江苏省西亭高级中学2020届高三数学高考考前最后一练（含附加题附答案详解）

第 1 页 江苏省西亭高级中学 2020 届高三数学考前热身训练 数 学 Ⅰ 卷 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应 位置上） 1. 已知集合 ，则 = ▲ . 2. 已知复数 （ 为虚数单位）的实部为零，则复数 的模为 ▲ . 3. 已知一组数据 的平均数为 5,则该组数据的标准差是 ▲ . 4. 在今年的“抗疫”战斗中，某医疗组现有 3 名医生和 2 名 护士，需派遣其中两名医护人员去执行任务，则“至少有 一 名医生”的概率为 ▲ . 5. 某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为 解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此 程序框图，输出 a 的值为 ▲ . 6. 在一次大学校园双选招聘会上，某公司计划招收 名女生， 名男生，若 满足约束条件 ，则该公司计划 在本次校招所招收人数的最大值为 ▲ . 7. 已知函数 的图象关于点 对称， 则 当 的绝对值取最小时， 的值为 ▲ . 8. 如图，三棱锥 中，点 分别为棱 的中点，如果三棱锥 的体 积为 8，则几何体 的体积为 ▲ . { | 0 3}, {0,1,3}A x x B= < < = A B 1 a iz i += + i z 4,6,3,7,a x y ,x y 2 5 2 5 x y x y x − ≥  − ≤  ≤ ( ) 2sin(2 )f x x ϕ= + ( ,0)12 π ϕ ( )4f π P ABC− , , , ,D E F M N , , , ,PC PA PB BA BC P ABC− NMB DEF− n n+1← 2 21 a Z − ∈ 开始 n 1← a 0← 输出 a 结束 a 5n+3← 是 否 P A B C D E F MN第 2 页 9. 已知定义在实数集 上的函数 ，则不等式 的解集是 ▲ （结果用区间表示）. 10. 已知等差数列 中， ，则 ▲ . 11.已知双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重 合，当 取得最小值时，双曲线 的离心率为 ▲ . 12. 在平面直角坐标系 中，动圆 截 轴所得的弦长恒为 ．若过原点 作圆 的一条切线，切点为 ，则点 到直线 距 离的最大值为 ▲ . 13. 已知函数 ，（e＝2.718 28…是自然对数的底数） ，若存在 ，使得 成立，则实数 的 取值范围是 ▲ . 14. 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， BC=3 ， 于 H, 若 ， 则 的取值范围是 ▲ . 二、解答题（本大题共 5 小题，共计 90 分．解答写出必要的过程） 15.（本小题满分 14 分） 如图, 在直四棱柱 中, 四边 形 ABCD 为矩形，E 是 BC 的中点,F 是 上的 点，且满足 R | |( ) 3 cosxf x x= + ( 2) (2 )f x f x− > { }na 2 4 10 18a a a+ + = 6 84a a− = 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 4y x= 4 2 2 4a a b + + C xOy 2 2 2:( 4) ( )C x y b r− + − = x 4 2 O C A A 12 0x y+ − = 3 23 5 (1 2)2 2( ) 1 1 (2 )2 2 x x x f x x x e − + + ≤ > E 1 2 3( 1, )2 − A B CO D E F G第 4 页 (1) 求椭圆 的方程； (2) 过点 的直线交椭圆 于 两点，设椭圆 的左顶点为 A，记直线 PA，QA 的斜 率分别为 . ①求 的值； ②过 P 作垂直于 PA 的直线 l 交 x 轴于点 M.则 A，P，M，Q 四点是否共圆？若共 圆，求出该圆的方程；若不共圆，请说明理由. 19.（本小题满分 16 分） 已知正项数列 的前 n 项和是 ，满足 （ 为常数） （1）记 ，证明：数列 是等差数列； （2）若 ， 成等比数列， ①求数列 的通项公式； ②设 ，其中 ，且对任意的正整数 k， 仍在数列 中，求 q 的所有值. 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 ， ,其中 e＝2.718 28…是自然对 数的底数. （1）当 时， ①若曲线 在 处的切线恰好是直线 ，求 c 的值； E F E ,P Q E 1 2,k k 1 2k k⋅ { }na nS *( )n N∈ 1( 1)( 1) ( )n n na a r S n++ + = + r 2n n nb a a+= − { }nb 6r = ( )2 3 5, ,3 1a S a + { }na 1 3 1( ) n n an nc q − −= 1(0, )2q∈ 1 2k k kc c c+ +− − { }nc *( ) ( )k xf x x e k= ∈N ( ) ,( ,g x cx m c m= + ∈R) 1k = ( )y f x= 1x = ( )y g x=第 5 页 ②若 ，方程 有正实数根，求 c 的取值范围． （2）当 时，不等式 对于任意 恒成立，当 c 取得最大值时，求实数 a 的最小值． 西亭中学 2020 届高三数学考前热身训练 数学 II （理科附加题） 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内 作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． A．【选修 4-2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分） 已知矩阵 M= ，若点 经过变换 后得到点 ,求矩阵 M 的特征值. B. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），点 P（1,3）在直线 l 上. （1）求 m 的值； （2）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： m e= − ( ) ( )f x g x= 2, 1k m= = − 2( ) ( )f x e ax bx g x− ≥ + ≥ [1, )x∈ +∞ 1 2 a b      ( 1,1)− MT (1, 1)− 22 2 2 2 x t y m t  = +  = + 2ρ =第 6 页 与直线 l 交于点 A,B，求线段 AB 的长. C．【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知不等式 的解集为 . （1）求 ， 的值； （2）若 ， ， ，求 的最小值. 【必做题】请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 22.（本小题满分 10 分） 如图，在以 为顶点的五面体中，四边形 为正方形， ， ， ． （1）求异面直线 BC，DF 所成角的大小； （2）求二面角 的余弦值． 23.（本小题满分 10 分） 当 时，集合 A＝{1，2，3，…，n}，取集合 A 中 m 个不同元素的 排列分别表示为 M1，M2，M3，…，MA(n)－1，MA(n)，其中 A(n)表示取集合 A 中 m 个不同 元素的排列的个数．设 pi 为排列 Mi 中的最大元素，qi 为排列 Mi 中的最小元素， 2 5x x x+ − < + ( ),m n m n 0x > 0y > 0nx y m+ + = 1 1 x y + , , , , ,A B C D E F ABEF AF DF⊥ 2 2AF FD= 45DFE CEF∠ = ∠ =  D BE C− − , *n m m n≥ ∈N， A B E F C D第 7 页 1≤i≤A(n)，记 P＝p1＋p2＋…＋pA(n)－1＋pA(n)，Q＝q1＋q2＋…＋qA(n)－1＋qA(n)． (1)当 m=2,n＝3 时，分别求 A(3)，P，Q； (2)对任意的 ，求 P 与 Q 的等式关系. 江苏省西亭高级中学 2020 届高三数学考前热身训练 数 学 Ⅰ 卷 参 考 答 案 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应 位置上） 1. ； 2. 1； 3. ； 4. ； 5. 23； 6. 10； 7. ； 8. 3； 9. ； 10. 18； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 二、解答题 15 证明：（1）在直四棱柱 中 平面 ABCD AD 平面 ABCD 因为四边形 ABCD 为矩形 所以 因为 平面 , 所以 平面 又因为 平面 所以 ………………7 分 （2）连结 AC，设 ,连结 OF *m∈N {1} 2 9 10 3 2( 2, )3 − 2 8 2 3[ ,5]2e 3 2(0, )2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD ⊥ ⊂ 1DD AD⊥ DC AD⊥ 1,DC DD ⊂ 1 1CDD C 1CD DD D= DA ⊥ 1 1CDD C 1CD ⊂ 1 1CDD C 1AD D C⊥ CA DE O=第 8 页 因为，四边形 ABCD 为矩形，所以 且 又 ,所以 又因为 在 中， ,而 平面 DEF， 平面 DEF 所以， 平面 DEF.………………14 分 16 解：（1）因为， ，由正弦定理 得 , 所以， 因为，在 中， 所以， 所以， , 又 ，所以 ………………6 分 （2）因为，在 中， ，所以 由正弦定理 得 因为，在 中， 所以， 所以， 的面积 S ………………14 分 17 解：以 O 为坐标原点，OC 所在的直线是 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy 由于 OC＝4 ， , 所以点 C 的坐标为（4,0）点 B 的坐标为（2,2） ,点 A 的坐标为（1,1） 由于抛物线的顶点为点 O 对称轴是直线 OC，可设抛物线方程为 y2=mx, / /BC AD BC AD= BE EC= 2AO OC= 1 2 .D F FC= 1ACD 1 / /D A OF OF ⊂ 1D A ⊄ 1 / /D A (5 4 )cos 4 cosa c B b C− = sin sin sin a b c A B C = = (5sin 4sin )cos 4sin cosA C B B C− = 5sin cos 4(sin cos sin cos ) 4sin(B C)A B B C C B= + = + ABC△ 180A B C+ + =  sin( ) sin(180 ) sinB C A A+ = − = 5sin cos 4sinA B A= (0, ),sinA 0A π∈ ≠ 4cos 5B = ABC△ 4cos 5B = 2 3sinB 1 cos 5B= − = sin sin sin a b c A B C = = sin 5 2sin bc CB = ⋅ = ABC△ 180A B C+ + =  7 2sin sin(180 ) sin( ) sin cos cos sin 10A A B C B C B C= − = + = + = ABC△ 1 sin 212 bc A= = 2 2BC = 4OCB π∠ = 2BA =第 9 页 将点 A 的坐标代入得 m=100，所以抛物线方程为 y2=x， 直线 CB 的方程是 y=4-x ,直线 AB 的方程是 y=x ………………2 分 （1）因为设 DG=x，所以当 0 2( ) ( 2 ) 2 1xh x x x e x′ = + − + ),1[ +∞ (1) 3 1 0h e′ = − > exxexxh x −+−= 22)( ),1[ +∞ 0)1()( =≥ hxh cxbxaxexf +≥+≥− 2)( ),1[ +∞ 1 1 1 1 2 1 2 1 a a b b − − +       = =       − −        2 1 a b =  = 2( ) (1 ) 4f λ λ= − − ( ) 0f λ = 1, 3λ λ= − = 1, 3λ λ= − =第 14 页 21B 解：（1）因为点 P（1,3）在直线 l 上，则 ， 所以 ………………3 分 （2）将直线 l 的参数方程为 化为普通方程是 ， 将曲线 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程是 ， 则圆心到直线 l 的距离为 所以 ………………10 分 21C 解：（1）原不等式可化为 或 或 ， 解得 或 或 ，∴ ， ∴原不等式的解集为 ，故 ， ；………………5 分 （2）由（1）得 ，即 ， 所以 . 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 故所求最小值为 .………………10 分 22 解：因为四边形 为正方形， 21 2 2 23 2 t m t  = +  = + 4m = 22 2 24 2 x t y t  = +  = + 2y x= + 2ρ = 2 2 4x y+ = 2d = 2 2AB = 0 2 5 x x x x   + − < + 1 0x− < < 0 2x≤ ≤ 2 7x< < 1 7x− < < ( )1,7− 1m = − 7n = 7 1 0x y+ − = ( )7 1 0, 0x y x y+ = > > 1 1 7 7 7 8x y x y y x x y x y x y  + ++ = + = + +   2 7 8 7 1≥ + = + 7 7 1 y x x y x y  =  + = 1 7 7 x = + 7 7 7 y = + 7 1+ ABEF AF DF⊥第 15 页 所以 平面 又 所以，在平面 内作 ,垂足为点 O, 以 O 为坐标原点，OF 所在的直线为 x 轴，OD 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐 标系（如图所示）. ………………2 分 设 OF=a，因为 所以 （1）点 D 的坐标为 ，点 F 的坐标为 ，点 B 的坐标为 点 C 的坐标为 .则 ， 设向量 的夹角为 则 所以异面直线 BC，DF 所成角为 ………………5 分 （3）点 E 的坐标为 ， 设平面 DBE 的法向量为 ，由 得 ，取 得平面 DBE 的一个法向量为 ， 设平面 CBE 的法向量为 ，由 得 ，取 得平面 DBE 的一个法向量为 ， 设两个法向量 的夹角为 则 AF ⊥ DCEF 45DFE CEF∠ = ∠ =  DCEF DO EF⊥ 2 2AF FD= 2 , 4 , 2DF a AF a CD a= = = (0,0, )D a ( ,0,0)F a ( 3 ,4 ,0)B a a− ( 2 ,0, )C a a− ( ,4 , ), ( ,0, )BC a a a DF a a= = −  ,BC DF  θ cos 0 | | | | BC DF BC DF θ ⋅= = ⋅     2 π ( 3 ,0,0)E a− ( ,4 , ),BC a a a= (0, 4 ,0), ( 3 ,0, ),BE a DE a a= − = − −  1 ( , , )n x y z= 1 1 0 0 n DE n BE  ⋅ = ⋅ =     3 0 4 0 x z y + =  = 1x = 1 (1,0, 3)n = − 2 ( , , )n x y z= 2 2 0 0 n BC n BE  ⋅ = ⋅ =     4 0 4 0 x y z y + + =  = 1x = 2 (1,0, 1)n = − 1 2,n n  β 1 2 1 2 3 5cos 10| | | | n n n n θ ⋅= = ⋅    第 16 页 由于二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 ………………10 分 23(1)解　当 m=2,n＝3 时，A(3)＝ ＝6， 6 个排列分别为 1，2; 2，1; 1，3; 3，1； 2，3；3，2 . 则 P=16，Q＝8 .………………3 分 (3) 证明　显然 m≤pi≤n，pi∈ ，并且以 m 为最大元素的取法有 个， 以 m+1 为最大元素的取法有 个， 以 m+2 为最大元素的取法有 ，…， 以 k(m≤k