2019-2020 学年玉溪市普通高中毕业生第二次教学质量检测
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在
答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答超卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分 150 分，考试用时 120 分
钟．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合 ,再利用交集的定义求 得解.
【详解】由题得 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平，属于基础题.
2.复平面内表示复数 的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
{ 2,0,2,4}A = − { }2| log 2B x x= ≤ A B =
{2,4} { 2,2}− {0,2,4}
{ 2,0,2,4}−
B A B
{ }2| log 2 { | 0 4}B x x x x= ≤ = < ≤ A B = {2,4}
(1 )( 2 )z i i= + − +先化简复数 ，即得解.
【详解】由题得 ，
复数对应的点为 ，所以它对应的点位于第三象限.
故选：
【点睛】本题主要考查复数的乘法和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
属于基础题.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用诱导公式，再利用和角的正弦公式化简即得解.
【详解】由题得原式= .
故选：
【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平，属于基础题.
4.从数字 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同数字，至少有一个是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出总的基本事件总数，再求出至少有一个为偶数的基本事件的个数，再利用古典概型的
概率公式求解即可.
【详解】从数字 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同数字，基本事件有（1,2），（1,3），
（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有 10 个基本事件，其中
至少有一个是偶数的基本事件有（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5），共 7
3z i= − −
(1 )( 2 ) 2 2 1 3z i i i i i= + − + = − + − − = − −
( 3, 1)− −
C
sin25 cos20 cos155 sin20° ° ° °− =
2
2
− 2
2
1
2
− 1
2
sin 25 cos20 cos25 sin 20 sin(2 2) sin 455 220° ° ° ° ° °+ + = ==
B
7
10
3
5
2
5
3
10个.
由古典概型的概率公式得至少有一个是偶数的概率为 .
故选：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平，属于基础题.
5.直线 与圆 交于 两点，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，再由题得 ，解方程即得解.
【详解】由题得 ，它表示圆心为（2,2），半径为 的圆.
则圆心到直线的距离 ，
所以 .
故选：
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦心距的计算，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平，属于基础题.
6.若等差数列 的前 15 项和 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
由 得到 ，再化简 ，即得解.
【详解】由题得 .
7
10P =
A
1 0ax y+ − = 2 2 4 4 0x y x y+ − − = ,A B | | 4AB = a =
4
3
− 4
3
3
4
− 3
4
2
| 2 1|2
1
a
a
+=
+
2 2( 2) ( 2) 8x y− + − = 2 2
d 2
2 2
| 2 2 1| | 2 1|8 2 2 =
1 1
a a
a a
+ − += − = =
+ +
3
4a =
D
{ }na 15 30S = 5 6 10 142a a a a− − + =
15 30S = 8 2a = 5 6 10 14 82a a a a a− − + =
15 1 15 1 15 8 8
1530 ( ) 30, 4, 2 4, 22S a a a a a a= ∴ + = ∴ + = ∴ = ∴ =，.
故选：
【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
属于基础题.
7.设 为三个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命题为假命题的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ， ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间直线平面的位置关系逐一分析判断每一个选项得解.
【详解】若 ， ， ，则 ,是正确的，证明如下：
如图，过点 做 ，与 分别交于 ，
直线 确定的平面与 的交线交于 ，连 ，
因为 ，所以 ，即
同理 ，又 ，所以 ，即 ，
所以四边形 是矩形， ，
所以
5 6 10 14 4 6 6 10 1 84 4 10 14 10 810 =22a a a a a a a a a a a a a a aa− − + = + − − −+ + =+ = =−
A
, ,α β γ ,m n
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥
α β⊥ nα β = m α⊂ m n⊥ m β⊥
m β⊥ m α⊂ α β⊥
α β⊥ β γ⊥ α γ⊥
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥
A 1 1// , //m m n n ,α β ,B D
1 1,m n ,α β C ,BC CD
1, //m m mα⊥ 1 1,m m BCα⊥ ⊥ AB BC⊥
AD CD⊥ m n⊥ 1 1m n⊥ AB AD⊥
ABCD // , ,AB CD CD CDα β⊥ ⊂
α β⊥若 ， ， ， ，则 ,是正确的.
因为两平面垂直，则一个平面内垂直交线的直线必垂直另外一个平面；
若 ， ，则 ,是正确的.
因为一个平面内如果有一条直线垂直另外一个平面，则这两个平面垂直；
若 ， ，则 ，是错误的.
为两个平面同时和第三个平面垂直，则这两个平面可能垂直，也可能不垂直.
故选：
【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平和空间的想象能力.
8.如图，该程序框图 算法思路源于“辗转相除法”，又名“欧几里德算法”执行该程序框图．若
输入的 分别为 28，16，则输出的 （ ）
A. 0 B. 4 C. 12 D. 16
的
α β⊥ nα β = m α⊂ m n⊥ m β⊥
m β⊥ m α⊂ α β⊥
α β⊥ β γ⊥ α γ⊥
D
,m n m =【答案】B
【解析】
【分析】
直接按照程序框图运行即可得解.
【详解】第一次循环， 除以 的余数为 ， ， ， ， 不成立；
第二次循环， 除以 的余数为 ， ， ， ， 不成立；
第三次循环， 除以 的余数为 ， ， ， ， 成立.
输出 的值为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9.如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，若该几何体的体积为 ，则其外接
球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
先找到几何体原图是一个三棱锥，求出三棱锥的边长，再求出三棱锥外接球的半径，即得解.
【详解】
【
28 16 12 12r = 16m = 12n = 0r =
16 12 4 4r = 12m = 4n = 0r =
12 4 0 0r = 4m = 0n = 0r =
m 4
4
3
4π 12π 36π 48π由题得几何体原图如图所示，底面是边长为 的等腰直角三角形，左侧面和内侧面都是边长为
的等腰直角三角形，是一个三棱锥.
所以 .
把该几何体放在边长为 2 的正方体中，
故该三棱锥的外接球的直径是正方体的对角线，
设外接球的半径为 .
所以外接球的表面积为 .
故选：
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的表面积的计算，意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平.
10.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 的范围,比较得到 即得解.
【详解】由题得
.
.
.
所以 .
故选：
【点睛】本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平.
11.已知双曲线 ，点 为双曲线 上一点，且在第
x x
21 1 4 , 23 2 3x x x× × = ∴ =
2 2 2, 2 2 2 2 2 3, 3R R R∴ = + + = ∴ =
2
4 3 12π π× =
B
3
52a =
2
53b =
1
35c
−=
b a c< < a b c< < c b a< < c a b< <
, ,a b c b a>
1
3
0 52 2 2 , 1 2a< ∴ < = + A C一象限，点 为坐标原点， 分别是双曲线 的左、右焦点，若 ，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明 是等边三角形，再由题意得到 ，即得双曲线的离心率.
【详解】因为 .
因为 ，所以
因为 ,
所以 是等边三角形，
所以 .
所以 ，
所以 .
故选：
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这
些知识的理解掌握水平.
12.设函数 ，已知方程 （ 为常数）在 上恰有
三个根，分别为 ，下述四个结论：
①当 时， 的取值范围是 ；
O 1 2,F F C | |AO c=
1
2
3AOF
π∠ = C
3 1
2
+
3 3 1+
2AOF∆ 3 2c c a− =
1 2 1 2 1 2
1| | c | |,| | | |,2 2OA F F OF OF F AF
π= = = ∴∠ =
1
2
3AOF
π∠ = 2 ,3AOF
π∠ =
2| | | |OA OF=
2AOF∆
2 1 2 2, , | |3 6AF O AF F AF c
π π∠ = ∴∠ = ∴ =
1| | 3 , 3 2AF c c c a= − =
2 3 1
3 1
ce a
= = = +
−
D
( ) sin ( 0)6f x x
πω ω = + > ( )f x a= a 70, 6
π
( )1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x< <
0a = ω 17 23,7 7
②当 时， 在 上恰有 2 个极小值点和 1 个极大值点；
③当 时， 在 上单调递增；
④当 时， 的取值范围为 ，且
其中正确的结论个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象和性质，对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】①当 时， ,令 .
当 时， ；当 时， ；
所以 ，所以 .所以该命题是正确的；
②当 时， 令 ，
当 时， 令
当 时， 令
因为 ，
所以 在 上有两个极大值点，所以该命题是错误的；
③当 时，令 .
0a = ( )f x 70, 6
π
0a = ( )f x 0,12
π
2ω = a 1 ,12
1 2 3
52 3x x x π+ + =
0a = ( ) sin[ ( )]6f x x
πω ω= + 6, .6
k
x k k Z x
πππω π ω
−
+ = ∈ ∴ =
3k = 3 176 = 6x
ππ π
ω ω
−
= 4k = 4 236 = 6x
ππ π
ω ω
−
=
17 7 23
6 6 6
π ππω ω≤ < 17 23
7 7
ω≤ <
0a = 2 32 , .6 2
k
x k k Z x
πππ πω π ω
+
+ = + ∈ ∴ =
0k = ,3x
π
ω= 7 20 , ,3 6 7
π π ωω≤ ≤ ∴ ≥
1k = 7 ,3x
π
ω= 7 70 , 2,3 6
π π ωω≤ ≤ ∴ ≥
17 23
7 7
ω≤ <
( ))f x 70, 6
π
0a =
22 23 32 2 , .2 6 2
k k
k x k k Z x
π ππ ππ π ππ ω π ω ω
− +
− ≤ + ≤ + ∈ ∴ ≤ ≤所以函数的单调递增区间为
当 时， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以当 时， 在 上单调递增.
所以该命题正确；
④当 时， ，因为 所以
，设 ，如图所示，当 时，直线 和函
数的图象有三个交点.此时 .
所以 所以 .所以该命题正确.
故选：
【点睛】本题主要考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
和分析推理能力.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡相应位置
上）
13.已知向量 ， ，若 ，则 _______．
22 23 3[ , ], .
k k
k Z
π ππ π
ω ω
− +
∈
0k = 2
3 3x
π π
ω ω− ≤ ≤
17 23
7 7
ω≤ < 7 7[ , ]3 69 51
π π π
ω ∈
7
69 12
ππ > 0a = ( ))f x 0,12
π
2ω = ( ) sin 2 6f x x
π = +
7[0, ]6x π∈ ，
52 [ , ]6 6 2x
π π π+ ∈ 5( ) sin , [ , ]6 2g t t t
π π= ∈ 1 12 a≤ < y a=
1 2 3 2 1 2 3, 3 , 2 4t t t t t t tπ π π+ = + = ∴ + + =
1 2 32 4 2 4 ,6 3 6x x x
π π π π+ + + + + = 1 2 3
52 3x x x π+ + =
C
(2, 1)a = − (1, )b x= | | | |a b a b+ = − x =【答案】2
【解析】
【分析】
把 两边平方利用数量积公式即得解.
【详解】由题得 .
故答案为：2
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
属于基础题.
14.甲、乙、丙三位同学一起去向老师询问数学学科学业水平考试成绩，老师说：你们三人中
有 2 位优秀，1 位良好，我现在给甲看乙的成绩，乙看丙的成绩看后甲对大家说：我还是不知
道我的成绩乙听后对大家说：看完丙的成绩，我并不知道自己的成绩，但是听甲这么说，现
在知道了丙听甲和乙的话后说：听你们这么说，虽然我没看任何人的成绩，但是我已经知道
我的成绩了，根据以上信息，判断成绩获得“优秀”的两名同学是__________________．
【答案】乙和丙
【解析】
【分析】
根据甲说 话，可以分析出乙是优秀的，根据乙的话可以分析出乙是优秀的，即得解.
【详解】甲对大家说：我还是不知道我的成绩,所以乙的成绩是优秀，他的成绩可能优秀，可
能良好.乙听后对大家说：看完丙的成绩，我并不知道自己的成绩，说明丙是优秀，自己是优
秀或良好，但是听甲这么说，说明甲知道乙是优秀的，所以自己是优秀的，甲是良好.所以成
绩获得“优秀”的两名同学是乙和丙.
故答案为：乙和丙
【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15. 的内角 的对边分别为 ．若 ， ，则
的面积为______．
【答案】
【解析】
的
| | | |a b a b+ = −
2 2| | | | 0, 2 0, 2a b a b a b x x+ = − ∴ = ∴ − = ∴ =
，
ABC , ,A B C , ,a b c 3sin 2A = 2 2 26b c a+ = + ABC
3 3
2【分析】
先求出 ，再根据 求出 ，即得解.
【详解】因为 ，所以 .
由题得 .
所以 的面积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平，属于基础题.
16.已知 是定义域为 的奇函数， 是 的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数 ， ，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质
即可求解．
【详解】令 ， ，
因为当 时， ，
则当 时， ，即 在 上单调递减，
又因为 为奇函数，即 ，则 ，
故 为偶函数且在 上单调递增，
因为 ，故 ，
由 可得 ，所以 或 ，所以 或 .
1cos 2A = ± 2 2 26b c a+ = + 6bc =
3sin 2A = 1cos 2A = ±
2 2 2 12 cos 6, cos 0,2 6 62b c a bc A A bc bc−+ = = ∴ > × = ∴ =，
ABC
1 1 36 3 32 2 2
× × =
3 3
2
( )f x R ( )f x′ ( )f x ( 1) 0f − = 0x >
( ) 3 ( ) 0xf x f x′ − < ( ) 0f x > x
( , 1) (0,1)−∞ −
3
( )( ) f xg x x
= 0x >
3
( )( ) f xg x x
= 0x >
0x > ( ) 3 ( ) 0xf x f x′ − <
0x > 4
( ) 3 ( )( ) 0xf x f xg x x
′ −′ = < ( )g x (0, )+∞
( )f x ( ) ( )f x f x− = − 3 3
( ) ( )( ) ( )( )
f x f xg x g xx x
−− = = =−
( )g x ( ,0)−∞
( )1 0f − = ( ) ( )1 1 0g g− = =
( ) 0f x > 3 ( ) 0x g x > 0
( ) 0
x
g x
>
>
0
( ) 0
x
g x
( )f x (0, )a
( , )a +∞
( ) 1 af x x
′ = − a
ln 1n n< − 3 3
ln 1 1 1 1
( 1) 1
n n
n n n n n n n n
−< = = −− − + +
( ) 1 ln ( 0)f x x a x x= − − > ( ) 1 af x x
′∴ = −
0a ( ) 0f x′ >
( )f x∴ (0, )+∞
0a > ( )f x′ (0, )+∞ ( ) 0f a′ =
∴ (0, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >在 内单调递减，在 内单调递增．
综上所述，当 时， 在 内单调递增；当 时， 在 内单调递减，
在 内单调递增．
（2）证明：当 时， ．
由（1）知 ， ，当且仅当 时，等号成立，
令 ， ，
．
从而 ，
…
，
累加可得 ，
，
，证毕．
【点睛】本题主要考查利用导数求函数 单调性和证明不等式，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平和分析推理能力.
选考题
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的
题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域
指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．
［选修 4-4：坐标系与参数方程］
的
( )f x∴ (0, )a ( , )a +∞
0a ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x (0, )a
( , )a +∞
1a = ( ) 1 ln= − −f x x x
( ) (1) 0f x f = ln 1x x∴ − 1x =
( )*, 2x n n N n= ∈ ln 1n n∴ < −
3 3
ln 1 1 1 1
( 1) 1
n n
n n n n n n n n
−∴ < = = −− − + +
3
ln2 1 1
2 2 2 3
< −−
3
ln3 1 1
3 3 3 4
< −−
3
ln 1 1
1
n
n n n n
< −− +
3 3 3
ln2 ln3 ln 1 1
2 2 3 3 2 1
n
n n n
+ +…+ < −− − − +
1 1 1
2 1 2n
−
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