文科2010-2019高考数学真题分类训练专题4三角函数与解三角形第十二讲解三角形

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 2019 年 1. （全国Ⅱ文 15） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________. 2.（2019 全国Ⅰ文 11）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC， cosA=－ ，则 = A．6 B．5 C．4 D．3 3.（2019北京文15）在△ABC中，a=3， ，cosB= ． （Ⅰ）求 b，c 的值； （Ⅱ）求 sin（B+C）的值． 4. （ 2019 全 国 三 文 18 ） 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 已 知 ． （1）求 B； （2）若 为锐角三角形，且 c=1，求 面积的取值范围． 5.（2019 天津文 16）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 6.（2019 江苏 15）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 a=3c，b= ，cosB= ，求 c 的值； （2）若 ，求 的值． 7.（2019 浙江 14）在 中， ， ， ，点 在线段 上， 若 ，则 ____， ________. ABC A B C， ， , ,a b c 2b c a+ = 3 sin 4 sinc B a C= cosB sin 2 6B π +   ABC△ 1 4 b c – 2b c = 1 2 − ABC△ sin sin2 A Ca b A + = ABC△ ABC△ 2 2 3 sin cos 2 A B a b = sin( )2B π+ ABC△ 90ABC∠ = ° 4AB = 3BC = D AC 45BDC∠ = ° BD = cos ABD∠ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2010-2018 年 一、选择题 1．(2018 全国卷Ⅱ)在 中， ， ， ，则 A． B． C． D． 2．(2018 全国卷Ⅲ) 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积 为 ，则 A． B． C． D． 3．（2017 新课标Ⅰ） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 ， ， ，则 = A． B． C． D． 4．（2016 全国 I）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ， ， ，则 = A． B． C．2 D．3 5．（2016 全国 III）在 中， ， 边上的高等于 ，则 A． B． C． D． 6．（2016 山东） 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 ，则 A= A． B． C． D． 7．(2015 广东)设 的内角 的对边分别为 ， ， ．若 ， ， ，且 ，则 ABC△ 2 2, 2 (1 sin )b c a b A= = - 3π 4 π 3 π 4 π 6 △ABC 5cos 2 5 =C 1=BC 5=AC =AB 4 2 30 29 2 5 ABC△ A B C a b c ABC∆ 2 2 2 4 a b c+ − C = 2 π 3 π 4 π 6 π ABC∆ A B C a b c sin sin (sin cos )B A C C+ − 0= 2a = 2c = C 12 π 6 π 4 π 3 π 5a = 2c = 2cos 3A = b 2 3 ΔABC 4B π= BC 1 3 BC sin A = 3 10 10 10 5 5 3 10 10 ΑΒC∆ , ,A B C a b c 2a = 2 3c = 3cos 2A = b c< b = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A． B． C． D． 8．(2014 新课标 2)钝角三角形 的面积是 ， ， ，则 = A．5 B． C．2 D．1 9 ．（ 2014 重 庆 ） 已 知 的 内 角 ， ， 满 足 = ，面积 满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， 所对的边，则下列不 等式一定成立的是 A． B． C． D． 10．（2014 江西）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边长，若 ， ，则 的面积是 A．3 B． C． D． 11．（2014 四川）如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ，则河流的宽度 等于 A． B． C． D． 12．（2013 新课标 1）已知锐角 的内角 的对边分别为 ， ， ， ，则 A． B． C． D． ABC∆ 8)( >+ cbbc 126 ≤≤ abc A CB 60m 75°30° ABC∆ , ,A B C , ,a b c 7a = 6c = b = 10 9 8 5 3 2 2 2 3 ABC 1 2 1AB = 2BC = AC 5 A B C sin 2 sin( )A A B C+ − + sin( )C A B− − 1 2 + S 1 2S≤ ≤ a b c A B C ( ) 16 2ab a b+ > 12 24abc≤ ≤ ABC∆ a b c A B C 2c = 2( ) 6a b− + 3C π= ABC∆ 2 39 2 33 33 A B C 75 30 60cm BC 240( 3 1)m− 180( 2 1)m− 120( 3 1)m− 30( 3 1)m+ 223cos A+ cos2 0A = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 13．（2013 辽宁）在 ，内角 所对的边长分别为 ．若 ，且 ，则 = A． B． C． D． 14．（2013 天津）在△ABC 中， 则 = A． B． C． D． 15．(2013 陕西)设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 ,则 △ABC 的形状为 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 16．(2012 广东)在 中，若 ，则 A． B． C． D． 17 ．（ 2011 辽 宁 ） 的 三 个 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， ，则 A． B． C． D． 18．（2011 天津）如图，在△ 中， 是边 上的点，且 ， ，则 的值为 A．    B． C．    D． 19．（2010 湖南）在 中，角 所对的边长分别为 ．若 ， ，则 ABC∆ , ,A B C 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π , 2, 3,4 AB BCABC π∠ == = sin BAC∠ 10 10 10 5 3 10 10 5 5 cos cos sinb C c B a A+ = ABC∆ 60 , 45 , 3 2A B BC° °∠ = ∠ = = AC = 4 3 2 3 3 3 2 B A CD , ,a b c sin cosa B C + 1sin cos 2c B A b= a b> B∠ ABC∆ 2sin sin cosa A B b A+ 2a= = a b 2 3 2 2 3 2 ABC D AC ,2 3AB AD AB BD= = 2BC BD= sinC 3 3 3 6 6 3 6 6 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 120C∠ =  2c a= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A． B． C． D． 与 的大小关系不能确定 二、填空题 20．(2018 全国卷Ⅰ)△ 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则△ 的面积为__． 21．(2018 浙江)在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若 ， ， ，则 =___________， =___________． 22．(2018 北京)若 的面积为 ，且 为钝角，则 = ； 的取值范围是 ． 23．(2018 江苏)在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平 分线交 于点 D，且 ，则 的最小值为 ． 24．（2017 新课标Ⅱ） 的内角 , ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 25．（2017 新课标Ⅲ） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，则 =_______． 26．（2017 浙江）已知 ， ， ． 点 为 延长线上一点， ，连结 ，则 的面积是_______， =_______． 27．（2016 全国Ⅱ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 _____． 28．（2015 北京）在△ 中， ，则 = _________． 29．(2015 重庆)设 的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ，则 =________． 30．（2015 安徽）在 中， ， ， ，则 ． 31．(2015 福建)若锐角 的面积为 ，且 ， ，则 等于 ． 32．(2015 新课标 1)在平面四边形 中， ， ，则 的 取值范围是_______． 4cos 5A = 5cos 13C = 1a = b = a b> a b< a b= a b ABC A B C， ， a b c， ， sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = 2 2 2 8b c a+ − = ABC ABC∆ A B C a b c 7a = 2b = 60A =  sin B c ABC△ 2 2 23 ( )4 a c b+ − C∠ B∠ c a ABC△ , ,A B C , ,a b c 120ABC∠ = ° ABC∠ AC 1BD = 4a c+ ABC∆ A B C a b c 2 cos cos cosb B a C c A= + B = ABC∆ A B C a b c 60C =  6b = 3c = A ABC∆ 4AB AC= = 2BC = D AB 2BD = CD BDC∆ cos BDC∠ ABC 23, 6, 3a b A π= = ∠ = B∠ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2a = 1cos 4C = − 3sin 2sinA B= c ABC∆ 6=AB 75=∠A 45=∠B =AC ABC∆ 10 3 5AB = 8AC = BC ABCD 75A B C∠ = ∠ = ∠ =  2BC = AB 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 33．（2015 天津）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， ， ，则 的值为 ． 34．（2015 湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的 方向上，仰角为 ，则此山的高度 m． 35．（2014 新课标 1）如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测 点 ． 从 点 测 得 点 的 仰 角 ， 点 的 仰 角 以 及 ；从 点测得 ．已知山高 ，则山高 ________ ． 36．（2014 广东）在 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ，则 ． 37．（2013 安徽）设 的内角 所对边的长分别为 ．若 ，则 则角 _____． 38．（2013 福建）如图 中，已知点 D 在 BC 边上，AD AC， ， ， ，则 的长为_______________． C N A B M ABC∆ CBA ,, cba ,, = b a ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2b c a+ = 3sin 5sin ,A B= C = ABC∆ ⊥ BD ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 3 15 2b c− = 1cos 4A = − a A 30 B 75 30 CD = MN A C A M 60MAN∠ = ° C 45CAB∠ = ° 75MAC∠ = ° C 60MCA∠ = ° 100BC m= MN = m cosb C + cos 2c B b= 2 2sin 3BAC∠ = 3 2AB = 3AD = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 39．（2012 安徽）设 的内角 所对的边为 ；则下列命题正确的是 ． ①若 ；则 ②若 ；则 ③若 ；则 ④若 ；则 ⑤若 ；则 40．（2012 北京）在 中，若 ，则 = ． 41．（2011 新课标） 中， ，则 AB+2BC 的最大值为____． 42．（2011 新课标） 中， ，则 的面积为_ __． 43．（2010 江苏）在锐角三角形 ， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边长， ，则 =_______． 44．（2010 山东）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，则角 的大小为 ． 三、解答题 45．（2018 天津）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ． (1)求角 的大小； (2)设 ， ，求 和 的值． 46．（2017 天津）在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值． A B CD ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2ab c> 3C π< 2a b c+ > 3C π< 3 3 3a b c+ = 2C π< ( ) 2a b c ab+ < 2C π> 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ < 3C π> ABC∆ 12, 7,cos 4a b c B= + = = − b ABC∆ 60 , 3,B AC= ° = ABC∆ 120 , 7, 5B AC AB= ° = = ABC∆ ABC a b c A B C 6cosb a Ca b + = tan tan tan tan C C A B + ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2, 2a b= = sin cos 2B B+ = A ABC△ A B C a b c sin cos( )6b A a B π= − B 2a = 3c = b sin(2 )A B− ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 4 sina A b B= 2 2 25( )ac a b c= − − cos A sin(2 )B A− 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 47．（2017 山东）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， ， ，求 和 ． 48．（2015 新课标 2） 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 面积是∆ADC 面 积的 2 倍． (Ⅰ)求 ； (Ⅱ) 若 AD=1，DC= ，求 BD 和 AC 的长． 49．（2015 新课标 1）已知 分别是 内角 的对边， ． （Ⅰ）若 ，求 （Ⅱ）若 ，且 ，求 的面积． 50．（2014 山东） 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边长．已知 ， ． （Ｉ）求 的值； （II）求 的面积． 51．（2014 安徽）设 的内角 所对边的长分别是 ，且 ， ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值． 52．（2013新课标1）如图，在 中，∠ABC＝90°，AB= ，BC=1，P为△ABC内一 点，∠BPC＝90°． （Ⅰ）若 PB= ，求 PA； （Ⅱ）若∠APB＝150°，求 tan∠PBA． , ,A B C , ,a b c a sin( )4A π+ ABC∆ 3b = 6AB AC⋅ = −  3ABCS∆ = A a ABC∆ sin sin B C 2 2 , ,a b c ABC∆ , ,A B C 2sin 2sin sinB A C= a b= cos ;B 90B =  2a = ABC∆ ABC∆ a b c A B C 3a = 6cos ,3 2A B A π= = + b ABC∆ ABC∆ 3b = 1c = 2A B= ABC∆ 3 1 2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 53 ．（ 2013 新 课 标 2 ） 在 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求△ 面积的最大值． 54．（2012 安徽）设 的内角 所对边的长分别为 ，且有 ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ) 若 ， ， 为 的中点，求 的长． 55．（2012 新课标）已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边， ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ， 的面积为 ，求 、 ． 56．（2011 山东）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边长．已知 ． （I）求 的值； （II）若 ， ， 的面积 ． 57．（2011 安徽）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边长， = ， = ， ，求边 BC 上的高． 58．（2010 陕西）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现 位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南 偏西 60°且与 B 点相距 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海 里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？ , ,A B C , ,a b c cos sina b C c B= + B 2b = ABC sin sin C A ABC∆ ABC∆ CBA ,, ,,, cba 2sin cosB A = sin cos cos sinA C A C+ 2b = 1c = D BC AD a b c ABC∆ A B C cosa C + 3 sin 0a C b c− − = A 2=a ABC∆ 3 b c ABC∆ a b c A B C cos 2cos 2 cos A C c a B b − −= 1cos 4B = 2b = ABC∆ S ABC∆ a b c A B C a 3 b 2 1 2cos( ) 0B C+ + = ( )5 3 3+ 20 3 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 59．（2010 江苏）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的 标杆 BC 的高度 =4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= ． （1）该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 （单位： m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m， 试问 为多少时， 最大？ H h d β α E AD B C h α β α β α β d α β d α − β