2020 年河东区高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分，每小题给出的四个选项只
有一个符合题目要求.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出集合 ，然后利用集合 交运算即可求解.
【详解】由 ， ，
所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了集合的交运算、绝对值的几何意义解不等式，属于基础题.
2. 是虚数单位，复数 满足条件 ，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
设出复数 ，代入等式，利用复数相等求出 ，再利用复数的几何意义
即可求解.
【详解】设 ，
由 ，所以
即 ，
的
{ 2, 3, 4,4,5}A = − − − { || 1| }B x x π= − < A B =
{ 2, 3,4}− − { 2,4,5}−
{ 1, 2, 3, 4,0,1,2,3,4,5}− − − − { 2,4}−
{ |1 1}B x xπ π= − < < +
{ 2, 3, 4,4,5}A = − − − { || 1| } { |1 1}B x x x xπ π π= − < = − < < +
A B = { 2,4}−
i z 2 | | 2z z i+ = z
( ),z x yi x y R= + ∈ ,x y
( ),z x yi x y R= + ∈
2 | | 2z z i+ = ( ) 2 22 2x yi x y i+ + + =
2 22 2 2x x y yi i+ + + =所以 ，解得 ，
所以复数在复平面内对应的点为 ，
即复数 在复平面上对应的点位于第二象限.
故选：B
【点睛】本题考查了复数的几何意义、复数模的运算、复数相等，属于基础题.
3.双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的值为（ ）
A. 5 B. 25 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出双曲线的渐近线 ，再利用直线垂直，斜率之积等于 即可求解.
详解】双曲线方程： ，
则双曲线的渐近线为： ，
由一条渐进线与直线 垂直，
则 ，解得 .
故选：A
【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线垂直斜率之间的关系，属于基础题.
4.已知平面 ， ，直线 ，直线 不在平面 上，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【
2 22 0
2 2
x x y
y
+ + = =
3
3
1
x
y
= −
=
3 ,13
−
z
2 2
2 1( 0)5
x y aa
− = > 5y x= a
5
5y xa
= ± 1−
2 2
2 1( 0)5
x y aa
− = >
5y xa
= ±
5y x=
5 5 1a
− × = − 5a =
a β l α⊂ m α
// , //mα β β //l m // ,mα β β⊥ l m⊥
// , //l m α β //m β , //l m m β⊥ α β⊥【答案】B
【解析】
【分析】
根据线、面之间的位置关系，逐一判断即可求解.
【详解】对于 A，若 ，则 与 平行或者相交，故 A 不正确；
对于 B，若 ，利用面面平行的性质定理可得 ，故 B 正确；
对于 C，若 ，则 或 ，故 C 不正确；
对于 D，若 ，则 与 相交或平行，故 D 不正确；
故选：B
【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题.
5.对于非零向量 、 ，“ ”是“ ， 共线”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】由 ，则 、 共线同向，充分性满足；
非零向量 、 ，当 ， 共线时，则 ，必要性不满足；
故“ ”是“ ， 共线”的充分不必要条件.
故选：B
【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理，理解充分条件、必要条件
的定义是解题的关键，属于基础题.
6.已知函数 为定义在 的奇函数，且 ，则下列各式中一定
成立的是（ ）
A. B.
// , //mα β β l m
// ,mα β β⊥ l m⊥
// , //l m α β //m β m β⊂
, //l m m β⊥ α β
a b 2a b= a b
2a b= a b
a b a b b aλ= ( )λ ∈R
2a b= a b
( )f x [ 3,3]− (2) (1) (3) 0f f f> > >
2 1
3
1(1) log (0) log 98f f f f
− > − C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质以及奇函数的性质，结合 即可求解.
【详解】由函数 为定义在 的奇函数，则 ，且 ，
因为 ，则 ，
对于 A， ，即 ，
即 ，根据不等式的性质可知 A 不正确；
对于 B， ，即 ，
即 ，由已知可知 ，故 B 不正确；
对于 C， ，即 ，
即 ，即 ，根据不等式的性质可知 C 不正确；
对于 D， ，即 ，
即 ，根据不等式的性质，不等式满足同向相加，可知 D 正确；
故选：D
【点睛】本题考查奇函数的性质、不等式性质以及对数的运算性质，属于基础题.
7.△ 中， 对应的边分别为 ， ， ，三角形 的面积
1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
+ − = +
( )1 2
3
log 9 ( 1) (1) log 8f f f f
− + − > −
1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
+ − < +
( )(2) (1) (3) 0f f f f> > >
( )f x [ 3,3]− ( )0 0f = ( ) ( )f x f x− = −
(2) (1) (3) 0f f f> > > ( )(2) (1) (3) 0f f f f> > >
2 1
3
1(1) log (0) log 98f f f f
− > −
( ) ( )3 2(1) (0)f f f f− > −− −
( ) ( )31) ( 2( 0)f f f f+ > +
1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
+ − = +
( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 0f f f f− + − = − +
( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 0f f f f+ = + ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 0f f f f+ > +
( )1 2
3
log 9 ( 1) (1) log 8f f f f
− + − > −
( ) ( )( 1) (12 3)f f f f− + − > −−
( ) ( )(1) 12 3( )f f f f− > − ( ) (3) 2 (2 1)f f f+ >
1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
+ − < +
( ) ( )( 1)2 (0)3f f f f+ − < +− −
( ) ( )(1) ( )2 03f f f f+ > +
ABC , ,A B C∠ ∠ ∠ , ,a b c 2
3A
π∠ = 3b = ABC为 ，则边 的长为（ ）
A. B. C. 7 D. 49
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用三角形的面积公式 ，求出 ，再利用余弦定理即可求
解.
【详解】由 ， ，
则 ，解得 ，
在△ 中，由余弦定理可得：
，
解得 .
故选：C
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，需熟记公式与定理，属于基础题.
8.已知实数 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
将式子同除 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】 ，
又 ，则 ， ，
15 3
4
a
19 91
2
1 15 3sin2 4ABCS bc A= =
5c =
2
3A
π∠ = 3b =
1 15 3sin2 4ABCS bc A= =
5c =
ABC
2 2 2 12 cos 9 25 2 3 5 492a b c bc A = + − = + − × × × − =
7a =
, , 0a b ab > 2 2 2 2 4
ab
a b a b+ + +
1
6
1
4
1
7
ab
22 2 2
1
44
ab
a ba b a b abb a ab
=+ + + + + +
0ab > 0a
b
> 0b
a
>所以 ，
所以 ，
当且仅当 取等号.
故选：A
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立 条件，属于基础题.
9.已知函数 ，函数 有 3 个零点 ， ，
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，求解内层函数的范围，可得 的图像，函数
有 3 个零点，转化为 与函数 有三个交点问题，即可求解.
【详解】不妨设 ，
的
4 42 2 6a b a bab abb a ab b a ab
+ + + ≥ ⋅ + ⋅ =
22 2 2
1
4 6
ab
a b a b
≤+ + +
2a b= =
13( ) sin 4 0,3 24f x x x
π π = + ∈ ( ) ( )g x f x a= + 1x 2x
3x 1 2 3x x x+ +
10 7,3 2
π π
7 5,12 8
π π
50, 8
π
7 5,12 8
π π
13( ) sin 4 0,3 24f x x x
π π = + ∈
( )f x
( ) ( )g x f x a= + ( )f x y a= −
1 2 3x x x< ,2,02
aE
( , 2,2)PC a= − −
BDE ( )1 0 0 0, ,n x y z=ur
(0,2,2)DB = ,2,02
aDE =
令 ，
， 平面 ， 平面
（2）设平面 法向量为 ，
， ，
，令 ， ，
，设直线 与平面 所成角为
解得 或 4，所以 长为 或 4
（3）存在， ， ， ， ，
， ， ，
解得 ， .
【点睛】本题考查了空间向量法证明线面平行、根据线面角求线段长度、利用法向量求线面
垂直，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.
19.已知椭圆 的右焦点为 ，左右顶点分别为 ， ，上顶点为
，
0 0
0 0
2 2 0
2 02
y z
a x y
+ = + =
0 1y = 1
4 ,1, 1n a
− = −
1 4 2 2 0PC n⋅ = − − = PC ⊄ BDE / /PC BDE
PCD ( )2 1 1 1, ,n x y z=
(0,0,2)DC = ( ,2,0)DP a=
1
1 1
2 0
2 0
z
ax y
=
+ = 1 2x =
2 (2, ,0)n a= −
,0, 22
aBE = −
BE PCD θ
2
2 2
2 2
| | 10sin |cos , | 10| || | 4 44
BE n aBE n
BE n a a
θ ⋅= 〈 〉 = = =
+ +
2a = PA 2
2a = (2,2,0)P PF PCλ= (2 2 ,2 2 ,2 )F λ λ λ− −
1 ( 2,1, 1)n = − − (2 2 , 2 ,2 )AF λ λ λ= − − 2 2 2
2 1
λ λ− −=−
1
3
λ = 2 3
3PF =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (c,0)F A B
C 120BFC∠ = °（1）求椭圆离心率；
（2）点 到直线 的距离为 ，求椭圆方程；
（3）在（2）的条件下，点 在椭圆上且异于 、 两点，直线 与直线 交于点 ，
说明 运动时以 为直径的圆与直线 的位置关系，并证明.
【答案】（1） ；（2） ；（3）相切，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知根据椭圆的定义可得 ，从而可得 即可求解.
（2）利用点斜式求出直线 的方程，再利用点到直线的距离公式可得
，结合 即可求解.
（3）设直线 ，将直线与椭圆联立，利用韦达定理求出点 坐标，再
求出圆心，分类讨论 或 ，求出直线 的方程， 再利用点 到直线 的距
离与半径作比较即可证出.
【详解】（1）由已知，
（2） ，直线 ，
即
则点 到直线 的距离 ，
解为 ， ，椭圆方程为
（3）以 为直径的圆与直线 相切，
证明：直线
交点为
F BC 21
7
P A B AP 2x = D
P BD PF
1
2
2 2
14 3
x y+ =
CF a= cos60ce a
°= =
BC
3( ) 21
77
a cd
−= = 1
2
c
a
=
: ( 2)( 0)APl y k x k= + ≠ P
1
2k = ± 1
2k ≠ ± PF E PF
1cos60 2
ce a
°= = =
( ,0), (0, )B a C b 3: ( )2BCl y x a
−= −
3 2 3 0x y a+ − =
F BC 3( ) 21
77
a cd
−= =
2a = 1c = 2 2
14 3
x y+ =
BD PF
: ( 2)( 0)APl y k x k= + ≠
2 2
( 2)
3 4 12
y k x
x y
= +
+ =
( ), ,p pA P x y得 ，
，
， ，点 ， 中点圆心
当 时，点 ，直线 ，圆心 ，半径 1，与直线相切；
当 时， ，
点 到直线 的距离 为半径，得证.
【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系中的
定值问题，考查了考生的计算能力，属于难题.
20.已知函数 ， .
（1）函数 在点 处的切线的斜率为 2，求 的值；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若函数 有两个不同极值点为 、 ，证明： .
【 答 案 】（1 ） ； （ 2 ） 当 时 ， 在 单 调 递 增 ； 当 时 ， 在
， 单调递增，在 单调递减；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，利用导数的几何意义 即可求解.
（2）令 ，化简 ，判别式 ，讨论 的正负，
从而确定 的正负，利用导数与函数单调性的关系即可求解.
( )2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k+ + + − =
2 2
2 2
16 12 6 82 ,4 3 4 3p p
k kx xk k
− −− = =+ +
( ) 2
122 4 3p p
ky k x k
= + = + (1,0)F (2,4 )D k BD (2,2 )E k
1
2k = ± 31, 2P ± : 1PFl x = (2, 1)±
1
2k ≠ ± 2
4
1 1 4
p
PF
p
y kk x k
= =− − 2
4: ( 1)1 4PF
kl y xk
= −−
E PF
2
22
1 42 2 14 | 2 |
1 41 4
E PF
k kkd k
k
k
−
−− × −
= =
−+
2( ) lnf x x x k x= − + 0k >
( )f x (1, (1))f k
( )f x
( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2
1 24f x f x k− < −
1k = 1
8k ≥ (0, )+∞ 10 8k< <
1 1 80, 4
k − −
1 1 8 ,4
k + − +∞
1 1 8 1 1 8,4 4
k k − − + −
( )f x′ (1) 2f ′ =
( ) 2 1 0kf x x x
′ = − + = 22 0x x k− + = 1 8k∆ = − ∆
( )f x′（3）由（2）可知， ， ，由 ， ，
求出 ，利用换元法令
，将不等式转化为 ，不妨设
，利用导数证出函数 在 单调递增，由
即可证出.
【详解】（1） ， ，∴
（2）令 即 ，
当 时， ， ， 在 单调递增
当 时， ， ， ，
， ，
在 ， 单调递增
在 单调递减.
（3）由（2）可知， ， ，
，
令
10 8k< < ( ) ( )2 1f x f x>
1
1 1 8
4
kx
+ −= 2
1 1 8
4
kx
− −=
( ) ( )1 2f x f x− [ln(1 ) ln(11 8 1 )]4 8 1 8k k kk
− − − − −= − + +
( ,1 )8 0 1kt = ∈−
2
[ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tk t t+ − − + <
2
( ) [ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tg t k t t= − − − − + ( )g t (0,1)
( ) (0) 0g t g> =
( ) 2 1 ( 0)kf x x xx
′ = − + > (1) 1 2f k′ = + = 1k =
( ) 2 1 0kf x x x
′ = − + = 22 0x x k− + = 1 8k∆ = −
1
8k ≥ 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0, )+∞
10 8k< < > 0∆ 1 2 02
kx x = > 1 2
1 02x x+ = > 1 2, 0x x >
1
1 1 8
4
kx
+ −= 2
1 1 8
4
kx
− −= 1 2x x>
( )f x 1 1 80, 4
k − −
1 1 8 ,4
k + − +∞
1 1 8 1 1 8,4 4
k k − − + −
10 8k< < ( ) ( )2 1f x f x>
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
ln 1 lnx xf x f x x x x x k x x x x kx x
− = − − − + = − + − +
1 8 1 8 1 81ln [ln(1 ) ln(1 )]4 4 1 8 1
11
8
8
k kk k k k k
k
+= − + = − +− − − − −−
−
+ −
−
( ,1 )8 0 1kt = ∈−则 ，只需证明
，（只需证明 即可）
，
∴ ， 在 单调递增
，得证.
【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用、利用导数证明单调
性，考查了分类讨论的思想，属于难题.
21 1 8 124 4 4
kk t
−− = = 2
[ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tk t t+ − − + <
2
( ) [ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tg t k t t= − − − − + ( ) 0g t >
2
1 1 1 1 2( ) 2 4 1 1 2 4 1
t t kg t k t t t
− ′ = − − − = − + − + −
21 1 (1 8 ) 8t k k− = − − =
( ) 02
tg t′ = > ( )g t (0,1)
( ) (0) 0g t g> =
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