文科2010-2019高考数学真题分类训练专题4三角函数与解三角形第九讲三角函数的概念诱导公式与三角恒等变换答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题四 三角函数与解三角形 第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 答案部分 2019 年 1.解析 由题意和题图可知，当 为优弧 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所 示，设圆心为 ， ， . 此时阴影部分面积 .故选 B. 2.解析 由 ，得 . 因为 ，所以 . 由 ，得 .故选 B. 3.解析 由 ，得 ， 所以 ，解得 或 ． 当 时， ， ， . 当 时， ， ， 所以 . P AB O 2AOB β∠ = ( )1 2 22BOP AOP β β∠ = ∠ = π − = π − 21 12 2 2 22 2AOP BOPAOBS S S S β= + + = × × + × × ×△ △扇形 ( )sin 4 4sinβ β βπ − = + 2sin 2 cos2 1α α= + 24sin cos 2cosα α α= π0, 2 α  ∈   cos 2sinα α= 2 2 cos 2sin sin cos 1 α α α α =  + = 5sin 5 α = tan 2 3tan( )4 α α = −π+ tan 2 3tan tan 4 1 tan tan 4 α α α = −π+ π− tan (1 tan ) 2 1 tan 3 α α α − = −+ tan 2α = 1tan 3 α = − tan 2α = 2 2tan 4sin2 1 tan 5 αα α= =+ 2 2 1 tan 3cos2 1 tan 5 αα α −= = −+ 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 5 2 5 2 10 α α απ π π+ = + = × − × = 1tan 3 α = − 2 2tan 3sin2 1 tan 5 αα α= = −+ 2 2 1 tan 4cos2 1 tan 5 αα α −= =+ 3 2 4 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 5 2 5 2 10 α α απ π π+ = + = − × + × = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 综上， 的值是 ． 2010-2018 年 1．B【解析】由题意知 ，因为 ，所以 ， ，得 ，由题意知 ，所以 ．故 选 B． 2．B【解析】 ．故选 B． 3．C【解析】设点 的坐标为 ，利用三角函数可得 ，所以 ， ．所以 所在的圆弧是 ，故选 C． 4．A【解析】由 ，两边平方得 ，所以 ，选 A． 5．D【解析】由 得 ，故选 D． 6．D【解析】由 ，得 ， 或 ， ，所以 ，故选 D． 7．A【解析】 ． 8．D【解析】由 ，且 为第四象限角，则 ， 则 ，故选 D． 9．C【解析】 知 的终边在第一象限或第三象限，此时 与 同号， 故 ，选 C． 10．B【解析】由条件得 ，即 ， 7 1 3 1 2 11 3 1 2 1 tan)tan(1 tan)tan(])tan[(tan = ×+ − =++ −+=−+= aba abaabab 5sin 13 α = − α 2 12cos 1 sin 13 α α= − = sintan cos αα α= 5 12 = − sin(2 )4 α π+ 2 10 cos 0α > 2 2cos2 2cos 1 3 α α= − = 5cos 6 α = 1sin 6 α = ± 5| tan | 5 α = | || tan | 1 2 a bα −= − 5| | 5a b− = 2 21 7cos2 1 2cos 1 2 ( )3 9 α α= − = − × = P ( , )x y y x yx < < 0x < 0y > P EF 4sin cos 3 α α− = 161 sin 2 9 α− = 7sin 2 9 α = − 3cos 4x = 2 23 1cos2 2cos 1 2 ( ) 14 8x x= − = × − = 1tan 3 θ = − 10sin 10 θ = − 3 10cos 10 θ = 10sin 10 θ = 3 10cos 10 θ = − 2 2 4cos2 cos sin 5 θ θ θ= − = tan 0α > α sinα cosα sin 2 2sin cos 0α α α= > sin 1 sin cos cos α β α β += sin cos cos (1 sin )α β α β= + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 得 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ． 11．D【解析】 = ，∵ ，∴上式= ． 12．A【解析】因为 ， 所以 ，选 A. 13 ． C 【 解 析 】 由 ， 可 得 ，进一步整理可得 ，解 得 或 ， 于是 ． 14．D【解析】由 可得 ， ， ，答案应选 D。 另解：由 及 可得 ， 而当 时 ，结合选项即可得 .答案应选 D． 15．B【解析】分子分母同除 得： ∴ ， ∴ 16．B【解析】由角 的终边在直线 上可得， ， 2 1 cos2( ) 1 cos(2 ) 1 sin 24 2cos ( )4 2 2 2 π πα απ αα + + + + −+ = = = 2 211 sin 2 13cos ( )4 2 2 6 π αα −−+ = = = 4 2 π πθ  ∈  ， ],2[2 ππθ ∈ 8 12sin12cos 2 −=−−= θθ 4 3 2 2cos1sin =−= θθ 4 2 π πθ  ∈  ， 3 7sin 2 = 8 θ 4 3 4 7 16 7769 16 7616 8 7312sin1cossin +=++=+=+=+=+ θθθ 4 2 π πθ  ∈  ， θθ cossin > 4 7cos,4 3sin == θθ sin( ) cos sin( )2 πα β α α− = = − 2 2 π πα β− < − < 0 2 2 π πα< − < 2 πα β α− = − 2 2 πα β− = 2 2 2 2sin sin sin B A A − 2 2sin2( ) 1 2( ) 1sin B b A a − = − 3 2a b= 7 2 2 210(sin 2cos ) ( )2 α α+ = 2 2 2 2 sin 4cos 4sin cos 10 sin cos 4 α α α α α α + + =+ 23tan 8tan 3 0α α− − = tan 3α = 1tan 3 α = − 2 2tan 3tan 2 1 tan 4 αα α= = −− cosα sin cos tan 1 1 ,sin cos tan 1 2 α α α α α α + += =− − tan 3α = − 2 2tan 3tan 2 1 tan 4 αα α= =− θ 2y x= tan 2θ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 17．C【解析】 ，而 ， ， 因此 ， ， 则 ． 18．A【解析】∵ ，且 是第三象限，∴ ， ∴ ． 19． 【解析】由 得 又 ，所以 因为 ，所以 因为 ． 20． 【解析】 与 关于 轴对称，则 ， 所以 ． 21． 【解析】 ． 22． 【解析】因为 ，所以 α β y 2kα β π π+ = + ( ) 1sin sin 2 sin 3kβ π π α α= + − = = 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 5 θ θ θθ θ θ θ θ θ − −= − = = = −+ + cos( ) cos[( ) ( )]2 4 4 2 β π π βα α+ = + − − cos( )cos( )4 4 2 π π βα= + − sin( )sin( )4 4 2 π π βα+ + − 3( , )4 4 4 π π πα+ ∈ ( , )4 2 4 2 π β π π− ∈ 2 2sin( )4 3 π α+ = 6sin( )4 2 3 π β− = 1 3 2 2 6 5 3cos( )2 3 3 3 3 9 βα + = × + × = 4cos 5 α = − α 3sin 5 α = − 1 tan 2 1 tan 2 α α + = − 2cos sin (cos sin )2 2 2 2 cos sin (cos sin )(cos sin )2 2 2 2 2 2 α α α α α α α α α α + + = − − + 2 2 1 sin 1 sin 1 cos 2cos sin2 2 α α α α α + += = = − − 3 10 10 tan 2α = sin 2cosα α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 1cos 5 α = (0, )2 πα ∈ 5 2 5cos ,sin5 5 α α= = cos( ) cos cos sin sin4 4 4 π π πα α α− = + 5 2 2 5 2 3 10 5 2 5 2 10 = × + × = 1 3 7 5 tan( ) tan 74 4tan tan[( ) ]4 4 51 tan( ) tan4 4 π παπ πα α π πα − + = − + = = − − × 4 3 − 3sin( )4 5 πθ + = cos( ) sin[ ( )]4 2 4 π π πθ θ− = + − sin( )4 πθ= + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ，因为 为第四象限角，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 23． 【解析】由已知可得 ， ＝ ． 24．3【解析】 ． 25．1【解析】 ．∵ ，所以 的最大值为 1． 26． 【解析】∵ ,可得 ， ∴ ， = ． 27． 【解析】 ，则 ，又 ， 则 ， ． 28． 【解析】因为 为锐角，cos( = ,∴sin( = ， ∴sin2( 2 2 2 2 2sin cos cos 2tan 1 4 1 1sin cos tan 1 4 1 α α α α α α α − − − −= = = −+ + + 10 5 − 1tan 4 2 πθ + =   1tan 3 θ = − 1 2sin ,cos 10 10 θ θ= = − sin cosθ θ+ 10 5 − 3 5 = θ 2 2 ,2 k k k Z π π θ π− + < < ∈ 3 2 2 ,4 4 4k k k Z π π ππ θ π− + < − < − ∈ 23 4sin( ) 1 ( )4 5 5 πθ − = − − = − sin( ) 44tan( )4 3cos( )4 πθπθ πθ − − = = − − 1− tan 2α = − 22sin cos cosα α α− 1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 321 tan( )tan 1 7 α β αβ α β α α β α ++ −= + − = = =+ + − ( ) sin[( ) ] 2sin cos( )f x x xϕ ϕ ϕ ϕ= + + − + sin( )cos cos( )sinx xϕ ϕ ϕ ϕ= + − + sin( ) sinx xϕ ϕ= + − = x R∈ ( )f x 3 sin 2 2sin cos sinα α α α= = − 1cos 2 α = − ( , )2 πα π∈ tan 3α = − 2 2tan 2 3tan 2 31 tan 1 3 αα α −= = =− − 50 217 α )6 πα + 4 5 )6 πα + 3 5 ,25 24)6 =+ πα 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ cos2( ，所以 sin( ． 29．【解析】(1)由角 的终边过点 得 ， 所以 ． (2)由角 的终边过点 得 ， 由 得 ． 由 得 ， 所以 或 ． 30．【解析】(1)因为 ， ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． (2)因为 为锐角，所以 ． 又因为 ，所以 ， 因此 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． 31．【解析】（Ⅰ） ． （Ⅱ） ． 32．【解析】（1）∵ ，∴ ； 4tan 3 α = sintan cos αα α= 4sin cos3 α α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 9cos 25 α = 2 7cos2 2cos 1 25 α α= − = − ,α β (0,π)α β+ ∈ 5cos( ) 5 α β+ = − 2 2 5sin( ) 1 cos ( ) 5 α β α β+ = − + = tan( ) 2α β+ = − 4tan 3 α = 2 2tan 24tan 2 1 tan 7 αα α= = −− tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+tan 2 tan( ) 11 α α βα β α α β α α β − +− = − + = = −+ 7)6 25 πα + = 50 217 25 17 2 2]4)6(2sin[)122 =×=−+=+ ππαπα α 3 4( , )5 5P − − 4sin 5 α = − 4sin( ) sin 5 α π α+ = − = α 3 4( , )5 5P − − 3cos 5 α = − 5sin( ) 13 α β+ = 12cos( ) 13 α β+ = ± ( )β α β α= + − cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + + 56cos 65 β = − 16cos 65 β = − tan tan tan 1 2 14tan 34 1 tan 1 21 tan tan 4 παπ αα π αα + + + + = = = = −  − −  − 2 sin 2 sin sin cos cos2 1 α α α α α+ − − ( )2 2 2sin cos sin sin cos 2cos 1 1 α α α α α α = + − − − 2 2 2sin cos sin sin cos 2cos α α α α α α= + − 2 2tan tan tan 2 α α α= + − 2 2 2 2 2 2 ×= + − 1= ( ) 5sin2 5 α απ∈ π =， ， 2 2 5cos 1 sin 5 α α= − − = − ( ) 2 10sin sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 2 10 α α α α απ π π+ = + = + = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （2）∵ ∴ ． 33．【解析】（1）因为 是奇函数，而 为偶 函数，所以 为奇函数，又 得 所以 ，由 ，得 ，即 （2）由（1）得： 因为 ，得 又 ，所以 因此 34．【解析】（1） （2）