高考模拟考试 数学试题
一、选择题（共 9 小题；共 45 分）
1. 设 集 合 ， ， ， 则
A. B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若 ，则
A. B. C. D.
4. 设函数 则
A. B. C. D.
5. 函数 的部分图象如图所示，则 的单调递减区间为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 已知等比数列 的首项为 ，若 ， ， 成等差数列，则数列 的前 项和为
A. B. C. D.
7. 从 名大学毕业生中选 人担任村长助理，则甲、乙至少有 人入选，而丙没有入选的不同选
法的种数为
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在
抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
9. 定 义 域 为 的 函 数 满 足 ， 当 时 ，
若 时， 恒成立，则实数 的
取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共 6 小题；共 30 分）
10. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 ．
11. 在 的展开式中， 的系数为 ．
12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 ，则正方体的棱长为 ．
13. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲
公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 ，且三个公司是否让其面试是相互独
立的．记 为该毕业生得到面试的公司个数．若 ，则随机变量 的数学期
望 ．
14. 已知 ， 为正实数，则 的最大值为 ．
15. 在 中，已知 ， ， ， 为线段 上
的点，且 ，则 的最小值为 .三、解答题（共 5 小题；共 75 分）
16. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 的面积为 ，
， ．
（1）求 和 的值；
（2）求 的值．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，又
， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成角的余弦值；
（3）求二面角 的余弦值．
18. 已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 ．
（1）求 ，并求出数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为原点，直线 ： 与椭圆 交于两个不同点 ， ，直线
与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ，求证：直线
经过定点．
20. 已知函数 ， ， ．
（1）当 时，求函数 单调区间；
（2）若曲线 点 处的切线 与曲线 切于点 ，求 ， ， 的值；
（3）若 恒成立，求 的最大值．模拟考答案 数学
第一部分
1. D 【解析】因为 ，
所以 ．
2. A
3. C
4. C
5. D
【解析】由图可知 最小正周期为 ；又可推得图中 的一个最低点为
，一个最高点为 ，所以 的单调递减区间为 ， ．
6. A 【解析】由题意 ，
所以 ，
所以 ．
因为 为等比数列，
所以 也为等比数列，
且 ， ，
所以 ．
7. C
8. D 【解析】提示： ， ， ，联立可求．
9. A 【解析】令 ，则 ，
所以
又 ，所以 ，
所以
因此 在 的值域为 ，
所以令 解得 ．
第二部分
10.
【解析】由 为纯虚数，
得
解得： ．
11.
【解析】 ，由 ，得 ，
，所以 的系数为 ．
12.
13.
【解析】 ．
．
所以
所以
14.
【解析】 ，令 ，则 其中等号当且仅当 ，即 时成立，所以 的最大值为 ．
15.
【解析】依题意得：
解得 ， ， ， ，所以 为 ，所以
．
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立直角坐标系，则由题目条件得点
，且满足 ．
，且点 到直线 的距离为 ，则最小
值为 ．
第三部分
16. （1） 在 中， ，可得 ．
由 ，得 ．
又由 ，解得 ， ．
由 ，可得 ．
由 ，得 ． （2）
17. （1） 在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ ， ，
∴ ．
（2） 方法一：
如图，连接 ，由（1）知 ，
∴ 为 在平面 内的射影，
∴ 为 与平面 所成的角．
在 中， ， ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 与平面 所成角的大小为 ．
方法二：
连接 ，由（1）知 ，
∴ 为 在平面 内的射影，
∴ 为 与平面 所成的角．
如图，以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 与平面 所成角的大小为 ．
（3） 方法一：
由（1）知 ，又 ， ，
∴ ．
如图，过 作 于 ，连接 ．
∴ 是 在平面 内的射影，
∴ ，
∴ 为二面角 的平面角．
在 中， ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
方法二：
过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ，
， ．
∵ ，
∴
∵ 共线，
∴
由①、②，解得 ， ， ，∴ 点的坐标为 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ 为二面角 的平面角．
∵ ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
18. （1） 设数列 的公差为 ，
令 ，得 ，所以
令 ，得 ，所以
由 得
解得 ， ，所以 ，所以 ．
（2） 由（ ）知， ，
，
．
两式相减，得
所以 ．
19. （1） 由题意得， ， ．
所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2） 设 ， ，
则直线 的方程为 ．令 ，得点 的横坐标 ．
又 ，从而 ．
同理， ．
由 得 ．
则 ， ．
所以
又 ，
所以 ．
解得 ，所以直线 经过定点 ．
20. （1） ，则 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递增．
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减．
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 的方程为 ．
依题意， ， ．
于是 与抛物线 切于点 ，
由 得 ．
所以 ， ， ．
（3） 设 ，则 恒成立．易得 ．
（ ）当 时，
因为 ，
所以此时 在 上单调递增．
①若 ，则当 时满足条件，此时 ；
②若 ，取 且 ，
此时 ，
所以 不恒成立，不满足条件；
（ ）当 时，
令 ，得 ．由 ，得 ；
由 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
要使得“ 恒成立”，必须有“当 时，
”成立．
所以 ．
则 ．
令 ， ，则 ．
令 ，得 ．由 ，得 ；
由 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以，当 时， ．
从而，当 ， 时， 的最大值为 ．
综上， 的最大值为 ．
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