2019-2020 学年玉溪市普通高中毕业生第二次教学质量检测
理科数学
一、选择题
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合 ,再利用交集的定义求 得解.
【详解】由题得 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平，属于基础题.
2.复平面内表示复数 的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简复数 ，即得解.
【详解】由题得 ，
复数对应的点为 ，所以它对应的点位于第三象限.
故选：
【点睛】本题主要考查复数的乘法和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
属于基础题.
3. （ ）
{ 2,0,2,4}A = − { }2| log 2B x x= ≤ A B =
{2,4} { 2,2}− {0,2,4}
{ 2,0,2,4}−
B A B
{ }2| log 2 { | 0 4}B x x x x= ≤ = < ≤ A B = {2,4}
(1 )( 2 )z i i= + − +
3z i= − −
(1 )( 2 ) 2 2 1 3z i i i i i= + − + = − + − − = − −
( 3, 1)− −
C
sin25 cos20 cos155 sin20° ° ° °− =A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用诱导公式，再利用和角的正弦公式化简即得解.
【详解】由题得原式= .
故选：
【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平，属于基础题.
4.若某射手每次射击击中目标的概率是 ，则这名射手 次射击中恰有 次击中目标的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 n 次独立重复实验恰好发生 k 次的概率公式计算，即可求出结果.
【详解】解：这名射手 3 次射击中恰有 次击中目标，则另外两次没有击中，
所以概率为 .
故选：C.
【点睛】本题考查求独立重复事件的概率公式，熟悉 n 次独立重复实验恰好发生 k 次的概率公
式是解题的关键，属于基础题.
5.直线 与圆 交于 两点，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
2
2
− 2
2
1
2
− 1
2
sin 25 cos20 cos25 sin 20 sin(2 2) sin 455 220° ° ° ° ° °+ + = ==
B
4
5 3 1
16
25
48
125
12
125
4
25
1
1 2
3
4 1 12( )5 5 125C ⋅ ⋅ =
1 0ax y+ − = 2 2 4 4 0x y x y+ − − = ,A B | | 4AB = a =
4
3
− 4
3
3
4
− 3
4【分析】
先求出圆心和半径，再由题得 ，解方程即得解.
【详解】由题得 ，它表示圆心为（2,2），半径为 的圆.
则圆心到直线的距离 ，
所以 .
故选：
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦心距的计算，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平，属于基础题.
6.若等差数列 的前 15 项和 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
由 得到 ，再化简 ，即得解.
【详解】由题得 .
.
故选：
【点睛】本题主要考查等差数列 性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
属于基础题.
7.设 为三个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命题为假命题的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ， ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
的
2
| 2 1|2
1
a
a
+=
+
2 2( 2) ( 2) 8x y− + − = 2 2
d 2
2 2
| 2 2 1| | 2 1|8 2 2 =
1 1
a a
a a
+ − += − = =
+ +
3
4a =
D
{ }na 15 30S = 5 6 10 142a a a a− − + =
15 30S = 8 2a = 5 6 10 14 82a a a a a− − + =
15 1 15 1 15 8 8
1530 ( ) 30, 4, 2 4, 22S a a a a a a= ∴ + = ∴ + = ∴ = ∴ =，
5 6 10 14 4 6 6 10 1 84 4 10 14 10 810 =22a a a a a a a a a a a a a a aa− − + = + − − −+ + =+ = =−
A
, ,α β γ ,m n
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥
α β⊥ nα β = m α⊂ m n⊥ m β⊥
m β⊥ m α⊂ α β⊥
α β⊥ β γ⊥ α γ⊥【答案】D
【解析】
【分析】
在 A 中，利用线面垂直，面面垂直的性质定理可得 ；在 B 中，利用面面垂直的性质定
理，可知 ；在 C 中，利用面面垂直的判定定理可知， ；在 D 中， 与 相交
或平行.
【详解】解：由 为三个不同的平面， 是两条不同的直线知：
在 A 中， ， ， ，根据线面垂直，面面垂直的性质定理可知 ，故 A
正确；在 B 中， ， ， ， ，根据面面垂直的性质定理，可知
；在 C 中， ， 根据面面垂直的判定定理可知， ；在 D 中，
， ，则 与 相交或平行，故 D 错误.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，
熟悉线面垂直的性质定理、面面垂直的性质定理和判定定理是解决此题的关键，属于基础题.
8.如图，该程序框图的算法思路源于“辗转相除法”，又名“欧几里德算法”执行该程序框图．若
输入的 分别为 28，16，则输出的 （ ）
α β⊥
m β⊥ α β⊥ α γ
, ,α β γ ,m n
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥
α β⊥ nα β = m α⊂ m n⊥
m β⊥ m β⊥ m α⊂ α β⊥
α β⊥ β γ⊥ α γ
,m n m =A. 0 B. 4 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
直接按照程序框图运行即可得解.
【详解】第一次循环， 除以 的余数为 ， ， ， ， 不成立；
第二次循环， 除以 的余数为 ， ， ， ， 不成立；
第三次循环， 除以 的余数为 ， ， ， ， 成立.
输出 的值为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9.如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，若该几何体的体积为 ，则其外接
球的表面积是（ ）
28 16 12 12r = 16m = 12n = 0r =
16 12 4 4r = 12m = 4n = 0r =
12 4 0 0r = 4m = 0n = 0r =
m 4
4
3A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先找到几何体原图是一个三棱锥，求出三棱锥的边长，再求出三棱锥外接球的半径，即得解.
【详解】
由题得几何体原图如图所示，底面是边长为 的等腰直角三角形，左侧面和内侧面都是边长为
的等腰直角三角形，是一个三棱锥.
所以 .
把该几何体放在边长为 2 的正方体中，
故该三棱锥的外接球的直径是正方体的对角线，
设外接球的半径为 .
所以外接球的表面积为 .
故选：
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的表面积的计算，意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平.
4π 12π 36π 48π
x
x
21 1 4 , 23 2 3x x x× × = ∴ =
2 2 2, 2 2 2 2 2 3, 3R R R∴ = + + = ∴ =
2
4 3 12π π× =
B10.已知双曲线 ，点 为双曲线 上一点，且在第
一象限，点 为坐标原点， 分别是双曲线 的左、右焦点，若 ，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明 是等边三角形，再由题意得到 ，即得双曲线的离心率.
【详解】因为 .
因为 ，所以
因为 ,
所以 是等边三角形，
所以 .
所以 ，
所以 .
故选：
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这
些知识的理解掌握水平.
11.若 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
( )2 2
2 2 2
2 2: 1 0, 0,x yC a b c a ba b
− = > > = + A C
O 1 2,F F C | |AO c=
1
2
3AOF
π∠ = C
3 1
2
+
3 3 1+
2AOF∆ 3 2c c a− =
1 2 1 2 1 2
1| | c | |,| | | |,2 2OA F F OF OF F AF
π= = = ∴∠ =
1
2
3AOF
π∠ = 2 ,3AOF
π∠ =
2| | | |OA OF=
2AOF∆
2 1 2 2, , | |3 6AF O AF F AF c
π π∠ = ∴∠ = ∴ =
1| | 3 , 3 2AF c c c a= − =
2 3 1
3 1
ce a
= = = +
−
D
0 1b a< < < 1c >
cca b< c cab ba< log loga bc c>【答案】B
【解析】
【分析】
根据幂函数和对数函数 图像和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，
可得结论.
【详解】解：因为 ， ，令 ，则为增函数，所以 ，故 A 错误；
令 ，则该函数为增函数，则 ，则有 ，故 B 正确；令 ，
则该函数为增函数，所以 ，则 ，故 C 错误；由 C 可知，
，又 ，所以 ，故 D 错误；
故选：B.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查幂函数和对数函数的图像和性质，不等式的性质，
属于中档题.
12.设函数 ，已知方程 （ 为常数）在 上恰有
三个根，分别为 ，下述四个结论：
①当 时， 取值范围是 ；
②当 时， 在 上恰有 2 个极小值点和 1 个极大值点；
③当 时， 在 上单调递增；
④当 时， 的取值范围为 ，且
其中正确的结论个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
的
的
log loga ba c b c>
0 1b a< < < 1c > cy x= c ca b>
1cy x −=
c cb
b
a
a
< c cab ba< log xy c=
0 log loga bc c> > log log 0a bc c< <
log log 0a bc c< < 0 1b a< < < log log loga a ba c b c b c< <
( ) sin ( 0)6f x x
πω ω = + > ( )f x a= a 70, 6
π
( )1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x< <
0a = ω 17 23,7 7
0a = ( )f x 70, 6
π
0a = ( )f x 0,12
π
2ω = a 1 ,12
1 2 3
52 3x x x π+ + =【解析】
【分析】
利用三角函数的图象和性质，对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】①当 时， ,令 .
当 时， ；当 时， ；
所以 ，所以 .所以该命题是正确的；
②当 时， 令 ，
当 时， 令
当 时， 令
因为 ，
所以 在 上有两个极大值点，所以该命题是错误的；
③当 时，令 .
所以函数的单调递增区间为
当 时， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以当 时， 在 上单调递增.
所以该命题正确；
0a = ( ) sin[ ( )]6f x x
πω ω= + 6, .6
k
x k k Z x
πππω π ω
−
+ = ∈ ∴ =
3k = 3 176 = 6x
ππ π
ω ω
−
= 4k = 4 236 = 6x
ππ π
ω ω
−
=
17 7 23
6 6 6
π ππω ω≤ < 17 23
7 7
ω≤ <
0a = 2 32 , .6 2
k
x k k Z x
πππ πω π ω
+
+ = + ∈ ∴ =
0k = ,3x
π
ω= 7 20 , ,3 6 7
π π ωω≤ ≤ ∴ ≥
1k = 7 ,3x
π
ω= 7 70 , 2,3 6
π π ωω≤ ≤ ∴ ≥
17 23
7 7
ω≤ <
( ))f x 70, 6
π
0a =
22 23 32 2 , .2 6 2
k k
k x k k Z x
π ππ ππ π ππ ω π ω ω
− +
− ≤ + ≤ + ∈ ∴ ≤ ≤
22 23 3[ , ], .
k k
k Z
π ππ π
ω ω
− +
∈
0k = 2
3 3x
π π
ω ω− ≤ ≤
17 23
7 7
ω≤ < 7 7[ , ]3 69 51
π π π
ω ∈
7
69 12
ππ > 0a = ( ))f x 0,12
π
④当 时， ，因为 所以
，设 ，如图所示，当 时，直线 和函
数的图象有三个交点.此时 .
所以 所以 .所以该命题正确.
故选：
【点睛】本题主要考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
和分析推理能力.
二、填空题
13.已知向量 ， ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
分析】
利用向量的模的运算求出 和 ，根据等式即可求出 的值.
【 详 解 】 解 ： ， ， 则
，
，因为 ，所以 ，
解得： .
【
2ω = ( ) sin 2 6f x x
π = +
7[0, ]6x π∈ ，
52 [ , ]6 6 2x
π π π+ ∈ 5( ) sin , [ , ]6 2g t t t
π π= ∈ 1 12 a≤ < y a=
1 2 3 2 1 2 3, 3 , 2 4t t t t t t tπ π π+ = + = ∴ + + =
1 2 32 4 2 4 ,6 3 6x x x
π π π π+ + + + + = 1 2 3
52 3x x x π+ + =
C
( )2, 1a = − ( )1,b x= a b a b+ = − x =
2
a b+ a b− x
( )2, 1a = − ( )1,b x=
( ) ( )2 23, 1 9 1 2 10a b x x x x+ = − = + − = − +
( ) 21, 1 2 2a b x x x− = − − = + + a b a b+ = − 2 2 10x x− + = 2 2 2x x+ +
2x =故答案为： .
【点睛】本题考查向量的加法和减法，考查向量模的运算，属于基础题.
14. 的展开式中， 的系数是______（用数字填空答案）.
【答案】
【解析】
【分析】
含 的项为： ，计算可求出系数.
【详解】解：含 的项为： ，所以 的系数是 105.
故答案为： .
【点睛】本题考查二项式展开式系数的求法，考查二项式定理和通项的性质，考查学生的运
算求解能力，属于基础题.
15. 的内角 的对边分别为 ．若 ， ，则
的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出 ，再根据 求出 ，即得解.
【详解】因为 ，所以 .
由题得 .
所以 的面积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平，属于基础题.
2
( )7a b c+ + 2 4ab c
105
2 4ab c 4 4 2 2
7 3T C c C b a= ⋅ ⋅
2 4ab c 4 4 2 2 4 2
7 3 105T C c C b a c b a= ⋅ ⋅ = 2 4ab c
105
ABC , ,A B C , ,a b c 3sin 2A = 2 2 26b c a+ = + ABC
3 3
2
1cos 2A = ± 2 2 26b c a+ = + 6bc =
3sin 2A = 1cos 2A = ±
2 2 2 12 cos 6, cos 0,2 6 62b c a bc A A bc bc−+ = = ∴ > × = ∴ =，
ABC
1 1 36 3 32 2 2
× × =
3 3
216.已知 是定义域为 的奇函数， 是 的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数 ， ，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质
即可求解．
【详解】令 ， ，
因为当 时， ，
则当 时， ，即 在 上单调递减，
又因为 为奇函数，即 ，则 ，
故 为偶函数且在 上单调递增，
因为 ，故 ，
由 可得 ，所以 或 ，所以 或 .
解可得， 或 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，解题的关键是构造函数
并判断出其单调性及奇偶性.
三、解答题
17.在等比数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若 ，求 ．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ．
【解析】
( )f x R ( )f x′ ( )f x ( 1) 0f − = 0x >
( ) 3 ( ) 0xf x f x′ − < ( ) 0f x > x
( , 1) (0,1)−∞ −
3
( )( ) f xg x x
= 0x >
3
( )( ) f xg x x
= 0x >
0x > ( ) 3 ( ) 0xf x f x′ − <
0x > 4
( ) 3 ( )( ) 0xf x f xg x x
′ −′ = < ( )g x (0, )+∞
( )f x ( ) ( )f x f x− = − 3 3
( ) ( )( ) ( )( )
f x f xg x g xx x
−− = = =−
( )g x ( ,0)−∞
( )1 0f − = ( ) ( )1 1 0g g− = =
( ) 0f x > 3 ( ) 0x g x > 0
( ) 0
x
g x
>
>
0
( ) 0
x
g x
( ) 1 af x x
′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )f x′ ( )0, ∞+ ( ) 0f a¢ =
( )0,x a∈ ( ) 0f x′ < ( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0,a ( ),a +∞
0a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )f x ( )0,a ( ),a +∞
1a = ( ) 1 lnf x x x= − −
( ) ( )1 0f x f≥ = ln 1x x≤ − 1x =
( )*
2
11x n Nn n
= + ∈+ 1x >
( )2 2 2
1 1 1 1 1 1ln 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n
+ < + − = = = − + + + + +
2
1 1 1ln 1 1 1 1 2
+ < − + ，
，
累加可得 ，
即 ，
∴ ，证毕.
【点睛】本题考查利用导数求 的单调性，考查不等式的证明，考查列项相消法求和，考
查数学分类讨论的思想，考查指数的运算，属于综合性比较强的中档题.
22.已知曲线 （ 为参数），设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，
以直角坐标中的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若 是曲线 上的两个动点，且 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出曲线 的普通方程，再把它化成极坐标方程得解；
（2）设 ， ，求出 ，再求函数的最小
值得解.
2
1 1 1ln 1 2 2 2 3
+ < − +
2
1 1 1ln 1 1n n n n
+ < − + +
2 2 2
1 1 1 1ln 1 ln 1 ... ln 1 1 11 1 2 2 1n n n
+ + + + + + < −
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