2020届安徽省枞阳县浮山中学高二数学下学期理科期末试题及答案

安徽省枞阳县浮山中学 2019-2020 学年 高二下学期开学考试（理） 试卷分值：150 分 考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 A，B，C，D 的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应位置. 1．若复数 满足 ，则复数 在复平面上的对应点在第( )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 2．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（　　） A．f(x)= 1 푥 2－1 B．f(x)= 1 푥 2＋1 C．f(x)= 1 |푥 －1| D．f(x)= 1 ||푥 |－1| 3．已知函数 f(x)=loga(－x2－2x＋3)(a>0 且 a≠1)，若 f（0）＜0，则此函数的单调减区间是（　　） A．(﹣∞，﹣1] B．[－1，+∞) C．(﹣3，﹣1] D．[－1，1) 4．已知正实数 a，b，c 满足：(1 2)푎 =log2a，(1 3)푎 =log2b，c=log c ，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b 5．已知 f(x)=sinx－x3＋1，x∈[－2π，2π]，若 f(x)的最大值为 M，f(x)的最小值为 N，则 M＋N 等于（　　） A．0 B．2 C．4π D．8π3 6．已知函数 f(x)＝ 푥 푒 푥，若关于 x 的方程[f(x)]2+mf(x)＋m－1＝0 恰有 3 个不同的实数解，则实数 m 的取值 范围是（　　） z 5)21( =− zi zA．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1－ 1 푒，+∞） C．（1，e） D．（1－ 1 푒，1） 7．已知 y＝f(x+2)是奇函数，若函数 g(x)＝f(x)－ 푠 푖 푛 1 푥 －2有 k 个不同的零点，记为 x1，x2，…，xk，则 x1+x2+…+xk ＝（　　） A．0 B．k C．2k D．4k 8．已知函数 f(x)＝sinωx＋ 3cosωx－ 3（ω＞0）在[0，π 2]上有且仅有三个零点，则 ω 的取值范围是（　　） A．(10 3 ， 14 3 ) B．[10 3 ， 14 3 ] C．[4， 14 3 ] D．[4， 14 3 ) 9．已知函数 f(x)= 1 2x2＋alnx，若对任意两个不相等的正数 x1，x2，都有 푓 (푥 1)－푓 (푥 2) 푥 1－푥 2 >4 恒成立，则 a 的 取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4） 10．已知函数 f(x)＝(x2－2x)ex，若方程 f(x)＝a 有 3 个不同的实根 x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则 푎 푥 2－2的取 值范围是（　　） A．（－ 2 푒 2 ，0） B．（－ 1 푒，0） C．（－ 2 푒 2 ，2푒 2 ） D．（0，2푒 2 ） 11．函数 f(x)=2xlnx＋x2－ax＋3 恰有一个零点，则实数 a 的值为（　　） A．4 B．3 C． 6 D． 3 12. 设函数 f'(x)是函数 f(x)(x∈R)的导函数，当 x≠0 时，f'(x)＋ 3푓 (푥 ) 푥 ( ) 3 4f x > 3 3( )4 2f x< ≤又 h（ ）＝ ，h（e）＝0，∴ ．即实数 a 的取值范围是（ ，1） 20．（12 分）解：（1）依题意，f′（x）＝ +a＝ 若 a＝0，则 f′（x）＝ ＞0，故函数 f（x）在[4，+∞）上单调递增； 若 a≠0，令 f′（x）＝0，解得 x＝﹣ ， ①若 a＞0，则﹣ ＜0，则 f′（x）＞0，函数 f（x）在[4，+∞）上单调递增； ②若 a≤﹣ ，则﹣ ≤4，则 f′（x）≤0，则函数 f（x）在[4，+∞）上单调递减； ③﹣ ＜a＜0，则﹣ ＞4，则函数 f（x）在[4，﹣ ]单调递增， 在（﹣ ，+∞）上单调递减； 综上所述，a≥0 时，函数 f（x）在[4，+∞）上单调递增，a≤﹣ 时，函数 f（x）在[4，+∞） 单调递减， ﹣ ＜a＜0 时，函数 f（x）在[4，﹣ ]单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减． （2）证明：依题意，x2+1﹣4lnx﹣2ax≥0，而 g′（x）＝2x﹣ ﹣2a＝ ， 令 g′（x）＝0，解得 x＝ ＞1，因为 a＞0，故 ＞1， 故 g′（x）在（1，+∞）上有唯一零点 x0＝ ， 又 g′（x）＝2（﹣ +x﹣a）故﹣ +x0﹣a＝0① 要使 g（x）≥0 在（1，+∞）上恒成立，且 g（x）＝0 有唯一解，只需 g（x0）＝0， 即﹣2lnx0+ （x20+1）﹣ax0＝0②由①②可知，﹣2lnx0+ （x 2+1）﹣x0（﹣ +x0）＝0，故﹣2lnx0﹣ x20+ ＝0， 令 h（x0）＝﹣2lnx0﹣ x20+ ，显然 h（x0）在（1，+∞）上单调递减， 因为 h（1）＝2＞0，h（2）＝﹣2ln2+ ＜0，故 1＜x0＜2， 又 a＝﹣ +x0 在（1，+∞）单调递增，故必有 a＜1． 21.（12 分）（I）由条件 PQ 垂直平分 AB，若 ，则 ， 故 ， 所以 ， 所求函数关系式为 （II） 因为 可看作点 和点 的连线的斜率， 由单位圆知，当 ，所以 ， 所以当 ，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 处时， 三条排污管管道总长最短为 . 22.（12 分）解：（I） … 时， 递增， 时， 递减， BAO θ∠ = 10 cos cos AQOA θ θ= = 10 10 10tancosOB OP θθ= = −，又 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP θθ θ= + + = + + − 20 10sin 10, 0cos 4y θ πθθ −  = + ≤ ≤   ( )10 2 sin20 10sin 10 10cos cosy θθ θ θ −−= + = + sin 2 cosu θ θ −= ( )0,2 ( )cos ,sinθ θ 0 2 34 u πθ≤ ≤ − ≤ ≤ −时， 10 10 3 30y+ ≤ ≤ 6 πθ = 10 3 3AB km边 ( )10 10 3 km+ ( ) 2x af x x −′ = 01 . 1a ≤ [ ] ( ) ( )1, 0x e f x f x′∈ ≥ ( ) ( )min 11 2f x f a= = − 0 22 .a e≥ [ ] ( ) ( )1, 0,x e f x f x′∈ ≤ ( ) ( ) 2 min 22 ef x f e a= = −时， 时 ， 递增，所以 综上，当 ； 当 当 （II）因为 递增， 的值域为 （i）当 时， 在 上单调递增， 又 ，所以 即 （ii）当 时，因为 时， 递减， 时， 递增， 且 ，所以只需 即 ， 所以 （iii）当 时，因为 上单调递减，且 ， 所以不合题意.综合以上，实数 的取值范围是 . 0 23 .1 a e< < 1,x a ∈   ( ) ( )0,f x f x′ < ( ) ( ), 0,x a e f x f x  ′∈ > 时 ( ) ( )min ln2 2 a af x f a a= = − − ( )min 11 2a f x a≤ = −时， ( )2 min1 ln2 2 a aa e f x a< < = − −时， ( ) 2 2 min 22 ea e f x a≥ = −时， ( ) 1,xg x e′ = − [ ] ( ) ( )0,1 0,x g x g x′∈ ≥时 ( )g x ( ) ( ) [ ]0 , 1 0, 2g g e= −   1a ≤ ( )f x [ ]1,e ( ) ( ) 211 , 22 2 ef a f e a= − = − 2 1 02 2 22 a e a e  − ≤  − ≥ − 1 12 a≤ ≤ 21 a e< < 1,x a ∈   ( )f x ,x a e ∈   ( )f x ( ) ( )1 0, 0f f a< < ( ) 2f e e≥ − ， 2 2 22 e a e− ≥ − 2 1 14 2 e ea< ≤ − + 2a e≥ ( ) [ ]1f x e在 ， ( ) ( ) 11 02f x f a≤ = − < a 21 2 4,2 4 e e − +  