2019-2020学年下学期高二期末备考精编原创理科数学（A卷）（详解）

2019-2020 学年下学期高二期末备考精编金卷 理 科 数 学（A） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知复数 满足： ，其中 是虚数单位，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在 年 以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为 ． 年开始，全面实施“精 准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加 该项目户数占 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 那么 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 4．函数 在 上的大致图像是（ ） A． B． C． D． 5．下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为 ，则在判断框中应填入关于 的判断条件 是（ ） A． B． C． D． 6．已知 ， 分别为椭圆 的左，右焦点，过 且垂直于 轴的 直线 交椭圆 于 ， 两点，若 是边长为 的等边三角形，则椭圆 的方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图，各棱长均为 的正三棱柱 ， ， 分别为线段 ， 上的动点，且 平面 ，则这样的 有（ ） A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条 8．已知数列 对于任意正整数 ， ，有 ，若 ，则 （ ） z 2i 1 iz = + i z = 1 i− − 1 i− + 1 i− 1 i+ 2 21{ | 2 8}2 x xA x −= ∈ < > 1F x l C A B 2AF B△ 4 C 2 2 14 3 x y+ = 2 2 19 6 x y+ = 2 2 116 4 x y+ = 2 2 116 9 x y+ = 1 1 1 1ABC A B C- M N 1A B 1B C MN∥ 1 1ACC A MN 1 2 3 { }na m n m n m na a a+ = + 20 1a = 2020a = 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A． B． C． D． 9．已知 ， 分别为椭圆 （ ）的左、右焦点， 是 上一点，满足 ， 是线段 上一点，且 ， ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若函数 在 区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．定义在 上的函数 ，满足 ，且 ， 若 ，则函数 在 内的零点个数有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 12．定义域为 的可导函数 的导函数为 ，且满足 ，则下列 关系正确的是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． 的二项展开式中，含 项的系数为_______． 14．若 ， 且 ，则 与 夹角的大小是 ． 15．若 的面积 且 ，则边 的最小值等于_______． 16．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ______． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ． （1）求 ； （2）若 ， ， 为 边上的中线，求 的长． 18．（12 分）《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱 中， ， ， ． （1）证明：三棱柱 是堑堵； （2）求二面角 的余弦值． 101 1 20 2020 1F 2F 2 2 2 2: 1x yC a b + = 0a b> > P C 2 1 2PF F F⊥ Q 1PF 1 2FQ QP=  1 2 0F P F Q⋅ =  C 6 2 2 − 2 1− 2 2− 6 2− sin2y x= π(0 )2 ϕ ϕ< < ( )f x ( )f x [ π0, 3] ( )f x 5π π( , )12 12 − − ϕ π π( , ]6 4 π π( , )6 4 π π( , ]12 4 π π( , )12 4 R ( )f x 2 2 2, [0,1)( ) 2 , [ 1,0) x xf x x x  + ∈=  − ∈ − ( 1) ( 1)f x f x+ = − 2( ) 3 logg x x= − ( ) ( ) ( )F x f x g x= − (0, )+∞ 3 2 1 0 R ( )y f x= ( )y f x′= ( ) ( ) 0f x f x′+ < 2 (1) (0) ( 1)f f fe e < < − 2 (0) (1)( 1) f ff e e − < < 2 (0) ( 1)(1) f ff e e −< < 2 (0) ( 1)(1)f ffe e −< < 6 3 1(2 )x x − x | | 1=a | | 3=b | 2 | 7− =a b a b ABC△ 1S = 2AB AC= BC y kx b= + 2xy e −= 1xy e= − b = ABC△ A B C a b c 3cos sin3c a B b A− = A 4b = 2c = AM BC AM 1 1 1ABC A B C− 1AB = 1 3AC AA= = 60ABC∠ = ° 1 1 1ABC A B C− 1A AC B− −19．（12 分）2019 年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸沸 扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思，为 进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的 2019 年部门预算中透露，2019 年教育部 拟抽检博士学位论文约 6000 篇，预算为 800 万元，国务院学位委员会、教育部 2014 年印发的《博 土硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家 中有 2 位以上(含 2 位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”；有 且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进行复评．2 位复评专家 中有 1 位以上(含 1 位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设 每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 ，且各篇学位论文是否被评议 为“不合格”相互独立． （1）相关部门随机地抽查了 300 位博士硕士的论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的部分数 据如下表所示： 通过计算说明是否有 99．9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系? （2）若 ，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ，求 的值； （3）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的评审费用为 1500 元；除评 审费外，其他费用总计为 100 万元．现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇，问是否会超过预算? 并说明理由． 参考公式： ，其中 ． 临界值表： 20．（12 分）在直角坐标系中，设点 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的 斜率之积是 ． ( )0 1p p< < 1 2p = 0p 0p 2 2 ) ( )( )( ( ) )(a b c n ad bcK ad c b d − + + ++= n a b c d= + + + ( 3,0)A − (3,0)B AM BM M 2 ( 0)9 b b− >（1）试讨论点 的轨迹形状； （2）当 时，若点 的轨迹上存在点 （ 在 轴的上方），使得 ，求 的 取值范围． 21．（12 分）已知函数 ． （1）设函数 ，讨论 的单调性； （2）当 时，若存在 ， ， ，使 ，证明： ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 M 0 3b< < M P P x 120APB∠ = ° b ( ) sin(1 ) ln2 bf x a x x x= − + − ( ) ( ) sin(1 )h x f x a x= − − ( )h x 1 2a = − 1x 2 (0,1)x ∈ 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 1 2ln ln x xb x x −> −在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (其中 为参数)．以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 和 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 交曲线 于 两点，求 的值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知 ． （1）若 ，求 的值域； （2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围． xOy l 14 3 2 2 3 x t y t  = −  = t O x C 2sin 4cosρ θ θ= l C (4,0)M l C A B， 2 2MA MB+ ( ) | 1| | 2 | ( )f x x ax a a= − − − ∈R 1a = ( )f x ( ) 4f x x≥ − [2,9)x∈ a2019-2020 学年下学期高二期末备考精编金卷 理 科 数 学（A）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】由 ，可得 ，所以 ． 2．【答案】D 【解析】由 ，得 ，即 ， 由 ，得 ； 由 ，得 ， 所以 且 ， ， 所以 ． 3．【答案】B 【解析】 年脱贫率为 ， ∴ ， ∴ 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的 倍． 4．【答案】D 【解析】由 ， 可知函数为非奇非偶函数，排除 A，C， 当 时， ，∴ ， ∴ 在 上， 递减； 在 上， 递增，∴故选 D． 5．【答案】C 【解析】模拟执行程序框图，可得 ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ， 满足条件， ， ，此时，由题意，应该不满足条件，退出循环， 输出程序运行结果为 ， 则在判断框中应填入关于 的判断条件是 ． 6．【答案】B 【解析】因为 是边长为 的等边三角形，所以 ， ， ， 于是 ， 则 的方程为 ． 7．【答案】D 【解析】任意一个和 平行的平面，和线段 ， 相交所得的 都符合要求． 8．【答案】A 【解析】令 ，由 ，得 ， 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，从而 ， 因为 ，所以 ， ． 9．【答案】A 【解析】因为在 中， ， ，所以 ， 又 ，所以 ，从而 ，进而 ， 所以 ，椭圆 的离心率为 ． 10．【答案】C 【解析】 ，令 ，则 ， 故 轴右侧的第一条对称轴为 ，左侧第一条对称轴为 ， 2 1 izi = + 2 1 i 1 iiz += = − − 1 iz = − + 2 21 2 82 x x−< < 21 2 32 2 2x x− −< < 21 2 3x x− < − < 2 22 1 ( 1) 0x x x− > − ⇒ − > 1x ≠ 2 2 3x x− < 1 3x− < < { | 1 3A x x= ∈ − < ⇔ − > > 2 (0) ( 1)(1) f ff e e −< < 160− 6 3 1(2 )x x − 1 51 36 63 62 1 6 6C (2 ) ( ) C 2 ( 1) rr r r r r r rT x x x − −− − + = − = − ⋅ 5 13 6 2r− = 3r = x 3 3 3 6C 2 ( 1) 160× × − = − π 6 | 2 | 7− =a b 2 2| | 4 4 | | 7− ⋅ + =a a b b 1 4 4 3 7− ⋅ + × =a b 3 2 ⋅ =a b 3 32cos , 21 3 < >= = ×a b π, 6 < >=a b 3 21 sin sin 12S AB AC A AC A= × = = 2 1 sinAC A= 2 2 2 2 5 4cos2 cos (5 4cos ) sin ABC AB AC AB AC A A AC A -= + - × × = - = 2 4sin 4cos 16 sin( 5BC A A BC A ）a+ = + + = 4 16 5BC + ³ 3BC ³ 1 1ln 22 2 − y kx b= + 2xy e −= 1 2 1 1( , )xP x e − 1xy e= − 2 2 2( , 1)xP x e − 2 1 1 2 2 2 2 1 ( 1)x x x x e ek e e x x − − − −= = = − 1 22x x− = 1 2k = 2 1 2 xe = 2 ln 2x = − 21 1 1 1( ln 2) 1 ln 22 2 2 2 xy x e x= + + − = + − 1 1ln 22 2b = − π 3 7 3sin sin cos sin sin3C A B B A− = πA B C+ + = 3sin( ) sin cos sin sin3A B A B B A+ − = 3sin cos cos sin sin cos sin sin3A B A B A B B A+ − =因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． （2）因为 ， ， ， 由余弦定理得 ， 所以 ，所以 ，故 ， 在 中， ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）在 中， ， ， ， 由正弦定理得 ，所以 ，即 ， 所以三棱柱 是堑堵． （2）以点 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则 ， ， ， ， 于是 ， ， ， 设平面 的一个法向量是 ， 则由 ，得 ，所以可取 ， 又可取 为平面 的一个法向量， 所以 ， 所以二面角 的余弦值为 ． 19．【答案】（1）有 的把握认为；（2） ；（3）不会超过预算，详见解析． 【解析】（1）依题意，完善表格如下 算得观测值为 ， 故有 的把握认为学位论文是否合格与作者学位高低有关系． （2）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ， 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ． （3）设每篇学位论文的评审费为 元，则 的可能取值为 ， ． ， ． 所以 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减， 所以 的最大值为 ， 所以实施此方案，最高费用为 (万元)． 综上，若以此方案实施，不会超过预算． 20．【答案】（1）见解析；（2） ． sin 0B ≠ tan 3A = (0,π)A∈ π 3A = 4b = 2c = π 3A = 2 2 2 π4 2 2 4 2cos 123a = + − × × = 2 3a = 2 2 2b a c= + π 2B = ABMRt△ 2 2 2 22 ( 3) 7AM AB BM= + = + = 15 5 ABC△ 1AB = 3AC = 60ABC∠ = ° 30ACB∠ = ° 90BAC∠ = ° BA AC⊥ 1 1 1ABC A B C− A AB AC 1AA x y z (0,0,0)A (1,0,0)B (0, 3,0)C 1(0,0, 3)A (1,0,0)AB = 1 (0, 3, 3)AC = − ( 1, 3,0)BC = − 1A BC ( , , )x y z=n 1 0 0 AC BC  ⋅ = ⋅ =   n n 3 3 0 3 0 y z x y  − = − + = ( 3,1,1)=n (1,0,0)AB= =m 1AAC 15cos , 5 ⋅< >= =⋅ n mn m n m 1A AC B− − 15 5 99.9% 0 25 32p = ( )2 2 300 150 50 50 50 300 5000 5000 18.75 10.828200 100 200 100 200 100 200 100K × × − × × ×= = = >× × × × × × 99.9% ( )2 2 3 3 3 33 3C 3 1 1 1C 1 ( ) ( )2 2 2pp p +×− + == ( ) ( )21 3 2 3 21 1 91 1 1 3 ( ) [1C [ ( ) ]2 2 2] 3p p p− − − = × × − = 0 1 9 25 2 32 32p = + = X X 900 1500 ( ) ( )3 21900 1 C 1P X p p= = − − ( ) ( )21 31500 C 1P X p p= = − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 3 3900 1 C 1 1500 C 1 900 1800 1E X p p p p p p= × − − + × − = + − ( ) ( ) ( )21 , 0,1g p p p p= − ∈ ( ) ( ) ( ) ( )( )21 2 1 3 1 1g p p p p p p′ = − − − = − − 1(0, )3p∈ ( ) 0g p′ > ( )g p ( 10, 3) 1( ,1)3p∈ ( ) 0g p′ < ( )g p (1,13 ) ( )g p 1 4( )3 27g = 44100 6000 (900 1800 ) 10 80027 −+ × + × × = (0, 3]【解析】（1）设点 ，由题意得 ， 化简得，所以点 的轨迹方程为 ， 当 时，点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆（除去 ， 两点）； 当 时，点 的轨迹是圆（除去 ， 两点）； 当 时，点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆（除去 ， 两点）． （2）当 时，设点 的坐标为 ，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ， ， ， ， 因为点 在点 的轨迹上，所以 ， ， 又 ，∴ ， 因此 的取值范围是 ． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意知： ，定义域为 ， ． 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时，令 ，得 ，则 单调递减； 令 ，得 ，则 单调递增， 综上所得， 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）证明： 时， ． 不妨设 ， 由 ，得 ， 所以 ． 设 ，则 ，故 在 上单调递增． 因为 ，所以 ，所以 ， 即 ， 故 ，所以 ， 于是 ， 则 ． 22．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）直线 的参数方程为 (其中 为参数)， 消去 ，可得 的直角坐标方程为 ； 由 ，得 ， 则曲线 的直角坐标方程为 ． （2）将直线 的参数方程为 ，代入 ， 得 ， ( , )M x y 2 ( 3)3 3 9AM BM y y bk k xx x ⋅ = × = − ≠ ±+ − M 2 2 2 1( 3)9 x y xb + = ≠ ± 0 3b< < M x A B 3b = M A B 3b > M y A B 0 3b< < P 0 0( , )x y P PH x H 0 0 3tan xAPH y +∠ = 0 0 3tan xBPH y −∠ = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 tan tan120 3 31 x x y yAPB x x y y + −+ ∴ ∠ = = + −− ⋅  0 0( , )P x y M 2 2 0 0 02 1( 3)9 x y xb + = ≠ ± 2 0 2 0 02 6 63 9 3(9 ) by by yb − = ⇒ = −− 00 y b< ≤ 2 2 2 60 2 3 9 0 0 3 3(9 ) b b b b b b < ≤ ⇒ + − ≤ ⇒ < ≤ − b (0, 3] ( ) ln2 bh x x x= − (0, )+∞ 2( ) 12 2 b b xh x x x −′ = − = 0b ≤ ( ) 0h x′ < ( )h x (0, )+∞ 0b > ( ) 0h x′ < 2 bx > ( )h x ( ) 0h x′ > 0 2 bx< < ( )h x 0b ≤ ( )h x (0, )+∞ 0b > ( )h x (0, )2 b ( , )2 b +∞ 1 2a = − 1( ) ln sin(1 )2 2 bf x x x x= − − − 2 10 1x x< < < 1 2( ) ( )f x f x= 1 1 1 2 2 2 1 1ln sin(1 ) ln sin(1 )2 2 2 2 b bx x x x x x− − − = − − − 1 2 1 2 2 1 1(ln ln ) [sin(1 ) sin(1 )]2 2 b x x x x x x− = − − − − − ( ) sing x x x= − ( ) 1 cos 0g x x′ = − ≥ ( )g x (0,1) 2 10 1x x< < < 1 20 1 1 1x x< − < − < 1 2(1 ) (1 )g x g x− < − 1 1 2 2(1 ) sin(1 ) (1 ) sin(1 )x x x x− − − < − − − 2 1 2 1(1 ) (1 ) sin(1 ) sin(1 )x x x x− − − > − − − 1 2 2 1sin(1 ) sin(1 )x x x x− > − − − 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1ln( ln ) [sin(1 ) sin(1 )] ( )2 2 2 b x x x x x x x x− = − − − − − > − 1 2 1 2ln ln x xb x x −> − 8: 2 2 2 0x yl + − = 2: 4C y x= 153 4 l 14 3 2 2 3 x t y t  = −  = t t l 2 2 8 2 0x y+ − = 2sin 4cosρ θ θ= 2 2sin 4 cosρ θ ρ θ= C 2 4y x= l 14 3 2 2 3 x t y t  = −  = 2 4y x= 22 3 36 0t t+ − =设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ， ， 所以 ． 23．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时， ， 所以 ，所以 ， 即 的值域为 ． （2）当 时， ， 由 可得 ，当 时，不等式显然成立； 当 时，可得 ， 当 时， ，故只需 ，即 ， 所以 的取值范围是 ． A B 1t 2t 1 2 3 2t t+ = − 1 2 18t t = − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 153( ) 2 4MA MB t t t t t t+ = + = + − = [ 1,1]− 3 3[ , ]7 7 − 1a = ( ) | 1| | 2 |f x x x= − − − | ( ) | || 1| | 2 || | ( 1) ( 2) | 1f x x x x x= − − − ≤ − − − = 1 ( ) 1f x− ≤ ≤ ( )f x [ 1,1]− 2 9x≤ < ( ) 1 | | ( 2)f x x a x= − − − ( ) 4f x x≥ − | | ( 2) 3a x − ≤ 2x = 2 9x< < 3| | 2a x ≤ − (2,9)x∈ 3 3 2 7x >− 3| | 7a ≤ 3 3 7 7a− ≤ ≤ a 3 3[ , ]7 7 − 维权 声明