四川省棠湖中学2020届高三数学（理）第二次高考适应性试题（Word版附答案）

1 四川省棠湖中学高 2020 届第二次高考适应性考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1． 是 的共轭复数，若 为虚数单位) ，则 = A． B． C． D． 2．集合 ，集合 ，则 A． B． C． D． 3．已知实数 、 满足不等式组 ，则 的最大值为 A． B． C． D． 4．下图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图．则下列说法不 正确的是 z z ( )2, 2(z z z z i i+ = − = z 1 i+ 1 i− − 1 i− + 1 i− { }2| 2 3 0x x xA − + >= { }2| 1,B y y x x R= = − ∈ ( )R A B = [ 1,1]− ( 1,1)− [ 1.3]− ( 1.3)− x y 2 1 0 2 1 0 0 x y x y y − + ≥  − − ≤  ≥ 3z x y= − + 3 2 3 2 − 2−2 A．2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B．武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C．2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天 D．2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多 1549 人 5．若 ，则 A． B． C． D． 6．函数 的图象大致为 A． B． C． D． 7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为 1，则该几何体的体积是 sin 78 m= sin 6 = 1 2 m + 1 2 m− 1 2 m + 1 2 m− ( ) 2 1xf x x −=3 A． B． C． D． 8．已知等差数列 的前 项和为 则数列 的前 10 项和为 A． B． C． D． 9．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数为偶函数，则 的 值为 A． B． C． D． 10．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的 概率分别为 ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红 有白，但没有黄的概率为 A． B． C． D． 11．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 为抛物线上任意一点 的 平分线与 轴交于 ，则 的最大值为 A． B． C． D． 12．设函数 ，若存在实数 使得 恒成立，则 的取值范围是 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 1616 3 π+ 816 3 π+ 32 8 3 3 π+ 32 16 3 3 π+ { }na n ,nS 9 12 2 1 6, 4,2a a a= + = 1{ } nS 11 12 10 11 9 10 8 9 ( ) sin 2f x x= 0 2 πϕ ϕ ≤ ≤   ϕ 12 π 6 π 3 π 4 π 1 1 1, ,2 3 6 5 36 5 6 5 12 1 2 2 4y x= F x K P KPF∠ x ( ,0)m m 3 2 2− 2 3 3− 2 3− 2 2− ( ) ( )(ln )x mf x e ax x ax−= − − a ( ) 0f x < m ( ],0−∞ [ )0,2 ( )2 + ∞， ( ),2−∞4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 在点 处的切线在 轴上的截距是_______. 14．在 的二项展开式中，所有项的系数之和为 81，则常数项为________ 15．双曲线 的左右焦点分别为 、 ， 是双曲线右支上一点， 为 的内心， 交 轴于 点，若 ，且 ，则双曲线的离心率 的值为__________． 16．在三棱锥 中， ， ， ，点 到底面 的距离为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为________. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17．（12 分）某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发 放了 120 分问卷.对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如 下列联表： 做不到科学用眼 能做到科学用眼 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 （1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷，从这 6 份问卷 中再随机抽取 3 份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数 ，试求随机变量 的分布列和数学 期望； （2）若在犯错误的概率不超过 的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表， ( ) xf x xe= (1, (1))f y 3 2( )nx x + 2 2 2 2 1x y a b − = 1F 2F P I 1 2PF F∆ PI x Q 1 2FQ PF= : 2:1PI IQ = e P ABC− 60ABC∠ =  90PBA PCA∠ = ∠ =  3PB PC= = P ABC 2 P ABC− 2 2× X X P5 最精确的 的值应为多少？请说明理由. 附：独立性检验统计量 ，其中 . 独立性检验临界值表： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024 18．（12 分）已知数列 是等差数列，前 项和为 ，且 ， ． （1）求 ． （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 19．（12 分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋转 轴旋转 120°得到的，G 是 的中点. (1)设 P 是 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E－AG－C 的大小. 20．（12 分）已知抛物线 （ ）上的两个动点 和 ，焦点为 F.线段 AB 的中点为 ，且 A，B 两点到抛物线的焦点 F 的距离之和为 8. （1）求抛物线的标准方程； P ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k { }na n nS 5 33S a= 4 6 8a a+ = na 2n n nb a= ⋅ { }nb n nT DF CE 2 2y px= 0p > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )03,M y6 （2）若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C，求 面积的最大值. 21．（12 分）已知 （1）若 a=1，且 f(x)≥m 在(0，+∞)恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）当 时，若 x=0 不是 f(x)的极值点，求实数 a 的取值. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 . （1）求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若射线 与曲线 C 交于点 A（不同于极点 O），与直线 l 交于点 B，求 的最大值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 设函数 . 画出 的图像； 若 ，求 的最小值. ABC ( ) ln( 1) .axf x e x x= + − 1 2a ≥ 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ sin 2 24 πρ θ + =   0 2 πθ α α = <  + =  ⋅ = − 2 2 2 1 2| | 1 4 1 3AB m y y m m= + ⋅ − = + ⋅ − 2 ( 3)y m m x− = − − ( 5)y m x= − − (5,0) 2: 3 2AB x my m= + − 22 3 0x my m− + − = 2 2 5 2 3 1 m d m + − = + 22 1m= + ( )2 21 | | 4 1 32S AB d m m= ⋅ = + ⋅ − 23t m= − 2 23 (0 3)m t t= − < < ( )24 4S t t∴ = − ⋅ ( )2( ) 4 4f t t t= − ⋅ ( )2( ) 4 4 3f t t′ = − ( ) 0f t′ = 2 3 3t = 2 30, 3       ( ) 0f t′ > 2 3 , 33       ( ) 0f t′ < ( )f t 2 30, 3       2 3 , 33       2 3 3t = 15 3m = ± max 64 3 9S = 1a = ( ) ( )ln 1xf x e x x= + − ( ) ( ) 1ln 1 11 xf x e x x  ′ = + + − +  ( ) ( ) ( )1ln 1 01g x x xx = + + >+ ( ) ( )2 0 1 xg x x ′ = > + ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ( )0 1g x g> = e 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0f x f> = 0m ≤12 （2） , 令 ,则 , 设 , 则 , 所以 在 上递增,且 , ①当 时, ,所以当 时, ；当 时, , 即当 时, ；当 时, , 所以 在 上递减,在 上递增,所以 , 所以 在 上递增,所以 不是 的极值点,所以 时,满足条件； ②当 时, ,又因为 在 上递增, 所以 ,使得 ,所以当 时, ,即 , 所以 在 上递增,又 , 所以当 时, ；当 时, ,所以 是 的极小值点,不合题意, 综上, 22．（1）消去参数 可得曲线 的普通方程是 ，即 ，代入 ( ) ( ) ( ) 1ln 1 1 ln 1 11 1 ax ax axef x ae x e a xx x  ′ = + + − = + + − + +  ( ) ( )g x f x′= ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1ln 1 1 ax ax ag x e a x x  + −′ = + +  +   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1ln 1 1 ax ah x a x x + −= + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 3 1 1 12 2 2 01 1 1 a xa ax ah x x x x + − + − − +  ′ = + = >+ + + ( )h x ( )1,− +∞ ( )0 2 1h a= − 1 2a = ( )0 0h = ( )1,0x∈ − ( ) 0h x < ( )0,x∈ +∞ ( ) 0h x > ( )1,0x∈ − ( ) 0g x′ < ( )0,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( ) ( )g x f x′= ( )1,0− ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0f x f′ ′≥ = ( )f x ( )1,− +∞ 0x = ( )f x 1 2a = 1 2a > ( )0 2 1 0h a= − > ( )h x ( )1,− +∞ 0 0x∃ < ( )0 0h x > 0x x> ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( ) ( )g x f x′= ( )0 ,x +∞ ( )0 0f ′ = 0 0x x< < ( ) 0f x′ < 0x > ( ) 0f x′ > 0x = ( )f x 1 2a = ϕ C 2 2( 1) 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − =13 得 ，即 ，∴曲线 的极坐标方程是 ； 由 ，化为直角坐标方程为 ． （2）设 ，则 ， ， ， 当 时， 取得最大值为 ． 23．（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数 ， 所以 的图象如图所示： cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 cosρ ρ θ= 2cosρ θ= C 2cosρ θ= sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 4x y+ = 1 2( , ), ( , )Bρ α ρ α 1 2cosρ α= 2 2 2 sin( )4 ρ πα = + 1 2 cos sin( )4 2 OA OB πα αρ ρ + = = 2sin cos cos 1 1 1sin 2 cos22 4 4 4 α α α α α+ = + + 2 1sin(2 )4 4 4 πα= + + 8 πα = OA OB 1 2 4 + ( ) 3 , 1 12, 1 2 13 , 2 x x f x x x x x  − < − = − + − ≤ ≤   > ( )y f x=14 （2）由 ，可得 ，解得 ， 又因为 ，所以 .(※) 若 ，(※)式明显成立； 若 ，则当 时，(※)式不成立， 由图可知，当 ，且 时，可得 ， 所以当且仅当 ，且 时， 成立， 因此 的最小值为 . ( )f x m x n≤ + ( )0f n≤ 2n ≥ ( ) ( )2 1| ( ) 31f x x x x≥ + + =− 3m x n x+ ≥ 3m ≥ 3m < 3 nx m > − 3m ≥ 2n ≥ ( )f x m x n≤ + 3m ≥ 2n ≥ ( )f x m x n≤ + m n+ 5