要条件，故选 A．
6．答案：C
解析：抛物线的准线 ，焦点 ，
由抛物线定义可得 ，
圆 的圆心为 ，半径为 A．
所以 的周长 ，
由抛物线 及圆 可得交点的横坐标为 2，
所以 ，故选 C．
7．答案：A
2 2 2
2sin cos 2tan 3sin2 2sin cos sin cos 1 tan 5
α α αα α α α α α= = = =+ +
Rt AOB
2 2
| | 1
1 ( 2)
a =
+ − 5a = ±
5a = 0OA OB⋅ =
: 2l x = − ( )2,0F
| | 2AAF x= +
2 2( 2) 16x y− + = ( )2,0
FAB ( ) ( )2 4 6| | | | | | A B A Bx x x xFA AB BF+ + = + + − + = +
2 8y x= 2 2( 2) 16x y− + =
( )2,6Bx ∈
解析：酒杯内壁表面积为 得圆柱侧面积 ，
所以圆柱高为 ，则 ．
8．答案：B
解析：双曲线 的渐近线方程为 ，
设点 ，因为
所以 ， 上，
故 ，又 ，
所以直线 AM 的斜率 ，所以 ，
故该双曲线的离心率 ．故选 B．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．ABD； 10．BD； 11．ABD； 12．ABD．
9．【答案】ABD
【解析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项
【详解】由 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图得：
在 A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故 A 正确；
在 B 中，各年的月接待游客量高峰期都在 8 月，故 B 正确；
在 C 中，2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数小于 30，故 C 错误；
在 D 中，各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正
确．
214
3 Rπ 28
3 Rπ
4
3 R 1
2
2V
V
=
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > by xa
= ±
( , )bM m ma 1 2 0MF MF⋅ =
1 2
1| | | |2OM F F= 2 2 2( )bmm ca
+ =
( ),M a b ( ),0A a−
3
2 3
bk a
= =
2
2
4
3
b
a
=
2
2
211 3
be a
= + =
故选：ABD
10．【答案】BD
【解析】如图所示，AB 与 为异面直线故 AE 与 BF 也为异面直线，A 错误；
，故 平面 ABCD，故 B 正确；
连结 BD 交 AC 于 O，则 AO 为三棱锥 A-BEF 的高，
，
三棱锥 A-BEF 的体积为 为定值，D 正确；
很显然，点 A 和点 B 到的 EF 距离是不相等的，C 错误．故选：BD．
11．【答案】ABD
【解析】 ，A 正确．
，是非奇非偶函数，B 正确，
1 1B D
1 1 / /B D BD / /EF
1 1 112 2 4BEFS = × × =
1 1 2 2
3 4 2 24
× × =
[ ] [ ] ( )2 sin cos co( ) s sinf x x x f xπ+ = + =
sin1 1, 0
1, 0, 2
cos1, 2
1 sin1, ,2( )
3cos1 sin1, , 2
3cos1, ,22
cos1, ,02
x
x
x
x
f x
x
x
x
π
π
π π
ππ
π π
π
+ =
∈
=
− ∈ =
− ∈
∈
∈ −
对于 C， 时， ，不增不减，所以 C 错误．
对于 D， ， ；D 正确．
12．【答案】ABD
【解析】①∵ ，
∴ ，∴ ，
在 内单调递增，故①正确；
②，③设 ， 的隔离直线为
则 对任意 恒成立，
即有 对任意 恒成立．
由 对任意 恒成立得 ．
若 则有 符合题意；
若 则有 对任意 恒成立，
又 ，
∴ ，则有 ，
∴ ， ，
即有 且 ， ， ，
(0, )2x
π∈ ( ) 1f x =
[0, )2x
π∈ 2( ) sin1 1 sin 1 1 1.7 24 2f x
π= + > + = + > >
2 1( ) ( ) ( )m x f x g x x x
= − = −
3
1( ,0)
2
x ∈ −
2
1( ) 2 0m x x x
′ = + > ( ) ( ) ( )m x f x g x= −
3
1( ,0)
2
x ∈ −
( )f x ( )g x y kx b= +
2
1
x kx b
kx bx
≥ + ≤ +
),( 0x ∈ −∞
2
2
0
1 0
x kx x
kx bx
− − ≥
+ − ≤
),( 0x ∈ −∞
2 1 0kx bx − ≤+ ),( 0x ∈ −∞ 0k ≤
0k = 0b =
0k < 2 0x kx b− ≥− ),( 0x ∈ −∞
2
10 0 4 02 bkkx = < ⇒ ∆ ≤ ⇒ + ≤对
0b ≤ 02
bx k
′ = − ≤对
2 0∆ ≤ 2 4 0b k+ ≤
2 4k b≤ − 2 4b k≤ − 4 216 64k b k≤ ≤ − 4 0k− ≤ ≥
0k = 2 0( 0)x e x≥− >
0k < 2 0( 0)x kx k e e x− + − ≥ >
2( )u x x kx k e e= − + − 0x >
2( )u x x kx k e e= − + − (0, )x e∈
( ) 0u e e k e k e e= − + − = 0k <
0k < 2 0x kx k e e− + − ≥
0x > 02
kx′ = >对
2
3 ( 2 ) 0k e−∆ = ≤ 2k e=
2y ex e= −
( ) 2h x ex e≤ −
( ) 2 2 n( ) 2 lG x ex e h x ex e xe= − − = − − 2 ( )( ) e x eG x x
−′ =
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 取到极小值，极小值是 0，也是最小值，
∴ ，则 ，
∴函数 和 存在唯一的隔离直线 ，故④正确，
故答案为 ABD．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．答案： 14．答案：180．
15．答案： ； 16．答案：18．
13．答案：
解析：由 ， ，
则 ．
，
所以 ，
，
由 ，
所以 ，
解得 ，故答案为 ．
x e= ( ) 0G x′ =
0 x e< < ( ) 0G x′ <
x e> ( ) 0G x′ >
x e= ( )G x′
( ) 2 ( ) 0G x ex e h x= − − ≥ ( ) 2h x ex e≤ −
( )f x ( )h x 2y ex e= −
1
2
4
π 3
8
π
1
2
( )1,0a = ),2(b λ=
( )2 2,0 ,2 2 , 2( ) ( )a b λ λ− = − = − −
(1 , )2a b λ+ = +
2 2 2 2| 2 | (2 ) ( 2) 8 4a b λ λ λ− = − + − = − +
2 2| | 5 2a b λ λ+ = + +
2a b a b− = +
2 28 4 5 2λ λ λ λ− + = + +
1
2
λ = 1
2
14．答案：180．
解析：∵ ，
，
∴ 0，故答案为 180．
15．答案 ；
解析：由函数图像得 ，沿 x 轴向右平移 b 个单位后得到函数为偶函数，
必有 ， ， ．
16．答案 18．
解析：对于 分以下几种情况：
① ，即此时集合 A 的元素含有一个 2，或 ，两个 0，2 或 从三个位置选一个
有 3 种选法，剩下的位置都填 0，这种情况有 种；
② ，即此时集合 A 含有两个 2，或 ，一个 0；或者一个 2，一个 ，一个 0；
当是两个 2 或 ，一个 0 时，从三个位置任选一个填 0，剩下的两个位置都填 2 或 ，这种情况有
种；
当是一个 2，一个 ，一个 0 时，对这三个数全排列即得到 种；
∴集合 A 中满足条件“ ”的元素个数为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
解析：（1）若选择①，由此得 ，
解得 或 （舍去，∵ ）
10 10 10(1 ) ( 1 ) [( 2) (1 )]x x x+ = − − = − + −
10 2 10
0 1 2 10(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x a a x a x a x+ = + − + − + + −
8 2
8 10 ( 2) 180a C= ⋅ − =
4
π 3
8
π
sin(2 )4y x
π= +
24 2b k
π ππ− = + k Z∈ 1k = − 3
8b
π=
1 2 32 5m m m≤ + + ≤
1 2 3 2m m m+ + = 2− 2−
3 2 6× =
1 2 3 4m m m+ + = 2− 2−
2− 2−
3 2 6× =
2− 3 2 1 6× × =
1 2 32 5m m m≤ + + ≤ 6 6 6 18+ + =
2 2 0q q− − =
2q = 1q = − 0q >
又∵ ， ，则解得
∴ ，则
注：选其他两个条件公比皆为 2，结果一样．其中选②也能解得 ．
（2）
∴
．
18．（12 分）
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
由正弦定理得
又∵ ，∴ ，∴ ．
（2）在 中，由（1）知 ，
可设 ， ，
则 ，
∵ ，
在 中，由余弦定理得
，
解得 ，
1n n na b b+ = 1
1
3b = 1 2a =
2n
na = 1 1
1 2 1n n
n
b a
= =+ +
1 2a =
1 1 1
2 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
n
n n n n n n na b b + + += =+ + + − +
2 2 3 1
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nT += − + − + + −+ + + + + +
1
1 1 1
3 2 1 3n+= − sin 2cosA A= tan 2A =
ABD tan 2A =
2BD x= AB x=
5AD DC x= = 2cos 55ADB∠ =
BDA BDC π∠ + ∠ =
2 5cos 5BDC∴ ∠ = −
BCD
2 2 2( 17) (2 ) ( 5 ) 2 2 5 cosx x x x BCD= + − × × × ∠
1x =
由 ，得 ，
解得 ．
19．（12 分）
解析：（1）证明：因为 是正三角形，O 是 AD 的中点，
所以 ．
又因为 平面 PAD，POC 平面 PAD，
所以 ．
，AD， 平面 ABCD，
所以 面 ABCD．
（2）如图，以 O 点为原点分别以 OA、OG、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
设平面 EFG 的法向量为 ，
令 ，则 ，
ABD BCDS S=
1 12 2 17 sin2 2x x x DBC× × = × × × ∠
17sin 17DBC =∠
PAD
PO AD⊥
CD ⊥
PO CD⊥
AD CD D∩ = CD ⊂
PO ⊥
( )0,0,0O ( )2,0,0A ( )2,4,0B ( )2,4,0C − ( )2,0,0D −
( )0,4,0G (0,0,2 3)P ( 1,2, 3)E − ( 1,0, 3)F −
(0, 2,0)EF = − (1,2, 3)EG = −
( , , )m x y z= 2 0
2 3 0
y
x y z
− = + − =
1z = ( 3,0,1)m =
又平面 ABCD 的法向量 ，
设平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 ，
所以 ；
所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 ；
（3）假设线段 PA 上存在点 M，使得直线 CM 与平面 EFC 所成角为
设 ， ，
，
所以 ，
所以 ， ，
整理得 ，无解，
所以，不存在这样的点 M．
20．解析：（1）公共焦点 ，故椭圆的焦点坐标为 ．
所以 ，所以抛物线 的方程 ，
由点 P 在抛物线上，所以
又点 P 又在椭圆 上，
所以 ，
所以 ，
(0,0,1)n =
θ
| | 1cos | | | 2
m n
m n
θ ⋅= =
3
π
6
π
PM PAλ= [ ]0,1λ ∈
GM GP PM GP PAλ= + = +
2 , 4,2 3(1 )GM λ λ = − −
sin |cos6 GM
π = <
2
3
2 4 6 7
m λ λ
>=
− +
22 3 2 0λ λ− + =
( )2 1,0F ( )1,0±
1m = 2C 2 4y x=
2 2 6( , )3 3P
1C
2 2 2 22 2 6 2 2 62 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 43 3 3 3a = − + + + + =
2a =
又 ，故 ，
从而椭圆 的方程为 ．
（2）联立直线与椭圆方程得，
得 ，
解得 ， ．
联立直线与抛物线得 ，得 ，
解得 ， ，
由 ，故 N 为线段 OQ 的中点，
即 ，得
化简得 ，解得 （负值含去），
故满足题意的 k 值有 2 个，从而存在过原点 O 的两条直线 l 满足题意．
21．（12 分）
1c = 3b =
1C
2 2
14 3
x y+ =
2 2
,
1,4 3
y kx
x y
= + =
2 2 23 4 12x k x+ =
2
32 3 4Mx k
= − + 2
32 3 4Nx k
= +
2 4
y kx
y x
=
=
2 2 4k x x=
0Ox = 2
4
Qx k
=
| | | |MO NQ=
0 0
2N
x xx
+=
2 2
3 44 3 4k k
=+
4 23 4 3 0k k− − = 2 2 13
3k
+=
解析：（1）记事件 A 为“2 轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多 1 只”，
事件 B 为“2 轮试验后，乙药治愈 1 只白鼠，甲药治愈 0 只白鼠”，
事件 C 为“2 轮试验后，乙药治愈 2 只白鼠，甲药治愈 1 只白鼠”，
则 ，
，
（2）一次实验耗材总费用为 千元．
设随机变量 X 为每轮试验 A 公司需要支付的试验耗材费用的取值，
则 ， ，
，
，
．
X
P
令 ， ．
易知 在区间 上单调递增，
1
2
3 2 3 3 108( ) ( ) ( )5 5 5 5 625P B C= × × × =
2 1
2 2
3 3 2 3 108( ) ( ) ( )5 5 5 5 625CP C C= × × × =
108 108 216( ) ( ) ( ) 625 625 625P A P B P C= + = + =
(10 2)β +
1 (10 2)4X β= + 1 (10 2)2
β + 3 (10 2)4
β +
1 3( (10 2))4 5P X β β= + =
1 2 2 3 1( (10 2)) (1 ) (1 )2 5 5 5 5P X β β β β= + = + − × − = −
3 2( (10 2)) (1 )4 5P X β β= + = −
1 (10 2)4
β + 1 (10 2)2
β + 3 (10 2)4
β +
3
5
β 3 1
5 5
β− 2 (1 )5
β−
3 1 3 1 1 2 3( ) (10 2) ( ) (10 2) (1 ) (10 2)5 4 5 5 2 5 4E X β β β β β β= ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅ +
25 11 6
2 2 5
β β= − + +
25 11 6( ) 2 2 5f x β β= − + + 3 4,5 5
β ∈
( )f x 3 4,5 5
∴ （千元）．
则 A 公司 4 轮试验结束后支付实验耗材最少费用为 （千元），
即 14400 元．
22．（12 分）
解：（i） ，
设 ，
因此 在 上单调递减，
，
又当 时，
若 ，即 ，
则 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
在 处取得极大值，不存在极小值；
若 ，即 ， ，
在 上单调递增，故 不存在极值；
（2）由第一问结论可知
（i）当 时，
，
min
3 18( ) ( )5 5f x f= =
18 724 14.45 5
× = =
1( ) cosf x a xx
′ = + +
1( ) cosg x ax
= + + 2
1( ) sin 0g x xx
′ = − − <
( )f x′ ,( ]0x π∈
min
1( ) ( ) 1f x f aπ π
′ = = + −
0x → ( )f x′ → +∞
( ) 0f π′ < 11a π< −
0 (0, ]x π∃ ∈ ( )0 0f x′ =
( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
0( ),x x π∈ ( ) 0f x < ( )f x
( )f x 0x
0( )f π′ ≥ 11a π≥ − ( ) 0f x′ >
( )f x (0, ]π ( )f x
11a π≥ −
min
1 1( ) ( ) ln (1 ) 1 ln 02 2 2 2 2 2f x f
π π π π π
π= ≥ + − + = + + >
即 时函数没有零点，
（ⅱ）若 ，当 时，
， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
，即
设 ，
所以 a 关于 单调递增；
①若 ，此时 ，
若 得 或
所以 时无零点，
若 ，得 ，
所以 时有一个零点，
当 时， ，有一个零点；
因此， 时无零点，
时有一个零点，
②若 ，此时 ，
，
所以
11a π≥ −
11a π< − ( ]00,x x∈
( ) 0f x′ > ( )f x
0( ),x x π∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0 0f x′ = 0
0
c1 osa xx
= − −
1 c( ) osh x x x= − − 2
1 si) 0n(h x x x′ = + >
0x
0 (0 ], 2x
π∈ 2( , ]a π∈ −∞ −
( ) ( ) 02f f
π π > 2 (1 ln )2a
π
π< − + lna
π
π> −
2 (1 ln )2a
π
π< − +
( ) ( ) 02f f
π π < 2 ln(1 ln )2 a
π π
π π+ < < −
2 2(1 ln )2 a
π
π π− + < ≤ −
2 (1 ln )2a
π
π= − + ( ) 0, ( ) 02f f
π π= ≠
2 (1 ln )2a
π
π< − +
2 2(1 ln )2 a
π
π π− ≤+ ≤ −
0 , ]( 2x
π π∈ 2 1( , ]1a π π∈ − −
( ) ln 1 02 2 2f a
π π π= + + > ( ) lnf aπ π π= +
( )max 0 0 0 0( ) ln sinf x f x x x a x= = + +
，
设 ，
所以 ，
若 ，即 ，即 时无零点；
若 ，即 ，即 时有一个零点；
综上所述， 时无零点，
时有一个零点．
0 0 0 0ln sin cos 1x x x x= + − −
( ) ln sin cos 1m x x x x x= + − − sin1( ) 0m x xx x′ = + >
max( ) ( ) ln 02 2f x m
π π> = >
( ) 0f π > lna
π
π> − ln 11a
π
π π− < < −
( ) 0f π ≤ lna
π
π≤ − 2 lna
π
π π− < ≤ −
2 ln, (1 ln ) ( , )2a
π π
π π
−∞ − + ∪ − +∞
∈
2 ln(1 ln ),2a
π π
π π
∈ − + −
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