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江苏省西亭高级中学 2020 届高三数学考前热身训练
数 学 Ⅰ 卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应
位置上)
1. 已知集合 ,则 = ▲ .
2. 已知复数 ( 为虚数单位)的实部为零,则复数 的模为 ▲ .
3. 已知一组数据 的平均数为 5,则该组数据的标准差是 ▲ .
4. 在今年的“抗疫”战斗中,某医疗组现有 3 名医生和 2 名
护士,需派遣其中两名医护人员去执行任务,则“至少有
一
名医生”的概率为 ▲ .
5. 某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时,为
解决“物不知数”问题,设计了如图所示的程序框图.执行此
程序框图,输出 a 的值为 ▲ .
6. 在一次大学校园双选招聘会上,某公司计划招收 名女生,
名男生,若 满足约束条件 ,则该公司计划
在本次校招所招收人数的最大值为 ▲ .
7. 已知函数 的图象关于点 对称,
则
当 的绝对值取最小时, 的值为 ▲ .
8. 如图,三棱锥 中,点 分别为棱
的中点,如果三棱锥 的体
积为 8,则几何体 的体积为 ▲ .
{ | 0 3}, {0,1,3}A x x B= < < = A B
1
a iz i
+= + i z
4,6,3,7,a
x
y ,x y
2 5
2
5
x y
x y
x
− ≥
− ≤
≤
( ) 2sin(2 )f x x ϕ= + ( ,0)12
π
ϕ ( )4f
π
P ABC− , , , ,D E F M N
, , , ,PC PA PB BA BC P ABC−
NMB DEF−
n n+1←
2
21
a Z
− ∈
开始
n 1←
a 0←
输出 a
结束
a 5n+3←
是
否
P
A
B
C
D E
F
MN第 2 页
9. 已知定义在实数集 上的函数 ,则不等式
的解集是 ▲ (结果用区间表示).
10. 已知等差数列 中, ,则 ▲ .
11.已知双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重
合,当 取得最小值时,双曲线 的离心率为 ▲ .
12. 在平面直角坐标系 中,动圆 截 轴所得的弦长恒为
.若过原点 作圆 的一条切线,切点为 ,则点 到直线 距
离的最大值为 ▲ .
13. 已知函数 ,(e=2.718 28…是自然对数的底数)
,若存在 ,使得 成立,则实数 的
取值范围是 ▲ .
14. 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 中 , BC=3 , 于 H, 若
,
则 的取值范围是 ▲ .
二、解答题(本大题共 5 小题,共计 90 分.解答写出必要的过程)
15.(本小题满分 14 分)
如图, 在直四棱柱 中, 四边
形 ABCD 为矩形,E 是 BC 的中点,F 是 上的
点,且满足
R | |( ) 3 cosxf x x= +
( 2) (2 )f x f x− >
{ }na 2 4 10 18a a a+ + = 6 84a a− =
2 2
2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2 4y x=
4
2 2
4a
a b
+
+ C
xOy 2 2 2:( 4) ( )C x y b r− + − = x
4 2 O C A A 12 0x y+ − =
3 23 5 (1 2)2 2( ) 1 1 (2 )2 2
x x x
f x
x x e
− + + ≤ > E 1
2
3( 1, )2
−
A
B
CO D E
F
G第 4 页
(1) 求椭圆 的方程;
(2) 过点 的直线交椭圆 于 两点,设椭圆 的左顶点为 A,记直线 PA,QA 的斜
率分别为 .
①求 的值;
②过 P 作垂直于 PA 的直线 l 交 x 轴于点 M.则 A,P,M,Q 四点是否共圆?若共
圆,求出该圆的方程;若不共圆,请说明理由.
19.(本小题满分 16 分)
已知正项数列 的前 n 项和是 ,满足 (
为常数)
(1)记 ,证明:数列 是等差数列;
(2)若 , 成等比数列,
①求数列 的通项公式;
②设 ,其中 ,且对任意的正整数 k, 仍在数列
中,求 q 的所有值.
20.(本小题满分 16 分)
已知函数 , ,其中 e=2.718 28…是自然对
数的底数.
(1)当 时,
①若曲线 在 处的切线恰好是直线 ,求 c 的值;
E
F E ,P Q E
1 2,k k
1 2k k⋅
{ }na nS *( )n N∈ 1( 1)( 1) ( )n n na a r S n++ + = + r
2n n nb a a+= − { }nb
6r = ( )2 3 5, ,3 1a S a +
{ }na
1
3 1( ) n
n
an
nc q
−
−= 1(0, )2q∈ 1 2k k kc c c+ +− −
{ }nc
*( ) ( )k xf x x e k= ∈N ( ) ,( ,g x cx m c m= + ∈R)
1k =
( )y f x= 1x = ( )y g x=第 5 页
②若 ,方程 有正实数根,求 c 的取值范围.
(2)当 时,不等式 对于任意 恒成立,当
c 取得最大值时,求实数 a 的最小值.
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数学 II (理科附加题)
21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内
作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
A.【选修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分)
已知矩阵 M= ,若点 经过变换 后得到点 ,求矩阵 M 的特征值.
B. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)
已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),点 P(1,3)在直线 l 上.
(1)求 m 的值;
(2)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C:
m e= − ( ) ( )f x g x=
2, 1k m= = − 2( ) ( )f x e ax bx g x− ≥ + ≥ [1, )x∈ +∞
1
2
a
b
( 1,1)− MT (1, 1)−
22 2
2
2
x t
y m t
= +
= +
2ρ =第 6 页
与直线 l 交于点 A,B,求线段 AB 的长.
C.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)
已知不等式 的解集为 .
(1)求 , 的值;
(2)若 , , ,求 的最小值.
【必做题】请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
22.(本小题满分 10 分)
如图,在以 为顶点的五面体中,四边形 为正方形, ,
, .
(1)求异面直线 BC,DF 所成角的大小;
(2)求二面角 的余弦值.
23.(本小题满分 10 分)
当 时,集合 A={1,2,3,…,n},取集合 A 中 m 个不同元素的
排列分别表示为 M1,M2,M3,…,MA(n)-1,MA(n),其中 A(n)表示取集合 A 中 m 个不同
元素的排列的个数.设 pi 为排列 Mi 中的最大元素,qi 为排列 Mi 中的最小元素,
2 5x x x+ − < + ( ),m n
m n
0x > 0y > 0nx y m+ + = 1 1
x y
+
, , , , ,A B C D E F ABEF AF DF⊥
2 2AF FD= 45DFE CEF∠ = ∠ =
D BE C− −
, *n m m n≥ ∈N,
A
B
E
F
C
D第 7 页
1≤i≤A(n),记 P=p1+p2+…+pA(n)-1+pA(n),Q=q1+q2+…+qA(n)-1+qA(n).
(1)当 m=2,n=3 时,分别求 A(3),P,Q;
(2)对任意的 ,求 P 与 Q 的等式关系.
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数 学 Ⅰ 卷
参 考 答 案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应
位置上)
1. ; 2. 1; 3. ; 4. ; 5. 23; 6. 10; 7. ; 8. 3;
9. ; 10. 18; 11. ; 12. ; 13. ; 14.
二、解答题
15 证明:(1)在直四棱柱 中
平面 ABCD AD 平面 ABCD
因为四边形 ABCD 为矩形
所以
因为 平面 ,
所以 平面 又因为 平面
所以 ………………7 分
(2)连结 AC,设 ,连结 OF
*m∈N
{1} 2 9
10 3
2( 2, )3
− 2 8 2 3[ ,5]2e
3 2(0, )2
1 1 1 1ABCD A B C D−
1DD ⊥ ⊂
1DD AD⊥
DC AD⊥
1,DC DD ⊂ 1 1CDD C 1CD DD D=
DA ⊥ 1 1CDD C 1CD ⊂ 1 1CDD C
1AD D C⊥
CA DE O=第 8 页
因为,四边形 ABCD 为矩形,所以 且
又 ,所以 又因为
在 中, ,而 平面 DEF, 平面 DEF
所以, 平面 DEF.………………14 分
16 解:(1)因为, ,由正弦定理 得
,
所以,
因为,在 中,
所以,
所以, ,
又 ,所以 ………………6 分
(2)因为,在 中, ,所以
由正弦定理 得
因为,在 中,
所以,
所以, 的面积 S ………………14 分
17 解:以 O 为坐标原点,OC 所在的直线是 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy
由于 OC=4 , ,
所以点 C 的坐标为(4,0)点 B 的坐标为(2,2)
,点 A 的坐标为(1,1)
由于抛物线的顶点为点 O 对称轴是直线 OC,可设抛物线方程为 y2=mx,
/ /BC AD BC AD=
BE EC= 2AO OC= 1 2 .D F FC=
1ACD 1 / /D A OF OF ⊂ 1D A ⊄
1 / /D A
(5 4 )cos 4 cosa c B b C− =
sin sin sin
a b c
A B C
= =
(5sin 4sin )cos 4sin cosA C B B C− =
5sin cos 4(sin cos sin cos ) 4sin(B C)A B B C C B= + = +
ABC△ 180A B C+ + =
sin( ) sin(180 ) sinB C A A+ = − =
5sin cos 4sinA B A=
(0, ),sinA 0A π∈ ≠
4cos 5B =
ABC△
4cos 5B = 2 3sinB 1 cos 5B= − =
sin sin sin
a b c
A B C
= = sin 5 2sin
bc CB
= ⋅ =
ABC△ 180A B C+ + =
7 2sin sin(180 ) sin( ) sin cos cos sin 10A A B C B C B C= − = + = + =
ABC△
1 sin 212 bc A= =
2 2BC =
4OCB
π∠ =
2BA =第 9 页
将点 A 的坐标代入得 m=100,所以抛物线方程为 y2=x,
直线 CB 的方程是 y=4-x ,直线 AB 的方程是 y=x ………………2 分
(1)因为设 DG=x,所以当 0
2( ) ( 2 ) 2 1xh x x x e x′ = + − + ),1[ +∞
(1) 3 1 0h e′ = − >
exxexxh x −+−= 22)( ),1[ +∞
0)1()( =≥ hxh
cxbxaxexf +≥+≥− 2)( ),1[ +∞
1 1 1 1
2 1 2 1
a a
b b
− − + = = − −
2
1
a
b
=
=
2( ) (1 ) 4f λ λ= − −
( ) 0f λ = 1, 3λ λ= − =
1, 3λ λ= − =第 14 页
21B 解:(1)因为点 P(1,3)在直线 l 上,则 ,
所以 ………………3 分
(2)将直线 l 的参数方程为 化为普通方程是 ,
将曲线 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程是 ,
则圆心到直线 l 的距离为
所以 ………………10 分
21C 解:(1)原不等式可化为 或 或
,
解得 或 或 ,∴ ,
∴原不等式的解集为 ,故 , ;………………5 分
(2)由(1)得 ,即 ,
所以 .
当且仅当 ,即 , 时取等号,
故所求最小值为 .………………10 分
22 解:因为四边形 为正方形,
21 2 2
23 2
t
m t
= +
= +
4m =
22 2
24 2
x t
y t
= +
= +
2y x= +
2ρ = 2 2 4x y+ =
2d =
2 2AB =
0
2 5
x
x x x
+ − < +
1 0x− < < 0 2x≤ ≤ 2 7x< < 1 7x− < <
( )1,7− 1m = − 7n =
7 1 0x y+ − = ( )7 1 0, 0x y x y+ = > >
1 1 7 7 7 8x y x y y x
x y x y x y
+ ++ = + = + + 2 7 8 7 1≥ + = +
7
7 1
y x
x y
x y
=
+ =
1
7 7
x =
+
7
7 7
y =
+
7 1+
ABEF AF DF⊥第 15 页
所以 平面
又
所以,在平面 内作 ,垂足为点 O,
以 O 为坐标原点,OF 所在的直线为 x 轴,OD 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐
标系(如图所示). ………………2 分
设 OF=a,因为 所以
(1)点 D 的坐标为 ,点 F 的坐标为 ,点 B 的坐标为
点 C 的坐标为 .则 ,
设向量 的夹角为
则
所以异面直线 BC,DF 所成角为 ………………5 分
(3)点 E 的坐标为 ,
设平面 DBE 的法向量为 ,由 得 ,取 得平面
DBE 的一个法向量为 ,
设平面 CBE 的法向量为 ,由 得 ,取 得平面
DBE 的一个法向量为 ,
设两个法向量 的夹角为
则
AF ⊥ DCEF
45DFE CEF∠ = ∠ =
DCEF DO EF⊥
2 2AF FD= 2 , 4 , 2DF a AF a CD a= = =
(0,0, )D a ( ,0,0)F a ( 3 ,4 ,0)B a a−
( 2 ,0, )C a a− ( ,4 , ), ( ,0, )BC a a a DF a a= = −
,BC DF θ
cos 0
| | | |
BC DF
BC DF
θ ⋅= =
⋅
2
π
( 3 ,0,0)E a− ( ,4 , ),BC a a a=
(0, 4 ,0), ( 3 ,0, ),BE a DE a a= − = − −
1 ( , , )n x y z= 1
1
0
0
n DE
n BE
⋅ = ⋅ =
3 0
4 0
x z
y
+ =
= 1x =
1 (1,0, 3)n = −
2 ( , , )n x y z= 2
2
0
0
n BC
n BE
⋅ = ⋅ =
4 0
4 0
x y z
y
+ + =
= 1x =
2 (1,0, 1)n = −
1 2,n n β
1 2
1 2
3 5cos 10| | | |
n n
n n
θ ⋅= =
⋅
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由于二面角 为锐二面角,所以二面角 的余弦值为 ………………10
分
23(1)解 当 m=2,n=3 时,A(3)= =6,
6 个排列分别为 1,2; 2,1; 1,3; 3,1; 2,3;3,2 .
则 P=16,Q=8 .………………3 分
(3) 证明 显然 m≤pi≤n,pi∈ ,并且以 m 为最大元素的取法有 个,
以 m+1 为最大元素的取法有 个,
以 m+2 为最大元素的取法有 ,…,
以 k(m≤k