2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学模拟试题（PDF版，含解析）

1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷） 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单项选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集  3,U x x x Z=   ，  1,2M = ，  2, 1,2N = − − ，则 ( )UMN=（ ）. A． 1 B． 1,2 C． 2 D． 0,1,2 2．函数 ( ) sin2 x xfx e = 的大致图像是（ ） A． B． C． D． 3．在 ABC 中，D 为 BC 边上一点，若 ABD△ 是等边三角形，且 43AC = ，则 ADC 的面积的最大值为（ ） A． 43 B． 63 C．83 D．10 3 4．数列 na 是各项均为正数的等比数列，数列 nb 是等差数列，且 56ab= ，则（ ） 2 A． 3 7 4 8a a b b+  + B． 3 7 4 8a a b b+  + C． 3 7 4 8a a b b+  + D． 3 7 4 8a a b b+ = + 5．已知 2log 0.7a = ， 0.12b = ， ln 2c = ，则( ) A．b c a B． a c b C．bac D．abc 6．设函数 ( ) sin( )( 0,0 )f x x    = +    的图象关于点 ( ,0)3M  对称，点 M 到 该函数图象的对称轴的距离的最小值为 4  ，则（ ） A． ()fx的周期为2 B． 的初相 6  = C． 在区间 2[ , ]33 上是单调递减函数 D．将 的图象向左平移12  个单位长度后与函数 cos 2yx= 图象重合 7．2018 年 6 月 18 日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了 5 个粽子，其 中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同 一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A． 1 4 B． 3 4 C． 1 10 D． 3 10 8．若 1 3 21xlog − ，则函数 f（x）＝4x﹣2x+1+1 的最小值为（ ） A．4 B．0 C．5 D．9 9．已知i 为虚数单位，实数 a ，b 满足(2 )( ) ( 8 )i a bi i i− − = − − ，则ab 的值为（ ） A．6 B．-6 C．5 D．-5 5− 10．已知 1 0 a xdx=  ， 1 2 0 b x dx=  ， 1 0 c xdx=  ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A． abc B． a c b C．bac D． c a b 3 11．在 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc， 的面积为 S ，已知 15A = ， 243Sa= ，则 bc cb+ 的值为（ ） A． 2 B． 22 C． 6 D． 26 12．已知函数 ( )fx的定义域为 R ，且 ( )26f = ，对任意 xR ， ( ) 2fx  ，则 ( ) 22f x x+的解集为（ ） A．( ),2− − B．( )2,+ C．( )2,2− D．( ),− + 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．变量 满足约束条件 ，若 的最大值为 2，则实数 等于 _________ 14．已知正数 x ， y 满足 2xy+=，若 22 12 xya xy+++恒成立，则实数 a 的取值范围 是______ 15．在三棱锥 P ABC− 中， 6, 3PB AC==，G 为 PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的 一个截面，使截面平行于直线 PB 和 AC，则截面的周长为_________. 16．某人乘车从 A 地到 B 地，所需时间（分钟）服从正态分布 N（30，100），求此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若 2~ ( , )ZN ， 则 ( ) 0.6826PZ   −   + = ， ( 2 2 ) 0.9544PZ   −   + = ， ( 3 3 ) 0.9974PZ   −   + = ． 4 三、解答题(本题共 7 小题，共 70 分。其中 22、23 为二选一题目 10 分，其余每题 12 分。解 答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数 2( ) ( )xf x e x ax a= + + ． （1）当 1a = 时，求曲线 ()y f x= 在点(0, (0))f 处的切线方程． （ 2 ）求 ()fx的单调区间． （3）求证：当 4a  时，函数 存在最小值． 18．已知 (2,1)P ，直线l 分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于 A 、 B 两点，O 为坐标原点. （1）若直线 方程为 y x b= − + （ 0b  ），且 1ABPS = ，求b 的值； （2）若直线 经过点 P ，设 的斜率为 k ，M 为线段 AB 的中点，求OM OP 的最小值. 19．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，侧棱垂直于底面，AB BC⊥ ，E ，F 分别是 11AC ， BC 的中点. (1)求证:平面 ABE ⊥ 平面 11B BCC ；(2)求证: 1 //CF 平面 ABE . 5 20．已知 ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， ( )cos 2 cosa B c b A=− ， 3a = ， 2c = . （1）求角 ；（2）求 的面积. 21．已知非单调数列{an}是公比为 q 的等比数列，a1＝ 3 2 ，其前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且 满足 S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式和前 n 项和 Sn； (2)bn＝ 2( 1)n nnS− ＋ 2 2n nn+ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 22．平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 13 1 12 1 x y     −+ = + − = + （  为参数，且 1 − ）. 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 12 cos 32 0  + + = . （1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）已知点 P 的极坐标为 2 2, 4   ，Q 为曲线 上的动点，求 PQ 的中点 M 到曲线 的距离的最大值. 6 23．设函数 ， （1）证明 （2）若不等式 的解 2 集非空，求 的取值范围． 7 参考答案 1．D 【解析】    3, 2, 1 0,1,2U x x x Z=   = − − − ,则  0,1UCN= , 故 ( )  0,1,2UMN= 2．A 【解析】由函数 ( ) sin2 x xfx e = 为奇函数，排除 B，D.当 x=0.1 时， ( ) 0fx ,排除 C. 3．A 【解析】由已知 43AC = ， 120ADC =  ，如图所示； 可构造 ADC 的外接圆，其中点 D 在劣弧 AC 上运动，又在边 BC 上， 当运动到弧中点时， 面积最大，此时 为等腰三角形， 其面积为 21 1 1 3tan 30 (4 3) 4 32 2 4 3ADCS AC AC =   =   = ．故选：A． 4．B 【解析】∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵ 56ab= ，∴a1q4=b1+5d， 37aa+ =a1q2+a1q6 ， 48bb+ =2（b1+5d）=2b6=2a5， ﹣2a5= a1q2+a1q6﹣2a1q4 =a1q2（q2﹣1）2≥0，所以 ≥ 5．B 【解析】因为 2log 0.7a = 2log 1 0=， 0.1 02 2 1b =  = ，ln1 ln 2 ln 1ce =  = ， 8 所以 a c b. 故选：B. 6．D 【解析】因为点 ( ,0)3M  到对称轴的距离的最小值为 4  ， 所以 2, , 244 T T T = = = = ，选项 A 不正确；函数 ( ) sin(2 )f x x =+，由 ( ) 03f  = 得 2sin( ) 0,33 + = = ，选项 B 不正确； ( ) sin(2 )3f x x =+，当 2 33x 时， 52 33x   +  ，而函数 sinyx= 在 5 3   ， 上不具备单调性，选项 C 错误；将函数 ()fx的图象向左平移12  后，得到 sin 2( ) sin(2 ) cos 212 3 2y x x x  = + + = + = ，选 项 D 正确．故选 D. 7．A 【解析】设事件 A =“取到的两个为同一种馅”，事件 B =“取到的两个都是腊肉馅馅”， 由题意， 22 2 23 241,10 10 10 10 CC CP A P AB+= = = =（ ） ，（ ） ， ( ) ( ) 1|.4 P ABP B A PA = =（ ） 8．A 【解析】 1 1 2 133 3 12 0, 2 1, log 3log 2log xlog x  −   − = ， 令 222 3, 2 1 ( 1)xt y t t t=  = − + = − ，当 23, log 3tx== 时，f（x）取得最小值为 4. 9．A 【解析】∵( )( ) ( ) ( )2 2 2 8 1 8i a bi a b b a i i i i− − = − − + = − − = − ， ∴ ( ) 21 28 ab ba −= − + = − ，解得 2 3 a b =  = ．∴ab 的值为 6． 9 10．C 【解析】因为 11 1 1 3 2 1 2 3 12 00 0 0 00 1 1 1 1 2 2, , |2 2 3 3 3 3a xdx x b x dx x c xdx x= = = = = = = = =   , 所以bac,故选 C. 11．B 【解析】 15A = ， 243Sa= ， 2214 3 sin15 2 cos152 bc b c bc  = + −  ， 222 3 sin15 2 cos15bc bc b c  +  = + ， 22314 sin15 cos1522bc b c  +  = + ( ) 224 sin 15 30bc b c  +  = + ，整理可得， 2222b c bc+= ， 22 22bc bc bc+= ， 则 22bc cb+= . 12．B 【解析】构造函数 ( ) ( ) 22g x f x x= − − ，则 ( ) ( ) 20g x f x= −  ， 则函数 ( )y g x= 在 R 上递增， ( )26f = ，则 ( ) ( )2 2 6 0gf= − = ， 由 ( ) 22f x x+可得 ( ) ( )2g x g ， 2x. 所以，不等式 的解集为( )2,+ . 13．1 【解析】由可行域知，直线 必过直线 与 的交点， 即直线 必过直线 与 的交点 ，所以 14． 4, 5 −  【解析】因为 2xy+=， 所以 2 2 2 2( 1) 2( 1) 1 ( 2) 4( 2) 4 1 2 1 2 x y x x y y x y x y + − + + + − + ++ = ++ + + + 10 1 4 1 41 2 2 4 11 2 1 2xyx y x y= + + − + + + − = − + ++ + + + ，而 1 4 1 1 4 1 2 4( 1) 1 9( 1 2)( ) 1 ( ) 1 2 41 2 5 1 2 5 1 2 5 5 yxxyx y x y x y +++ = + + + + = + +  +  =+ + + + + + 当且仅当 2 4( 1) 12 yx xy ++=++，即 24,33xy==时等号成立， 所以 22 1 4 9 4111 2 1 2 5 5 xy x y x y+ = − + +  − + =+ + + + ，故知 4 5a  ，故答案为： 4, 5 −  15．8 【解析】如图所示，过点 G 作 EF∥AC，分别交 PA，PC 于点 E，F 过点 F 作 FM∥PB 交 BC 于点 M，过点 E 作 EN∥PB 交 AB 于点 N. 由作图可知：EN∥FM，∴四点 EFMN 共面,可得 MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM. ∴ 2 3 EF MN AC AC==,可得 EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周长为 8. 16．0.1359 【解析】∵ ( ) 0.682 6PX   −   + = ，∴ 1 0.682 6()2PX  − + = ， ∴ ( ) 1PX  + = − 1 0.682 6 1 0.682 6 2 2 2 − =+ ．又 ( 2 2 ) 0.954 4PX   −   + = ，∴ 1 0.954 4( 2 ) 2PX  − + = ， ∴ 1 0.954 4 1 0.954 4( 2 ) 1 2 2 2PX  − + = − = + ， 11 ∴ ( 2 ) ( 2 )P X P X     +   + =  + − ()PX + 1 0.954 4 1 0.682 6()2 2 2 2= + − + 1 (0.954 4 0.682 6)2=  − 0.135 9= ． ∵ 30 = ， 10 = ，∴ (40 50) 0.1359PX  = ． 因此，此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率是 0.1359 ． 17．【解析】（1）当 1a = 时， ( ) ( )2 1xf x e x x= + + ， ( ) ( )2 32xf x e x x+ =+， ∴ ( )01f = ， ( )02f  = ， ∴曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )0, 0f 处的切线方程为： ( )1 2 0yx− = − ，即 21yx=+． （ 2 ）由 ( ) ( )2xf x e x ax a= + + ， 得: ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2xxf x e x a x a e x a x = + + + = + + ， 令 ( ) 0fx = ，解得： 2x =− 或 xa= ， ①当 2a− = − ，即 2a = 时， ( ) ( )220xf x e x + =， ( )fx在 R 上单调递增； ②当 2a−  − ，即 2a  时，令 ( ) 0fx  ，得 2x − 或 xa− ； 令 ( ) 0fx  ，得 2 xa−   − ， ∴ 的单调增区间是( ),2− − 和( ),a− + ，单调减区间是( )2, a−− ； ③当 2a−  − ，即 2a  时，令 ，得 xa− 或 2x − ； 令 ，得 2ax−   − ， ∴ 的单调增区间是( ), a− − 和( )2,− + ，单调减区间是( ),2a−−． 综上所述，当 时，函数 在 上递增； 12 当 2a  时， ( )fx的单调增区间是( ),2− − 和( ),a− + ，单调减区间是( )2, a−− ； 当 2a  时， 的单调增区间是( ), a− − 和( )2,− + ，单调减区间是( ),2a−−． （3）由（1）得：当 4a  时，函数 在  ),xa − + 上有 ( ) ( )2f x f−， 且 ( ) ( )22 4 0f e a−− = −  ，∵ ， ∴ ( ),xa − − 时， ( ) 0x x a+，e0x  ， ( ) ( ) 0xf x e x x a a= + + ， ∴ 时，函数 存在最小值 ( )2f − ． 18．【解析】（1）因为直线l 方程为 y x b= − + （ 0b  ） 分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于 A 、 B 两点，所以 ( ,0)Ab 、 (0, )Bb，因此 2AB b= ， 又点 (2,1)P 到直线 的距离为： 2 1 3 1 1 2 + − −== + bbd ， 1ABPS = ， 所以 3311212 2 22 −−=  =   = =ABP b b bS AB d b ， 因此 2 32− = bb ，由 2 32−=bb，解得 3 17 2 =b ，因为 ，所以 3 17 2 +=b ； 由 2 32− = −bb ，解得 1b = 或 2b = ，综上，b 的值为 1 或 2 或 3 17 2 + ； （2）由题意得，直线 的方程为： 1 ( 2)y k x− = − ， 由 0x = 得 12yk，所以 (0,1 2 )−Bk；由 0y = 得 12x k=− ，所以 12 ,0A k − ； 又 、 两点分别在 轴、 轴的正半轴上，所以 120 1 2 0 k k  −  − ，解得k0 ； 13 因为 M 为线段 AB 的中点，所以 111,22 −− Mkk ， 因此 ( )1 1 5 1 5 92 1 22 2 2 2 2     = − + − = + − + −  + =       OM OP k kkk， 当且仅当 1− = −k k ，即 1k =− 时，取等号.故OM OP 的最小值为 9 2 . 19．【解析】(1)在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 1BB ⊥ 底面 ABC ， 所以 1BB AB⊥ .又因为 AB BC⊥ ，所以 AB ⊥ 平面 11B BCC ； 又 AB 平面 ABE ，所以平面 ABE ⊥ 平面 ； (2)取 的中点G ，连接 EG ， FG . 因为 E ， F ， 分别是 11AC ， BC ， 的中点， 所以 //FG AC ，且 1 2FG AC= ， 1 1 1 1 2=EC AC . 因为 11//AC AC ，且 11AC AC= ，所以 1//FG EC ，且 1FG EC= ， 所以四边形 1FGEC 为平行四边形，所以 1 //C F EG ， 又因为 EG  平面 ， 1CF 平面 ，所以 1 //CF 平面 . 20．【解析】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sinA B C A A B=−， 所以sin cos cos sin 2sin cosA B A B C A+= ，即 ( )sin 2sin cosA B C A+= . 14 因为 ( )C A B= − + ，所以 ( )sin sin 2sin cosA B C C A+ = = ， ( )0,C  ，则sin 0C  ，故 1cos 2A = .因为 ( )0,A  ，所以 3A = ； （2）根据正弦定理有 sin sin ac AC= ，所以 csin 3sin 3 AC a==. 因为 ac ，所以 0, 2C  ，所以 2 6cos 1 sin 3CC= − = ， 所以 ( ) 3 2 3sin sin sin cos cos sin 6B A C A C A C += + = + = . 所以 ABC 的面积 1 1 3 2 3sin 3 22 2 6ABCS ac B += =    3 2 3 2 += . 21．（1）【解析】(1)∵S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4 成等差数列， ∴2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4),∴a3＝4a5，q2＝ ，q＝－ ， an＝ · n－1，∴Sn＝1－ n. (2)bn＝(－1)nn2Sn＋ ＝(－1)nn2 ＋ ＝(－1)nn2＋ . 设(－1)nn2 的前 n 项和为 Hn， 的前 n 项和为 Qn ①当 n 为偶数时， Hn＝－12＋22－32＋42＋…－(n－1)2＋n2＝1＋2＋3＋4＋…＋n－1＋n＝ ， Qn＝1× ＋2× 2＋…＋n× n ① Qn＝1× 2＋…＋(n－1)× n＋n× n＋1 ② ①－②得， Qn＝ ＋ 2＋…＋ n－n× n＋1＝1－ ， ∴Qn＝2－ ∴Tn＝Hn＋Qn＝ ＋2－ ＝ － 15 ②当 n 为奇数时， Hn＝ －n2＝－ ，∴Qn＝2－ ∴Tn＝Hn＋Qn＝－ ＋2－ ＝－ － 综合①②，∴Tn＝ 22．【解析】（1）因为 13,1 12,1 x y     −+ = + − = + ① ② ，所以 3×①+4×②，得3 4 1xy+=. 又 1 3 3(1 ) 4 4331 1 1x     − + + −= = = − + + + ， 所以 1C 的普通方程为 ( )3 4 1 0 3x y x+ − =  ， 将 cos x= ， 2 2 2xy =+代入曲线 2C 的极坐标方程， 得曲线 的直角坐标方程为 2212 32 0x y x+ + + = . （2）由点 P 的极坐标 2 2, 4   ，可得点 P 的直角坐标为( )2,2 . 设点 ( )00,M x y ，因为 M 为 PQ 的中点，所以 ( )002 2,2 2Q x y−− 将 Q 代入 的直角坐标方程得( ) ( )22 002 1 1xy+ + − = ， 即 M 在圆心为( )2,1− ，半径为 1 的圆上. 所以点 M 到曲线 距离的最大值为 | 2 3 1 4 1| 8155d −  +  −= + = ， 由（1）知 不过点 ( )3, 2N − ，且 3 1 2 3 9 14 2 3 4 20MNk +    − =  − =  −   −−    ， 即直线 MN 与 不垂直.综上知，M 到曲线 的距离的最大值为 8 5 . 16 23． 【解析】（1） 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x a a x a ax x x+ − = − + − −  − − − − 112xxxx= + = +  , （2）函数 ( )23 ( ) (2 ) 2 2 32 2 a x x a ay f x f x x a x a x a x ax a x   −  = + = − + − = −     −  函数的图象为： 当 2 ax = 时， min 2 ay =− ，依题意， 1 22 a−，则 1a − ,∴ a 的取值范围是 10a−   .