文科2010-2019高考数学真题分类训练专题3导数及其应用第八讲导数的综合应用答案
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文科2010-2019高考数学真题分类训练专题3导数及其应用第八讲导数的综合应用答案

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资料简介
天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用 答案部分 2019 年 1.解析(1) . 令 ,得 x=0 或 . 若 a>0,则当 时, ;当 时, .故 在 单调递增,在 单调递减; 若 a=0, 在 单调递增; 若 a 0, 3 ax  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,0), ,3 a −∞ +∞   0, 3 a     ( )f x ( , )−∞ +∞ , (0, )3 ax  ∈ −∞ +∞   ( ) 0f x′ > ,03 ax  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x , ,(0, )3 a −∞ +∞   ,03 a     0 3a< < ( )f x 0, 3 a     ,13 a     ( )f x 3 23 27 a af   = − +   (0)=2f (1)=4f a− 3 227 am = − + 4 ,0 2, 2,2 3. a aM a − < ( )f' x ( )1 2 1 2,x x x x< ( ) 0f' x = 2 2 1 2 1 1 1 1,3 3 b b b b b bx x + − − + + + − += = x 1( , )x−∞ 1x ( )1 2,x x 2x 2( , )x +∞ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以 的极大值 . 解法一: .因此 . 解法二:因为 ,所以 . 当 时, . 令 ,则 . 令 ,得 .列表如下: + 0 – 极大值 所以当 时, 取得极大值,且是最大值,故 . 所以当 时, ,因此 . 4.解析 (1)设 ,则 . ( )f' x ( )f x    ( )f x ( )1M f x= ( ) 3 2 1 1 1 1( 1)M f x x b x bx= = − + + ( )2 2 1 1 1 1 2 11 ( 1)[3 2( 1) ] 3 9 9 9 b bx b b bx b x b x − ++ + = − + + − − +   ( ) ( )2 3 22 1 ( 1) ( 1) 2 127 9 27 b b b b b b b − − + + += + + − + 2 3( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( ( 1) 1)27 27 27 b b b b b b + − += − + − + ( 1) 2 4 27 27 27 b b +≤ + ≤ 4 27M ≤ 0 1b< ≤ 1 (0,1)x ∈ (0,1)x∈ 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x x= − − ≤ − 2( ) ( 1) , (0,1)g x x x x= − ∈ 1( ) 3 ( 1)3g' x x x = − −   ( ) 0g' x = 1 3x = x 1(0, )3 1 3 1( ,1)3 ( )g' x ( )g x   1 3x = ( )g x max 1 4( ) 3 27g x g  = =   (0,1)x∈ 4( ) ( ) 27f x g x≤ ≤ 4 27M ≤ ( ) ( )g x f x′= ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x′= + − = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 时, ;当 时, ,所以 在 单调递增, 在 单调递减. 又 ,故 在 存在唯一零点. 所以 在 存在唯一零点. (2)由题设知 ,可得a≤0. 由(1)知, 在 只有一个零点,设为 ,且当 时, ;当 时, ,所以 在 单调递增,在 单调递减. 又 ,所以,当 时, . 又当 时,ax≤0,故 . 因此,a的取值范围是 . 5.解析 (1)设 ,则 . 当 时, ;当 时, ,所以 在 单调递增, 在 单调递减. 又 ,故 在 存在唯一零点. 所以 在 存在唯一零点. (2)由题设知 ,可得a≤0. 由(1)知, 在 只有一个零点,设为 ,且当 时, ;当 时, ,所以 在 单调递增,在 单调递减. 又 ,所以,当 时, . π(0, )2x∈ ( ) 0g x′ > π ,π2x  ∈   ( ) 0g x′ < ( )g x π(0, )2 π ,π2      π(0) 0, 0, (π) 22g g g = > = −   ( )g x (0,π) ( )f x′ (0,π) (π) π, (π) 0f a f = ( )f x′ (0,π) 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )0,πx x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00,x ( )0,πx (0) 0, (π) 0f f= = [0,π]x∈ ( ) 0f x  0, [0,π]a x∈ ( )f x ax ( ,0]−∞ ( ) ( )g x f x′= ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x′= + − = π(0, )2x∈ ( ) 0g x′ > π ,π2x  ∈   ( ) 0g x′ < ( )g x π(0, )2 π ,π2      π(0) 0, 0, (π) 22g g g = > = −   ( )g x (0,π) ( )f x′ (0,π) (π) π, (π) 0f a f = ( )f x′ (0,π) 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )0,πx x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00,x ( )0,πx (0) 0, (π) 0f f= = [0,π]x∈ ( ) 0f x  天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又当 时,ax≤0,故 . 因此,a的取值范围是 . 6.解析(1) 的定义域为(0,+ ). . 因为 单调递增, 单调递减,所以 单调递增,又 , ,故存在唯一 ,使得 . 又当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增. 因此, 存在唯一的极值点. (2)由(1)知 ,又 ,所以 在 内 存在唯一根 . 由 得 . 又 ,故 是 在 的唯一根. 综上, 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 7.解析(Ⅰ)由已知, 的定义域为 ,且 , 因此当 时, ,从而 ,所以 在 内单调递增. (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知 .令 ,由 , 可知 在 内单调递减,又 ,且 . 故 在 内有唯一解,从而 在 内有唯一解,不妨设为 , ( )f x (0, )+∞ 21 1 e( ) e ( 1)e x x x axf x a a xx x ′ − = − + − =  0a ≤ 21 e 0xax− > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 21( ) xax ef x x ′ −= 2( ) 1 xg x ax e= − 10 a e < < ( )g x (0, )+∞ (1) 1 0g ae= − > 2 21 1 1 1ln 1 ln 1 ln 0g aa a a a      = − = − 0 (1,2)x ∈ ( )0 0f x′ = 0x x< ( ) 0f x′ < ( )f x 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( )0 (1) 2f x f< = − ( )2 2e e 3 0f = − > ( ) 0f x = ( )0 ,x +∞ x α= 0 1xα > > 0 1 1 xα < < 1 1 1 1 ( )1 ln 1 0ff α α α α α α    = − − − = =       1 α ( ) 0f x = ( )00, x ( ) 0f x = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 则 . 当 时 , , 所 以 在 内 单 调 递 增 ; 当 时, ,所以 在 内单调递减,因此 是 的唯一极值点. 令 ,则当 时, ,故 在 内单调递减,从 而当 时, ,所以 . 从而 , 又因为 ,所以 在 内有唯一零点.又 在 内有唯一 零点 1,从而, 在 内恰有两个零点. ( ii ) 由 题 意 , 即 , 从 而 , 即 . 因 为 当 时 , , 又 , 故 ,两边取对数,得 ,于是 , 整理得 . 8.解析(Ⅰ)当 时, . , 所以,函数 的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+ ). (Ⅱ)由 ,得 . 0 11 lnx a < < ( )00,x x∈ ( )0( )( ) 0g xg xf x x x ′ = > = ( )f x ( )00, x 0( ),x x∈ +∞ ( )0( )( ) 0g xg xf x x x ′ = < = ( )f x 0( ),x +∞ 0x ( )f x ( ) ln 1h x x x= − + 1x > 1( ) 1 0h x x ′ = − < ( )h x (1, )+∞ 1x > ( ) ( )1 0h x h< = 1ln1 1 1 1 1 1ln ln ln ln 1 e ln ln ln 1 ln 0af a ha a a a a a      = − − = − + = = ( )f x (1, )+∞ ( )f x ( )00, x ( )f x (1, )+∞ ( ) ( )0 1 0, 0, f x f x ′ = = ( ) 1 2 0 1 1 1 ln 1 x x ax e x a x e  = = − 1 01 1 2 0 1ln x xxx ex −−= 1 0 2 0 1 1 ln 1 x x x xe x − = − 1x > ln 1x x< − 1 0 1x x> > ( ) 1 0 2 0 1 2 0 1 1e 1 x x x x xx − −< =− 1 0 2 0ln lnx xe x− < ( )1 0 0 02ln 2 1x x x x− < < − 0 13 2x x− > ln 1x x< − 3 4a = − 3( ) ln 1 , 04f x x x x= − + + > 3 1 ( 1 2)(2 1 1)( ) 4 2 1 4 1 x xf' x x x x x + − + += − + = + + ( )f x ∞ 1(1) 2f a ≤ 20 4a< ≤ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 时, 等价于 . 令 ,则 . 设 ,则 . (i)当 时, ,则 . 记 ,则 . 故 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以, . 因此, . (ii)当 时, . 令 ,则 , 故 在 上单调递增,所以 . 由(i)得 . 20 4a< ≤ ( ) 2 xf x a ≤ 2 2 1 2ln 0x x xa a +− − ≥ 1t a = 2 2t ≥ 2( ) 2 1 2ln , 2 2g t t x t x x t= − + − ≥ ( ) (2 2) 8 4 2 1 2lng t g x x x≥ = − + − 1 ,7x  ∈ +∞  11 2 2x + ≤ ( ) (2 2) 8 4 2 1 2lng t g x x x≥ = − + − 1( ) 4 2 2 1 ln , 7p x x x x x= − + − ≥ 2 2 1 2 1 2 1( ) 1 1 x x x xp' x xx x x x + − − += − − = + + x 1 7 1( ,1)7 (1, )+∞ ( )p' x − ( )p x 1( )7p (1)p ( ) (1) 0p x p≥ = ( ) (2 2) 2 ( ) 0g t g p x≥ = ≥ 2 1 1,e 7x  ∈   1 2 ln ( 1)( ) 1 2 x x xg t g x x   − − ++ =    2 1 1( ) 2 ln ( 1), ,e 7q x x x x x  = + + ∈   ln 2( ) 1 0xq' x x += + > ( )q x 2 1 1,e 7      1( ) 7q x q     1 2 7 1 2 7 (1) 07 7 7 7q p p   = − < − =       天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以, . 因此 . 由(i)(ii)得对任意 , , 即对任意 ,均有 . 综上所述,所求 a 的取值范围是 . 2010-2018 年 1.C【解析】由 , 知, 在 上单调递增, 在 上单调递减,排除 A、B;又 , 所以 的图象关于 对称,C 正确. 2.D【解析】由导函数的图象可知, 的单调性是减 增 减 增,排除 A、 C;由导函数的图象可知, 的极值点一负两正,所以 D 符合,选 D. 3.C【解析】函数 在 单调递增, 等价于 在 恒成立. 设 ,则 在 恒成立, 所以 ,解得 .故选 C. 4.D【解析】因为 ,令 , ,当 ( )    2 1 ,ex  ∈ +∞  [2 2, ), ( ) 0t g t∈ +∞  2 1 ,ex  ∈ +∞  ( ) 2 xf x a 20, 4      2(1 )( ) (2 ) xf x x x −′ = − 0 2x< < ( )f x (0,1) (1,2) (2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x− = − + = ( )f x 1x = ( )y f x= → → → ( )y f x= 1( ) sin2 sin3f x x x a x= − + ( , )−∞ +∞ 22 4 5( ) 1 cos2 cos cos cos 03 3 3f x x a x x a x′ = − + = − + +  ( , )−∞ +∞ cos x t= 24 5( ) 03 3g t t at= − + +  [ 1,1]− 4 5(1) 03 3 4 5( 1) 03 3 g a g a  = − + +  − = − − +   1 1 3 3a−   2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − = + − ( ) 0f x′ = 2x = ± 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 时 , 单调递增;当 时 , 单调 递减;当 时 , 单调递增.所以 .故选 D. 5.D【解析】∵ ,∴ ,∵ 在(1,+ )单调递增, 所以当 时, 恒成立,即 在(1,+ )上恒成立, ∵ ,∴ ,所以 ,故选 D. 6.C【解析】由正弦型函数的图象可知: 的极值点 满足 , 则 ,从而得 .所以不等式 ,即为 ,变形得 ,其中 .由题意,存在整数 使得不等式 成立.当 且 时,必有 ,此时不等式显然不能成立,故 或 ,此时,不等式 即为 ,解得 或 . 7.C【解析】当 时,得 ,令 ,则 , ,令 , , 则 ,显然在 上, , 单调递 减,所以 ,因此 ;同理,当 时,得 .由 以上两种情况得 .显然当 时也成立,故实数 的取值范围为 . 8.C【解析】设 ,则 ,故 在 上有一个极值点, 即 在 上不是单调函数,无法判断 与 的大小,故 A、B 错;构造 函数 , ,故 在 上单调递减,所以 , 选 C. 9.B【解析】当 ,可得图象 D;记 , ( , 2)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 2,2)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 2, )x ∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2a = ( ) lnf x kx x= − 1( )f x k x ′ = − ( )f x ∞ 1x > 1( ) 0f x k x ′ = − ≥ 1k x ≥ ∞ 1x > 10 1x < < k ≥1 ( )f x 0x 0( ) 3f x = ± 0 22 x km π π π= + ( )k Z∈ 0 1( ) ( )2x k m k Z= + ∈ ( )2 2 2 0 0[ ]x f x m+ < 2 2 21( ) 32k m m+ + < 2 1[1 ( )] 32m k− + > k Z∈ k 2 1[1 ( )] 32m k− + > 1k ≠ − 0k ≠ 21( ) 12k + > 1k = − 0k = 23 34 m > 2m < − 2m > (0,1]x∈ 3 21 1 13( ) 4( )a x x x − − +≥ 1t x = [1, )t ∈ +∞ 3 23 4a t t t− − +≥ ( )g t = 3 23 4t t t− − + [1, )t ∈ +∞ ( ) 29 8 1 ( 1)(9 1)g x t t t t′ = − − + = − + − [1, )+∞ ( ) 0g t′ < ( )g t max( ) (1) 6g t g= = − 6a −≥ [ 2,0)x∈ − 2a −≤ 6 2a− −≤ ≤ 0x = a [ 6, 2]− − ( ) lnxf x e x= − 1( ) xf x e x ′ = − ( )f x (0,1) ( )f x (0,1) 1( )f x 2( )f x ( ) xeg x x = 2 ( 1)( ) xe xg x x −′ = ( )g x (0,1) ( ) ( )1 2g x g x> 0a = 2( ) 2 af x ax x= − + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ , 取 , ,令 ,得 ,易知 的极小值为 ,又 ,所以 ,所以图象 A 有可能;同理取 ,可 得图象 C 有可能;利用排除法可知选 B. 10.C【解析】若 则有 ,所以 A 正确。由 得 ,因为函数 的对称中心为(0,0), 所以 的对称中心为 ,所以 B 正确。由三次函数的图象可知, 若 是 的极小值点,则极大值点在 的左侧,所以函数在区间( ∞, )单调 递减是错误的,D 正确。选 C. 11.A【解析】若 在 上恒成立,则 , 则 在 上无解; 同理若 在 上恒成立,则 。 所以 在 上有解等价于 在 上有解, 即 , 令 ,所以 , 所以 . 12.D【解析】A. ,错误. 是 的极大值点,并不是 最大值点;B. 是 的极小值点.错误. 相当于 关于 y 轴的对称 图像,故 应是 的极大值点;C. 是 的极小值点.错误. 相当于 关于 轴的对称图像,故 应是 的极小值点.跟 没有关系; D. 是 的极小值点.正确. 相当于 先关于 y 轴的对称,再 关于 轴的对称图像.故 D 正确. 13.B【解析】∵ ,∴ ,由 ,解得 ,又 , 0c = (0) 0f = 3 2( )f x x ax bx c= + + + 3 2( )f x c x ax bx− = + + 3 2y x ax bx= + + 3 2( )f x x ax bx c= + + + (0, )c 0x ( )f x 0x 0x 0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≤ 0 0( 0)x x ≠ ( )f x 0x− ( )f x− ( )f x− ( )f x 0x− ( )f x− 0x− ( )f x− ( )f x− ( )f x 0x ( )f x− 0x− 0x− ( )f x− − ( )f x− − ( )f x 2 3 2( ) 2 ( )g x a x ax x a a R= − + + ∈ 1 2a = 21 1( ) ( 1)2 4f x x= − − ( ) 0g x′ = 2 ,23x = ( )g x 1(2) 2g = 1(2) 4f = (2) (2)g f> 2a = − ( )f x x> [0,1] ( ( )) ( )f f x f x x> > ( ( ))f f x x= [0,1] ( )f x x< [0,1] ( ( )) ( )f f x f x x< < ( ( ))f f x x= [0,1] ( )f x x= [0,1] 2 , [0,1]x xx e x a a e x x x= + − ⇔ = − + ∈ 2( ) , [0,1]xg x e x x x= − + ∈ '( ) 2 1 0, [0,1]xg x e x x= − + > ∈ [1, ]a e∈ x x 21 ln2y x x= − 1y x x ′ = − 0y′ 1 1x−   0x > 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ 故选 B. 14.D【解析】 , , 恒成立,令 ,则 当 时, ,函数单调减,当 时, ,函数单调增, 则 为 的极小值点,故选 D. 15 . D 【 解 析 】 , 由 , 即 , 得 . 由 , ,所以 ,当且仅当 时取等号.选 D. 16.D【解析】若 为函数 的一个极值点,则易知 ,∵选项 A,B 的函数 为 ,∴ ,∴ 为 函数 的一个极值点满足条件;选项 C 中,对称轴 ,且开口向下, ∵ ,∴ ,也满足条件;选项 D 中,对称轴 ,且开口向上,∴ ,∴ ,与题图矛盾, 故选 D. 17.D【解析】由题 不妨令 ,则 , 令 解得 ,因 时, ,当 时, ,所以当 时, 达到最小.即 . 18.3【解析】 . 19.①④【解析】因为 在 上是单调递增的,所以对于不相等的实数 , 恒成立,①正确;因为 ,所以 = , 正 负 不 定 , ② 错 误 ; 由 , 整 理 得 . ( ) xf x xe= 0>xe 1−=x 1−x 1x = − ( )f x 0 1x<  ( ) ( 1)xf x e x′ = + ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > 2( ) 12 2 2f x x ax b′ = − − (1) 0f ′ = 12 2 2 0a b− − = 6a b+ = 0a > 0b > 2( ) 92 a bab + =≤ 3a b= = 1x = − ( ) xf x e a c= 2( ) ( 1)f x a x= + [ ( ) ] [ ( ) ( )] ( 1)( 3)x x xf x e f x f x e a x x e′= + = + + 1x = − ( ) xf x e 02 bx a = − > 0, 0a b< > ( 1) 2 0f a b− = − < 02 bx a = − < 0, 2a b a> > ( 1) 2 0f a b− = − < 2| | lnMN x x= − ( 0)x > 2( ) lnh x x x= − 1'( ) 2h x x x = − '( ) 0h x = 2 2x = 2(0, )2x∈ '( ) 0h x < 2( , )2x∈ +∞ '( ) 0h x > 2 2x = | |MN 2 2t = ( ) (2 +3) , (0) 3xf x x e f′ ′= ∴ = ( ) 2xf x = R 1 2,x x 1 2 1 2 2 2 0 x x m x x −= >− 2( )g x x ax= + 2 2 1 1 2 2 1 2 ( )x ax x axn x x + − += − 1 2x x a+ + m n= 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 令函数 ,则 , 令 ,则 ,又 , ,从而存在 ,使得 , 于是 有极小值 ,所以存 在 ,使得 ,此时 在 上单调递增,故不存在 不相等的实数 ,使得 ,不满足题意,③错误;由 得 ,即 ,设 , 则 ,所以 在 上单调递增的,且当 时, ,当 时, ,所以对于任意的 , 与 的图象一定有交点,④正确. 20.2【解析】由题意 ,令 得 或 . 因 或 时, , 时, . ∴ 时 取得极小值. 21.【解析】(1) 的定义域为 , . 由题设知, ,所以 . 从而 , . 当 时, ;当 时, . 所以 在 单调递减,在 单调递增. (2)当 时, . 设 ,则 当 时, ;当 时, .所以 是 的最小值点. 故当 时, . 2( ) ( ) ( ) 2xp x f x g x x ax= − = − − ( ) 2 ln 2 2xp x x a′ = − − ( ) ( )t x p x′= 2( ) 2 (ln 2) 2xt x′ = − 2(1) 2(ln 2) 2 0t′ = − < 2(3) 8(ln 2) 2 0t′ = − > 0 (1,3)x ∈ 0 2 0( ) 2 (ln 2) 2 0xt x′ = − = ( )p x′ 0 0 0 2 2 2 2( ) 2 ln 2 2 2logln 2 (ln 2) xp x x a a′ = − − = − − 2 2 22log (ln 2)a = − 2( ) 0ln 2p x′ = > ( )p x R 1 2,x x 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = − m n= − ( ) ( )f x g x′ ′= − 2 ln 2 2xa x− = + ( ) 2 ln 2 2xh x x= + 2( ) 2 (ln 2) 2 0xh x′ = + > ( )h x R x → +∞ ( )h x → +∞ x → −∞ ( )h x → −∞ a y a= − ( )y h x= 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x = 0x < 2x > ( ) 0f x′ > 0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x = ( )f x ( )f x (0 )+ ∞, 1( )′ = −xf x ae x (2) 0′ =f 2 1 2e =a 2 1( ) e ln 12e = − −xf x x 2 1 1( ) e2e ′ = −xf x x 0 2< f x ( )f x (0,2) (2, )+∞ 1 e ≥a ( )≥f x e ln 1e x x− − e( ) ln 1e = − − x g x x e 1( ) e x g x x ′ = − . 0 1< g x 1=x ( )g x 0>x ( ) (1) 0=≥g x g 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因此,当 时, . 22.【解析】(1)函数 的导函数 , 由 得 , 因为 ,所以 . 由基本不等式得 . 因为 ,所以 . 由题意得 . 设 , 则 , 所以 16 0 + 所以 在 上单调递增, 故 , 即 . (2)令 , ,则 , 所以,存在 使 , 1 e ≥a ( ) 0≥f x ( )f x 1 1( ) 2 f x xx ′ = − 1 2( ) ( )f x f x′ ′= 1 21 2 1 1 1 1 2 2x xx x − = − 1 2x x≠ 1 2 1 1 1 2x x + = 4 1 2 1 2 1 2 1 22 x x x x x x= + ≥ 1 2x x≠ 1 2 256x x > 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ln ln ln( )2f x f x x x x x x x x x+ = − + − = − 1( ) ln2g x x x= − 1( ) ( 4)4g x xx ′ = − x (0,16) (16, )+∞ ( )g x′ − ( )g x  2 4ln 2−  ( )g x [256, )+∞ 1 2( ) (256) 8 8ln 2g x x g> = − 1 2( ) ( ) 8 8ln 2f x f x+ > − (| | )a km e− += 2| | 1( ) 1an k += + ( ) | | 0f m km a a k k a− − > + − − ≥ 1 | | 1( ) ( ) ( ) 0a af n kn a n k n knn n +− − < − − − y kx a= + ( )y f x= 3=a 3 21( ) 3 3 33 = − − −f x x x x 2( ) 6 3′ = − −f x x x ( ) 0′ =f x 3 2 3= −x 3 2 3= +x ( ,3 2 3) (3 2 3, )∈ −∞ − + +∞x ( ) 0′ >f x (3 2 3,3 2 3)∈ − +x ( ) 0′ x x ( ) 0=f x 3 2 3 01 − =+ + x ax x 3 2( ) 31 = −+ + xg x ax x 2 2 2 2 ( 2 3)( ) 0( 1) + +′ = + + ≥x x xg x x x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 仅当 时 ,所以 在 单调递增. 故 至多有一个零点,从而 至多有一个零点. 又 , , 故 有一个零点. 综上, 只有一个零点. 24.【解析】(1)因为 , 所以 . , 由题设知 ,即 ,解得 . (2)方法一:由(1)得 . 若 ,则当 时, ; 当 时, . 所以 在 处取得极小值. 若 ,则当 时, , 所以 . 所以 1 不是 的极小值点. 综上可知, 的取值范围是 . 方法二: . (ⅰ)当 时,令 得 . 随 的变化情况如下表: 1 + 0 − 0=x ( ) 0′ =g x ( )g x ( , )−∞ +∞ ( )g x ( )f x 2 21 1 1(3 1) 6 2 6( ) 03 6 6 − = − + − = − − − f a ( )f x ( )f x 2( ) [ (3 1) 3 2]exf x ax a x a= − + + + 2( ) [ ( 1) 1]exf x ax a x′ = − + + 2(2) (2 1)ef a′ = − (2) 0f ′ = 2(2 1)e 0a − = 1 2a = 2( ) [ ( 1) 1]e ( 1)( 1)ex xf x ax a x ax x′ = − + + = − − 1a > 1( ,1)x a ∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 1x = 1a ≤ (0,1)x∈ 1 1 0ax x− − ( )f x a (1, )+∞ ( ) ( 1)( 1)exf x ax x′ = − − 0a = ( ) 0f x′ = 1x = ( ), ( )f x f x′ x x ( ,1)−∞ (1, )+∞ ( )f x′ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ↗ 极大值 ↘ ∴ 在 处取得极大值,不合题意. (ⅱ)当 时,令 得 . ①当 ,即 时, , ∴ 在 上单调递增, ∴ 无极值,不合题意. ②当 ,即 时, 随 的变化情况如下表: 1 + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ 在 处取得极大值,不合题意. ③当 ,即 时, 随 的变化情况如下表: + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴ 在 处取得极小值,即 满足题意. (ⅲ)当 时,令 得 . 随 的变化情况如下表: − 0 + 0 − ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴ 在 处取得极大值,不合题意. ( )f x ( )f x 1x = 0a > ( ) 0f x′ = 1 2 1 , 1ax x= = 1 2x x= 1a = 2( ) ( 1) e 0xf x x′ = − ≥ ( )f x R ( )f x 1 2x x> 0 1a< < ( ), ( )f x f x′ x x ( ,1)−∞ 1(1, )a 1 a 1( , )a +∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 1x = 1 2x x< 1a > ( ), ( )f x f x′ x x 1( , )a −∞ 1 a 1( ,1)a 1 (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 1x = 1a > 0a < ( ) 0f x′ = 1 2 1 , 1ax x= = ( ), ( )f x f x′ x x 1( , )a −∞ 1 a 1( ,1)a 1 (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 1x = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 综上所述, 的取值范围为 . 25.【解析】(1) , . 因此曲线 在点 处的切线方程是 . (2)当 时, . 令 ,则 . 当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增; 所以 .因此 . 26.【解析】(1)函数 , ,则 , . 由 且 ,得 ,此方程组无解, 因此, 与 不存在“ 点”. (2)函数 , , 则 . 设 为 与 的“ 点”,由 且 ,得 ,即 ,(*) 得 ,即 ,则 . 当 时, 满足方程组(*),即 为 与 的“ 点”. 因此, 的值为 . (3)对任意 ,设 . 因为 ,且 的图象是不间断的, a (1, )+∞ 2 (2 1) 2( ) ex ax a xf x − + − +′ = (0) 2f ′ = ( )y f x= (0, 1)− 2 1 0x y− − = 1a≥ 2 1( ) e ( 1 e )ex xf x x x + −+ + − +≥ 2 1( ) 1 exg x x x ++ − +≥ 1( ) 2 1 exg x x +′ + +≥ 1x < − ( ) 0g x′ < ( )g x 1x > − ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) ( 1)=0g x g −≥ ( ) e 0f x + ≥ ( )f x x= 2( ) 2 2g x x x= + − ( ) 1f x′ = ( ) 2 2g x x′ = + ( ) ( )f x g x= ( ) ( )f x g x′ ′= 2 2 2 1 2 2 x x x x  = + −  = + ( )f x ( )g x S 2( ) 1f x ax= − ( ) lng x x= 1( ) 2 ( )f x ax g x x ′ = ′ =, 0x ( )f x ( )g x S 0 0( ) ( )f x g x= 0 0( ) ( )f x g x′ ′= 2 0 0 0 0 1 ln 12 ax x ax x  − =  = 2 0 0 2 0 1 ln 2 1 ax x ax  − = = 0 1ln 2x = − 1 2 0 ex −= 1 22 1 e 22(e ) a − = = e 2a = 1 2 0 ex −= 0x ( )f x ( )g x S a e 2 0a > 3 2( ) 3h x x x ax a= − − + (0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a= > = − − + = − 2 e( ) ( ) xbf x x a g x x = − + =, 2 e ( 1)( ) 2 ( ) xb xf x x g x x −= − =′ , ′ ( ) ( )f x g x= ( ) ( )f x g x′ ′= 2 2 e e ( 1)2 x x bx a x b xx x − + = −− = 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2 e e (1 ) 2 e ( 1)2 e (1 ) x x x x xx a x x x xx x x − + = ⋅ − −− = ⋅ − 0x 0x ( )f x ( )g x (0,1) S 0a > 0b > ( )f x ( )g x (0, )+∞ S 3( ) ( 1)( 1)f x x x x x x= − + = − ( ) 3 1f x x′ = − (0) 0f = (0)f ′ ( )y f x= (0, (0))f (0) (0)( 0)y f f x′− = − 0x y+ = 3 2 2 2 2 2( ) ( 3)( )( 3) ( ) 9( )f x x t x t x t x t x t= − + − − − = − − − 3 2 3 2 2 2 2 23 (3 9) 9x t x t x t t= − + − − + 3 2 2 2( ) 3 6 3 9f x x t x t′ = − + − ( )f x′ 2 3x t= − 2 3x t= + x ( )f x′ ( )f x x 2 3t − 2 3t − 2 3t − 2 3t + 2 3t + 2 3t + ( )f x′ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数 的极大值为 ;函数小值为 . (3)曲线 与直线 有三个互异的公共点等价于关于 的方程 有三个互异的实数解, 令 ,可得 . 设函数 ,则曲线 与直线 有三 个互异的公共点等价于函数 有三个零点. . 当 时, ,这时 在 R 上单调递增,不合题意. 当 时, =0,解得 , . 易得, 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增, 的极大值 = >0. 的极小值 =− . 若 ,由 的单调性可知函数 至多有两个零点,不合题意. 若 即 , 也就是 ,此时 , 且 ,从而由 的 单调性,可知函数 在区间 内各有一个零点,符 合题意. 所以 的取值范围是 ( )f x ( )f x 3 2( 3) ( 3) 9 ( 3) 6 3f t − = − − × − = 3 2( 3) ( 3) 9 3 6 3f t + = − × = − ( )y f x= 2( ) 6 3y x t= − − − x 2 2 2 2( )( )( ) ( ) 6 3 0x t d x t x t d x t− + − − − + − + = 2u x t= − 3 2(1 ) 6 3 0u d u+ − + = 3 2( ) (1 ) 6 3g x x d x= + − + ( )y f x= 2( ) 6 3y x t= − − − ( )y g x= 3 2( ) 3 (1 )g' x x d= + − 2 1d ≤ ( ) 0g' x ≥ ( )g' x 2 1d > ( )g' x 2 1 1 3 dx −= − 2 2 1 3 dx −= ( )g x 1( , )x−∞ 1 2[ , ]x x 2( , )x +∞ ( )g x 2 1 1( ) ( ) 3 dg x g −= − 3 2 22 3( 1) 6 39 d − + ( )g x 2 2 1( ) ( ) 3 dg x g −= 3 2 22 3( 1) 6 39 d − + 2( ) 0g x ≥ ( )g x ( )y f x= 2( ) 0,g x < 3 2 2( 1) 27d − > | | 10d > 2| |d x> (| |) | | 6 3 0,g d d= + > 3 12| | , ( 2 | |) 6 | | 2 | | 6 3 62 10 6 3 0d x g d d d− < − = − − + < − + < ( )g x ( )y g x= 1 1 2 2( 2 | |, ),( , ),( ,| |)d x x x x d− d ( , 10) ( 10, ).−∞ − +∞ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 28.【解析】(1)函数 的定义域为 , , ①若 ,则 ,在 单调递增. ②若 ,则由 得 . 当 时, ;当 时, , 所以 在 单调递减,在 单调递增. ③若 ,则由 得 . 当 时, ;当 时, , 故 在 单调递减,在 单调递增. (2)①若 ,则 ,所以 . ②若 ,则由(1)得,当 时, 取得最小值,最小值为 .从而当且仅当 ,即 时, . ③若 ,则由(1)得,当 时, 取得最小值,最小值为 . 从而当且仅当 ,即 时 . 综上, 的取值范围为 . 29.【解析】(1) 令 得 , . 当 时, ;当 时, ; 当 时, . 所以 在 , 单调递减,在 单 调递增. ( )f x ( , )−∞ +∞ 2 2( ) 2 (2 )( )x x x xf x e ae a e a e a′ = − − = + − 0a = 2( ) xf x e= ( , )−∞ +∞ 0a > ( ) 0f x′ = lnx a= ( ,ln )x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < (ln , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞ 0a < ( ) 0f x′ = ln( )2 ax = − ( ,ln( ))2 ax∈ −∞ − ( ) 0f x′ < (ln( ), )2 ax∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,ln( ))2 a−∞ − (ln( ), )2 a− +∞ 0a = 2( ) xf x e= ( ) 0f x ≥ 0a > lnx a= ( )f x 2(ln ) lnf a a a= − 2 ln 0a a− ≥ 1a ≤ ( ) 0f x ≥ 0a < ln( )2 ax = − ( )f x 2 3(ln( )) [ ln( )]2 4 2 a af a− = − − 2 3[ ln( )] 04 2 aa − − ≥ 3 42ea ≥ − ( ) 0f x ≥ a 3 4[ 2e ,1]− 2( ) (1 2 ) xf x x x e′ = − − ( ) 0f x′ = 1 2x = − − 1 2x = − + ( , 1 2)x∈ −∞ − − ( ) 0f x′ < ( 1 2, 1 2)x∈ − − − + ( ) 0f x′ > ( 1 2, )x∈ − + +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , 1 2)−∞ − − ( 1 2, )− + +∞ ( 1 2, 1 2)− − − + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (2) . 当 时,设函数 , ,因此 在 单 调递减,而 ,故 ,所以 . 当 时,设函数 , ,所以 在 单调递增,而 ,故 . 当 时, , , 取 ,则 , , 故 . 当 时,取 ,则 , . 综上, 的取值范围是 . 30.【解析】(1) 的定义域为 , . 若 ,则当 时, ,故 在 单调递增. 若 ,则当 时, ;当 时, .故 在 单调递增,在 单调递减. (2)由(1)知,当 时, 在 取得最大值,最大值为 . 所以 等价于 , 即 . 设 ,则 . 当 时, ;当 时, .所以 在 单调递增, ( ) (1 )(1 ) xf x x x e= + − 1a≥ ( ) (1 ) xh x x e= − ( ) 0xh x xe′ = − < ( )h x [0, )+∞ (0) 1h = ( ) 1h x ≤ ( ) ( 1) ( ) 1 1f x x h x x ax= + + +≤ ≤ 0 1a< < ( ) 1xg x e x= − − ( ) 1 0( 0)xg x e x′ = − > > ( )g x [0, )+∞ (0) 0g = 1xe x +≥ 0 1x< < 2( ) (1 )(1 )f x x x> − + 2 2(1 )(1 ) 1 (1 )x x ax x a x x− + − − = − − − 0 5 4 1 2 ax − −= 0 (0,1)x ∈ 2 0 0 0(1 )(1 ) 1 0x x ax− + − − = 0 0( ) 1f x ax< + 0a ≤ 0 5 1 2x −= 0 (0,1)x ∈ 2 0 0 0 0( ) (1 )(1 ) 1 1f x x x ax> − + = +≥ a [1, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)(2 1)( ) 2 2 1 x axf x ax ax x + +′ = + + + = 0a≥ (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0a < 1(0, )2x a ∈ − ( ) 0f x′ > 1( , )2x a ∈ − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1(0, )2a − 1( , )2a − +∞ 0a < ( )f x 1 2x a = − 1 1 1( ) ln( ) 12 2 4f a a a − = − − − − 3( ) 24f x a − −≤ 1 1 3ln( ) 1 22 4 4a a a − − − − −≤ 1 1ln( ) 1 02 2a a − + + ≤ ( ) ln 1g x x x= − + 1( ) 1g x x ′ = − (0,1)x∈ ( ) 0g x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,1) 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 在 单调递减.故当 时, 取得最大值,最大值为 .所以当 时, .从而当 时, ,即 . 31.【解析】(I)由 ,可得 , 令 ,解得 ,或 .由 ,得 . 当 变化时, , 的变化情况如下表: 所以, 的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 . (II)(i)因为 ,由题意知 , 所以 ,解得 . 所以, 在 处的导数等于 0. (ii)因为 , ,由 ,可得 . 又因为 , ,故 为 的极大值点,由(I)知 . 另一方面,由于 ,故 , 由(I)知 在 内单调递增,在 内单调递减, 故当 时, 在 上恒成立, 从而 在 上恒成立. 由 ,得 , . 令 , ,所以 , (1, )+∞ 1x = ( )g x (1) 0g = 0x > ( )g x ≤0 0a < 1 1ln( ) 1 02 2a a − + + ≤ 3( ) 24f x a − −≤ 3 2 4( ) 6 3 ( )f x x a xx a b= − − +− 2( ) 3 12 3 ( ) 3( )( (4 4 ))f ' x x a x aa xx a − = − − −= − − ( ) 0f ' x = x a= 4x a= − | | 1a ≤ 4a a< − x ( )f ' x ( )f x x ( , )a−∞ ( ),4a a− (4 , )a− +∞ ( )f ' x + − + ( )f x    ( )f x ( , )a−∞ (4 , )a− +∞ ( ),4a a− ( ) e ( ( ) ( ))xx xg' f f ' x= + 0 0 0 0 ( ) e ( ) e x x x x g g'  = = 0 00 0 0 0 0 ( )e e e ( ( ) ( )) ex x x x f f f x 'x x  = + = 0 0 ( ) 1 ( ) 0 f ' x xf =  = ( )f x 0x x= ( ) exg x ≤ 0 0[ 1 1],x x x∈ − + e 0x > ( ) 1f x ≤ 0( ) 1f x = 0( ) 0f ' x = 0x ( )f x 0x a= | | 1a ≤ 1 4a a+ < − ( )f x ( , )1a a− ( ), 1a a + 0x a= ( ) ( ) 1f fx a≤ = [ 1, 1]a a− + ( ) exg x ≤ 0 0,[ 1 1]x x− + 3 2( ) 6 3 ( ) 14a af a a a a b= −− − + = 3 22 6 1b a a= − + 1 1a− ≤ ≤ 3 2( ) 2 6 1t x x x= − + [ 1,1]x∈ − 2( ) 6 12t' x x x= − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 令 ,解得 (舍去),或 . 因为 , , ,故 的值域为 . 所以, 的取值范围是 . 32.【解析】(Ⅰ)因为 , 所以 (Ⅱ)由 解得 或 . 因为 x ( ,1) 1 (1, ) ( , ) - 0 + 0 - ↘ 0 ↗ ↘ 又 , 所以 在区间 上的取值范围是 . 33.【解析】(1)由 ,得 . 当 时, 有极小值 . 因为 的极值点是 的零点. 所以 ,又 ,故 . ( ) 0t' x = 2x = 0x = ( 1) 7t − = − (1) 3t = − (0) 1t = ( )t x [ 7 ],1− b [ 7 ],1− 1( 2 1) 1 2 1 x x x ′− − = − − ( )x xe e− −′ = − 1( ) (1 ) ( 2 1) 2 1 x xf x e x x e x − −′ = − − − − − (1 )( 2 1 2) 2 1 xx x e x −− − −= − 1( )2x > (1 )( 2 1 2)( ) 0 2 1 xx x ef x x −− − −′ = = − 1x = 5 2x = 1 2 1 2 5 2 5 2 5 2 +∞ ( )f x′ ( )f x 21( ) ( 2 1 1) 02 xf x x e−= − − ≥ ( )f x 1[ , )2 +∞ 1 21[0, ]2 e − 3 2( ) 1f x x ax bx= + + + 2 2 2( ) 3 2 3( )3 3 a af x x ax b x b′ = + + = + + − 3 ax = − ( )f x′ 2 3 ab − ( )f x′ ( )f x 3 3 ( ) 1 03 27 9 3 a a a abf − = − + − + = 0a > 22 3 9 ab a = + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因为 有极值,故 有实根,从而 ,即 . 时, ,故 在 R 上是增函数, 没有极值; 时, 有两个相异的实根 , . 列表如下 + 0 – 0 + 极大值 极小值 故 的极值点是 . 从而 , 因此 ,定义域为 . (2)由(1)知, . 设 ,则 . 当 时, ,所以 在 上单调递增. 因为 ,所以 ,故 ,即 . 因此 . (3)由(1)知, 的极值点是 ,且 , . 从而 ( )f x ( )=0f x′ 2 31 (27 a ) 03 9 ab a − = − ≤ 3a ≥ 3a = ( )>0( 1)f x x′ ≠ − ( )f x ( )f x 3a > ( )=0f x′ 2 1 3= 3 a a bx − − − 2 2 3= 3 a a bx − + − x 1( , )x− ∞ 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x +∞ ( )f x′ ( )f x    ( )f x 1 2,x x 3a > 22 3 9 ab a = + (3, )+∞ 2 3 9 b a a a a a = + 2 3( ) 9 tg t t = + 2 2 2 2 2 2 27( ) 3 9 tg t t t −′ = − = 3 6( , )2t ∈ +∞ ( ) 0g t′ > ( )g t 3 6( , )2 +∞ 3a > 3 3a a > ( ) (3 3) 3g a a g> = 3b a > 2 3b a> ( )f x 1 2,x x 1 2 2 3x x a+ = − 2 2 2 1 2 4 6 9 a bx x −+ = 3 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 1 1f x f x x ax bx x ax bx+ = + + + + + + + 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2(3 2 ) (3 2 ) ( ) ( ) 23 3 3 3 x xx ax b x ax b a x x b x x= + + + + + + + + + + 34 6 4 2 027 9 a ab ab−= − + = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 记 , 所有极值之和为 , 因为 的极值为 ,所以 , . 因为 ,于是 在 上单调递减. 因为 ,于是 ,故 . 因此 的取值范围为 . 34.【解析】 (Ⅰ) (i)设 ,则当 时, ;当 时, . 所以 在 单调递减,在 单调递增. (ii)设 ,由 得 或 . ①若 ,则 ,所以 在 单调递增. ②若 ,则 ,故当 时, ; 当 时, ,所以 在 单调递增, 在 单调递减. ③若 ,则 ,故当 时, , 当 时, ,所以 在 单调递增, 在 单调递减. (Ⅱ)(i)设 ,则由(I)知, 在 单调递减,在 单调递增. 又 ,取 b 满足 b ( )( )ln 2 ,1x a∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( )( ) ( ),ln 2 , 1,a−∞ − +∞ ( )( )ln 2 ,1a− 2 ea < − ( ) ( )( ),1 ln 2 ,x a∈ −∞ − +∞ ( )' 0f x > ( )( )1,ln 2x a∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )( ),1 , ln 2 ,a−∞ − +∞ ( )( )1,ln 2a− 0a > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ) ( )1 2f e f a= − =, ln2 2 b a< ( )f x ( ) ( )2 xf x x e= − ( )f x 2 ea ≥ − ( )f x ( )1,+∞ ( )f x ( )f x′ ( )h a ( )f x′ 2 21 3 3 9 ab a a − = − + 21 3( )= 9h a a a − + 3a > 2 2 3( )= 09h a a a ′ − − < ( )h a (3, )+∞ 7(6)= 2h − ( ) (6)h a h≥ 6a ≤ a (3 6], ( )f x 1x = ln( 2 )x a= − ln( 2 ) 1a− < ln( 2 ) 1a− > 2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2 af b b a b a b b> − + − = − > 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又当 时, + a xx x ( 1)( ) ln 1 −= − + a xg x x x 2 2 2 1 2 2(1 ) 1( ) , (1) 0( 1) ( 1) + − +′ = − = =+ + a x a xg x gx x x x 2≤a (1, )∈ +∞x 2 22(1 ) 1 2 1 0+ − + ≥ − + >x a x x x ( ) 0, ( )′ >g x g x (1, )∈ +∞x ( ) 0>g x 2>a ( ) 0′ =g x 2 2 1 21 ( 1) 1, 1 ( 1) 1= − − − − = − + − −x a a x a a 2 1>x 1 2 1=x x 1 1 ( ) 0g x′ < ( )g x 11 ln c cc −< < 00 1x< < (0) (1) 0g g= = 0 1x< < ( ) 0g x > (0,1)x∈ 1 ( 1) xc x c+ − > ( )f x (0, )+∞ 1( )f x ax ′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0a > 1(0, )x a ∈ ( ) 0f x′ > 1( , )x a ∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1(0, )a 1( , )a +∞ 0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 1x a = 1 1 1( ) ln (1 ) ln 1f a a aa a a = + − = − + − 1( ) 2 2f aa > − ln 1 0a a+ − < ( ) ln 1g a a a= + − ( )g a (0, )+∞ (1) 0g = 0 1a< < ( ) 0g a < 1a > ( ) 0g a > a (0,1) ( )f x (0 + )∞, ( )2( )=2 0x af x e xx ′ − > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x′ 0a > 2e x a x − ( )f x′ (0 + )∞, ( ) 0f x′ > b 0 4 ab< < 1 4b < ( ) 0f b′ < 0a > ( )f x′ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (Ⅱ)由(Ⅰ),可设 在 的唯一零点为 ,当 时, ; 当 时, . 故 在 单调递减,在 单调递增, 所以当 时, 取得最小值,最小值为 . 由于 ,所以 . 故当 时, . 39.【解析】(Ⅰ) = , . 曲线 在点(0,2)处的切线方程为 . 由题设得 ,所以 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 设 ,由题设知 . 当 ≤ 0 时 , , 单 调 递 增 , ,所以 =0 在 有唯一实根. 当 时,令 ,则 . , 在 单调递减,在 单调递增, 所以 ,所以 在 没有实根. 综上, =0 在 R 有唯一实根,即曲线 与直线 只有一个交点. 40.【解析】(Ⅰ)函数 的定义域为 由 可得 所以当 时, ,函数 单调递减, ( )f x′ (0 + )∞, 0x 0(0 )x x∈ , ( ) 0f x′ < 0( + )x x∈ ∞, ( ) 0f x′ > ( )f x 0(0 )x, 0( + )x ∞, 0x x= ( )f x 0( )f x 02 0 2e =0x a x − 0 0 0 2 2( )= 2 ln 2 ln2 af x ax a a ax a a + + +≥ 0a > 2( ) 2 lnf x a a a +≥ '( )f x 23 6x x a− + '(0)f a= ( )y f x= 2y ax= + 2 2a − = − 1a = 3 2( ) 3 2f x x x x= − + + ( )g x ( ) 2f x kx= − + 3 23 (1 ) 4x x k x= − + − + 1 0k− > x '( )g x 23 6 1 0x x k= − + − > ( )g x ( 1) 1 0, (0) 4g k g− = − < = ( )g x ( ],0−∞ 0x > 3 2( ) 3 4h x x x= − + ( )g x ( ) (1 ) ( )h x k x h x= + − > 2'( ) 3 6 3 ( 2)h x x x x x= − = − ( )h x (0,2) (2, )+∞ ( ) ( ) (2) 0g x h x h> ≥ = ( ) 0g x = (0, )+∞ ( )g x ( )y f x= 2y kx= − ( )y f x= (0, )+∞ 2 4 2 2 2 1( ) ( ) x xe x xef x kx x x ⋅ −′ = − − + 3 ( 2)( ) ( 0) xx e kx xx − −= > 0k ≤ 0xe kx− > (0,2)x∈ ( ) 0f x′ < ( )y f x= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以当 时, ,函数 单调递增, 所以 的单调递减区间为 , 的单调递增区间为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 时, 在 内单调递减, 故 在 内不存在极值点; 当 时,设函数 , ,因此 . 当 时, 时 ,函数 单调递增 故 在 内不存在两个极值点; 当 时, 0 函数在 内存在两个极值点 当且仅当 ,解得 综上函数 在 内存在两个极值点时, 的取值范围为 . 41.【解析】(Ⅰ) , 由题设知 ,解得 . (Ⅱ) 的定义域为 ,由(Ⅰ)知, , (ⅰ)若 ,则 ,故当 时, , 在 单调 递增,所以,存在 ,使得 的充要条件为 , (2, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )f x (0,2) ( )f x (2, )+∞ 0k ≤ ( )f x (0,2) ( )f x (0,2) 0k > ( ) xg x e kx= − [0, )x∈ +∞ ln( ) x x kg x e k e e= − = − 0 1k< ≤ (0,2)x∈ ( ) 0xg x e k′ = − > ( )y g x= ( )f x (0,2) 1k > x (0,ln )k ln k (ln , )k +∞ ( )g x′ − + ( )g x   (0,2) (0) 0 (ln ) 0 (2) 0 0 ln 2 g g k g k >    < 1 2 1 2, ( )x x x x< ( )g x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 则 , , 由 , 所以 时, ,函数 单调递减, 时, ,函数 单调递增, 时, ,函数 单调递减, 综上可知,当 时,函数 在 上单调递增; 当 时,函数 在 上单调递减; 当 时, 在 , 上单调 递减,在 上单调递增. 43.【解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 1 ( 1) 2 1a ax a − + + += 2 ( 1) 2 1a ax a − + − += 1 1 2 1a ax a + − += − 2 2 1 2 1 0a a a a + + − += >− 1(0, )x x∈ '( ) 0, ( ) 0g x f x< < ( )f x 1 2( , )x x x∈ '( ) 0, ( ) 0g x f x> > ( )f x 2( , )x x∈ +∞ '( ) 0, ( ) 0g x f x< < ( )f x 0a ≥ ( )f x (0, )+∞ 1 2a ≤ − ( )f x (0, )+∞ 1 02 a− < < ( )f x ( 1) 2 1(0, )a a a − + + + ( 1) 2 1( , )a a a − + − + +∞ ( 1) 2 1 ( 1) 2 1( , )a a a a a a − + + + − + − + ' 2 2( ) 2 , 2 0 : 4 4 ,f x x x a x x a a= + + + + = ∆ = −方程 的判别式 '1 , 0, ( ) 0, ( ) ( , ) .a f x f x∴ ≥ ∆ ≤ ∴ ≥ −∞ +∞当 时 此时 在 上为增函数 21 , 2 0 1 1 ,a x x a a< + + = − ± −当 时 方程 的两根为 '( , 1 1 ) , ( ) 0, ( ) ,x a f x f x∈ −∞ − − − > ∴当 时 此时 为增函数 '( 1 1 , 1 1 ) , ( ) 0, ( ) ,x a a f x f x∈ − − − − + − '( ) 0f x > ( )f x (1 )+ ∞, 3( ) ( 3 )h x a x x= − + '( ) 3 ( 1)h x ax x= − − 0 1a x> >, '( ) 0h x < ( )h x (1 )x∈ + ∞, 0 [1 )x ∈ + ∞, 3 0 0 0( ) ( 3 )f x a x x< − + 1(1) e 2ef a= + < ( )1 1e2 ea > + e-1 e 1 1 1ln ln lne (e 1)ln 1e a a a a a a− − − = − = − − + ( ) (e 1)ln 1m a a a= − − + ( )e 1 e 1 1 1'( ) 1 e2 e am a aa a − − −= − = > +, ( )1 1e e 12 e a+ < < − '( ) 0m a > ( )m a e 1a > − '( ) 0m a < ( )m a ( )m a (1) (e) 0m m= = ea > ( ) 0m a < e 1 1eaa − −< ( )1 1e e2 e a+ < < ( ) 0m a < e 1 1eaa − −> ea = ( ) 0m a = e 1 1eaa − −= 2( ) ( ) 2 4f x e ax a b x′ = + + − −(I ) (0) 4f = (0) 4f ′ = 4b = 8a b+ = 4a b= = 2) 4 ( 1) 4 ,xf x e x x x= + − −( 1( ) 4 ( 2) 2 4 4( 2)( ).2 x xf x e x x x e′ = + − − = + − ( ) 0f x′ = ln 2x = − 2x = − ( , 2) ( 1 2, )x n∈ −∞ − − +∞ ( ) 0f x′ > ( 2, 1 2)x n∈ − − ( ) 0f x′ < ( )f x ( , 2)−∞ − ( ln 2, )− +∞ ( 2, ln 2)− − 2x = − ( )f x 2( 2) 4(1 )f e−− = − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 46.【解析】(Ⅰ) 的定义域为 , ① 当 或 时, ;当 时, 所以 在 , 单调递减,在 单调递增. 故当 时, 取得极小值,极小值为 ;当 时, 取得极大 值,极大值为 . (Ⅱ)设切点为 ,则 的方程为 所以 在 轴上的截距为 由已知和①得 . 令 ,则当 时, 的取值范围为 ;当 时, 的取值范围是 . 所以当 时, 的取值范围是 . 综上, 在 轴上截距的取值范围 . 47.【解析】(Ⅰ)由 ,得 . 又曲线 在点 处的切线平行于 轴, 得 ,即 ,解得 . (Ⅱ) , ①当 时, , 为 上的增函数,所以函数 无极值. ②当 时,令 ,得 , . , ; , . 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 故 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值. 综上,当 时,函数 无极小值; x ( ) 1 x af x x e = − + ( ) 1 x af x e ′ = − ( )y f x= ( )( )1, 1f x ( )1 0f ′ = 1 0a e − = a e= ( ) 1 x af x e ′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),−∞ +∞ ( )f x 0a > ( ) 0f x′ = xe a= lnx a= ( ),lnx a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )ln ,x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ ( )f x lnx a= ( )ln lnf a a= 0a ≤ ( )f x ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2xf x e x x−′ = − − ( ),0x∈ −∞ ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )0,2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( )0,2 0x = ( )f x ( )0 0f = 2x = ( )f x ( ) 22 4f e−= ( )( ),t f t l ( )( ) ( )y f t x t f t′= − + l x ( ) ( ) ( ) 22 32 2 f t tm t t t tf t t t = − = + = − + +′ − − ( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( ) ( )2 0h x x xx = + ≠ ( )0,x∈ +∞ ( )h x [2 2, )+∞ ( ), 2x∈ −∞ − ( )h x ( ), 3−∞ − ( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( )m t ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞ l ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 , 在 处取得极小值 ,无极大值. (Ⅲ)当 时, 令 , 则直线 : 与曲线 没有公共点, 等价于方程 在 上没有实数解. 假设 ,此时 , , 又函数 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 在 上至少有一解, 与“方程 在 上没有实数解”矛盾,故 . 又 时, ,知方程 在 上没有实数解. 所以 的最大值为 . 解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当 时, . 直线 : 与曲线 没有公共点, 等价于关于 的方程 在 上没有实数解,即关于 的方程: (*) 在 上没有实数解. ①当 时,方程(*)可化为 ,在 上没有实数解. ②当 时,方程(*)化为 . 令 ,则有 . 令 ,得 , 当 变化时, 的变化情况如下表: 0a > ( )f x lnx a= ln a 1a = ( ) 11 xf x x e = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 xg x f x kx k x e = − − = − + l 1y kx= − ( )y f x= ( ) 0g x = R 1k > ( )0 1 0g = > 1 1 1 11 01 k g k e −   = − + ( ) 0g x = R k 1 1a = ( ) 11 xf x x e = − + l 1y kx= − ( )y f x= x 11 1 xkx x e − = − + R x ( ) 11 xk x e − = R 1k = 1 0xe = R 1k ≠ 1 1 xxek =− ( ) xg x xe= ( ) ( )1 xg x x e′ = + ( ) 0g x′ = 1x = − x ( )g x′ x ( ), 1−∞ − 1− ( )1,− +∞ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 时, ,同时当 趋于 时, 趋于 , 从而 的取值范围为 . 所 以 当 时 , 方 程 ( * ) 无 实 数 解 , 解 得 的 取 值 范 围 是 . 综上,得 的最大值为 . 48.【解析】(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令 f′(x)=0,得 . 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) - 0 + f(x)  极小值 所以函数 f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是 . (Ⅱ)证明:当 0<x≤1 时,f(x)≤0. 设 t>0,令 h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞). 由(1)知,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增. h(1)=-t<0,h(et)=e2tln et-t=t(e2t-1)>0. 故存在唯一的 s∈(1,+∞),使得 t=f(s)成立. (Ⅲ)证明:因为 s=g(t),由(2)知,t=f(s),且 s>1,从而 , 其中 u=ln s. ( )g x′ − 0 + ( )g x  1 e −  1x = − ( )min 1g x e = − x +∞ ( )g x +∞ ( )g x 1 ,e  − +∞  1 1,1k e  ∈ −∞ − −   k ( )1 ,1e− k 1 1 e x = 10, e      1 e 1 , e  +∞   10, e      1 , e  +∞   2 ln ( ) ln ln ln ln ln ( ) ln( ln ) 2ln ln(ln ) 2 ln g t s s s u t f s s s s s u u = = = =+ + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 要使 成立,只需 . 当 t>e2 时,若 s=g(t)≤e,则由 f(s)的单调性,有 t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾. 所以 s>e,即 u>1,从而 ln u>0 成立. 另一方面,令 F(u)= ,u>1.F′(u)= ,令 F′(u)=0,得 u=2. 当 1<u<2 时,F′(u)>0;当 u>2 时,F′(u)<0. 故对 u>1,F(u)≤F(2)<0. 因此 成立. 综上,当 t>e2 时,有 . 49.【解析】:(Ⅰ)由题 在 上恒成立, 在 上恒成 立, ; 若 ,则 在 上恒成立, 在 上递增, 在 上没有最小值, , 当 时, ,由于 在 递增, 时 , 递增, 时 , 递减,从而 为 的可疑极小点,由题 , , 综上 的取值范围为 . (Ⅱ)由题 在 上恒成立, 在 上恒成立, , 由 得 , 令 ,则 , 当 时, , 递增, 当 时, , 递减, 时, 最大值为 , 又 时, , 2 ln ( ) 1 5 ln 2 g t t < < 0 ln 2 uu< < ln 2 uu − 1 1 2u − ln 2 uu < 2 ln ( ) 1 5 ln 2 g t t < < 1'( ) 0f x ax = − ≤ ),1( +∞ 1a x ∴ ≥ ),1( +∞ 1a∴ ≥ '( ) xg x e a= − 0a ≤ '( ) 0xg x e a= − > ),1( +∞ )(xg ),1( +∞ ( )g x∴ ),1( +∞ 0a∴ > lnx a= '( ) 0g x = '( ) xg x e a= − ),1( +∞ lnx a∴ > '( ) 0g x > )(xg lnx a< '( ) 0g x < )(xg lnx a= )(xg ln 1a > a e∴ > a a e> '( ) 0xg x e a= − ≥ ( 1, )− +∞ xe a∴ ≥ ( 1, )− +∞ 1a e ∴ ≤ ( ) ln 0,( 0)f x x ax x= − = > ln ,( 0)xa xx = > ln( ) ,( 0)xh x xx = > 2 1 ln'( ) ,( 0)xh x xx −= > 0 x e< < '( ) 0h x > ln( ) ,( 0)xh x xx = > x e> '( ) 0h x < ln( ) ,( 0)xh x xx = > x e∴ = ln( ) ,( 0)xh x xx = > 1 e 0 1x< < ln( ) 0xh x x = 0 等价于 ( ) ① 令 ,则 由(Ⅰ)知,函数 在 单调递增.而 ,所以 在 存在唯一的零点,故 在 存在唯一的零点,设此零点为 ,则 .当 时, ;当 时, ,所以 在 的最小值为 ,又由 ,可得 ,所以 故①等价于 ,故整数 的最大值为 2. x y 1 e eO 1x > ln( ) 0xh x x = > ln( ) ,( 0)xh x xx = > 0a ≤ 1a e = )(xf 10 a e < < )(xf ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ) xf x e a′ = − 0a  ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞ 0a > ( ,ln )x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < (ln , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞ 1a = ( )( 1) 1xx k e x− − + + 0x > 1 1x xk xe +< +− 0x > 1( ) 1x xg x xe += +− 2 2 1 ( 2)( ) 1( 1) ( 1) x x x x x xe e e xg x e e − − − −′ = + =− − ( ) 2xh x e x= − − (0, )+∞ (1) 0, (2) 0h h< > ( )h x (0, )+∞ ( )g x′ (0, )+∞ α (1,2)α ∈ (0, )x α∈ ( ) 0g x′ < ( , )x α∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞ ( )g α ( ) 0g α′ = 2eα α= + ( ) 1 (2,3)g α α= + ∈ ( )k g α< k 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 51.【解析】(Ⅰ)设 ;则 ①当 时, 在 上是增函数 得:当 时, 的最小值为 ②当 时, 当且仅当 时, 的最小值为 (Ⅱ) 由题意得: 52.【解析】(Ⅰ)由 = 可得 ,而 , 即 ,解得 ; (Ⅱ) ,令 可得 , 当 时, ;当 时, . 于是 在区间 内为增函数;在 内为减函数. (Ⅲ) = 因此对任意的 , 等价于 设 所以 , 因此 时, , 时, xe kx +ln =′ )(xf xe xkx ln1 −− 0)1( =′f 01 =− e k 1=k =′ )(xf xe xx ln11 −− 0)( =′ xf 1=x 10 −−=′ xxxf 1>x 0ln11)( x ( ) 21 −+< exg ( 1)xt e t= ≥ 2 2 2 2 1 1 1a ty at b y aat at at −′= + + ⇒ = − = 1a ≥ 0y′ > ⇒ 1y at bat = + + 1t ≥ 1( 0)t x= = ( )f x 1a ba + + 0 1a< < 1 2y at b bat = + + ≥ + 11( , ln )xat t e x aa = = = = − ( )f x 2b + 1 1( ) ( )x x x xf x ae b f x aeae ae ′= + + ⇒ = − 2 2 2 2 2 1 2(2) 3 3 3 1 3 1(2) 2 2 2 f ae b aae e f ae bae  = + + = =    ⇔ ⇔  ′ =  − = =   ( )f x 1(1 ln ), (0, )x x x x x xe + − − ∈ +∞ 2(1 ln ) (1 )1 xex x x ex −− − < ++ ( ) 1 ln , (0, )h x x x x x= − − ∈ +∞ 2( ) ln 2 (ln ln )h x x x e−′ = − − = − − 2(0, )x e−∈ ( ) 0, ( )h x h x′ >  2( , )x e−∈ +∞ ( ) 0, ( )h x h x′ <  天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 ,故 . 设 ,则 , ∵ ,∴ , ,∴ ,即 ∴ ,对任意的 , . 53.【解析】(Ⅰ) 由于直线 的斜率为 ,且过点 ,故 即 ,解得 , . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,所以 考虑函数 ,则 所以当 时, 故 当 时, 当 时, 从而当 54.【解析】(Ⅰ)因为 0>x ( ) 21 −+< exg 2 2 max( ) ( ) 1h x h e e− −= = + 2(1 ln ) 1x x x e−− − < + ( ) ( 1)xx e xϕ = − + 0( ) 1x xx e e eϕ′ = − = − 0x > ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ  ( ) (0) 0xϕ ϕ> = 11 xe x >+ 2(1 ln ) (1 )1 xex x x ex −− − < ++ 2 2 1( ln ) '( ) ( 1) x x bxf x x x α + − = −+ 2 3 0x y+ − = 1 2 − (1,1) (1) 1, 1'(1) ,2 f f = = − 1, 1 ,2 2 b a b = − = − 1a = 1b = ln 1( ) 1 xf x x x = ++ )1ln2(1 1 1 ln)( 2 2 x xxxx xxf −+−=−= ( ) 2lnh x x= + x x 12 − ( 0)x > 2 2 2 22 )1()1(22)( x x x xx xxh −−=−−−=′ 1≠x ,0)1(,0)( =−> xhxxh 可得 ),1( +∞∈x ;0)(1 1,0)( 2 >−< xhxxh 可得 .1 ln)(,01 ln)(,1,0 −>>−−≠> x xxfx xxfxx 即且 2 2( ) ln . 0f x a x x ax x= − + >其中 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 由于 ,所以 的增区间为 ,减区间为 (Ⅱ)【证明】:由题意得, 由(Ⅰ)知 内单调递增, 要使 恒成立, 只要 ,解得 55.【解析】(Ⅰ)由 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 从而 ,故: (1)当 ; (2)当 综上,当 时,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为(0,1); 当 时,函数 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为 。 (Ⅲ)当 时, 由(Ⅱ)可得,当 在区间 内变化时, 的变化情况如下表: - 0 + 单调递减 极小值 1 单调递增 2 又 的值域为[1,2]. 由题意可得,若 ,则对每一个 ,直线 与曲线 2 ( )(2 )( ) 2a x a x af x x ax x − +′ = − + = − 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ (1) 1 1,f a c a c= − ≥ − ≥即 ( ) [1, ]f x e在 21 ( ) [1, ]e f x e x e− ≤ ≤ ∈对 2 2 2 (1) 1 1, ( ) f a e f e a e ae e = − ≥ −  = − + ≤ .a e= ( ) 2 2,f e b= =得 ( ) 2 ln .f x ax ax x= − + + '( ) ln .f x a x= 0a ≠因为 0 , ( ) > 0 >1 ( ) < 0 < 时 由 得 , 由 得0 1 0 , '( ) 0 0 1, '( ) 0 1.a f x x f x x< > < < < >时 由 得 由 得 0a > ( )f x (1, )+∞ 0a > ( )f x (1, )+∞ 1a = ( ) 2 ln , '( ) ln .f x x x x f x x= − + + = x 1( , )ee '( ), ( )f x f x x 1 e 1( ,1)e 1 (1, )e e '( )f x ( )f x 22 e − 2 12 2, '( ) ( [ , ])f x x ee e − < = ∈所以函数 1, 2 m M =  = [ , ]t m M∈ y t= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 都有公共点.并且对每一个 , 直线 与曲线 都没有公共点. 综 上 , 当 时 , 存 在 最 小 的 实 数 =1 , 最 大 的 实 数 =2 , 使 得 对 每 一 个 ,直线 与曲线 都有公共点. 56.【解析】(Ⅰ) 时, , 。当 时 ;当 时, ;当 时, 。故 在 , 单调增加, 在( 1,0)单调减少. (Ⅱ) 。令 ,则 。若 ,则 当 时, , 为减函数,而 ,从而当 x≥0 时 ≥ 0,即 ≥0. 若 ,则当 时, , 为减函数,而 , 从而当 时 <0,即 <0. 综合得 的取值范围为 . 1( )( [ , ])y f x x ee = ∈ ( , ) ( , )t m M∈ −∞ +∞ y t= 1( )( [ , ])y f x x ee = ∈ 1a = m M [ , ]t m M∈ y t= 1( )( [ , ])y f x x ee = ∈ 1 2a = 21( ) ( 1) 2 xf x x e x= − − '( ) 1 ( 1)( 1)x x xf x e xe x e x= − + − = − + ( ), 1x∈ −∞ − '( )f x > 0 ( )1,0x∈ − '( ) 0f x < ( )0,x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( ), 1−∞ − ( )0,+∞ − ( ) ( 1 )af x x x ax= − − ( ) 1ag x x ax= − − '( ) xg x e a= − 1a ≤ ( )0,x∈ +∞ '( )g x > 0 ( )g x (0) 0g = ( )g x ( )f x a >1 ( )0,lnx a∈ '( )g x < 0 ( )g x (0) 0g = ( )0,lnx a∈ ( )g x ( )f x a ( ],1−∞

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