北京汇文中学 2019-2020 学年度
第二学期期末考试
高二年级
数学
一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。)
1. 以下求导计算错误的是( )
A. 1()nnx n x B. 22[(2)](+2)xxexxex (其中 2 . 7 1 8e ) C. lg( l g ) ex x
D. 2
1( ta n ) c o sx x
2.集合 {2,1,0,1,2,3,4},{|21,}ABkZ ,则 AB=( )
A. { 2 ,0 ,2 ,4 } B. {1,2 ,3 ,4 } C. { 2 , 1,4 } D. { 1,1,3}
3.已知函数 1,0()
ln(1)0
xexfx
xx
,
,则 1[ ( 1 ) ]ffe ( )
A. 11 e B. 1e C. 1e D. e
4.命题甲:函数 ()fx是 R 上的单调函数;命题乙:函数 在 上存在零点,则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数 1() ln(2)fx x
的定义域为( )
A. ( 3 , ) B. (2 , ) C. (2,3)(3,) D. (2,4)(4,)
6.请认真阅读:一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 发生
的概率为 p 则 ()(1),0,1,2,...,kkn k
nP XkC ppkn 此时称随机变量 X 服从二项分布(binomial
distribution),记作 (,)XBnp ,并称 为成功概率
若 ,则数学期望 EXnp (节选自人教版 A 版高中数学选修 2-3)
已知某次数学晨练是由 20 道选择题构成,每题 5 分,有且只有 1 个选项正确,不选或选错不得分。甲选
对任意一题的概率 0.9,乙在晨练中每道题都从选项中随机选择一个,则甲、乙在此次晨练中成绩的预期得
分是( )
A. 9025, B. 8025, C. 8075, D. 9075,
7.下列函数中,既是奇函数,又在(0, ) 是增函数的是( )
A. +
2
xxeey
B. 1ln 1
xy x
C. 1yxx D.
1, 0
1 , 0
x
x
exy
ex
8.一般的,没有函数解析式,但有对应法则的函数,称为“抽象函数“.多数的都有“原型”函数,如对应法则
“ ,,()()()xyRfxyfxfy ”对应的“原型”函数是 ( ) ( 1 )f x f x .
现给出 3 个抽象函数的对应法则:
(1),0,()()()xyfxyfxfy ; (2),,()()()xyRfxyfxfy ; 2(3),(2)2()1xRfxfx
则不是这 3 个函数的“原型“函数的是( )
A. 3()f x x B. () 2
xxeefx
C. () xf x e D. ( ) l nf x x
9. 下数表是随机变量 X 的分布列,
X 1 2 3 4
P a 0.1a 0.2a 0.3a
则 的数学期望为( )
A.1 B.2 C.3 D.3.5
10.定义在 R 上的函数 ()fx,其图象先向左平移 2 个单位,得到函数 1 ()fx的图象,再将 图象关于 y
轴对称,得到了 2 ()fx的图象,则函数 满足( )
A. 2 ( ) ( + 2 )f x f x B. 2 ( ) ( + 2 )f x f x C. 2 ( ) ( 2 )f x f x D. 2 ()(+2)fxfx
11. 设函数 y f x ( ) 在定义域内可导, 的图象如图所示,则导函数 y f x '( ) 的图象可能为
( )
12. 已知函数 ( ) 2 1( 0)xf x a a ,定义函数 ( ), 0,() ( ), 0.
f x xFx f x x
给出下列命题:
① ()()Fxfx ; ② 函数 ()Fx 是 奇 函 数 ; ③ 当 0a 时,若 0mn , 0mn, 总 有
( ) ( ) 0F m F n成立,其中所有正确命题的序号是( )
A. ② B.①② C.③ D.②③
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
13.请认真阅读:一般地,设 ,AB为两个事件,且 ( ) 0PA ,称 ()(|) ()
PABPBA PA 为在事件 A 发生的条
件下,事件 B 发生的条件概率(conditiongal probability)。
(节选自人教版 A 版高中数学选修 2-3)
在 5 道数学题中,有 3 道导数题和 2 道概率题,如果不放回地依次抽取 2 道题,则在第 1 次抽到导数题的
条件下,第 2 次抽到导数题的概率= .
14.给出函数:① l n ( 1 )yx;② sinyx ;③ 1xye ;④ 2y x x ;⑤ 2 1
xy x
,请写出与直线
yx 相切于原点的函数的序号 .
15.函数 2()ln(1)+3fxxxx ,且 ( 2 )fk,则 ( l g 2 l g5 0 )f
16.甲、乙两名台球选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为 0.55,乙胜的概率为 0.45。那么与采用的“17 局
9 胜制”相比,“25 局 13 胜制”对 更不利. (在横线上写“甲“、”乙“或”甲乙“)
17.已知函数 2( ) l nf x x a x , aR 在 1x 处取得极值,则 a 的值为 .
18. 函数 ()fx的定义域为 1,1 ,图象如图 1 所示;函数 ()gx 的定义域为 1,2 ,图象如图 2 所示.若集
合 (())0Axfgx, (())0Bxgfx,则 AB中元素的个数为 .
三、填空题(本大题共 4 小题,共 40 分)
19. (本小题 8 分)已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},集合 B={y|y=x2-2x+a},
集合 C={x|x2-ax-4≤0}.命题 p:A∩B≠∅;命题 q:A⊆C.
(1)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围;
(2)若命题 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
20. (本小题 10 分)已知函数 2( )ln 2
mf xxxx .
(Ⅰ)求曲线 : ( )C y f x 在 1x 处的切线 l 的方程;
(Ⅱ)若函数 ()fx在定义域内是单调函数,求 m 的取值范围
x
y
-1 O 1 2
1
图 2
x
y
-1 O 1
1
-1
图 1 21. (本小题 11 分)有 A、B、C、D 四名羽毛球运动员,通过对过去战绩的统计,在一场比赛中,A 对
B、C、D 取胜的概率分别为 0 .3 , 0 .5 0 .9, .
(1)若 A 和 C 之间进行五场比赛,求 A 恰好胜三场的概率;
(2)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,求 A 恰好胜两场的概率;
(3)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,设 A 获胜场次为 ,求随机变量 的分布列及期望 E .
22. (本小题 11 分)已知函数 ( ) ( )exf x x a ,其中 e 是自然对数的底数, .
(Ⅰ)求函数 )( xf 的单调区间;
(Ⅱ)当 1a 时,试确定函数 2()()gxfxax 的零点个数,并说明理由.
a R