2019-2020 高三年级第四次月考数学试卷
一､选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)(每小题 5 分)
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求解对数函数的定义域以及二次不等式，解得集合 ，再求集合的补运算即可.
详解】要使得对数函数有意义，则 ，解得 ；
由 ，解得 ；
故 .
故选：A.
【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合基础
题.
2.设 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解绝对值不等式与分式不等式，根据充分必要条件的性质即可判断.
【详解】解绝对值不等式可得 ，即 ，
将分式不等式变形可得 ，解得 ，
因为 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
故选：B.
【
{ }2| log (2 )A x y x= = − { }2| 3 2 0B x x x= − + < AB =
( ,1]−∞ ( ,1)−∞ (2, )+∞ [2, )+∞
,A B
2 0x− > 2x <
2 3 2 0x x− + < ( )1,2x∈
AB = ( ,1]−∞
,x R∈ | 1| 4x − < 5 02
x
x
− >−
4 1 4x− < − < 3 5x− < <
5 02
x
x
− −【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题.
3.曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求出曲线 在 处的切线斜率，可得出 的值，进而利用同角三角
函数的基本关系可求得 的值.
【详解】对于函数 ，则 ，所以， ， ， 为
锐角，
由 ，解得 ，因此， .
故选：A.
【点睛】本题考查导数的几何意义，同时也考查了利用同角三角函数基本关系求值，考查计
算能力，属于基础题.
4.已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线 的左
顶点为 ，若双曲线一条渐近线与直线 垂直，则实数 ( )
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据抛物线的焦半径公式得 ．
取 M（1，4），则 AM 的斜率为 2，
由已知得 ，
2lny x x
= − 1x = α cos sinα α+
2 10
5
10
5
10
5
− 2 10
5
±
2lny x x
= − 1x = tanα
cos sinα α+
2lny x x
= − 2
1 2y x x
′ = + tan 3α = [ )0,α π∈ α\
2 2
sintan 3cos
sin cos 1
sin 0
αα α
α α
α
= =
+ =
>
3 10sin 10
10cos 10
α
α
=
=
2 10cos sin 5
α α+ =
2 2 ( 0)y px p= > (1 )M m， 5
2
2 1yx a
− =
A AM a =
1 5, 82
p p+ = =
2 1a− × = −故 ．
5.将函数 图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
若直线 是 的图象的一条对称轴，则（ ）
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
【答案】C
【解析】
分析】
根据函数图象变换求得 的表达式，根据 是 图象的一条对称轴，求得 的值，
由此求得 与 的表达式，进而判断出 与 的奇偶性和单调性，由此判断出
正确选项.
【详解】由题意知 ，因为直线 是 的图象的一条对称轴，
所以 ，故 ，因为 ，所以 ，
为非奇非偶函数，所以 A 选项错误.
因为 ，则 ，所以 在 上单调递减，所以 C 选项正
确.
因为 ，所以 为奇函数，所以 B 选项错误.
当 时， ，所以 在 上单调递减，所以 D 选项错误..
故选：C
【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.
【
1
4a =
( ) sin(3 )(0 )f x x ϕ ϕ π= + < <
4
π ( )g x
6x
π= ( )g x
( )f x ( )g x
( )f x ,12 3
π π
( )g x ,15 9
π π −
( )g x
6x
π= ( )g x ϕ
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x
( ) sin 3 4g x x
π ϕ = + + 6x
π= ( )g x
3 6 4
π π ϕ + + = ( )2 k k
π π+ ∈Z 3 ,4 k k
πϕ π= − + ∈Z 0 ϕ π< <
4
πϕ =
( ) sin 3 4f x x
π = +
,12 3x
π π ∈
53 ,4 2 4x
π π π + ∈
( )f x ,12 3
π π
( ) sin3g x x= − ( )g x
,15 9x
π π ∈ − 3 ,5 3x
π π ∈ −
( )g x ,15 9
π π − 6.已知奇函数 ，且 在 上是增函数.若 ，
， ，则 a，b，c 的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为 是奇函数，从而 是 上的偶函数，且在 上是增函数，
，
，又 ，则 ，所以即 ，
，
所以 ，故选 C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函
数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函
数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
7.点 在同一个球的球面上， ，若四面体 体积的最大值
为 ，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.
【详解】根据题意知， 是一个等边三角形，其面积为 ，
由正弦定理 知，外接圆的半径为 ．
【
( )f x ( ) ( )g x xf x= [0, )+∞ 2( log 5.1)a g= −
0.8(2 )b g= (3)c g=
a b c< < c b a< < b a c< < b c a< <
( )f x ( ) ( )g x xf x= R [0, )+∞
2 2( log 5.1) (log 5.1)a g g= − =
0.82 2< 4 5.1 8< < 22 log 5.1 3< < 0.8
20 2 log 5.1 3< < <
0.8
2(2 ) (log 5.1) (3)g g g< <
b a c< <
, , ,A B C D 3AB BC AC= = = ABCD
3
289
16
π
8π 169
16
π 25
16
π
ABC∆ 3 3
4
32 2
sin 3
r π= =
1r =设小圆的圆心为 ，
若四面体 的体积有最大值，由于底面积 不变，高最大时体积最大，
所以， 与面 垂直时体积最大，
最大值为 ，
，
设球心为 ，半径为 ，
则在直角 中， ，
即 ，
则这个球的表面积为：
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体
的体积的最大值，是解答的关键．
8.设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，化简 ，根据均值不等式，即可求得答案；
【详解】当 时，
Q
ABCD ABCS∆
DQ ABC
1 33 ABCS DQ∆ × =
4DQ∴ =
O R
AQO∆ 2 2 2OA AQ OQ= +
2 2 21 (4 )R R= + −
17
8R∴ =
217 2894 ( )8 16S
ππ= =
ABCD
m n 2m n+ = 1 3
1 2
n
m n
+++ +
3
2
5
3
7
4
9
5
2m n+ = 1 3 5 11 2 ( 1) ( 2)
n
m n m n
++ = ++ + + ⋅ +
2m n+ =
1 3 1 1 11 2 1 2
n
m n m n
++ = + ++ + + +
3 51 1( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
m n
m n m n
+ += + = ++ ⋅ + + ⋅ +，
当且仅当 时，即 取等号，
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要
验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对
称点在 的图像上，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可将问题转化，求直线 关于直线 的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，
结合函数图像，分析临界点，进一步确定 的取值范围即可
【详解】可求得直线 关于直线 的对称直线为 ，
当 时， ， ，当 时， ，则当
时， ， 单减，当 时， ， 单增；
当 时， ， ，当 ， ,当 时，
单减，当 时， 单增；
根据题意画出函数大致图像，如图：
21 2 25( 1) ( 2) 2 4
m nm n
+ + + + ⋅ + ≤ =
1 2m n+ = + 3 1
2 2m n= =，
∴ 1 3 9
1 2 5
n
m n
++ ≥+ +
( ) 2
ln 2 , 0
3 , 02
x x x x
f x
x x x
− >= + ≤
1y = −
1y kx= − k
1 ,12
1 3,2 4
1 ,13
1 ,22
1y kx= − 1y = −
k
1y kx= − 1y = − 1y mx= − ( )m k= −
0x > ( ) ln 2f x x x x= − ( )' ln 1f x x= − x e= ( )' 0f x = ( )0,x e∈
( )' 0f x < ( )f x ( ),x e∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x
0x ≤ ( ) 2 3
2f x x x= + ( ) 3' 2 2f x x= + 3
4x = − ( )' 0f x = 3
4x < −
( )f x 3 04 x− < < ( )f x当 与 （ ）相切时，得 ，解得 ；
当 与 （ ）相切时，满足 ，
解得 ，结合图像可知 ，即 ，
故选：A
【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题
的关键，属于中档题
二､填空题：(每小题 5 分)
10.设 ，则 ______.
【答案】1.
【解析】
分析：首先求得复数 z，然后求解其模即可.
详解：由复数的运算法则有：
，
则： .
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
1y mx= − ( ) 2 3
2f x x x= + 0x ≤ 0∆ = 1
2m = −
1y mx= − ( ) ln 2f x x x x= − 0x >
ln 2
1
ln 1
y x x x
y mx
m x
= −
= −
= −
1, 1x m= = − 11, 2m ∈ − −
11, 2k − ∈ − −
1 ,12k ∈
1 21
iz ii
−= ++ | |z =
( )( )
( )( )
1 11 22 2 21 1 1 2
i ii iz i i i ii i i
− −− −= + = + = + =+ + −
1z i= =11.二项式 展开式中的常数项为 240，则实数 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】 ，由 得 ，
解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.
12.一所中学共有 4 000 名学生，为了引导学生树立正确的消费观，需抽样调查学生每天使用
零花钱的数量(取整数元)情况，分层抽取容量为 300 的样本，作出频率分布直方图如图所示，
请估计在全校所有学生中，一天使用零花钱在 6 元～14 元的学生大约有________人．
【答案】2720
【解析】
根据频率分布直方图得；
一天使用零花钱在 6 元～14 元的学生频率是
1﹣（0.02+0.03+0.03）×4=1﹣0.32=0.68，
∴对应的频数是 4000×0.68=2720；
∴估计全校学生中，一天使用零花钱在 6 元～14 元的大约有 2720 人．
13.已知双曲线 的离心率为 则它的一条渐近线被圆
所截得的弦长等于_____.
【答案】4
6ax
x
−
a
2±
( ) 366 2
1 6 6
r
rrr r r
r
aT C x C a x
x
−−
+
= − = −
36 02 r− = ( )44
64, 240r C a= ∴ − =
2a = ±
2±
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 3
3
⋅
( )2 24 8x y+ + =【解析】
【分析】
根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求
出弦长即可.
【 详 解 】 因 为 双 曲 线 的 离 心 率 为 ， 即 ， 所 以
，
所以 ，故双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
又圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心到任一条渐近线的距离为 ，
因此，弦长为 .
故答案为 4
【点睛】本题主要考查圆的弦长，熟记双曲线的简单性质，以及几何法求弦长的公式即可，
属于常考题型.
14.2019 年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工
作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”．武汉市从 2 月 7 日起举
全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的
发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人．若
在排查期间，某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这 5 人随机进
行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”．假设每人被
确诊的概率均为 且相互独立，若当 时，至少检测了 4 人该小区被确定为“感
染高危小区”的概率取得最大值，则 ____．
【答案】
【解析】
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 3
3
2 3
3
c
a
=
2 2
2
4
3
a b
a
+ =
3
3
b
a
= 3
3y x= ± 3 3 0x y± =
( )2 24 8x y+ + = ( )4 0− ， 2 2r =
4 3
2
3 9
d
−
= =
+
2 22 4r d− =
( )0 1p p< < 0p p=
0p =
151 5
−【分析】
根据题意求出检测前 3 人没有确诊第 4 人确诊或者前 4 人没有确诊第 5 人确诊的概率，利用
导数法，求出所求概率的最大值.
【详解】由题意知，至少检测了 4 人该小区被确定为“感染高危小区”的概率
， ，
令 ，解得 ，故 在 上单调递增，
在 上单调递减，故当 时， 取得最大值．
故答案为： .
【点睛】本题考查概率实际应用问题，涉及相互独立事件与互斥事件概率的求法，利用导数
法求最大值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.
15.如图,菱形 ABCD 的边长为 3,对角线 AC 与 BD 相交于 O 点,| |=2 ,E 为 BC 边(包
含端点)上一点,则| |的取值范围是_____, 的最小值为_____.
【答案】 (1). (2). .
【解析】
【分析】
时， 长度最短， 与 重合时， 长度最长．然后以)以 O 为原点,BD 所在
直线为 x 轴建立如图所示直角坐标系，设出 点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最
小值．
【详解】根据菱形性质可得 OC ,则 BO .
3 4( ) (1 ) (1 )f p p p p p= − + − ( )2 2( ) (1 ) 5 10 2f p p p p′ = − − +
( ) 0f p′ = 151 5p = − ( )f p 150,1 5
−
151 ,15
−
151 5p = − ( )f p
151 5
−
AC 3
EA EA ED⋅
2 2,2 3
23
4
AE BC⊥ AE E C AE
B
3= 6=(1)作 AF⊥BC,则 AF ,此时 AE 最短,当 E 与 C 重合时,AE 最长,故
,即| |∈ ;
(2)以 O 为原点,BD 所在直线为 x 轴建系如图:
则 A(0, )B( ,0),C(0, ),D( ,0),
所以 BC:y ,设 E(m, )
则 ,其中 m
对称轴为 m ,故当 m 时 最小,最小值为 .
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最
值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解．这样只要计算即
可．
三､解答题：(本大题共 5 小题，共 75 分)
2 3 6 2 23
×= =
2 2 2 3AE≤ ≤ EA 2 2,2 3
3 6− 3− 6
2 32 x= − − 2 32 m− −
2
2 2 1 2 23,2 3 6 , 3 32 2 2 2 4EA ED m m m m m
⋅ = − + − + = + +
6,0 ∈ −
6 6,012
= − ∈ −
6
12
= − EA ED⋅ 23
4
[2 2,2 3] 23
416.已知函数 ．
（1）求 的最小值，并写出取得最小值时的自变量 的集合．
（2）设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，若
，求 ， 的值．
【答案】（1）最小值为 ； ， ；（2） ，
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ，利用正弦函数
的图象和性质即可求解．
（2）由已知可求 ，结合范围 ，可求 ，由已知及正弦定
理可得 ，进而由余弦定理可得 ，联立即可解得 ， 的值．
【详解】解：（1） ，
当 ，即 时， 的最小值为 ，
此时自变量 的集合为： ，
（2） （C） ，
，
又 ， ， ，可得： ，
，由正弦定理可得： ①，又 ，
由余弦定理可得： ，可得： ②，
联立①②解得： ， .
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余
弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题．
17.菱形 中， 平面 ， ， ，
23 1( ) sin 2 cos2 2f x x x= − −
( )f x x
ABC∆ A B C a b c 3c = ( ) 0f C =
sin 2sinB A= a b
2− { | 6x x k
ππ= − }k Z∈ 1a = 2b =
( ) sin(2 ) 16f x x
π= − −
sin(2 ) 1 06C
π− − = 0 C π< <
3C
π=
2b a= 2 2 3a b ab+ − = a b
23 1 3 1 cos2 1( ) sin 2 cos sin 2 sin(2 ) 12 2 2 2 2 6
xf x x x x x
π+= − − = − − = − −
∴ 2 26 2x k
π π− = π − ( )6x k k Z
ππ= − ∈ ( )f x 2−
x { | 6x x k
ππ= − }k Z∈
f 0=
sin(2 ) 1 06C
π∴ − − =
0 C π< > 1 2,F F 3
2
2C 2 4x by= F ,M N 7| | 4MF = M x
1F , )NO MO 1C ,A B AB OMN∆ OAB∆
OMNS∆ OABS∆ λ = OMN
OAB
S
S
∆
∆
1C 2C
λ
2
2 14
x y+ = 2 4x y= [ )2,+∞试题分析：（Ⅰ ）由题意得得 ，根据点 M 在抛物线上得 ，又
由 ，得 ，可得 ，解得 ，从而得 ，可得曲线方
程．（Ⅱ ）设 ， ，分析可得 ，先设出直线 的方程为
， 由 ， 解 得 ， 从 而 可 求 得 ， 同 理 可 得
,故可将 化为 m 的代数式，用基本不等式求解可得
结果．
试题解析：
（Ⅰ）由抛物线定义可得 ，
∵点 M 在抛物线 上，
∴ ，即 ①
又由 ，得
将上式代入①，得
解得
∴
，
所以曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 ．
（Ⅱ）设直线 方程为 ，
由 消去 y 整理得 ，
的
7, 4M c b − −
2 74 4c b b = −
3
2
c
a
= 2 23c b= 27 7b b= 1b = 3 2c a= =，
ONk m= 'OMk m= 1' 4m m
= − ON y mx=
( 0)m > 2 4
y mx
x y
=
= 4Nx m= 24 1ON m m= +
, ,OM OA OB = OMN
OAB
ON OMS
S OA OB
λ ∆
∆
⋅= ⋅
7, 4M c b − −
2 4x by=
2 74 4c b b = −
2 27 4c b b= −
3
2
c
a
= 2 23c b=
27 7b b=
1,b =
3,c =
2a∴ =
1C
2
2 14
x y+ = 2C 2 4x y=
MN 1y kx= +
2
1
4
y kx
x y
= +
=
2 4 4 0x kx− − =设 ， .
则 ，
设 ， ，
则 ，
所以 ， ②
设直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
由②可知，用 代替 ，
可得 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
用 代替 ，可得
所以
1 1, )M x y（ ( )2, 2N x y
1 2 4x x = −
ONk m= 'OMk m=
2 1
1 2
2 1
1 1' 16 4
y ymm x xx x
= ⋅ = = −
1' 4m m
= −
ON y mx= ( 0)m >
2 4
y mx
x y
=
= 4Nx m=
2 21 4 1NON m x m m= + = +
1
4m
− m
2
2
1 1 11 14 16MOM xm m m
= + − = +
2
2 14
y mx
x y
= + =
2
2
4 1Ax
m
=
+
2
2
2
2 11
4 1A
mOA m x
m
+= + =
+
1
4m
− m
2
2
2
12 11 161 16 1 14
B
mOB xm
m
+
= + =
+
2
2
2 2
2
2
1 14 1 1 16=
12 12 1 16
14 1 14
OMN
OAB
m mON OMS m m
S OA OB
m m
m
m
λ ∆
∆
+ ⋅ +⋅= =⋅ ++ ⋅
+ +
2 2
2 2
1 14 1 1 4 24 4m mm m
= + ⋅ + = + +，当且仅当 时等号成立．
所以 的取值范围为 .
点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，
则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
19.已知等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列
的前 项和 ， ，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
（3）设 ， ， 的前 项和 ，求证： .
【答案】（1） ； （2）当 为偶数时， ；当 为奇
数时， （3）证明见解析
【解析】
【分析】
(1) 根 据 题 意 列 出 方 程 组 ， 求 出 、 ， 从 而 得 到 的 通 项 公 式 ， 当 时 ，
，化简可得 是首项为 1 的常数列，即可求得 的通项
公式；(2)分类讨论，当 为偶数时， ，分别利用
等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和即可，当 为奇数时，由 可求得结果；
(3) 裂 项 法 可 得 ， 从 而 求 得
12 22m m
= + ≥ 1m =
λ [ )2,+∞
{ }na 5 4 62 , ,4a a a 2
4 34a a= { }nb
n ( 1)
2n n
nS b
+= *n N∈ 1 1b =
{ }na { }nb
,
,
n
n
n
b nc
a n
=
为奇数
为偶数 { }nc n nP
2 5
2 1 2 3
n
n n
n n
bd ab b
+
+ +
= *n N∈ { }nd n nT 1
3nT <
1
2
n
na = nb n= n np = 2 1 1 1
4 3 3 2
nn = + − ⋅
n
12( 1) 1 1 1
4 3 3 2
n
n
nP
−+ = + − ⋅
1a q { }na 2n ≥
1
1
1
2 2
n
n n n n
nbnb S S b −
−
+= − = − { }nb
n
{ }nb
n ( ) ( )1 3 1 2 4n n np b b b a a a−= + +…+ + + +…+
n 1n n nP P b−= +
1
2 5 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 (2 1)2 (2 3)2nn n n
nd n n n n−
+= ⋅ = −+ + + +.
【详解】解；（1）因为 ，所以 ，
，解得
所以 ，
当 时， ，即 ，
∴ 是首项为 1 的常数列，
∴ ；
（2）
当 为偶数时，
当 为奇数时，
（3）
1 1 1
3 (2 3)2 3n nT n
= − 0q >
2
4 5 6
2
4 3 1
2 2 4 2 1 0
4 1 4
a a a q q
a a a q
= + + − = ⇒ = =
1
1
2
1
2
q
a
=
=
1
2
n
na =
2n ≥ 1
1
1
2 2
n
n n n n
nbnb S S b −
−
+= − = − 1
1
nnb b
n n
−= −
{ }nb
n 1nb
n
=
nb n=
,
1 ,2
n
n
n n
C
n
=
为奇数
为偶数
n ( ) ( )1 3 1 2 4n n np b b b a a a−= + +…+ + + +…+
2 41 1 1[1 3 ( 1)] [( ) ( ) ( ) ]2 2 2
nn= + + + − + + + +
2
21 114 4 1 1 12 (1 1) 12 4 3 3 21 4
n
n
n
nn
− = + − + = + − ⋅ −
n
1 12 2
1
( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1 1
4 3 3 2 4 3 3 2
n n
n n n
n nP P b n
− −
−
− + = + = + − + = + − ⋅
1
2 5 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 (2 1)2 (2 3)2nn n n
nd n n n n−
+= ⋅ = −+ + + +
2 1
1 1 1 1 1 1
3 5 2 5 2 7 2 (2 1)2 (2 3)2n n nT n n−= − + − + + −⋅ ⋅ ⋅ + +
1 1 1
3 (2 3)2 3nn
= − ( )f x
10, a
1 ,a
+∞
( )'f x a ( )' 0f x > x
( )f x ( )' 0f x < x ( )f x 1a =
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )2
1 1 0f fe
⋅
( ) ( )4 1 ln 1 0k x x f x− − + − <
( ) 1 3 ln4 1 ln 2 ln 1 0 ln4
xk x x x x k x x x
− − + − − − < ⇔ < + +
1 3 lnln4
xx x x
+ +
( ) ( )2 ln 0f x ax x x= − − >
∴ ( ) 1 1' axf x a x x
−= − =
0a ≤ ( )' 0f x < ( )0, ∞+
( )f x∴ ( )0, ∞+当 时，令 ，解之得 .
从而，当 变化时， ， 随 的变化情况如下表：
- 0 +
单调递减 单调递增
由上表中可知， 在 是单减函数，在 是单增函数.
综上，当 时， 的单减区间为 ；
当 时， 的单减区间为 ，单增区间为 .
（2）当 时，由（1）可知， 在 是单减函数，在 是单增函数；
又 ， ， .
， ；
故 在 有两个零点.
（3）当 ， 为整数，且当 时， 恒成立
.
令 ，只需 ；
又 ，
0a > ( )' 0f x = 1x a
=
x ( )'f x ( )f x x
x 10, a
1
a
1 ,a
+∞
( )'f x
( )f x
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
1a = ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
2 2
1 1 0f e e
= >
( )1 1 0f = − < ( )2 2 4 0f e e= − >
∴ ( )2
1 1 0f fe
⋅ ( ) ( )4 1 ln 1 0k x x f x− − + − <
( ) 1 3 ln4 1 ln 2 ln 1 0 ln4
xk x x x x k x x x
⇔ − − + − − − < ⇔ < + +
( ) ( )3 lnln 1xF x x xx x
= + + > ( ) ( )min
1
4k F x k Z< ∈
( ) ( )
2 2 2 2
1 3 1 ln 2 ln' 0f xx x xF x x x x x x
− − −= − + = = =由（2）知， 在 有且仅有一个实数根 ，
在 上单减，在 上单增；
又 ， ，
， 且 ，
即 代入 式，得
.
而 在 为增函数， ，
即 .
而 ， ，
即所求 的最大值为 0.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难
题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与
广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则
与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及
函数单调性有机结合，设计综合题.
( )' 0F x = ( )1,+∞ 0x
( )F x ( )01, x ( )0 ,x +∞
∴ ( ) ( ) ( )0
0 0min
0 0
ln3ln *xF x F x x x x
= = + +
( ) 1 ln3' 3 09F
−= < ( ) ( )2 1 ln22 ln4' 4 016 16F
−−= = >
∴ ( ) ( )' 3 ' 4 0F F⋅ < ∴ ( )0 3,4x ∈ 0 02 ln 0x x− − =
0 0ln 2x x= − ( )*
( ) ( ) ( )0
0 0 0 0min
0 0 0
23 12 1, 3,4xF x F x x x xx x x
−= = − + + = + − ∈
0
0
1 1t x x
= + − ( )3,4 ∴ 7 13,3 4t ∈
( )min
1 7 13,4 12 16F x ∈
( )7 13, 0,112 16
⊂
∴ ( ) ( )min
1 0,14 F x ∈
0,k∴ ≤ k
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