2019-2020学年下学期高二期末备考精编原创文科数学（B卷）（详解）

2019-2020 学年下学期高二期末备考精编金卷 文 科 数 学（B） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知 是虚数单位，则复数 的共轭复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 2．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知 件产品中有 件次品，其余为合格品，现从这 件产品中任取 件，恰有一件次品的概率 为（ ） A． B． C． D． 5．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，其中 ，把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲 线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 7．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 9． 是双曲线 （ ， ） 右焦点，过点 向 的一条渐近线引垂线， 垂足为 ，交另一条渐近线于点 ，若 ，则 的离心率是（ ） A． B． C． D． 10．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积 为（ ） A． B． C． D． 11．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为 ，如果任意转动该正方 体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ） i 4 3i 3 4iz += − i− i 1− 1 2{ | log 1}M x x= < 2{ | 2 0}N x x x= + − > M N =R ( 2,2)− [ 2,2)− (0,1] (0,1) | | 4=a | | 8=b a b 60° | 2 |+ =a b 5 3 6 3 8 2 8 3 5 2 5 2 0.4 0.6 0.8 1 1 32a −= 2 1log 3b = 1 2 1log 3c = a b c> > a c b> > c a b> > c b a> > ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + 0ω > ( π)π ,2 ϕ ∈ | | 2 13AB = ( )f x 2 2 ( )g x ( )g x ( ) 2sin π 12g x x= − 2π( ) 2sin( )3 π 12g x x= − + ( ) 2sin( )3 π 6 πg x x= − + ( ) 2c 3 πosg x x= 1 ln | | sin1 ln | | xy xx −= ⋅+ π 1cos( )6 3 α + = 5πsin(2 )6 α + = 8 9 7 9 7 9 − 8 9 − F 2 2 2 2: 1x yC a b − = 0a > 0b > 的 F C A B 2AF FB=  C 2 3 3 14 3 2 2 1 16 5 3 2 5 3 32 3 16 3 1 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A． B． C． D． 12．已知函数 ，若对任意的正数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_______． 14．在数列 中，若 ， ，则 _____． 15．已知 为抛物线 的焦点，直线 与曲线 相交于 两点， 为坐标原 点，则 ________． 16．设 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， 则 ________；若边 上的点 满足 ，则 的面积 ________． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 的前 项和 ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）求证：当 且 时， ． 18．（12 分）依据某地某条河流 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图 （甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示． （1）试估计该河流在 月份水位的众数； （2）我们知道若该河流 月份的水位小于 米的频率为 ，该河流 月份的水位小于 米的情况 下发生 级灾害的频率为 ，则该河流 月份的水位小于 且发生 级灾害的频率为 ，其他情 况类似．据此，试分别估计该河流在 月份发生 、 级灾害及不发生灾害的频率 ， ， ； （3）该河流域某企业，在 月份，若没受 、 级灾害影响，利润为 万元；若受 级灾害影响， 则亏损 万元；若受 级灾害影响则亏损 万元．现此企业有如下三种应对方案： 试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中 哪种方案？说明理由． 1 5[ , ]6 6 1 5( , )6 6 1 2[ , ]6 3 1 2( , )6 3 2 2( ) log ( 1 )f x x x= + − a b ( ) (3 1) 0f a f b+ − = 3 1 a b + 6 8 12 24 x y 2 0 4 0 2 5 0 x y x y x y − + ≥  + − ≥  − − ≤ 1 1 yz x −= + { }na 1 2 2a a= = ( )* 2 1 2n n na a a n+ += + ∈N 2 2019 2020log ( )a a+ = F 2: 4C x y= 1 12y x= + C ,A B O OABS =△ ABC△ A B C a b c ( )( ) 3a b c a b c ac+ + − + = B = AC D 2 2BD CD AD= = = ABC△ S = { }na n nS 4 9a = 3 15S = { }nb n 2 n nT n a= + { }na { }nb 2n ≥ *n∈N 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 3 20n nb b b b b b b b + + + + ⇒ − + > ⇒ − < < (0,2)M = ( , 2) (1, )N = −∞ − +∞ 2{ | 2 0} [ 2,1]N x x x= + − ≤ = −R ( ) [ 2,2)M N = = −R  2 2 2 2 2| 2 | (2 ) 4 4 4 4 4 4 8cos60 8 8 3+ = + = + ⋅ + = × + × × °+ =a b a b a a b b 5 2 a b 3 c d e 5 2 10 是( , )a b ( , )a c ( , )a d ( , )a e ( , )b c ( , )b d ( , )b e ( , )c d ( , )c e ( , )d e 6 ( , )a c ( , )a d ( , )a e ( , )b c ( , )b d ( , )b e A = 6( ) 0.610P A = = 1 32 (0,1)a −= ∈ 2 1log 03b = < 1 2 1log 13c = > b a c< < (0) 2sin 1f ϕ= = 1sin 2 ϕ = 5π 6 ϕ = 5π( ) 2sin( )6f x xω= + 2 13AB = 2 2 2( ) 4 (2 13)2 T + = 12T = π 6 ω = π 5π( ) 2sin( )6 6f x x= + π 5π π π( ) 2sin[ ( 2) ] 2sin( π) 2sin12 6 12 12g x x x x= + + = + = − 1 ln | |( ) sin1 ln | | xf x xx −= ⋅+ |1 ln 0|x+ ≠ 1x e ≠ ± 0x ≠ 1 1 1 1( , ) ( ,0) (0, ) ( , )e e e e −∞ − − +∞   1 ln | | 1 ln | |( ) sin( ) sin ( )1 ln | | 1 ln | | x xf x x x f xx x − − −− = ⋅ − = − ⋅ = −+ − + ( )f x 11 e > (1) sin1>0f = 2 1 1 e e < 2 2 2 2 2 2 11 ln | |1 1 1 ( 2) 1 1( ) sin sin 3 sin 01 1 21 ln | | ef e e e e e − − −= ⋅ = ⋅ = − ⋅ − ≥ − = R 2 2 1 1 ) log(f x x x = + + ( )f x 2 2 1 1 ) log(f x x x = + + 2 2log (( 1) )f x x x= + +− ( ) ( )f x f x= − − ( )f x ( ) (3 1) 0f a f b+ − = ( ) (1 3 )f a f b= − 1 3a b= − 3 1a b+ = 3 1 3 1 9( )( 3 ) 6b aa ba b a b a b + = + + = + + 为 9 92 6b a b a a b a b + ≥ × = 3 1 12a b + ≥ 1 2a = 1 6b = 1 ABC△ 1 1 yz x −= + ( , )P x y ( 1,1)Q − PQk 1BCk = 2020 2 1 2n n na a a+ += + 2 1 12 2n n n na a a a+ + ++ = + 2 1 1 2n n n n a a a a + + + + =+ 1 2 4a a+ = 1{ }n na a+ + 4 2 2020 2019 2020 2a a+ = 2 2019 2020log ( ) 2020a a+ = 5 2 4 1 12 x y y x  = = + 2 2 4 0x x− − = 1 1( , )A x y 2 2( ),B x y 1 2 2x x+ = 1 2 4x x = − 2 2 1 2 1 2 11 4 1 54( ) 1 4 6AB k x x x x= + + − = + + = O 1 12y x= + 1 2 2 5 51 51 4 d = = = + 1 1 2 5| | 5 52 2 5OABS AB d= × = × × =△ 60° 3 3 2 ( )( ) 3a b c a b c ac+ + − + = 2 2 2a c b ac+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = (0,180 )B∈ ° 60B = ° 1 1 2n n na a + + + =由题意不妨设 ，则 ， ，所以 ， 在 中由正弦定理得 ， 将 ， 代入化简得 ，∴ ， ∴ ， ，易得 ，∴ ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】（1） ， ；（2）证明见解析． 【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， 则 ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 当 时， ； 当 时， ， 可知 时不满足 ， ∴ ． （2）由（1）知：当 时， ； 当 时， ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 即 ． 18．【答案】（1） 米；（2） ， ， ；（3）选方案二，详见解析． 【解析】（1）由题得 ，估计该河流在 月份水位的众数为 米． （2）依据甲图，该河流 月份的水位小于 米的频率为 ， 在 米和 米之间的频率为 ， 大于 米的频率为 ． 根据乙图，该河流在 月份发生 级灾害的频率为 ， 该河流在 月份发生 级灾害的频率为 ， 该河流在 月份不发生灾害的频率为 ， 估计 ， ， 分别为 ， ， ． （3）由（2）若选择方案一，则该企业在 月份的平均利润 （万元）； 若选择方案二，则该企业在 月份的平均利润 （万 元）； 若选择方案三，则该企业在 月份的平均利润 （万元）， 由于 ，因此企业应选方案二． 19．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）∵四边形 是菱形，∴ ， 又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 在 中， ， ， 设 ，计算得 ， ， 在梯形 中， ， ， ， ， 梯形 的面积 ， ∴四棱锥 的体积为 ． DBC α∠ = 60ABD α∠ = °− C α∠ = 120A α= °− ABD△ sin(60 ) sin(120 ) AD BD α α=°− °− 1AD = 2BD = 3tan 3 α = 30α = ° 90A = ° 30C = ° 3AB = 1 3 3 2 2S AC AB= × × = 2 1na n= + 4( 1) 2 1( 2, )n nb n n n ∗ ==  + ≥ ∈ N { }na d 4 1 3 1 3 9 3 23 152 a a d S a d = + = ×= + = 1 3 2 a d =  = 3 2( 1) 2 1na n n= + − = + 2 22 1 ( 1)nT n n n= + + = + 1n = 1 1 4b T= = 2n ≥ 2 2 1 ( 1) 2 1n n nb T T n n n−= − = + − = + 1n = 2 1nb n= + 4( 1) 2 1( 2, )n nb n n n ∗ ==  + ≥ ∈ N 1n = 1 2 1 1 20b b = 2n ≥ 1 1 1 1 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n nb b n n n n+ = = × −+ + + + 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )20 2 5 7 7 9 2 1 2 3n nb b b b b b b b n n+ + + + + = + × − + − + + −+ +  1 1 1 1 1 1 1 1( ) 2520 2 5 2 3 20 10 15 20 10 1 n n n n −= + × − = + = ++ + + − 25 01n >− 1 1 25 1010 1n < + − 1 1 1 1 3 2520 20 10 2010 1n + < + = + − 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 3 20n nb b b b b b b b + + + +⋅⋅⋅+ < 37.5 0.155 0.035 0.81 35+40 37.52 = 8 37.5 8 40 (0.02 0.05 0.06) 5 0.65+ + × = 40 50 (0.04 0.02) 5 0.30+ × = 50 0.01 5 0.05× = 8 1 0.65 0.10 0.30 0.20 0.05 0.60 0.155× + × + × = 8 2 0.30 0.05 0.05 0.40 0.035× + × = 8 1 0.155 0.035 0.81− − = 1p 2p 3p 0.155 0.035 0.81 8 1 500 0.81 100 0.155 1000 0.035 354.5L = × − × − × = 8 2 500 0.965 40 1000 0.035 407.5L = × − − × = 8 3 500 100 400L = − = 2 3 1L L L> > 3 1 2 ABCD BD AC⊥ ACEF ⊥ ABCD ACEF  ABCD AC= BD ⊂ ABCD BD ⊥ ACEF ABC△ 60ABC∠ = ° 2AB = BD AC O= 2AC = 3BO = ACEF AF CE∥ AF AC⊥ 2AC AF= = 1CE = ACEF 1 (1 2) 2 32S = × + × = B ACEF− 1 1 3 3 33 3V S BO= × × = × × =（2）在平面 内作 ，且 ，连接 交 于 ， 则点 满足 ， 证明如下： ∵ ， ，∴ ，且 ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ， ， 又菱形 中， ， ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， 又 ，∴ ． 20．【答案】（1） ；（2）存在满足条件的直线 ，其方程为 ． 【解析】（1）因为圆 ，所以圆心 为 ，半径 ． 设 ， ， 当直线 的斜率为 时，设 的方程为 ， 则 ，∴ 或 ， 当 时， ，无解，舍去； 当 时，由 ，消去 ，得 ， 所以 ， ， ， 弦长 ． （2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，易知 时不成立， 即 ， 由题意知 ，得 ，① 由 ，消去 得 ， ，即 且 ， ， ， ∵点 和点 关于直线 对称， ∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ， 在直线 上， ∴ ， ， ∴ ， 代入 ， 并化简，得 ，② ① ②得 ，即 ， 解得 或 ， 当 时，代入 ，解得 ，满足条件 且 ， 此时直线 的方程为 ； 当 时，代入 计算得到 ，无解， 当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ， 故 ， ，此时 ，不满足， 综上所述，存在满足条件的直线 ，其方程为 ． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为 ，所以 ， 由导数的几何意义可知：曲线 在 处的切线斜率 ， ∴曲线 在 处的切线方程 ，即 ． （2）若 ，则 ， 由（1）可知， ， 设函数 ，则 ， 当 时， ，则 在 单调递减； 当 时， ，则 在 单调递增， 故 ， ABF BM AF∥ 1BM = AM BF P P AP DE∥ AF CE∥ 1CE = BM CE∥ BM CE= BMEC BC ME∥ BC ME= ABCD BC AD∥ BC AD= ME AD∥ ME AD= ADEM AM DE∥ AP DE∥ BM AF∥ ~BPM FPA△ △ 1BM = 1 2 BP BM PF AF = = 10 l 1y x= − + 2 2:( 1) 2N x y+ + = N ( 1,0)− 2r = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y l 1− l y x b= − + |1 | 2 2 b+ = 1b = 3b = − 3b = − 2 3y x y x = − −  = 1b = 2 1y x y x = − +  = x 2 1 0y y+ − = 1 2 1y y+ = − 1 2 1y y⋅ = − 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 5y y y y y y− = + − ⋅ = 1 22 1| | 1 | | 10( 1)AB y y= + − =− l l y kx m= + 0k = 0( 0)kx y m k− + = ≠ 2 2 1 k m k − + = + 2 2 2 2 0m k mk− − − = 2 y kx m y x = +  = x 2 0ky y m− + = 1 4 0Δ km= − > 1 4km < 0k ≠ 1 2 1y y k + = 1 2 my y k = M ( 1,0)N − y x= (0, 1)M − 1 1( , 1)MA x y= + 2 2( , 1)MB x y= + MA MB⊥ 0MA MB⋅ =  1 2 1 2( 1)( 1) 0x x y y+ + + = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y y kx m= + 1 1y kx m= + 2 2y kx m= + 2 2 2 2 1 2 1 2(1 ) ( )( ) 0k y y k m y y m k+ + − + + + = 1 2 1y y k + = 1 2 my y k = 2 2 0m k mk k+ + + = + 22 2 0m mk k− + − = ( 1)(2 2) 0m m k− − + = 1m = 1 12m k= − 1m = 2 2 2 2 0m k mk− − − = 1k = − 1 4km < 0k ≠ l 1y x= − + 1 12m k= − 2 2 2 2 0m k mk− − − = 27 4 4 0k k− + = l 2 1x = − 1 2 1y = − 2 2 1y = − − 0MA MB⋅ ≠  l 1y x= − + 2y = 2( ) [2( 1) ] 2(1 )xf x a x ax e a x′ = − + ⋅ + − (0) 0f ′ = ( )y f x= (0,2) 0k = ( )y f x= (0,2) 2 0 ( 0)y x− = × − 2y = 2 3a = 2 22 1( ) (2 2 )3 3 xf x x x e x= − + ⋅ + 22 2 2 2( ) ( ) [( 1) 1]3 3 3 3 x xf x x x e x x x e′ = − + ⋅ + = − ⋅ + ( ) ( 1) 1xg x x e= − ⋅ + ( ) xg x x e′ = ⋅ ( ,0)x∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ,0)−∞ (0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞ ( ) (0) 0g x g≥ =又 ， 故当 时， ，则 在 单调递减； 当 时， ，则 在 单调递增， 故 ． 22．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题意知 的直角坐标方程为 ， 由 ，可得 的极坐标方程为 ， 化简整理得 ． （2）由题意得直线 的极坐标方程为 ， 所以 ，可得 ． 同理 ，可得 ， 所以 ． 23．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时， ， 不等式 ，即 或 或 ， 解得 或 或 ， 故此不等式的解集为 ． （2）因为 ， 因为 ，有 成立， 所以只需 ，化简得 ，解得 或 ， 所以 的取值范围为 ．2( ) ( )3f x x g x′ = ⋅ ( ,0)x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,0)−∞ (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( ) (0) 2f x f≥ = 2 2 2 sin 1cos 4 θθ ρ+ = 4 7 47 + 1C 2 2 14 yx + = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 1C 2 2 2 2 sincos 14 ρ θρ θ + = 2 2 2 sin 1cos 4 θθ ρ+ = l π 3 θ = 3 8cos π 0 θ ρ θ  =  + = π( 4, )3A − 2 2 2 π 3 sin 1cos 4 θ θθ ρ  =  + = 4 7 π( , )7 3B 4 7| | | | 47A BAB ρ ρ= − = + 5 3( , ] [ , )2 2 −∞ − +∞ ( , 1] [1, )−∞ − +∞ 1a = ( ) | 1| | 2 |f x x x= − + + ( ) 4f x ≥ 2 2 1 4 x x < − − − ≥ 2 1 3 4 x− ≤ ≤  ≥ 1 2 1 4 x x >  + ≥ 5 2x ≤ − x∈∅ 3 2x ≥ 5 3( , ] [ , )2 2 −∞ − +∞ ( ) | | | 2| |( ) ( 2)| | 2|f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + 0x∃ ∈R 0( ) |2 1|f x a≤ + | 2| |2 1|a a+ ≤ + 2 1 0a − ≥ 1a ≤ − 1a ≥ a ( , 1] [1, )−∞ − +∞