文科2010-2019高考数学真题分类训练专题4三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 2019 年 1.解析 因为 bsinA+acosB=0，所以由正弦定理，可得： ， 因为 ， ，所以可得 ，可得 ， 因为 ，所以 ． 2.解析因为 的内角 的对边分别为 . 利用正弦定理将角化为边可得 ① 由余弦定理可得 ② 由①②消去 得 ， 化简得 ，即 . 故选A． 3.解析（Ⅰ）由余弦定理 ，得 ． 因为 ， 所以 ． 解得 ．则 ． （Ⅱ）由 ，得 ． 由正弦定理得， ． 在 中， ， sin sin sin cos 0A B A B+ = (0,π)A∈ sin 0A > sin cos 0B B+ = tan 1B = − (0,π)B∈ 3π 4B = ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 24a b c− = 2 2 2 1cos 2 4 b c aA bc + −= = − a ( )2 2 2 24 1cos 2 4 b c b c A bc + − + = = − 6b c= 6b c = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 13 2 3 ( )2b c c= + − × × × − 2b c= + 2 2 2 1( 2) 3 2 3 ( )2c c c+ = + − × × × − 5c = 7b = 1cos 2B = − 3sin 2B = 3 3sin sin 14 aA Bb = = ABC△ B C A+ = π − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 4.解析（1）由题设及正弦定理得 ． 因为 ，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ，因此 ． （2）由题设及（1）知△ABC的面积 ． 由正弦定理得 ． 由于 为锐角三角形，故 ， ，由（1）知 ， 所以 ，故 ，从而 ． 因此， 面积的取值范围是 ． 5.解析（Ⅰ）在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， . 由余弦定理可得 . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 从而 ， ， ( ) 3 3sin( ) sin sin 14B C A A+ = π − = = sin sin sin sin2 A CA B A + = sin 0A ≠ sin sin2 A C B + = 180A B C °+ + = sin cos2 2 A C B+ = cos 2sin cos2 2 2 B B B= cos 02 B ≠ 1sin 2 2 B = 60B = ° 3 4ABCS a=△ ( )sin 120sin 3 1 sin sin 2tan 2 Cc Aa C C C ° − = = = + ABC△ 0 90A° < < ° 0 90C° < < ° 120A C+ = ° 30 90C° < < ° 1 22 a< < 3 3 8 2ABCS< cos 2sin 0B B= > 2 5cos 5B = π 2 5sin cos2 5B B + = =   4AB = 3BC = 5AC = 4sin 5C = BCD△ sin sin BD BC C BDC = ∠ 12 2 5BD = 135CBD C∠ = − 2 2 4 3 7 2sin sin(135 ) (cos sin )2 2 5 5 10CBD C C C  ∠ = − = + = × + =    ( ) 7 2cos cos 90 sin 10ABD CBD CBD∠ = − ∠ = ∠ = 2 1 3cos 2cos 1 2 12 5 5 = − = × − = −CC 2 2 2 32 cos 25 1 2 5 1 ( ) 325 = + − ⋅ = + − × × × − =AB AC BC AC BC C 4 2=AB 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2．C【解析】根据题意及三角形的面积公式知 ， 所以 ，所以在 中， ．故选 C． 3．B【解析】由 ， 得 ， 即 ， 所以 ，因为 为三角形的内角，所以 ， 故 ，即 ，所以 ． 由正弦定理 得， ，由 为锐角，所以 ，选 B． 4．D【解析】由余弦定理，得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），故选 D． 5．D【解析】设 边上的高为 ，则 ， ， 所以 ．由正弦定理，知 ， 即 ，解得 ，故选 D． 6．C【解析】由余弦定理得 ，所以 ，所以 ，即 ，又 ， 所以 ． 7．C【解析】由余弦定理得： ， 所以 ， 即 ，解得： 或 ，因为 ，所以 ，故选 B． 8．B【解析】 ，∴ ，所以 或 ． 2 2 21 sin2 4 a b cab C + −= 2 2 2 sin cos2 a b cC Cab + −= = ABC∆ 4C π= sin sin (sin cos )B A C C+ − 0= sin( ) sin (sin cos ) 0A C A C C+ + − = sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C+ + − = sin (sin cos ) 0C A A+ = C sin 0C ≠ sin cos 0A A+ = tan 1A = − 3 4A π= sin sin a c A C = 1sin 2C = C 6C π= 24 2 2 cos 5b b A+ − × = 23 8 3 0b b− − = 3b = 1 3b = − BC AD 3BC AD= 2DC AD= 2 2 5AC AD DC AD= + = sin sin AC BC B A = 5 3 sin2 2 AD AD A = 3 10sin 10A = 2 2 2 2 22 cos 2 2 cosa b c bc A b b A= + − = − 2 22 (1 sin ) 2 (1 cos )b A b A− = − sin cosA A= tan 1A = 0 A π< < 4A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 32 2 3 2 2 3 2b b= + − × × × 2 6 8 0b b− + = 2b = 4b = b c< 2b = 1 1sin2 2AB BC B⋅ ⋅ = 2sin 2B = 45B =  135B =  天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 时， ， 此时 ，易得 与“钝角三角形”矛盾； 当 时， ． 9．A【解析】因为 ，由 得 ， 即 ， 整理得 ， 又 ， 因此 ，由 得 ， 即 ，因此选项 C、D 不一定成立．又 ， 因此 ，即 ，选项 A 一定成立．又 ， 因此 ，显然不能得出 ，选项 B 不一定成立．综上所述， 选 A． 10．C【解析】由 可得 ①，由余弦定理及 可得 ②．所以由①②得 ，所以 ． 11．C【解析】∵ ， ∴ 12．D【解析】 ， ，由余弦定理解得 13．A【解析】边换角后约去 ，得 ，所以 ，但 B 非最大角， 所以 ． sin B 1sin( ) 2A C+ = 1sin 2B = 6B π= 45B =  2 2 2 cos 1AC AB BC AB BC B= + − ⋅ = 1, 2AB AC BC= = = 90A =  135B =  2 2 2 cos 5AC AB BC AB BC B= + − ⋅ = A B C π+ + = 1sin 2 sin( ) sin( ) 2A A B C C A B+ − + = − − + 1sin 2 sin 2 sin 2 2A B C+ + = 1sin[( ) ( )] sin[( ) ( )] sin 2 2A B A B A B A B C+ + − + + − − + = 1sin sin sin 8A B C = 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B= = = 3 2 2 2 2 2 21 1sin sin sin8 64S a b c A B C a b c= = 1 2S≤ ≤ 2 2 2 311 264 a b c≤ ≤ 8 16 2abc≤ ≤ 0b c a+ > > ( ) 8bc b c bc a+ > ⋅ ≥ ( ) 8bc b c+ > 0a b c+ > > ( ) 8ab a b+ > ( ) 16 2ab a b+ > 2 2( ) 6c a b= − + 2 2 2 2 6a b c ab+ − = − 3C π= 2 2 2a b c ab+ − = 6ab = 1 3 3sin2 3 2ABCS ab π ∆ = = tan15 tan(60 45 ) 2 3= − = −   60tan 60 60tan15 120( 3 1)BC = − = −  225cos 1 0A− = 1cos 5A = 5b = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 14．C【解析】由余弦定理可得 ，再由正弦定理得 ． 15．B【解析】∵ ，∴由正弦定理得 ， ∴ ，∴ ,∴ ，∴△ABC 是直角三角形． 16．B【解析】由正弦定理得： 17．D【解析】由正弦定理，得 ， 即 ， ，∴ ． 18．D【解析】设 ，则 ， ， ，在 中，由余弦定 理得 ，则 ，在 中， 由正弦定理得 ，解得 ． 19．A【解析】因为 ， ， 所以 ， 所以 因为 ，所以 ，所以 ．故选 A． 20． 【解析】由 得， ， 因为 ，所以 ， 因为 ， ，所以 5AC = 3 10sin 10A = cos cos sinb C c B a A+ = 2sin cos sin cos sinB C C B A+ = 2sin( ) sinB C A+ = 2sin sinA A= sin 1A = 3 2 2 3sin sin sin 60 sin 45 BC AC AC ACA B ° °= ⇔ = ⇔ = 2 2sin sin sin cos 2 sinA B B A A+ = 2 2sin (sin cos ) 2 sinB A A A⋅ + = sin 2 sinB A= sin 2sin b B a A = = AB c= AD c= 2 3 cBD = 4 3 cBC = ΔABD 2 2 2 2 4 13cos 2 3 c c c A c + − = = 2 2sin 3A = ΔABC 4 3 sin sin 2 2 3 c c BC C A = = 6sin 6C = 120C∠ =  2c a= 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 2 12 2 ( )2a a b ab= + − − 2 2 , 0,aba b ab a b a ba b − = − = > >+ 0, 0a b> > 0aba b a b − = >+ a b> 2 3 3 sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = sin sin sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ = sin sin 0B C ≠ 1sin 2A = 2 2 2 8b c a+ − = 2 2 2 cos 02 b c aA bc + −= > 3cos 2A = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ， 所以 ． 21． ；3【解析】因为 ， ， ，所以由正弦定理得 ．由余弦定理 可得 ，所以 ． 22． 【解析】 的面积 ， 所以 ，因为 ，所以 ． 因为 为钝角，所以 ，所以 ， 所以 ， 故 的取值范围为 ． 23．9【解析】因为 ， 的平分线交 于点 ， 所以 ， 由三角形的面积公式可得 ， 化简得 ，又 ， ，所以 ， 则 ， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 9． 24． 【解析】由正弦定理得 8 3 3bc = 1 1 8 3 1 2 3sin2 2 3 2 3ABCS bc A∆ = = × × = 21 7 7a = 2b = 60A =  32sin 212sin 77 b AB a × = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 3 0c c− − = 3c = 60 (2, )° +∞ ABC△ 2 2 21 3 3sin ( ) 2 cos2 4 4S ac B a c b ac B= = + − = × tan 3B = 0 180A< ∠ 0c > 1 1 1a c + = 1 1 4 44 (4 )( ) 5 5 2 9c a c aa c a c a c a c a c + = + + = + + + ⋅ =≥ 2c a= 4a c+ 3 π 2sin cos sin cos sin cosB B A C C A= + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即 ， 所以 ，又 为三角形内角，所以 ． 25．75°【解析】由正弦定理 ，即 ， 结合 可得 ，则 ． 26． , 【解析】由余弦定理可得， ， 由 所以 ， ． 因为 ，所以 ，所以 ， B C A D 2sin cos sin( )B B A C= + 1cos 2B = B π 3B = sin sin b c B C = 36sin 22sin 3 2 b CB c × = = = b c< 45B =  180 75A B C= − − =  15 2 10 4 2 2 2 2 2 24 2 4 1cos 2 2 4 2 4 AB BC ACABC AB BC + − + −∠ = = =× × × × 2 2sin cos 1ABC ABC∠ + ∠ = 2 1 15sin 1 cos 1 16 4ABC ABC∠ = − ∠ = − = 1 sin2BDCS BD BC DBC∆ = × × ∠ 1 1sin( ) sin2 2BD BC ABC BD BC ABCπ= × × − ∠ = × × ∠ 1 15 152 22 4 2 = × × × = BD BC= D BCD∠ = ∠ 2ABC D BCD D∠ = ∠ + ∠ = ∠ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 27． 【解析】∵ ， ， 所以 ， ， 所以 ， 由正弦定理得： 解得 ． 28． 【解析】由正弦定理，得 ，即 ，所以 ， 所以 ． 29．4【解析】由 及正弦定理知： ，又因为 ，所以 ； 由余弦定理得： ，所以 ． 30．2【解析】由正弦定理可知： ． 31．7【解析】由已知得 的面积为 ，所以 ， ，所以 ．由余弦定理得 ， ． 32． 【解析】如图作 ，使 ， ，作出直线 分别交线段 、 于 、 两点（不与端点重合），且使 ，则四边形 就是符合 题 意 的 四 边 形 ， 过 作 的 平 行 线 交 于 点 ， 在 中 ， 可 求 得 ， 在 中 ， 可 求 得 ， 所 以 的 取 值 范 围 为 3sin 2sinA B= 2 2 2 12 cos 4 9 2 2 3 ( ) 164c a b ab C= + − = + − × × × − =  45sin)]4575(180sin[ ACAB =+− 245sin60sin 6 =⇒=⇒ ACAC  ABC∆ 1 sin 20sin2 AB AC A A⋅ = 10 3= 3sin 2A = (0, )2A π∈ 3A π= 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= + − ⋅ = 49 7BC = 111 cos 104cos cos 2 2 2 4 ABC ABCBDC +∠ + ∠∠ = = = = 21 13 4cos 5A = 5cos 13C = 3sin 5A = 12sin 13C = ( ) 63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C= + = + = sin sin b a B A = 21 13b = 4 π sin sin a b A B = 3 6 sin3 2 B = 2sin 2B = 4B π∠ = 3 2a b= 2a = 3b = 4c = ( 6 2, 6 2)− + PBC∆ 75B C∠ = ∠ =  2BC = AD PB PC A D 75BAD∠ =  ABCD C AD PB Q PBC∆ 6 2BP = + QBC∆ 6 2BQ = − AB 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 33．8 【解析】因为 ，所以 ， 又 ， ， 解方程组 ，得 ， ，由余弦定理得 ，所以 ． 34． 【解析】依题意， ， ，在 中， 由 ， 所以 ，因为 ，由正弦定理可得 ， 即 m，在 中，因为 ， ， 所以 ，所以 m． 35 ． 150 【 解 析 】 在 三 角 形 中 ， ， 在 三 角 形 中 ， ，解得 ，在三角形 中， ， 故 ． 36．2【解析】 由 得： ， 即 ， ，∴ ，故 ． Q D A P B C 30=∠BAC 105=∠ABC ABC∆ 180=∠+∠+∠ ACBBACABC 45=∠ACB 600=AB  30sin45sin 600 BC= 2300=BC BCDRt∆ 30=∠CBD 2300=BC 2300 30tan CD BC CD == 6100=CD bBcCb 2coscos =+ ( 6 2, 6 2)− + 0 A π< < 2 15sin 1 cos 4A A= − = 1 15sin 3 152 8ABCS bc A bc∆ = = = 24bc∴ = 2 24 b c bc − =  = 6b = 4c = 2 2 2 2 2 12 cos 6 4 2 6 4 644a b c bc A  = + − = + − × × × − =   8a = 100 6 ABC 100 2AC = MAC sin 60 sin 45 MA AC=   100 3MA = MNA 3sin 60 2100 3 MN = = 150MN = sin cos sin cos 2sinB C C B B+ = sin( ) 2sinB C B+ = sin 2sinA B= 2a b= 2a b = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 37． 【解析】 ， ，所以 ． 38． 【解析】∵ 根据余弦定理可得 39．①②③【解析】 ① ② ③当 时， 与 矛盾 ④取 满足 得： ⑤取 满足 得： 40．4【解析】根据余弦定理可得 ，解得 b=4 41． 【解析】在 中，根据 ， 得 ，同理 ， 因此 42． 【解析】根据 得 ， ， 所以 π 3 2 3sin 5sinA B= π 3 2 2 1 2cos2,53 222 =⇒−=−+=⇒=+=⇒ Cab cbaCacbba π 3 2 3 ∴ 2 2 2 cos 2 AB AD BDBAD AB AD + −∠ = • 2 2 22 2 (3 2) 3 33 2 3 2 3 BD BD + −∴ = ∴ = × × 2 2sin sin( ) cos2 3BAC BAD BAD π∠ = ∠ + = ∠ = 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 3 a b c ab abab c C Cab ab π+ − −> ⇒ = > = ⇒ < 2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3 a b c a b a ba b c C Cab ab π+ − + − ++ > ⇒ = > ≥ ⇒ < 2C π≥ 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b≥ + ⇒ ≥ + > + 3 3 3a b c+ = 2, 1a b c= = = ( ) 2a b c ab+ < 2C π< 2, 1a b c= = = 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ < 3C π< 2 2 14 (7 ) 2 2 (7 ) ( )4b b b= + − − × × − × − 2 7 ABC∆ sin sin sin AB AC BC C B A = = 3sin sin 2sinsin 3 2 ACAB C C CB = ⋅ = ⋅ = 2sinBC A= 2 2sin 4sinAB BC C A+ = + 22sin 4sin( )3C C π= + − 4sin 2 3 cos 2 7 sin( )C C C ϕ= + = + 15 3 4 sin sin AB AC C B = 5 3 5 3sin sin 7 2 14 ABC BAC = = × = 25 3 11cos 1 ( )14 14C = − = sin sin[ ( )] sin cos cos sinA B C B C B Cπ= − + = + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ = ． 43．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性． 当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： ， ， ， ， = 4． （方法二） ， ． 由正弦定理，得：上式= 44． 【解析】 由 得 ，即 ， 因 ，所以 .又因为 由正弦定理得 ， 解得 ，而 则 ,故 ． 45．【解析】(1)在 中，由正弦定理 ，可得 ， 又由 ，得 ， 即 ，可得 ． 又因为 ，可得 ． (2)在 中，由余弦定理及 ， ， ， 3 11 1 5 3 3 3 2 14 2 14 14 × − × = 1cos 3C = 2 1 cos 1tan 2 1 cos 2 C C C −= =+ 2tan 2 2 C = 1tan tan 2 tan 2 A B C = = = tan tan tan tan C C A B + 2 26cos 6 cosb a C ab C a ba b + = ⇒ = + 2 2 2 2 2 2 2 2 36 ,2 2 a b c cab a b a bab + −⋅ = + + = tan tan sin cos sin sin cos sin sin( ) tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B + ++ = ⋅ = ⋅ 21 sin cos sin sin C C A B = ⋅ 2 2 2 2 2 2 1 41 1 3cos ( )6 6 2 c c c cC ab a b = ⋅ = = = + ⋅ 6 π sin cos 2B B+ = 1 2sin cos 2B B+ = sin 2 1B = 0 2B π< < 2 ,2 4B B π π= = 2, 2,a b= = 2 2 sin sin 4 A π= 1sin 2A = ,a b< 0 4A B π< < = 6a π= ABC△ sin sin a b A B = sin sinb A a B= πsin cos( )6b A a B= − πsin cos( )6a B a B= − πsin cos( )6B B= − tan 3B = (0 π)B∈ ， 3B π= ABC△ 2a = 3c = 3B π= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 有 ，故 ． 由 ，可得 ．因为 ，故 ． 因此 ， 所以， 46．【解析】（Ⅰ）由 ，及 ，得 ． 由 ， 及余弦定理，得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ），可得 ，代入 ， 得 ． 由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以 ． 于是 ， ， 故 ． 47．【解析】因为 ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 因此 ，又 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 2 2 2 2 cos 7b a c ac B= + − = 7b = πsin cos( )6b A a B= − 3sin 7 A = a c< 2cos 7 A = 4 3sin 2 2sin cos 7A A A= = 2 1cos2 2cos 1 7A A= − = ． sin(2 ) sin 2 cos cos2 sinA B A B A B− = − = 4 3 1 1 3 3 3 7 2 7 2 14 × − × = ． sin 4 sina A b B= sin sin a b A B = 2a b= 2 2 25( )ac a b c= − − 2 2 2 5 55cos 2 5 acb c aA bc ac −+ −= = = − 2 5sin 5A = sin 4 sina A b B= sin 5sin 4 5 a AB b = = 2 2 5cos 1 sin 5B B= − = 4sin 2 2sin cos 5B B B= = 2 3cos2 1 2sin 5B B= − = 4 5 3 2 5 2 5sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin ( )5 5 5 5 5B A B A B A− = − = × − − × = − 6AB AC⋅ = −  cos 6bc A = − 3ABCS∆ = sin 6bc A = tan 1A = − 0 A π< < 3 4A π= 3b = 2 2c = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由余弦定理 ， 得 ， 所以 ． 48．【解析】(Ⅰ) 因为 ， ，所以 ． 由正弦定理可得 ． (Ⅱ)因为 ，所以 ．在 和 中， 由余弦定理得 ， ． ．由(Ⅰ)知 ，所以 ． 49．【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得 ． 又 ，可得 ， ， 由余弦定理可得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ． 因为 ，由勾股定理得 ． 故 ，得 ． 所以 的面积为 1． 50．【解析】（I）在 中，由题意知 ， 又因为 ，所有 ， 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 29 8 2 3 2 2 ( ) 292a = + − ⋅ ⋅ ⋅ − = 29a = 1 sin2ABDS AB AD BAD∆ = ⋅ ∠ 1 sin2ADCS AC AD CAD∆ = ⋅ ∠ 2ABD ADCS S∆ ∆= BAD CAD∠ = ∠ 2AB AC= sin 1 sin 2 B AC C AB ∠ = =∠ : :ABD ADCS S BD DC∆ ∆ = 2BD = ABD∆ ADC∆ 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC+ = + + = 2AB AC= 1AC = 2 2b ac= a b= 2b c= 2a c= 2 2 2 1cos 2 4 a c bB ac + −= = 2 2b ac= 90B =  2 2 2a c b+ = 2 2 2a c ac+ = 2c a= = ABC∆ ABC∆ 2 3sin 1 cos 3A A= − = 2B A π= + 6sin sin( ) cos2 3B A A π= + = = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由正弦定理可得 ． （II）由 得， ， 由 ，得 ． 所以 ． 因此， 的面积 ． 51．【解析】：（Ⅰ）∵ ，∴ ， 由正弦定理得 ∵ ，∴ ． （Ⅱ）由余弦定理得 ， 由于 ，∴ ， 故 ． 52．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC= ，∴∠PBA=30o，在△PBA 中，由余弦定理得 = = ，∴PA= ； （Ⅱ）设∠PBA= ，由已知得，PB= ，在△PBA 中，由正弦定理得， ，化简得， ， o60 2PA o1 13 2 3 cos304 2 + − × × 7 4 7 2 α sinα o o 3 sin sin150 sin(30 ) α α= − 3 cos 4sinα α= 63sin 3 3 2sin 3 3 a Bb A × = = = 2B A π= + 3cos cos( ) sin2 3B A A π= + = − = − A B C π+ + = ( )C A Bπ= − + sin sin[ ( )] sin( )C A B A Bπ= − + = + sin cos cos sinA B A B= + 3 3 6 6( )3 3 3 3 = × − + × 1 3 = ABC∆ 1 1 1 3 2sin 3 3 22 2 3 2S ab C= = × × × = 2A B= sin sin 2 2sin cosA B B B= = 2 2 2 2 2 a c ba b ac + −= ⋅ 3, 1b c= = 2 12, 2 3a a= = 2 2 2 9 1 12 1cos 2 6 3 b c aA bc + − + −= = = − 0 A π< < 2 21 2 2sin 1 cos 1 ( )3 3A A= − = − − = 2 2 2 1 2 4 2sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 3 2 3 2 6A A A π π π −+ = + = × + − × = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ = ，∴ = ． 53．【解析】（Ⅰ）因为 ，所以由正弦定理得： ， 所以 ， 即 ，因为 0，所以 ，解得 B= ； （Ⅱ）由余弦定理得： ，即 ，由不等式得： ，当且仅当 时，取等号，所以 ， 解得 ，所以△ABC 的面积为 = ， 所以△ 面积的最大值为 ． 54．【解析】（Ⅰ） （II） 在 中， 55．【解析】（1）由正弦定理得： （2） ，解得： ． 56．【解析】（I）由正弦定理，设 tanα 3 4 tan PBA∠ 3 4 ≠ tan 1B = 4 π 2 2 2 2 cos 4b a c ac π= + − 2 24 2a c ac= + − 2 2 2a c ac+ ≥ a c= 4 (2 2)ac≥ − 4 2 2ac ≤ + 1 sin2 4ac π 2 (4 2 2)4 ≤ × + 2 1+ ABC 2 1+ cos sina b C c B= + sin sin cos sin sinA B C C B= + sin( ) sin cos sin sinB C B C C B+ = + cos sin sin sinB C C B= sinC , , (0, ) sin( ) sin 0A C B A B A C Bπ π+ = − ∈ ⇒ + = > 2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinB A A C A C A C B= + = + = 1cos 2 3A A π⇔ = ⇔ = 2 2 2 2 2 22 cos 3 2a b c bc A a b a c B π= + − ⇔ = ⇒ = + ⇒ = Rt ABD∆ 2 2 2 23 71 ( )2 2AD AB BD= + = + = cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sina C a C b c A C A C B C+ − − = ⇔ − = + sin cos 3sin sin sin( ) sin 13sin cos 1 sin( 30 ) 2 30 30 60 A C A C a C C A A A A A ° ° ° ° ⇔ + = + + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = 1 sin 3 42S bc A bc= = ⇔ = 2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c= + − ⇔ + = 2b c= = ,sin sin sin a b c kA B C = = = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 则 所以 即 ， 化简可得 又 ， 所以 ，因此 （II）由 得 由余弦定理 解得 ．因此 ． 又因为 所以 因此 57．【解析】由 ，得 再由正弦定理，得 由上述结果知 设边 BC 上的高为 ，则有 58．【解析】由题意知 海里， 2 2 sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B − − −= = cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B − −= (cos 2cos )sin (2sin sin )cosA C B C A B− = − sin( ) 2sin( ).A B B C+ = + A B C π+ + = sin 2sinC A= sin 2.sin C A = sin 2sin C A = 2 .c a= 2 2 2 2 2 21 12 cos cos , 2, 4 4 .4 4b a c ac B B b a a a= + − = = + − ×及 得4= 1a = 2c = 1cos , 0 .4B B π= <