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高二年级 居家自主学习在线检测试卷
数学
（高 18 级） 2020.07.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1． 集合 22A x x= − Z 的子集个数为
A． 4 B． 6 C． 7 D．8
2． 函数
2
1()
2
fx
xx
=
−
的定义域为
A．(0 2), B．[0 2],
C． ( 0) (2 )− +,, D．( 0] [2 )− +,,
3． 在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知函数 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x= − − + ，则 ()fx是
A．奇函数，且在区间( 1,1)− 上是增函数 B．奇函数，且在区间 上是减函数
C．偶函数，且在区间(0,1) 上是增函数 D．偶函数，且在区间 上是减函数
5．已知双曲线
2
2 1( 0)x yaa − = 的一条渐近线方程为 20xy+=，则其离心率为
A. 5
2 B. 17
4 C. 3
2 D. 15
4
6．已知圆 22: ( 1) 2C x y+ − = ，若点 P 在圆C 上，并且点 P 到直线 yx= 的距离为 2
2
，则满足条件的点 P 的
个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为
A． 2
B．2
C． 22
D． 23
3
1
11
左视图主视图
1
俯视图
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8．已知平面向量 和ab，则“| | | |=−b a b ”是“ 1( ) 02−=b a a ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数 ，且满足下列两个条件：
① 对任意的 12, [4,8]xx ，且 12xx ，都有 12
12
( ) ( ) 0f x f x
xx
− − ；
② xR ，都有 ( 8) ( )f x f x+= .
若 ( 7)af=−， (11)bf= ， (2020)cf= ，则 ,,abc的大小关系正确的是
A． abc B．bac C．b c a D．c b a
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后的角逐.他们还将进行四场知识
竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 , , ( ,a b c a b c 且 , , )Nabc ；每场比赛的名次没有并列；
选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲的总分为 16 分，乙和丙的总分都为 8 分，且乙只有一场比赛
获得了第一名，则下列说法正确的是
A．每场比赛的第一名得分 a 为 4 B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一场比赛获得第三名
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11． 41(2 )x x+ 的展开式中的常数项为________．
12．抛物线 2 2yx= 的焦点到其准线的距离等于________．
13．已知等差数列{}na 的公差为 2 ，若 1a ， 3a ， 4a 成等比数列，则 2a =________；数列 的前n 项和的最
小值为________．
14．在 ABC 中，三边长分别为 4a = ， 5b = ， 6c = ，则 的最大内角的余弦值为________， ABC 的面
积为________．
15．设函数 2log , 1() 5( )( 3 ), 1
x a xfx x a x a x
−= − −
①若 1a = ，则 ()fx的最小值为________；
②若 ()fx恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是________． 第 3 页 （共 4 页）
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题 14 分）已知函数 2( ) sin 2 2cosf x a x x ，且满足 ()fx的图象过点( ,0)6
− .
（Ⅰ）求函数 的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若函数 在区间 ],12[ m− 上的最大值为 3，求实数m 的取值范围.
17．（本小题 14 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 1CC ⊥ 底面 ABC ，
BC AC⊥ ， 1 =3AC BC CC== ， 1
1
3AE AA= ， 11
1
3C F CC= .
（Ⅰ）求证：CE// 面 11A FB ；
（Ⅱ）求直线 1AC 与面 11A FB 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 11A FB A−−的余弦值.
18．（本小题 14 分）某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取 40 名
学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40,50) ，[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100]进行分组，
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如下）.
（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于 90 分的学生常被称为“跳绳小达人”. 已知该校高二年级有 1000 名学生，试估计高
二全年级中“跳绳小达人”的学生人数；
（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在 和 的样本学生中随机抽取 2 人，记 X 表
示在抽取的 2 名学生中体育成绩在 的学生人数，求 的分布列；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为 a b c， ， ，且分别在 ， ， 三组中，其中
a b cN， ， ．当数据 的方差 2s 最小时，写出 的值.（结论不要求证明）
（注： 2 2 2 2
12
1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn= − + − + + − ，其中 x 为数据 12, , , nx x x 的平均数）
O 跳绳成绩 45 55 65 75 85 95
◆
14
2 ◆
◆
◆
◆
◆
4
12
10
6
8
各
分
数
段
人
数
C1
B1
F
E B
C
A1
A第 4 页 （共 4 页）
19．（本小题 14 分）已知椭圆 ( )
22
2210+ = ：xyC a bab
的离心率为 2
2
，右焦点为 (1,0)F ，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l : 1( 0)x ty t= + 交椭圆C 于 A 、 B 两点，且点 B 关于 x 轴的对称点为 D ，直线 AD 与 轴交于
点 M ．求 OFB 与 FAM 面积之差的绝对值的最大值．
20．（本小题 15 分）已知函数 2( ) ln (2 1)f x x ax a x ．
（Ⅰ）当 1a 时，求证： ( )fx恰有 1 个零点；
（Ⅱ）若 存在极大值，且极大值小于 0，求 a 的取值范围.
21．（本小题 14 分）设有穷数列 A ： 12, , , na a a （ 3n ）满足 *
ia N （ 1,2, ,in= ）且 12 na a a .将
2
nC 个 ijaa+ （1 i j n ）的值从小到大排列，记作数列 B .
（1）对数列 ：1，3，5，7，9，直接写出数列 ；
（2）若数列 为等差数列，且数列 的所有项之和为 100，求所有满足条件的数列 ；
（3）若存在数列 使得数列 为等差数列，求项数 n 的所有可能值.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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