数 学 试 题（文）
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分；在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知集合 ，则 （ ）
A． B． C ．
D．
3. 已知向量 ， ，且 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
4. 设函数 ，则 （ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
5. 设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则点 的轨迹方程
为 （ ）
A． B．
C． D．
6. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．9 D．
7. 设 是 0，1，2，3，4，5 中任意两个不同的数，那么复数 恰好是纯
虚数的概率为 （ ）
A． B． C． D．
8. 设 ，则 是 的 （ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
2 1z i i⋅ = + z =
2 i+ 2 i− 2 i− + 2 i− −
{ } ( )( ){ }ZxxxxBA ∈−+== ,021,3,2,1 ＜ =BA
{ }1 { }21， { }3210 ，，，
{ }32101 ，，，，−
( )1, 1a = − ( ),2b x= a b⊥ a b+
10 2 2 7 2
( ) ( )2 1 , 0
4 , 0x
log x xf x
x
− > 2x y+
10 9 8 7
( ) 21 ln2f x x a x x= − + [ )1,+∞ a
0a ≤ 0 1a≤ ≤ 2a ≤ 2a < 1F 2F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > P
1 2 90F PF∠ = ° 2c =
2 1
3PF FS =△
2y x= ± 2y x= ± 3
3y x= ± 3y x= ±
C 2( ) lnf x x x= + (1, (1))f
,x y
2,
4,
1,
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤
3z x y= +
的最大值为函数 xxxf sincos2)( +=
1 2 1z z− = 1z 2z 1 3iz a= + 2 2 iz b= +
,a b∈R 2 2a b+
算步骤。）
17. （本小题满分 10 分）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
已知 ， ，且 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）如果 ， ，求 的面积.
18. （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ， ，数列 的前
项和为 ，且 ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面
为矩形， 平面 ，点 在 上.
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）若 ， ，三棱锥 的体积为 ，
试求 的值.
20. （本小题满分 12 分）2020 年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网
上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取 名学生对线上教
学进行调查，其中男生与女生的人数之比为 ，抽取的学生中男生有 人
对线上教学满意，女生中有 名表示对线上教学不满意.
（1）完成 列联表，并回答能否有 的把握认为“对线上教学是否满意
与性别有关”；
态 度
性 别 满意 不满意 合计
男生
{ }na 1 1a = 1 2n na a+ = + { }nb n
nS 2n nS b= −
{ }na { }nb
n n nc a b= + { }nc n nT
ABC∆ A B C a b c
2sin , 32
Bm =
cos ,cos2
Bn B =
nm ⊥
B
1a = 3b = ABC∆
P ABCD− ABCD
PA ⊥ ABCD E PD
E PD //PB AEC
1PA = 2 2PD AB= = E ACD− 3
9
:PE ED
100
9:11 30
10
2 2× 90%
女生
合计 100
（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取 名学生，再
在这 名学生中抽取 名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一
名男生与一名女生的概率。
附： .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， .( )
（1）求函数 的极值点；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
22. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率 ，
是椭圆 上一点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为 ，且直线 交椭圆 于 、 两点，点 关于原点
的对称点为 ，点 是椭圆 上一点，判断直线 与 的斜
率之和是否为定值?如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．
文科数学答案：
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C A B D C A B A C C D
5
5 2
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK ++++
−=
( )2P K k≥
k
( ) lnf x x ax= − 2( )g x x= a R∈
( )f x
( ) ( )f x g x≤ a
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 3
2e =
( )0, 2 C
C
l 1
2 l C P Q P
E ( )2,1A − C AE AQ
二、填空题：
13. 14. 8 15. 16.
三、解答题：
17.【解】（Ⅰ） ， .
化简得： ，又 ， ；
（Ⅱ）由余弦定理 得， ，
整理得 ，解之得： ， .
18.【解】（1）因为 ， ，所以 为首项是 1，公差为 2 的等差数
列，所以 ．
又当 时， ，所以 ，
当 时， ①
②
由 得 ，即 （ ），
所以 是首项为 1，公比为 的等比数列，故 ．
（2）由（1）得 ，
所以
19.证明：（1）连接 交 于 ,连接 ,
∵ 为矩形,∴ 为 的中点,
1 1a = 1 2n na a+ − = { }na
( )1 1 2 2 1na n n= + − × = −
1n = 1 1 12b S b= = − 1 1b =
2n ≥ 2n nS b= −
1 12n nS b− −= −
−① ② 1n n nb b b −= − +
1
1
2
n
n
b
b −
= 2n ≥
{ }nb 1
2
11
2
n
nb
−
=
1
2 1 1
2n n
n
nc a b n
−
= +
= + +
( ) 1
2
111 2 1 12 212 21 2
n
n
n
n nT n
−
− + − = + = + − −
3 2 0x y− − = 5 8 2 7+
m n⊥
2sin cos 3 cos sin 3 cos 02 2
B Bm n B B B∴ ⋅ = + = + =
tan 3B = − 0 B π< < 2 3B π∴ = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )2 2 2 13 1 2 2c c = + − − 2 2 0c c+ − = 1c = 1 1 3 3sin 1 12 2 2 4ABCS ac B∆∴ = = × × × = BD AC O EO ABCD O BD
又 为 的中点,∴ ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
（2）由题设 , ,∴ 的面积为 .
∵棱锥 的体积为 ,
∴ 到平面 的距离 满足 ,即 .
∵ 平面 ,∴平面 平面 ,
过 在平面 内作 ,垂足为 ,则 平面 ,
而 平面 ,于是 .
∵ ,∴ .则
20.【解】（1） 列联表如下：
态 度
性 别
满意 不满意 合计
男生 30 15 45
女生 45 10 55
合计 75 25 100
，
这说明有 的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.
（2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取 名学
E PD EO PB
EO AEC PB AEC
PB AEC
3AD = 1CD = ADC
3
2
E ACD− 3
9
E ABCD h 3 1 3
9 3 2 h= × 2
3h =
PA ⊥ ABCD PAD ⊥ ABCD
E PAD EF AD⊥ F EF ⊥ ABCD
PA ⊥ ABCD EF PA
1PA = : 2:3ED PD = : 1: 2PE ED =
2 2×
( )2
2 100 30 10 45 15 3.03 2.70675 25 45 55K
× − ×= ≈ >× × ×
90%
5
生，
其中男生 名，设为 、 ；女生 人设为 ，
则从这 名学生中抽取 名学生的基本事件有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共 个基本事件，
其中抽取一名男生与一名女生的事件有 ， ， ， ， ，
，共 个基本事件，
根据古典概型，从这 名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为 .
21.【解】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无极值点，
当 时，解 得 ，解 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 有极大值点 ，无极小值点.
（2）由条件可得 恒成立，
则当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，
则当 时， ，所以 在 上为减函数.
又 ，所以在 上， ；在 上， .
所以 在 上为增函数；在 上为减函数.
所以 ，所以 .
2 A B 3 , ,a b c
5 2 ( ),A B ( ),A a ( ),A b ( ),A c
( ),B a ( ),B b ( ),B c ( ),a b ( ),a c ( ),b c 10
( ),A a ( ),A b ( ),A c ( ),B a ( ),B b
( ),B c 6
5 6 3
10 5
=
( ) lnf x x ax= − ( )0,+∞ ( ) 1f x ax
′ = −
0a ≤ ( ) 1 0f x ax
−′ = > ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 1 0f x ax
−′ = > 10 x a
< < ( ) 1 0f x ax −′ = < 1x a >
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
( )f x 1
a
2ln 0( 0)x x ax x− − ≤ >
0x > lnxa xx
≥ −
( ) ln ( 0)xh x x xx
= − > ( ) 2
2
1 lnx xh x x
′ − −=
( ) 21 ln ( 0)k x x x x= − − >
0x > ( ) 12 0k x x x
′ = − − < ( )k x ( )0,+∞ ( )1 0k = ( )0,1 ( ) 0h x′ > ( )1,+∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )max 1 1h x h= = − 1a ≥ −
22.【解】（1）由题意知 ，
又离心率 ，所以 ，
于是有 ，
解得 ， ．
所以椭圆 的方程为 ；
（2）由于直线 的斜率为 ．可设直线 的方程为 ，
代入椭圆 ，可得 ．
由于直线 交椭圆 于 、 两点，
所以 ，
整理解得 ．
设点 、 ，由于点 与点 关于原点对称，
故点 ，于是有 ， ．
设直线 与 的斜率分别为 ， ，由于点 ，
则
，
又 ， ．
于是有
2b =
3
2e = 2 3
3a c=
2 2 2
2
2 3
3
b
a c
a b c
=
=
= +
2 2a = 2b =
C
2 2
18 2
x y+ =
l 1
2 l 1
2y x t= +
2 2: 4 8C x y+ = 2 22 2 4 0x tx t+ + − =
l C P Q
( )2 24 4 2 4 0t t∆ = − − >
2 2t− < < ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y P E ( )1 1,E x y− − 1 2 2x x t+ = − 2 1 2 2 4x x t= − AE AQ AEk AQk ( )2,1A − 1 2 1 2 1 1 2 2AE AQ y yk k x x − − −+ = +− + + ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x y x y x x − − − + += + − 1 1 1 2y x t= + 2 2 1 2y x t= + ( )( ) ( )( )1 2 2 12 1 2 1x y x y− − − + +
，
故直线 与 斜率之和为 0，即 ．的
( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 22 4y y x y x y x x= − − + + − −
( )2 1 1 2 1 2 1 2 4x x x x tx tx x x= − − −+ + + −
( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 4 2 4 2 4 0x x t x x t t t= − − + − = − − − − − =
AE AQ 0AE AQk k+ =
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