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资料简介
第 1 页 江苏省西亭高级中学 2020 届高三数学考前热身训练 数 学 Ⅰ 卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应 位置上) 1. 已知集合 ,则 = ▲ . 2. 已知复数 ( 为虚数单位)的实部为零,则复数 的模为 ▲ . 3. 已知一组数据 的平均数为 5,则该组数据的标准差是 ▲ . 4. 在今年的“抗疫”战斗中,某医疗组现有 3 名医生和 2 名 护士,需派遣其中两名医护人员去执行任务,则“至少有 一 名医生”的概率为 ▲ . 5. 某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时,为 解决“物不知数”问题,设计了如图所示的程序框图.执行此 程序框图,输出 a 的值为 ▲ . 6. 在一次大学校园双选招聘会上,某公司计划招收 名女生, 名男生,若 满足约束条件 ,则该公司计划 在本次校招所招收人数的最大值为 ▲ . 7. 已知函数 的图象关于点 对称, 则 当 的绝对值取最小时, 的值为 ▲ . 8. 如图,三棱锥 中,点 分别为棱 的中点,如果三棱锥 的体 积为 8,则几何体 的体积为 ▲ . { | 0 3}, {0,1,3}A x x B= < < = A B 1 a iz i += + i z 4,6,3,7,a x y ,x y 2 5 2 5 x y x y x − ≥  − ≤  ≤ ( ) 2sin(2 )f x x ϕ= + ( ,0)12 π ϕ ( )4f π P ABC− , , , ,D E F M N , , , ,PC PA PB BA BC P ABC− NMB DEF− n n+1← 2 21 a Z − ∈ 开始 n 1← a 0← 输出 a 结束 a 5n+3← 是 否 P A B C D E F MN第 2 页 9. 已知定义在实数集 上的函数 ,则不等式 的解集是 ▲ (结果用区间表示). 10. 已知等差数列 中, ,则 ▲ . 11.已知双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重 合,当 取得最小值时,双曲线 的离心率为 ▲ . 12. 在平面直角坐标系 中,动圆 截 轴所得的弦长恒为 .若过原点 作圆 的一条切线,切点为 ,则点 到直线 距 离的最大值为 ▲ . 13. 已知函数 ,(e=2.718 28…是自然对数的底数) ,若存在 ,使得 成立,则实数 的 取值范围是 ▲ . 14. 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 中 , BC=3 , 于 H, 若 , 则 的取值范围是 ▲ . 二、解答题(本大题共 5 小题,共计 90 分.解答写出必要的过程) 15.(本小题满分 14 分) 如图, 在直四棱柱 中, 四边 形 ABCD 为矩形,E 是 BC 的中点,F 是 上的 点,且满足 R | |( ) 3 cosxf x x= + ( 2) (2 )f x f x− > { }na 2 4 10 18a a a+ + = 6 84a a− = 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 4y x= 4 2 2 4a a b + + C xOy 2 2 2:( 4) ( )C x y b r− + − = x 4 2 O C A A 12 0x y+ − = 3 23 5 (1 2)2 2( ) 1 1 (2 )2 2 x x x f x x x e − + + ≤ > E 1 2 3( 1, )2 − A B CO D E F G第 4 页 (1) 求椭圆 的方程; (2) 过点 的直线交椭圆 于 两点,设椭圆 的左顶点为 A,记直线 PA,QA 的斜 率分别为 . ①求 的值; ②过 P 作垂直于 PA 的直线 l 交 x 轴于点 M.则 A,P,M,Q 四点是否共圆?若共 圆,求出该圆的方程;若不共圆,请说明理由. 19.(本小题满分 16 分) 已知正项数列 的前 n 项和是 ,满足 ( 为常数) (1)记 ,证明:数列 是等差数列; (2)若 , 成等比数列, ①求数列 的通项公式; ②设 ,其中 ,且对任意的正整数 k, 仍在数列 中,求 q 的所有值. 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 , ,其中 e=2.718 28…是自然对 数的底数. (1)当 时, ①若曲线 在 处的切线恰好是直线 ,求 c 的值; E F E ,P Q E 1 2,k k 1 2k k⋅ { }na nS *( )n N∈ 1( 1)( 1) ( )n n na a r S n++ + = + r 2n n nb a a+= − { }nb 6r = ( )2 3 5, ,3 1a S a + { }na 1 3 1( ) n n an nc q − −= 1(0, )2q∈ 1 2k k kc c c+ +− − { }nc *( ) ( )k xf x x e k= ∈N ( ) ,( ,g x cx m c m= + ∈R) 1k = ( )y f x= 1x = ( )y g x=第 5 页 ②若 ,方程 有正实数根,求 c 的取值范围. (2)当 时,不等式 对于任意 恒成立,当 c 取得最大值时,求实数 a 的最小值. 西亭中学 2020 届高三数学考前热身训练 数学 II (理科附加题) 21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内 作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A.【选修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分) 已知矩阵 M= ,若点 经过变换 后得到点 ,求矩阵 M 的特征值. B. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分) 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),点 P(1,3)在直线 l 上. (1)求 m 的值; (2)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C: m e= − ( ) ( )f x g x= 2, 1k m= = − 2( ) ( )f x e ax bx g x− ≥ + ≥ [1, )x∈ +∞ 1 2 a b      ( 1,1)− MT (1, 1)− 22 2 2 2 x t y m t  = +  = + 2ρ =第 6 页 与直线 l 交于点 A,B,求线段 AB 的长. C.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分) 已知不等式 的解集为 . (1)求 , 的值; (2)若 , , ,求 的最小值. 【必做题】请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在以 为顶点的五面体中,四边形 为正方形, , , . (1)求异面直线 BC,DF 所成角的大小; (2)求二面角 的余弦值. 23.(本小题满分 10 分) 当 时,集合 A={1,2,3,…,n},取集合 A 中 m 个不同元素的 排列分别表示为 M1,M2,M3,…,MA(n)-1,MA(n),其中 A(n)表示取集合 A 中 m 个不同 元素的排列的个数.设 pi 为排列 Mi 中的最大元素,qi 为排列 Mi 中的最小元素, 2 5x x x+ − < + ( ),m n m n 0x > 0y > 0nx y m+ + = 1 1 x y + , , , , ,A B C D E F ABEF AF DF⊥ 2 2AF FD= 45DFE CEF∠ = ∠ =  D BE C− − , *n m m n≥ ∈N, A B E F C D第 7 页 1≤i≤A(n),记 P=p1+p2+…+pA(n)-1+pA(n),Q=q1+q2+…+qA(n)-1+qA(n). (1)当 m=2,n=3 时,分别求 A(3),P,Q; (2)对任意的 ,求 P 与 Q 的等式关系. 江苏省西亭高级中学 2020 届高三数学考前热身训练 数 学 Ⅰ 卷 参 考 答 案 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应 位置上) 1. ; 2. 1; 3. ; 4. ; 5. 23; 6. 10; 7. ; 8. 3; 9. ; 10. 18; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 二、解答题 15 证明:(1)在直四棱柱 中 平面 ABCD AD 平面 ABCD 因为四边形 ABCD 为矩形 所以 因为 平面 , 所以 平面 又因为 平面 所以 ………………7 分 (2)连结 AC,设 ,连结 OF *m∈N {1} 2 9 10 3 2( 2, )3 − 2 8 2 3[ ,5]2e 3 2(0, )2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD ⊥ ⊂ 1DD AD⊥ DC AD⊥ 1,DC DD ⊂ 1 1CDD C 1CD DD D= DA ⊥ 1 1CDD C 1CD ⊂ 1 1CDD C 1AD D C⊥ CA DE O=第 8 页 因为,四边形 ABCD 为矩形,所以 且 又 ,所以 又因为 在 中, ,而 平面 DEF, 平面 DEF 所以, 平面 DEF.………………14 分 16 解:(1)因为, ,由正弦定理 得 , 所以, 因为,在 中, 所以, 所以, , 又 ,所以 ………………6 分 (2)因为,在 中, ,所以 由正弦定理 得 因为,在 中, 所以, 所以, 的面积 S ………………14 分 17 解:以 O 为坐标原点,OC 所在的直线是 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy 由于 OC=4 , , 所以点 C 的坐标为(4,0)点 B 的坐标为(2,2) ,点 A 的坐标为(1,1) 由于抛物线的顶点为点 O 对称轴是直线 OC,可设抛物线方程为 y2=mx, / /BC AD BC AD= BE EC= 2AO OC= 1 2 .D F FC= 1ACD 1 / /D A OF OF ⊂ 1D A ⊄ 1 / /D A (5 4 )cos 4 cosa c B b C− = sin sin sin a b c A B C = = (5sin 4sin )cos 4sin cosA C B B C− = 5sin cos 4(sin cos sin cos ) 4sin(B C)A B B C C B= + = + ABC△ 180A B C+ + =  sin( ) sin(180 ) sinB C A A+ = − = 5sin cos 4sinA B A= (0, ),sinA 0A π∈ ≠ 4cos 5B = ABC△ 4cos 5B = 2 3sinB 1 cos 5B= − = sin sin sin a b c A B C = = sin 5 2sin bc CB = ⋅ = ABC△ 180A B C+ + =  7 2sin sin(180 ) sin( ) sin cos cos sin 10A A B C B C B C= − = + = + = ABC△ 1 sin 212 bc A= = 2 2BC = 4OCB π∠ = 2BA =第 9 页 将点 A 的坐标代入得 m=100,所以抛物线方程为 y2=x, 直线 CB 的方程是 y=4-x ,直线 AB 的方程是 y=x ………………2 分 (1)因为设 DG=x,所以当 0 2( ) ( 2 ) 2 1xh x x x e x′ = + − + ),1[ +∞ (1) 3 1 0h e′ = − > exxexxh x −+−= 22)( ),1[ +∞ 0)1()( =≥ hxh cxbxaxexf +≥+≥− 2)( ),1[ +∞ 1 1 1 1 2 1 2 1 a a b b − − +       = =       − −        2 1 a b =  = 2( ) (1 ) 4f λ λ= − − ( ) 0f λ = 1, 3λ λ= − = 1, 3λ λ= − =第 14 页 21B 解:(1)因为点 P(1,3)在直线 l 上,则 , 所以 ………………3 分 (2)将直线 l 的参数方程为 化为普通方程是 , 将曲线 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程是 , 则圆心到直线 l 的距离为 所以 ………………10 分 21C 解:(1)原不等式可化为 或 或 , 解得 或 或 ,∴ , ∴原不等式的解集为 ,故 , ;………………5 分 (2)由(1)得 ,即 , 所以 . 当且仅当 ,即 , 时取等号, 故所求最小值为 .………………10 分 22 解:因为四边形 为正方形, 21 2 2 23 2 t m t  = +  = + 4m = 22 2 24 2 x t y t  = +  = + 2y x= + 2ρ = 2 2 4x y+ = 2d = 2 2AB = 0 2 5 x x x x   + − < + 1 0x− < < 0 2x≤ ≤ 2 7x< < 1 7x− < < ( )1,7− 1m = − 7n = 7 1 0x y+ − = ( )7 1 0, 0x y x y+ = > > 1 1 7 7 7 8x y x y y x x y x y x y  + ++ = + = + +   2 7 8 7 1≥ + = + 7 7 1 y x x y x y  =  + = 1 7 7 x = + 7 7 7 y = + 7 1+ ABEF AF DF⊥第 15 页 所以 平面 又 所以,在平面 内作 ,垂足为点 O, 以 O 为坐标原点,OF 所在的直线为 x 轴,OD 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐 标系(如图所示). ………………2 分 设 OF=a,因为 所以 (1)点 D 的坐标为 ,点 F 的坐标为 ,点 B 的坐标为 点 C 的坐标为 .则 , 设向量 的夹角为 则 所以异面直线 BC,DF 所成角为 ………………5 分 (3)点 E 的坐标为 , 设平面 DBE 的法向量为 ,由 得 ,取 得平面 DBE 的一个法向量为 , 设平面 CBE 的法向量为 ,由 得 ,取 得平面 DBE 的一个法向量为 , 设两个法向量 的夹角为 则 AF ⊥ DCEF 45DFE CEF∠ = ∠ =  DCEF DO EF⊥ 2 2AF FD= 2 , 4 , 2DF a AF a CD a= = = (0,0, )D a ( ,0,0)F a ( 3 ,4 ,0)B a a− ( 2 ,0, )C a a− ( ,4 , ), ( ,0, )BC a a a DF a a= = −  ,BC DF  θ cos 0 | | | | BC DF BC DF θ ⋅= = ⋅     2 π ( 3 ,0,0)E a− ( ,4 , ),BC a a a= (0, 4 ,0), ( 3 ,0, ),BE a DE a a= − = − −  1 ( , , )n x y z= 1 1 0 0 n DE n BE  ⋅ = ⋅ =     3 0 4 0 x z y + =  = 1x = 1 (1,0, 3)n = − 2 ( , , )n x y z= 2 2 0 0 n BC n BE  ⋅ = ⋅ =     4 0 4 0 x y z y + + =  = 1x = 2 (1,0, 1)n = − 1 2,n n  β 1 2 1 2 3 5cos 10| | | | n n n n θ ⋅= = ⋅    第 16 页 由于二面角 为锐二面角,所以二面角 的余弦值为 ………………10 分 23(1)解 当 m=2,n=3 时,A(3)= =6, 6 个排列分别为 1,2; 2,1; 1,3; 3,1; 2,3;3,2 . 则 P=16,Q=8 .………………3 分 (3) 证明 显然 m≤pi≤n,pi∈ ,并且以 m 为最大元素的取法有 个, 以 m+1 为最大元素的取法有 个, 以 m+2 为最大元素的取法有 ,…, 以 k(m≤k

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