文科2010-2019高考数学真题分类训练专题3导数及其应用第八讲导数的综合应用

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用 2019 年 1.（2019 全国Ⅲ文 20）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当0 − 2 1 2 1ln lnx xe e x x− < − 1 2 2 1 x xx e x e> 1 2 2 1 x xx e x e< 2 2 ay ax x= − + 2 3 22y a x ax x a= − + + ( )a R∈ ( ) xf x e x a= + − a R∈ e [0,1]b∈ ( ( ))f f b b= a [1, ]e [1,1 ]e+ [ ,1 ]e e+ [0,1] 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 14．（2012 陕西）设函数 ，则 A． 为 的极大值点 B． 为 的极小值点 C． 为 的极大值点 D． 为 的极小值点 15．（2011 福建）若 ， ，且函数 在 处有极值， 则 的最大值等于 A．2 B．3 C．6 D．9 16．（2011 浙江）设函数 ，若 为函数 的一 个极值点，则下列图象不可能为 的图象是 A B C D 17．（2011 湖南）设直线 与函数 ， 的图像分别交于点 ， 则当 达到最小时 的值为 A．1 B． C． D． 二、填空题 18．（2016 年天津）已知函数 为 的导函数，则 的值为____. 19．（2015 四川）已知函数 ， (其中 )．对于不相等的实数 ，设 ＝ ， ＝ ．现有如下命题： ①对于任意不相等的实数 ，都有 ； ②对于任意的 及任意不相等的实数 ，都有 ； ③对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ； ④对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ． ( ) xf x xe= 1x = ( )f x 1x = ( )f x 1x = − ( )f x 1x = − ( )f x 0a > 0b > 3 2( ) 4 2 2f x x ax bx= − − + 1x = ab ( ) ( )2 , ,f x ax bx c a b c R= + + ∈ 1x = − ( ) xf x e ( )y f x= x t= 2( )f x x= ( ) lng x x= ,M N MN t 1 2 5 2 2 2 ( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x′= ( )f x (0)f ′ ( ) 2xf x = 2( )g x x ax= + a∈R 1 2,x x m 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x − − n 1 2 1 2 ( ) ( )g x g x x x − − 1 2,x x 0m > a 1 2,x x 0n > a 1 2,x x m n= a 1 2,x x m n= − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)． 20．（2011 广东）函数 在 =______处取得极小值． 三、解答题 21．（2018 全国卷Ⅰ）已知函数 ． (1)设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； (2)证明：当 时， ． 22．（2018 浙江）已知函数 ． (1)若 在 ， ( )处导数相等，证明： ； (2)若 ，证明：对于任意 ，直线 与曲线 有唯一 公共点． 23．（2018 全国卷Ⅱ）已知函数 ． (1)若 ，求 的单调区间； (2)证明： 只有一个零点． 24．（2018 北京）设函数 ． (1)若曲线 在点 处的切线斜率为 0，求 ； (2)若 在 处取得极小值，求 的取值范围． 25．（2018 全国卷Ⅲ）已知函数 ． (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)证明：当 时， ． 26．（2018 江苏）记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”． (1)证明：函数 与 不存在“ 点”； (2)若函数 与 存在“ 点”，求实数 a 的值； 3 2( ) 3 1f x x x= − + x ( ) ln 1= − −xf x ae x 2x = ( )f x a ( )f x 1 ea≥ ( ) 0≥f x ( ) lnf x x x= − ( )f x 1x x= 2x 1 2x x≠ 1 2( ) ( ) 8 8ln 2f x f x+ > − 3 4ln 2a −≤ 0k > y kx a= + ( )y f x= 3 21( ) ( 1)3 = − + +f x x a x x 3=a ( )f x ( )f x 2( ) [ (3 1) 3 2]exf x ax a x a= − + + + ( )y f x= (2, (2))f a ( )f x 1x = a 2 1( ) ex ax xf x + −= ( )y f x= (0, 1)− 1a≥ ( ) e 0f x + ≥ ( ), ( )f x g x′ ′ ( ), ( )f x g x 0x ∈R 0 0( ) ( )f x g x= 0 0( ) ( )f x g x′ ′= 0x ( )f x ( )g x S ( )f x x= 2( ) 2 2g x x x= + − S 2( ) 1f x ax= − ( ) lng x x= S 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (3)已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函 数 与 在区间 内存在“ 点”，并说明理由． 27．（2018 天津）设函数 ，其中 ，且 是公差 为 的等差数列． (1)若 求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 ，求 的极值； (3)若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求 d 的取值范 围． 28．（2017 新课标Ⅰ）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)若 ，求 的取值范围． 29．（2017 新课标Ⅱ）设函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)当 时， ，求 的取值范围． 30．（2017 新课标Ⅲ）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)当 时，证明 ． 31．（2017 天津）设 ， ．已知函数 ， ． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）已知函数 和 的图象在公共点 处有相同的切线， （i）求证： 在 处的导数等于 0； 2( )f x x a= − + e( ) xbg x x = 0a > 0b > ( )f x ( )g x (0, )+∞ S 1 2 3( )=( )( )( )f x x t x t x t− − − 1 2 3, ,t t t ∈R 1 2 3, ,t t t d 2 0, 1,t d= = ( )y f x= (0, (0))f 3d = ( )f x ( )y f x= 2( ) 6 3y x t= − − − 2( ) ( )x xf x e e a a x= − − ( )f x ( ) 0f x ≥ a 2( ) (1 ) xf x x e= − ( )f x 0x≥ ( ) 1f x ax +≤ a 2( ) ln (2 1)f x x ax a x= + + + ( )f x 0a < 3( ) 24f x a − −≤ ,a b∈R | | 1a ≤ 3 2( ) 6 3 ( 4)f x x x a a x b= − − − + ( ) e ( )xg x f x= ( )f x ( )y g x= exy = 0 0( , )x y ( )f x 0x x= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （ii）若关于 x 的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围． 32．（2017 浙江）已知函数 ． （Ⅰ）求 的导函数； （Ⅱ）求 在区间 上的取值范围． 33．（2017 江苏）已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明： ； 34．（2016 年全国 I 卷）已知函数 . (I)讨论 的单调性； (II)若 有两个零点，求 的取值范围. 35．（2016 年全国 II 卷）已知函数 . (Ⅰ)当 时，求曲线 在 处的切线方程； (Ⅱ)若当 时， ，求 的取值范围. 36．（2016 年全国 III 卷）设函数 ． （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）证明当 时， ； （III）设 ，证明当 时， ． 37．（2015 新课标 2）已知函数 ． （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围． 38．（2015 新课标 1）设函数 ． ( ) ( 1)ln ( 1)f x x x a x= + − − 4a = ( )y f x= ( )1, (1)f ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ＞ a ( ) exg x ≤ 0 0[ 1, 1]x x− + b ( ) ( 2 1) xf x x x e−= − − 1( )2x≥ ( )f x ( )f x 1[ , )2 +∞ 3 2( ) 1f x x ax bx= + + + ( 0, )a b> ∈R ( )f x′ ( )f x b a 2 3b a> 2 2( ) ( 2) ( 1)f x x e a x= − + − ( )f x ( )f x a ( ) ln 1f x x x= − + ( )f x (1, )x∈ +∞ 11 ln x xx −< < 1c > (0,1)x∈ 1 ( 1) xc x c+ − > ( ) ln (1 )f x x a x= + − ( )f x ( )f x 2 2a − a ( ) 2e lnxf x a x= − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）讨论 的导函数 零点的个数； （Ⅱ）证明：当 时 ． 39．（2014 新课标 2）已知函数 ，曲线 在点（0，2）处的 切线与 轴交点的横坐标为－2． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）证明：当 时，曲线 与直线 只有一个交点． 40．(2014 山东）设函数 （ 为常数， 是自然对数 的底数） （Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间； （Ⅱ）若函数 在 内存在两个极值点，求 的取值范围． 41．（2014 新课标 1）设函数 ， 曲线 处的切线斜率为 0 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若存在 使得 ，求 的取值范围． 42．（2014 山东）设函数 ，其中 为常数． （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数 的单调性． 43．(2014 广东) 已知函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）当 时，试讨论是否存在 ，使得 ． 44．(2014 江苏)已知函数 ，其中 e 是自然对数的底数． （Ⅰ）证明： 是 R 上的偶函数； （Ⅱ）若关于 的不等式 ≤ 在 上恒成立，求实数 的取值范围； 3 21( ) 1( )3f x x x ax a R= + + + ∈ ( )f x 0a < 0 1 1(0, ) ( ,1)2 2x ∈  0 1( ) ( )2f x f= xxxf −+= ee)( )(xf x )(xmf 1e −+− mx ),0( +∞ m ( )f x ( )f x′ 0a > ( ) 22 lnf x a a a +≥ 3 2( ) 3 2f x x x ax= − + + ( )y f x= x a 1k < ( )y f x= 2y kx= − ( ) )ln2(2 x exf x +−= k 2.71828e =  0k ≤ ( )f x ( )f x ( )0,2 k ( ) ( )21ln 12 af x a x x bx a −= + − ≠ ( ) ( )( )1 1y f x f= 在点 ， b 0 1,x ≥ ( )0 1 af x a < − a 1( ) ln 1 xf x a x x −= + + a 0a = ( )y f x= (1, (1))f ( )f x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅲ）已知正数 满足：存在 ，使得 成立．试比较 与 的大小，并证明你的结论． 45．（2013 新课标 1）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）讨论 的单调性，并求 的极大值． 46．（2013 新课标 2）已知函数 ． （Ⅰ）求 的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线 的切线 的斜率为负数时，求 在 轴上截距的取值范围． 47．（2013 福建）已知函数 （ ， 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值； （Ⅱ）求函数 的极值； （Ⅲ）当 的值时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大 值． 48．(2013 天津)已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ） 证明：对任意的 ，存在唯一的 ，使 ． （Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的 关于 的函数为 ， 证明：当 时，有 ． 49．（2013 江苏）设函数 ， ，其中 为实数． （Ⅰ）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取 值范围； （Ⅱ）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结 a ),1[0 +∞∈x )3()( 0 3 00 xxaxf +−< 1e −a 1e−a 2( ) ( ) 4xf x e ax b x x= + − − ( )y f x= (0, (0))f 4 4y x= + ,a b ( )f x ( )f x 2( ) xf x x e−= ( )f x ( )y f x= l l x ( ) 1 x af x x e = − + a R∈ e ( )y f x= (1, (1))f x a ( )f x 1a = : 1l y kx= − ( )y f x= k 2 l( ) nf x x x= 2 ln ( ) 1 5 ln 2 g t t < < ( ) ln f x x ax= − ( ) xg x e ax= − a ( )f x ( )1,+∞ ( )g x ( )1,+∞ a ( )g x ( )1,− +∞ ( )f x ( )f x 0t > s ( )t f s= s t ( )s g t= 2t e> 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 论． 50．（2012 新课标）设函数 f(x)= －ax－2 （Ⅰ）求 的单调区间 （Ⅱ）若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值 51．（2012 安徽）设函数 （Ⅰ）求 在 内的最小值； （Ⅱ）设曲线 在点 的切线方程为 ；求 的值。 52．（2012 山东）已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底 数），曲线 在点 处的切线与 轴平行． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的单调区间； （Ⅲ）设 ，其中 是 的导数． 证明：对任意的 ， ． 53．（2011 新课标）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程 为 ． （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）证明：当 ，且 时， ． 54．（2011 浙江）设函数 ， （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数 ，使 对 恒成立． 注： 为自然对数的底数． 55．（2011 福建）已知 ， 为常数，且 ，函数 ， （e=2.71828…是自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数 的值； ( ) xe kxxf += ln k 71828.2=e ( )xfy = ( )( )1,1 f x k ( )xf 0>x ( ) 21 −+< exg xe ( )f x 1a = k 0x > ( ) ( ) 1 0x k f x x′− + + > k 1( ) ( 0)x xf x ae b aae = + + > ( )f x [0, )+∞ ( )y f x= (2, (2))f 3 2y x= ,a b 2( ) ( ) ( )g x x x f x′= + ( )f x′ ( )f x ln( ) 1 a x bf x x x = ++ ( )y f x= (1, (1))f 2 3 0x y+ − = a b 0x > 1x ≠ ln( ) 1 xf x x > − axxxaxf +−= 22 ln)( 0>a )(xf a 2)(1 exfe ≤≤− ],1[ ex ∈ e a b 0a ≠ ( ) lnf x ax b ax x= − + + ( ) 2f e = b 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅱ）求函数 的单调区间； （Ⅲ）当 时，是否同时存在实数 和 ( )，使得对每一个 ∈ ，直 线 与曲线 （ ∈[ ，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数 和最大的实数 ；若不存在，说明理由． 56．（2010 新课标）设函数 （Ⅰ）若 = ，求 的单调区间； （Ⅱ）若当 ≥0 时 ≥0，求 的取值范围． ( )f x 1a = m M m M< t [ , ]m M y t= ( )y f x= x 1 e m M ( ) 2( ) 1xf x x e ax= − − a 1 2 ( )f x x ( )f x a