山东省2020届高三第一次仿真联考数学试题 含答案详解

山东省第一次仿真联考 数学 一、单项选择题： 1．已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．空气质量指数简称 ，是定量描述空气质量的指数，空气质量指数小于 50 表示空气质量为优．下图 是某市一周的空气质量指数趋势图，则下列说法错误的是（ ） A．该市这周有 4 天的空气质量指数为优 B．该市这周空气质量指数的中位数是 31 C．该市这周空气质量指数的极差是 65 D．该市这周空气质量指数的平均数是 53 4．函数 的部分图象大致是（ ） A． B． z ( )2 i iz − = − z = 1 2 i5 5 − 1 2 i5 5 − + 1 2 i5 5 + 1 2 i5 5 − − { }2 2 3 0A x x x= − + + ≥ { }2 0B x x= − > A B∩ = ( )1,3 ( ]1,3 ( )1,2− [ )1,2− AQI ( ) ln 1 1 xf x x += + C． D． 5．已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 7．踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健 身活动某单位组织踢毽子比赛，把 10 人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在 1 分钟内踢毽子的数目分别 为 26，29，32，45，51；乙组每人在 1 分钟内踢毽子的数目分别为 28，31，38，42，49．从甲、乙两组中 各随机抽取 1 人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 8 ． 已 知 是 函 数 的 导 数 ， 且 ， 当 时 ， ， 则 不 等 式 的解集是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题： 9．已知函数 ，则（ ） A． 的值域为 B． 的单调递增区间为 C．当且仅当 时， : 1p x a− < 3: 11q x >+ p q a [ ]0,1 ( ]0,1 [ )1,2− ( )1,2− 0a > 0b > 3 2 0a b ab+ − = 3a b+ 5 9 4 9 13 25 12 25 ( )f x′ ( )f x ( ) ( )f x f x− = 0x ≥ ( ) 3f x x′ > ( ) ( ) 31 3 2f x f x x− − < − 1 ,02  −   1, 2  −∞ −   1 ,2  +∞   1, 2  −∞   ( ) tan ,tan sin sin ,tan sin x x xf x x x x >=  ≤ ( )f x ( )1,− +∞ ( )f x ( ), 2k k k ππ π + ∈  Z ( ) 2k x k k ππ π− < ≤ ∈Z ( ) 0f x ≤ D． 的最小正周期时 10．已知奇函数 是定义在 上的减函数，且 ，若 ，则下列结论一定成立 的是（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，点 的坐标为（0，1），点 为双 曲线 左支上的动点，且 的周长不小于 14，则双曲线 的离心率可能为（ ） A． B． C． D．3 12．一个正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，点 是棱 的中点， ， 分别是线段 ， （不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．在点 的运动过程中，存在 B．在点 的运动过程中，存在 C．三棱锥 的体积为定值 D．三棱锥 的体积不为定值 第Ⅱ卷 三、填空题： 13．已知向量 ， ，若 ，则 ______． ( )f x 2π ( )f x R ( )2 1f = − ( ) ( )1g x f x= − ( )1 0g = ( ) 12 2g = − ( ) ( ) 0g x g x− + > ( ) ( )1 1 0g x g x− + + + < 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( )2 6,0F P Q C PQF△ C 3 2 3 5 H DN P Q AC BN P //HP BM Q FQ AH⊥ H QAC− B PEM− ( ),2a m= ( )1, 3b = − a b⊥  a = 14．五一放假期间，某社区安排甲、乙、丙、丁、戊这 5 位工作人员值班，每人值班一天，若甲排在第一 若甲排在第一天值班，且丙与丁不排在相邻的两天值班，则可能的值班方式有______种． 15．在四棱锥 中四边形 是边长为 2 的正方形， ，平面 平面 ，则四棱锥 外接球的表面积为_______． 16．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 1 的直线 过点 ，且与抛物线 交于 ， 两点，点 在抛物线 上，且点 在直线 的下方，若 面积的最大值是 ，则抛物线 的方 程是_______，此时，点 的坐标为_______． 四、解答题： 17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，在① ； ② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 并作答．已知 是 上的一点， ， ， ，若_______，求 的 面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．设数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 19．在斜三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ，平面 ⊥平面 ，点 为棱 的中点， ． P ABCD− ABCD 5PC PD= = PCD ⊥ ABCD P ABCD− ( ): 2 2 0C x py p= > F l F C A B M C M l MAB△ 4 2 C M ABC△ A B C a b c 1cos cos sin sin 2b A C a B C b= − 1cos cos sin 2 3 cos2b B C c B a B+ = cos 2cos b A a cB + = D BC 2BC BD AB= > 2 7AD = 6AB = ACD△ { }na n nS 2 2nS n n= + { }na 1 1 n n n n n a ab a a + + = + { }nb n nT 1 1 1ABC A B C− ABC△ 1 2 2 2 2AA AB AC= = = 1 1BB C C ⊥ ABC E 1A A 1 60B BC∠ = ° （1）证明：平面 平面 ． （2）求二面角 的余弦值． 20．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测 120 个零件的长度（单位：分米）， 按数据分成 ， ， ， ， ， 这 6 组，得到如图所示的 频率分布直方图，其中长度大于或等于 1.59 分米的零件有 20 个，其长度分别为 1.59，1.59，1.61，1.61， 1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这 120 个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率． （1）求这批零件的长度大于 1.60 分米的频率，并求频率分布直方图中 ， ， 的值； （2）若从这批零件中随机选取 3 个，记 为抽取的零件长度在 的个数，求 的分布列和数学期 望； （3）若变量 满足 且 ， 则称变量 满足近似于正态分布 的概率分布．如果这批零件的长度 （单位：分米）满足近似于 正态分布 的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收．试 问，该批零件能否被签收？ 21．在直角坐标系 中已知 ，动点 到直线 的距离等于 动点 的轨迹记为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）已知 ，过点 的动直线 与曲线 交于 ， 两点，记 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值． 1B CE ⊥ 1 1BB C C 1A B C E− − [ ]1.21.3， ( ]1.3,1.4 ( ]1.4,1.5 ( ]1.5,1.6 ( ]1.6,1.7 ( ]1.7,1.8 m n t X ( ]1.4,1.6 X S ( ) 0.6826 0.05P Sµ σ µ σ− < ≤ + − ≤ ( )2 2 0.9544 0.05P Sµ σ µ σ− < ≤ + − ≤ S ( )2,N µ σ Y ( )1.5,0.01N xOy ( )1,0F P 6x = 2 2PF + P C C ( )2,0A F l C B D AOB△ AOD△ 1S 2S 1 2S S+ 22．已知函数 ． （1）讨论 的单调性 （2）若 恰有两个不同的零点 ， ，证明： ． 山东省第一次仿真联考 数学参考答案 1．C 由题意可得： ，则 ． 2．D 由题意得 ， 中，则 ． 3．B 由图可知该市这周空气质量指数的中位数、极差、平均数分别是 43，65，53，有 4 天的空气质量指 数小于 50，故选 B． 4．A 设 ，因为 ，所以 的图象关于 轴对称．所以 的图象关于直 线 对称，排除 C．D；当 时， ，所以 ，排除 B，故选 A． 5．A 因为 ，所以 ．即 ，因为 ，所以 ， 即 ．因为 是 的充分不必要条件，所以 ，解得 ． 6．B 因为 ，所以 ， 所以 （当且仅当 时取等号）． 7．C 由题意可得所求概率 ． 8．D 设 ，则 ．因为当 时， ，所以当 时， ，即 在 上单调递增．因为 ，所以 为偶函数．则 也是偶 ( ) ( )lnf x x mx m= − ∈R ( )f x ( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2 0f x f x′ ′+ > i i(2 i) 1 2 i2 i (2 i)(2 i) 5 5z − − += = = −− − + 1 2 i5 5z = + [ ]1,3A = − ( ),2B = −∞ [ )1,2A B∩ = − ( ) ln xg x x = ( ) ( )g x g x= − ( )g x y ( )f x 1x = − 1 0x− < < ln 1 0x + < ( ) 0f x < 1x a− < 1 1a x a− < < + : 1 1p a x a− < < + 3 11x >+ 1 2x− < < : 1 2q x− < < p q 1 1 1 2 a a − ≥ −  + ≤ 0 1a≤ ≤ 3 2 0bba a+ − = 3 1 2a b + = ( ) ( )1 3 1 1 3 3 13 3 10 6 10 82 2 2 b aa b a ba b a b    + = + + = + + ≥ × + =       2a l= = 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 5 5 13 25 C C C CP C C += = ( ) ( ) 23 2g x f x x= − ( ) ( ) 3g x f x x′ ′= − 0x ≥ ( ) 3f x x′ > 0x ≥ ( ) 0g x′ > ( )g x [ )0,+∞ ( ) ( )f x f x− = ( )f x ( )g x 函数．因为 ，所以 ，即 ，则 ，解得 ． 9．AD 当 ，即 时， ；当 ，即 时， ．综上， 的值域为 ，故 A 正确； 的 单 调 递 增 区 间 是 和 ， B 错 误 ； 当 时， ，故 C 错误；结合 的图象可知 的最小正周期 是 ，故 D 正确． 10．AC 因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，因为 ，所以 ， 故 A 正确；因为 为定义在 上的减函数，且 ， ，即 ．所 以 ，故 B 不一定成立；因为 ，所以 ，所 以 ，因为 是定义在 上的减函数，所以 ， 所 以 ， 即 ， 故 C 正 确 ； 因 为 ， 所 以 ， ，所以 ，选项 D 错误． 11 ． AC 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 ． 则 ． 即 ， 故 ． 由 题 意 可 得 ， 所 以 ，所以 ．则双曲线 C 的离心率 ．因为 ．所 以双曲线 C 的离心率的取值范围为 ． 12．BC 由平面展开图，还原正方体，如图所示．对于 A 选项，因为点 是线段 上的动点，所以 平面 ，因为 平面 ，且 与平面 不平行，所以不存在 ．故 A 错误； 对于 B 选项．连接 ， ，连接 ， ，取 的中点 ，连接 ， ．则 为 的中点， ，所以 ， ， ， 四点共面，因为 ， ， ( ) ( ) 31 3 2f x f x x− − < − ( ) ( ) ( )223 31 12 2f x x f x x− < − − − ( ) ( )1g x g x< − 1x x< − 1 2x < tan sinx x> ( ) 2k x k k ππ π< < + ∈Z ( ) ( )tan 0,f x x= ∈ +∞ tan sinx x≤ ( ) 2k x k k ππ π− < ≤ ∈Z ( ) ( )sin 1,1f x x= ∈ − ( )f x ( )1,− +∞ ( )f x 2 ,22 2k k π ππ π − +   ( )32 ,2 2k k k ππ π π + +   ∈Z ( )2 ,22x k k k ππ π π ∈ + +   ∈Z ( ) 0f x > ( )f x ( )f x 2π ( )f x R ( )0 0f = ( ) ( )1g x f x= − ( ) ( )1 0 0g f= = ( )f x R ( )2 1f = − ( ) ( ) ( )2 1 0f f f< < ( )1 1 0f− < < ( )1 2 0g− < < ( ) ( )1g x f x= − ( ) ( ) ( )1 1g x f x f x− = − − = − + ( ) ( ) ( ) ( )1 1g x g x f x f x− + = − − + ( )f x R ( ) ( )1 1f x f x− > + ( ) ( )1 1 0f x f x +−− > ( ) ( ) 0g x g x− + > ( ) ( )1g x f x= − ( ) ( ) ( )1g x f x f x− + = − = − ( ) ( )1g x f x+ = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0g x g x f x f x− + + + = − + = C F′ 2QF QF a′− = 2QF QF a′= + 2 2QF PQ QF PQ a PF a′ ′+ = + + ≥ + 24 1 5PF PF′= = + = 2 2 14PQ QF PF PF a+ ≥ + ≥+ 2a ≥ 2 6 6ce a a = = ≤ 1e > (1, 6 P AC HP ⊂ ACH BM ⊄ ACH BM ACH / /HP BM BD BD AC O∩ = OF OF BN G∩ = AD K EK OK O BD //OK EF E F O K AH EK⊥ AH EF⊥ 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，即当点 运动到 点时， ， 故 B 正确；对于 C 选项，因为点 是棱 的中点，所以 ，因为 平面 ， 平 面 ，所以 平面 ，则直线 上的任意一点到平面 的距离相等，且为定值，因为点 是线段 上的动点，所以点 到平面 的距离 为定值，因为 的面积为定值，所以 （定值），故 C 正确；对于 D 选项，因为点 是线段 上的动点。所以 的面积为定值，且平面 就是平面 ，因为点 到平面 的距离是定值，即点 到平面 的距离 也是定值，所以三棱锥 的体积 （定值），故 D 错误． 13． 因为 ，所以 ，解得 ，则 ． 14．12 甲在第一天值班的所有值班方式有 种，其中丙与丁在相邻的两天值班的值班方式有 种，则满足条件的值班方式有 种． 15 ． 取 的 中 点 ， 连 接 （ 图 略 ）．因 为 ， ， 所 以 ， ，过四边形 的中心 作平面 的垂线 ，过三角形 的外心 作平 面 的垂线 ， ，则 为四棱锥 外接球的球心，设 ，四棱锥 外接球的半径为 ，则 ，解得 ，故四棱锥 外接球的表面积为 ． 16． ； 设 ， ，由题意可得直线 的方程为 ，联立 ， 整理得 ，所以 ， ，则 ， 故 ，设 ，由题意可知当直线 过点 ．且与抛物线 相切的直线 AH ⊥ EFOK GF ⊂ EFOK AH GF⊥ Q G FQ AH⊥ H DN //OH BN OH ⊂ ACH BN ⊄ ACH //BN ACH BN ACH Q BN Q ACH d ACH△ 1 3H QW Q WH ACHV V d S− − ⋅= = △ P AC PEM△ PEM ACME B ACME B PEM h B PEM− 1 3 PPEM MB EV h S− = ⋅ △ 2 10 a b⊥  ( )2 3 0m + × − = 6m = | 36 4 2 10a = + = 4 4 24A = 3 2 3 2 12A A = 24 12 12− = 41 4 π CD E PE 5PC PD= = 1 12DE CD= = PE CD⊥ 2PE = ABCD 1O ABCD 1l PCD 2O PCD 2l 1 2 0l l = О P ABCD− 1OO h= P ABCD− R ( )22 2 2 2 1R h h= + = − + 2 41 16R = P ABCD− 2 414 4Rπ π= 2 4x y= ( )2,1 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l 2 py x= + 2 2 2 py x x py  = +  = 2 22 0x px p− − = 1 2 2x x p+ = 2 1 2x x p= − ( )2 1 2 1 2 1 24 2 2x x x x x x p− = − − = 2 1 21 4AB k x x p= + − = ( )0 0,M x y l M C 平行时， 的面积取最大值．因为 ，所以 ，所以直线 的斜率 ．所 以 ，则 ，此时，点 到直线 的距离 ，故 ，解得 ，故抛物线 的方程为 ，此时点 的坐标为 ． 17．解：若选择①，则 ， 因为 ．所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ．所以 ． 若选择②，则 ， 即 故 ． 因为 ．所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ． 若选择③，则 ， 即 ， 因为 ．所以 ， 因为 ，所以 ． 在 中，由余弦定理可得 ， 即 ，解得 或 ． 因为 ，所以 ， MAB△ 21 2y xp = 1y xp ′ = l 0 1 1k xp = = 0x p= , 2 pM p     M l 2 22 p pd = = 1 24 4 22 2 pp× × = 2p = C 2 4x y= M ( )2,1 1sin cos cos sin sin sin sin2B A C A B B= − sin 0B ≠ sin 1co s 2is co s nAA CC − = − ( ) 1cos 2A C+ = − ( )B A Cπ= − + ( ) c 1c osos 2BA C+ = − = − cos 1 2B = 0 B π< < 3B π= 2 cos sin1s siin 2 n 2 3sin cosC CB B A B=+ 2sin cos sin sin cos 3sin cosB C C B B A B+ = ( )sin sin 3sin cosB B C A B+ = ( )sin sin 0B C A+ = ≠ 3sin cosB B= tan 3B = 0 B π< < 3B π= sin cos sin cos 2sin cosB A A B C B+ = ( )sin 2sin cosB A C B+ = ( )sin sin 0B A C+ = ≠ 1cos 2B = 0 B π< < 3B π= ABD△ 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B= + − ⋅ 228 36 2 6 1 2BD BD= + − × ×× 4BD = 2BD = 2 6BC BD AB= > = 4BD = 因为 ，所以 ． 18．解：（1）当 时， ， 当 时， ， ， 当 时， 满足上式，故 ． （2）由（1）可得 ， 则 ． 19．（1）证明：分别取 ， 的中点 和 ，连接 ， ， ， ． 因为 ， 为 的中点，所以 ， 因为平面 平面 ，且平面 平面 ． 所以 平面 ， 因为 是 的中点．所以 ，且 ， 因为点 为棱 的中点所以 ，且 ， 所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，则 ． 因为 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ． 2BC BD= s1 1in 36 4 6 32 2 2ACD ABD BDS S AB B= = = × ×⋅ × =△ △ 1n = 1 1 1 2 3a S= = + = 2n ≥ ( ) ( )2 2 1 1 2 1 1nS n n n− = − + − = − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2n n na S S n n n n n−= − = + − − = + ≥ 1n = 1 3a = 2 1na n= + 2 3 2 1 2 2 22 1 2 3 2 1 2 3n n nb n n n n + += + = − ++ + + + 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 23 5 5 7 7 9 2 1 2 3n nT b b b b n n        = + + + + = − + + − + + − + + + − +       + +         2 2 2 2 2 2 2 2 23 5 5 7 7 9 2 1 2 3 nn n         = − + − + − + + − +        + +         2 2 42 23 2 3 6 9 nn nn n = − + = ++ + BC 1B C O F OA OF EF 1B O AB AC= O BC AO BC⊥ 1 1BB C C ⊥ ABC 1 1BB C C ⊥ ∩ ABC BC= AO ⊥ 1 1BB C C F 1B C 1//FO BB 1 1 2FO BB= E 1A A 1//AE BB 1 1 2AE BB= //FO AE FO AE= AOFE //EF AO AO ⊥ 1 1BB C C EF ⊥ 1 1BB C C EF ⊂ 1B CE 1B CE ⊥ 1 1BB C C （2）解：由题意易证 ，则 平面 ，故 ， ， 两两垂直． 以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 故 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，得 ． 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 ， 则 ， 由图可知二面角 为锐角，则二面角 的余弦值为 ． 20．解：（1）由题意可知 120 件样本零件中长度大于 1.60 分米的共有 18 件， 1B O BC⊥ 1B O ⊥ ABC OA OC 1OB O OA OC 1OB x y z O xyz− ( )2,0,0A ( )0, 2,0C ( )1 0,0, 6B 2 62, ,2 2E       ( )1 0, 2, 6B C = − 2 62, ,2 2CE  = −     ( )2, 2,0AC = − 1B CE ( )1 1 1, ,m x y z= 1 1 1 1 1 1 2 6 0 2 62 02 2 m B y z m CE x z C y  ⋅ − = ⋅ = − + = =    1 1z = ( )0, 3,1m = 1AB C ( )2 2 2, ,n x y z= (1 2 2 2 2 2 6 0 2 2 0 n B yC z n AC x y  ⋅ = − =  ⋅ = − + =     2 3y = ( )3, 3,1n = 4 2 7cos , 73 1 3 3 1 m nm n m n ⋅= = = + × + +      1A B C E− − 1A B C E− − 2 7 7 则这批零件的长度大于 1.60 分米的频率为 ， 记 为零件的长度，则 ， ， ， 故 ， ， ． （2）由（1）可知从这批零件中随机选取 1 件，长度在 的概率 ． 且随机变量 服从二项分布 ， 则 ， ， ， 故随机变量 的分布列为 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （或 ）． （3）由题意可知 ， ， 则 ； ， 因为 ， ，所以这批零件的长度满足近似于正 态分布 的概率分布．应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 21．解：（1）设点 ，则 ， 18 0.15120 = Y ( ) ( ) 31.2 1.3 1.7 1.8 0.025120P Y P Y≤ ≤ = < ≤ = = ( ) ( ) 151.3 1.4 1.6 1.7 0.125120P Y P Y< ≤ = < ≤ = = ( ) ( ) ( )11.4 1.5 1.5 1.6 1 2 0.025 2 0.125 0.352P Y P Y< ≤ = < ≤ = × − × − × = 0.025 0.250.1m = = 0.125 1.250.1n = = 0.35 3.50.1t = = ( ]1.4,1.6 2 0.35 0.7P = × = X ( )3,0.7X B ( ) ( )3 300 1 0.7 0.027P X C= = − =× ( ) ( )21 31 1 0.7 0.7 0.189P X C= = × − × = ( ) 3 3 33 0.7 0.343P X C= = × = X X P 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343 2.1EX = × + × + × + × = 3 0.7 2.1EX = × = 1.5µ = 0.1σ = ( ) ( )1.4 1.6 0.7P Y P Yµ σ µ σ− < ≤ + = < ≤ = ( ) ( )2 2 1.3 1.7 0.125 0.35 0.35 0.125 0.95P Y P Yµ σ µ σ− < ≤ + = < ≤ = + + + = 0.7 0.6826 0.0174 0.05− = ≤ 0.95 0.9544 0.0044 0.05− = ≤ ( )1.5,0.01N ( ),P x y ( ) ( )2 26 2 1 2 6x x y x− = − + + 0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 0m > ( ) 0f x′ > 10 x m < < ( ) 0f x′ < 1x m > ( )f x 10, m      1 ,m  +∞   0m ≤ ( )f x ( )0,+∞ ②当 时， 在 单调递增，在 单调递减． （2）证明：因为 ， 是 的两个零点．所以 ， ，所以 ， 则 ， 要证 ，即证 ． 不妨设 ，则 等价于 ． 令 ，则 ，设 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，则 ，即 对任意 恒成立． 故 ． 0m > ( )f x 10, m      1 ,m  +∞   1x 2x ( )f x 1 1ln x mx= 2 2ln x mx= 1 2 1 2 ln lnm x x x x −= − ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln1 1 1 12 2 x xf x f x mx x x x x x −′ ′+ = + − = + − ⋅ − ( ) ( )1 2 0f x f x′ ′+ > 1 2 1 2 1 2 1 ln ln1 2 0x x x x x x −+ − ⋅ >− 1 2 0x x> > 1 2 1 2 1 2 1 ln ln1 2 0x x x x x x −+ − ⋅ >− 1 2 1 2 1 2 2ln 0x x x x x x − − > 1 2 xt x = 1t > ( ) ( )ln1 2 1h t t tt t= − − > ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 21 0 1th t tt t t −′ = + − = > > ( )h t ( )1,+∞ ( ) ( )1 0h t h> = 1 2ln 0t t t− − > 1t > ( ) ( )1 2 0f x f x′ ′+ >