数学试题
本试卷共 4 页，22 题，全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无
效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体的体积公式： （其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）
―、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
3．已知命题 ，则 为
A． B．
C． D．
4．如图，在圆柱 内有一个球 O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若 ，则圆柱
的表面积为
1
3V Sh=
{ }= 1 2|M x x− < < { }| 1N x y x= = − =M N∩
{ }1|x x > − 2| }0{x x≤ < { }2|0x x< < { 1 2}x x| ≤ <
( ) 3 4=f x x x+ −
( )1,0− ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3
1: ,e 2e
x
xp x∀ ∈ + ≥R p¬
1,e 2e
x
xx∃ ∈ + ≥R 1,e 2e
x
xx∃ ∈ + { }na
{ }na
4
na n n
= + { }na
2 ( 1)n
na n= + − { }na
2 2020na n tn= − + { }na 4 5t≤ <
(1,1)a = ( 1, )b k= − ( )a b a+ ⊥
5 2 5
0 1 2 5(2 ) (1 ) (1 ) (1 )x a a x a x a x+ = + + + + + + + 4a
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
2AF 2 0BP AF⋅ =
( ) 2lnf x x= 2 1( ) ( 0)2g x ax x a= − − > 2y x b= − ( )y f x= ( )y g x=
( )y f x= ( )y g x= a已知直角梯形 ABCD 中， ， ， ，将直角梯形 ABCD（及其内部）
以 AB 所在直线为轴顺时针旋转 ，形成如图所示的几何体，其中 M 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小．
18．（12 分）
已知数列 的前 n 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 2n 项和 ．
19．（12 分）
已知函数 能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数 的最大值为 2；
②函数 的图象可由 的图象平移得到；
③函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为
（1）请写出这两个条件序号，并求出 的解析式；
（2）求方程 在区间 上所有解的和．
20．（12 分）
/ /AD BC AB BC⊥ 1
2AB AD BC= =
90° CE
BM DF⊥
{ }na nS 21 1
2 2nS n n= +
{ }na
2
,
,nn a
na
n
nb
=
奇数
为偶数
为 { }nb 2nT
( ) sin( )( 0, 0)6f x A A
πω ω= + > >
( )f x
( )f x 2 sin( )4y x
π= −
( )f x 2
π
( )f x
( ) 1 0f x + = [ ]π,π−法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包．面包师声称自己出售的每个面包
的平均质量是 1000g，上下浮动不超过 50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为 1000g，
标准差为 50g 的正态分布．
（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于
1000g 的个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得到数据如下
表，经计算 25 个面包总质量为 24468g．
庞加莱购买的 25 个面包质量的统计数据（单位：g）
981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978
989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959
987 1006 1000 977 966
尽管上述数据都落在 上，但庞加菜还是认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明
理由．
附：
①若 ，从 X 的取值中随机抽取 25 个数据，记这 25 个数据的平均值为 Y，则由统计学知
识可知；随机变量 ；
②若 ，则 ，
，
；
③通常把发生概率在 0．05 以下的事件称为小概率事件．
21．（12 分）
已知函数 ．
ξ ξ
( )950,1050
( )2~ ,X N µ σ
2
~ ( , )25Y N
σµ
( )2~ ,Nη µ σ 0.68( ) 26P µ σ η µ σ− < < + =
2 2 0.9( ) 544P µ σ η µ σ− ≤ < + =
3 3 0.9( ) 974P p σ η µ σ− < < + =
( ) ln( )f x a x b x= + −（1）若 ， ，求 的最大值；
（2）当 时，讨论 极值点的个数．
22．（12 分）
已知平面上一动点 A 的坐标为 ．
（1）求点 A 的轨迹 E 的方程；
（2）点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为 ．
（i）证明直线 AB 过定点，并求出定点坐标；
（ii）分别以 A，B 为圆心作与直线 相切的圆两圆公共弦的中点为 H．在平面内是否存在定点
P，使得 为定值？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
高三年级学习质量评估考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C C D B A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11 12
答案 BCD AD ABC BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．–1； 14．4.5； 15． ；
1a = 0b = ( )f x
0b > ( )f x
2(2 , 2 )t t−
2
t
2x = −
PH
3
316． ， （本小题第一空 2 分，第二空 3 分）．
四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】
（1）证明：【方法一】
连接 CE，与 BM 交于点 N，
根据题意，该几何体为圆台的一部分，且 CD 与 EF 相交，
故 C，D，F，E 四点共面，
因为平面 平面 BCE，
所以 ，
因为 M 为 CE 的中点，
所以 ，
所以 N 为 CE 中点，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
【方法二】
如图，以 B 为坐标原点，BE，BC，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ，
所以 ， ， ， ，
3
2
3
2a ≥
/ /ADF
/ /CE DF
CBM EBM∠ = ∠
BC BE=
BN CE⊥ BM CE⊥
BM DF⊥
z
1AB = 1AD AF= = 2BC BE= =
( )0,0,0B ( 2, 2,0)M ( )0,1,1D ( )1,0,1F所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
（2）【方法一】
连接 DB，DN，
由（1）知， 且 ，
所以四边形 ENDF 为平行四边形，
所以 ，
所以 为异面直线 BM 与 EF 所成的角，
因为 ，
所以 为等边三角形，
所以 ，
所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是 ．
【方法二】
如图，以 B 为坐标原点，BE，BC，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ．
所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是 ．
18．【解析】
( 2, 2,0)BM = (1, 1,0)DF = −
2 2 0BM DF⋅ = − =
BM DF⊥
/ /DF EN DF EN=
/ /EF DN
BND∠
2BD DN BN= = =
BND
60BND∠ =
60°
1AB = 1AD AF= = 2BE =
( )0,0,0B ( 2, 2,0)M ( )2,0,0E ( )1,0,1F
( 2, 2,0)BM = ( 1,0,1)EF = −
2 1cos , 2| || | 2 2
BM EFBM EF
BM EF
⋅ −< >= = = −
×
60°（1）因为
所以当 时， .
当 时， ，
又 时符合上式，
所以 ．
（2）因为 ，
所以对任意的 ，
，
则 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列；
，
则 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列．
所以
19．【解析】
（1）函数 满足的条件为①③；
21 1
2 2nS n n= +
1n = 1 1 1a S= =
2n ≥ 2 2
1
1 1 1 1( 1) ( 1)2 2 2 2n n na S S n n n n n−
= − = + − − + − =
1n =
na n=
,
2 ,n n
n nb n
=
为奇数
为偶数
+k ∈N
2 1 2 1 (2 1) (2 1) 2k kb b k k+ −− = + − − =
{ }2 1kb −
2 2
2 2
2
2
2 42
k
k
k
k
b
b
+
+ = =
{ }2kb
( ) ( )2 1 3 5 2 1 2 4 6 2n n nT b b b b b b b b−= + + + + + + + + +
( )2 4 6 2(1 2 3 2 1) 2 2 2 2 nn= + + + + − + + + + +
( )4 1 4(1 2 1)
2 1 4
nn n −+ −= + −
1
2 4 4
3 3
n
n
+
= + −
( ) sin( 6xf x A
πω= + ）理由如下：
由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数 满足的条件之一，
由③可知， ，所以 ，
故②不合题意，
所以函数 满足的条件为①③；
由①可知 ，
所以
（2）因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
即 或
又因为 ，
所以 x 的取值为 ， ， ， ，
所以方程 在区间 上所有解的和为 ．
20．【解析】
（1）由题意知， 的所有可能取值为 0，1，2．
；
；
( ) sin( )6f x A x
πω= +
T π= 2ω =
( ) sin( )6f x A x
πω= +
2A =
( ) 2sin(2 )6f x x
π= +
( ) 1 0f x + =
1sin(2 )6 2x
π+ = −
2 2 ( )6 6x k Zk
π π π+ = − + ∈ 72 2 ( )6 6x k Zk
π π π+ = + ∈
( )6x k k
π π− + ∈= Z ( )2x k k
π π+ ∈= Z
],[x π π∈ −
6
π− 5
6
π
2
π−
2
π
( ) 1 0f x + = [ ],π π− 2
3
π
ξ
0 0 2
2
1 1 1( 0) ( ) ( )2 2 4P Cξ = = =
1
2
1 1 1( 1) 2 2 2P Cξ = = × × =．
所以 的分布列为：
0 1 2
所以 ．（个）
（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 X．
假设面包师没有撒谎，则 ．
根据附①，从 X 的取值中随机抽取 25 个数据，记这 25 个数据的平均值为 Y，
则 ．
庞加莱记录的 25 个面包质量，相当于从 X 的取值中随机抽取了 25 个数据，
这 25 个数据的平均值为 ，
由附②数据知， ，
由附③知，事件“ ”为小概率事件，
所以“假设面包师没有撒谎”有误，
所以庞加莱认为面包师撒谎．
21．【解析】
（1）当 ， 时，
此时，函数 定义域为 ，
，．
2 2 0
2
1 1 1( 2) ( ) ( )2 2 4P Cξ = = =
ξ
ξ
P 1
4
1
2
1
4
1 1 10 1 2 14 2 4Eξ = × + × + × =
2~ (1000,50 )X N
2~ (1000,10 )Y N
24468 978.72 1000 2 10 98025Y = = < − × =
1 0.9544( 980) 0.0228 0.052P Y
−< = = <
980Y <
1a = 0b = l( n)f x xx= −
( )f x (0, )+∞
1 1 2( ) 22
xf x x xx
−′ = − =由 得： ；
由 得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 ．
（2）当 时，函数 定义域为 ，
，
①当 时， 对任意的 恒成立，
所以此时 极值点的个数为 0 个；
②当 时，设 ，
（i）当 ，即 时，
对任意的 恒成立，
即 在 上无变号零点，
所以此时 极值点的个数为 0 个；
（ⅱ）当 ，即 时，
记方程 的两根分别为 ， ，
则 ， ，
所以 ， 都大于 0，
即 在 上有 2 个变号零点，
( ) 0f x′ > 0 4x< <
( ) 0f x′ < 4x >
( )f x ( )0,4 (4, )+∞
max( ) (4) 2ln2 2f x f= = −
0b > ( )f x [0, )+∞
1 2( )
2 2 ( )
a x a x bf x x b x x x b
− + −′ = − =+ +
0a ≤ ( ) 0f x′ < ,( )0x ∈ +∞
( )f x
0a > ( ) 2h x x a x b= − + −
24 4 0a b− ≤ 0 a b< ≤
( ) 0f x′ ≤ ,( )0x ∈ +∞
( )f x′ (0, )+∞
( )f x
34 4 0a b− > a b>
( ) 0h x = 1x 2x
1 2 0x x a+ = > 1 2 0x x b= >
1x 2x
( )f x′ (0, )+∞所以此时 极值点的个数为 2 个．
综上所述 时， 极值点的个数为 0 个；
时， 极值点的个数为 2 个．
22．【解析】
（1）设动点 A 的坐标为 ，因为 A 的坐标为 ，
所以 ，消去参数 t 得： ；
（2）（i）因为点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为 ，
所以点 B 的坐标为
当 时，直线 AB 的方程为 ；
当 时，直线 AB 的斜率为
所以直线 AB 的方程为 ，
整理得
所以直线 AB 过定点 ；
（ⅱ）【方法一】
因为 A 的坐标为 ，且圆 A 与直线 相切，
所以圆 A 的方程为 ，
同理圆 B 的方程为 ，
两圆方程相减得
( )f x
a b≤ ( )f x
a b> ( )f x
( ),x y 2(2 , 2 )t t−
22
2
x t
y t
=
= −
2 2y x=
2
t
2
2 2( , )t t
1t = ± 2x =
1t ≠ ± 21
B A
AB
B A
y y tk x x t
−= =− −
2
22 ( 2 )1
ty t x tt
+ = −−
2 ( 2)1
ty xt
= −−
( )2,0
2(2 , 2 )t t− 2x = −
2 2 2( ) ( ) ( 2)A A Ax x y y x− + − = +
( ) ( ) ( )2 2 22B B Bx x y y x− + − = +
( ) ( ) 2 22 2 4 4B A B A A B A Bx x x y y y y y x x− + − + − = −将 ， 带入并整理得 ①，
由（i）可知直线 AB 的方程为 ②，
因为 H 是两条直线的交点，
所以两个方程相乘得 ，
整理得 ，
即点 H 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
所以存在点 ，满足 ．
【方法二】
由题意知直线 为圆 A 与圆 B 的公切线，设切点分别为 E，F，
设两圆的公共弦交公切线 于点 G，则 G 为 E，F 的中点，
所以 G 点横坐标为 ，
G 点的纵坐标为 ，
即 ，
因为公共弦必与两圆的连心线垂直，
所以公共弦所在直线的斜率为 ，
故公共弦所在的直线方程为
整理得 ，
所以公共弦恒过 ；
由平面几何的知识可知，
2(2 , 2 )A t t− 2
2 2( , )B t t
1( )( 1)y t xt
= − +
2 ( 2)1
ty xt
= −−
2 ( 2)( 1)y x x= − − +
2 21 9( )2 4x y− + =
1( ,0)2
3
2
1( ,0)2P 3| | 2HP =
2x = −
2x = −
2Gx = −
1
2 2
E F A B
G
y y y yy tt
+ += = = −
1( 2, )G tt
− −
21 1
AB
t
k t
−− =
21 1( ) ( 2)ty t xt t
−− − = +
1( )( 1)y t xt
= − +
( )1,0S −公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点，
记直线 AB 所过的定点为 R，
则 R，S，公共弦的中点 H，构成以日为直角顶点的直角三角形，
即点 H 在以 RS 为直径的圆上：
所以存在点 ，满足 ．1( ,0)2P 3| | 2HP =
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