高三数学 第 1 页,共 14 页 高三数学 第 2 页,共 14 页
密 封 线
学校 班级 姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
2019-2020 学年度 6 月份月考试题(二)
高 三 数 学(理)
第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题（每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案）
1．设集合 A＝{x|x2－x－2＜0}，集合 B＝{x|－1＜x≤1}，则 A∩B＝( )
A．[－1,1]B．(－1,1]C．(－1,2) D．[1,2)
2.已知复数 z 满足(1＋i)z＝2，则复数 z 的虚部为( )
A.1 B.－1 C.i D.－i
3．已知 a＝( 2) ，b＝2 ，c＝9 ，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4.若 x，y 满足约束条件Error!则 z＝3x＋2y 的最大值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
5.函数 的图象大致为（ ）
6.如图是一个边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆
共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2
倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A.π
8 B.π
16
C.1－π
8 D.1－π
16
7.向量 a，b 均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则 a，b 的夹角为
( )
A.π
6 B.π
3 C.2π
3 D．5π
6
8. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A． B．
C． D．
9. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且 m
∈N*)，则 a2019 的值为( )
4
3
2
5
1
3
2 sin 62
4 1
x
x
x
y
π + = −
12π 16π
32π
3
40
3
π
高三数学 第 3 页,共 14 页 高三数学 第 4 页,共 14 页
密 封 线 内 不 得 答 题
A．2020 B．4032 C．5041 D．3019
10.已知抛物线 C 的方程为푥2 = 4푦,F 为其焦点，过点 F 的直线与抛物线交于
A，B 两点，且抛物线在 A,B 两点处的切线分别交 x 轴于 P,Q 两点，则|AP| |BQ|
的取值范围为（ ）
A.(1
2, + ∞) B. [2, + ∞) C. (2, + ∞) D. [0,2)
11.已知函数푓(푥) = {푠푖푛푥, 푥 ≤ 휋
4
푐표푠푥, 푥 > 휋
4
,给出下列四个结论：
（1）f(x)不是周期函数
(2)f(x)是奇函数
（3）f(x)的图象关于直线푥 = 휋
4对称
（4）f(x)在푥 = 5휋
2 处取得最大值
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（4）
12.已知三棱锥 A-BCD 中，AB=AC=BC=2，BD=CD= 2,E 是 BC 的中点，点 A 在平
面 BCD 上的射影恰好为 DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A.30휋
11 B.60휋
11 C.9휋
16 D.25휋
16
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 曲线 y＝(ax＋1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则 a＝______.
14.记 Sn 为正项等比数列{an}的前 n 项和．若 a2a4＝1，S3＝7，则 S5=______.
15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确
回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的
概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 5 个
问题就晋级下一轮的概率为________.
16. 已知双曲线 的右顶点为 ， 为坐标原点，以
为圆心的圆与双曲线 的某渐近线交于两点 ， ．若 ，且
，则双曲线 的离心率为＿＿＿＿
三、解答题（共 70 分）A
17. 如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，
， 为 中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
18.在 中, ,其中角 的对
边分别为 ；
(1)求 的值;
(2)若 , ,求向量 在 方向上的投影.
A O
A C P Q 60PAQ∠ = °
3OQ OP= C
( )2 2
2 2 1 0, 0x yC a ba b
− = > >：
S ABC− SAB SAC
90BAC∠ = ° O BC
SO ⊥ ABC
A SC B− −
ABC∆ 3cos( )cos sin( )sin( ) 5A B B A B A C− − − + = − , ,A B C
, ,a b c
sin A
4 2a = 5b = BA BC
11
2
正（主）视图 侧（左）视图
俯 视 图
2
11
2
正（主）视图 侧（左）视图
俯 视 图
2
O
S
B A
C
高三数学 第 5 页,共 14 页 高三数学 第 6 页,共 14 页
密 封 线
学校 班级 姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
19.《山东省高考改革试点方案》规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，
不分文理科；2020 年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学
等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 、
、 、 、 、 、 、 共 8 个等级．参照正态分布原则，确定各
等级人数所占比例分别为 、 、 、 、 、 、 、
．选考科目成绩计入考生总成绩时，将 至 等级内的考生原始成绩，依
照等比例转换法则，分别转换到 、 、 、 、
、 、 、 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某
校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进
行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 ．
（1）求物理原始成绩在区间 的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记 表示这 3 人中
等级成绩在区间 的人数，求 的分布列和数学期望．
（附：若随机变量 ，则 ，
， ）
20.已知椭圆 C: （ ）的离心率为 ，且椭圆 C 的中心 O 关
于直线 的对称点落在直线 上.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 P ，M、N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，连接 交椭
圆 C 于另一点 E，求直线 的斜率取值范围，并证明直线 与 x 轴相交于
定点.
21.已知函数 ，其中 k∈R.
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 k∈[1，2]时，求函数 在[0，k]上的最大值 的表达式，并求
的最大值.
选考题：满分 10 分，请考生在 22、23 题中任选 一题作答，如果多选，则所
做第一题计分.
22.在平面直角坐标系 中， 的方程为 ， 的参数方程为
，（ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建
立极坐标系.
（1）求 和 的极坐标方程；
（2）直线 与 交于点 ，与 交于点 （异于 ），
求 的最大值.
23.已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）当 ， 时，证明： .
A
B + B C + C D + D E
3% 7% 16% 24% 24% 16% 7%
3% A E
[91,100] [81,90] [71,80] [61,70]
[51,60] [41,50] [31,40] [21,30]
(60,169)N
(47,86)
X
[61,80] X
( )2~ ,Nξ µ σ ( ) 0.682P µ σ ξ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.954P µ σ ξ µ σ− < < + = ( 3 3 ) 0.997P µ σ ξ µ σ− < < + = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1
2
2 5 0x y− − = 2x a=
( )4,0 PN
PN ME
2( ) ( 1) xf x k x e x= − −
k 2≤ ( )f x
( )f x ( )g k
( )g k
xOy l 4x = C
2cos
2 2sin
x
y
θ
θ
=
= +
θ x
l C
[ )( ), 0,Rθ α ρ α π= ∈ ∈ l A C B O
OB
OA
( ) 1= −f x x
( ) ( 1) 4f x f x+ + ≥
0x ≠ x∈R 1( ) ( ) 2f x f x
− + ≥
高三数学 第 7 页,共 14 页 高三数学 第 8 页,共 14 页
密 封 线 内 不 得 答 题
BBACD CBDBB AB
-3 31
4 0.046 08 7
2
17.
18 、 解 :(1) 由 已 知 得 ：
, 即 又
, 所 以
(3) 由 正 弦 定 理 , 有 , 所 以 ,
由题知 ,则 ,故 . 根据余弦
定理,有 ,
解得 或 ( 负值舍去), 向量 在 方向上的投
影为
19.【答案】（Ⅰ）1636 人；（Ⅱ）见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间 分为 和 两种
情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间 内的概率，进而可
求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为 ，且
，由此可得 的分布列和数学期望．
【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩 ，
所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为 （人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间[61,80]内的概率为 ．
所以随机抽取三人，则 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 ，
所以 ，
，
，
．
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望 ．
3cos( )cos sin( )sin 5A B B A B B− − − = −
3cos( ) 5A B B⇒ − + = −
5
3cos −=A
0 A π< < 4sin 5A = B b A a sinsin = 2 2sinsin == a AbB ba > BA >
4
π=B
)5
3(525)24( 222 −××−+= cc
1=c 7−=c BA BC
=BBA cos 2
2
( )47,86 ( )47,60 ( )60,86
( )47,86
2
5
23, 5X B ∼ X
( )260,13Nξ ∼
(47 86) (47 60) (60 86)P P Pξ ξ ξ< < = < < + ≤ < 1 1(60 13 60 13) (60 2 13 60 2 13)2 2P Pξ ξ= − < < + + − × ≤ < + × 0.682 0.954 2 2 = + 0.818= 2000 0.818 1636× = 2 5 X 23, 5X B ∼ ( ) 33 270 5 125P X = = = ( ) 2 1 3 2 3 541 5 5 125P X C = = ⋅ ⋅ = ( ) 2 2 3 2 3 362 5 5 125P X C = = ⋅ ⋅ = ( ) 32 83 5 125P X = = = X X P 27 125 54 125 36 125 8 125 ( ) 2 63 5 5E X = × =
高三数学 第 9 页,共 14 页 高三数学 第 10 页,共 14 页
密 封 线
学校 班级 姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
20.【答案】（1） ；（2） ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设点 O 关于直线 的对称点为 ，根据一垂直二平分，
解得 ，再结合离心率为 ，且椭圆 C 的中心 O 关于直线 的对
称点落在直线 上，由 求解.
（2）设直线 的方程为 ，且 ， ，则
，与椭圆方程联立，通过 ，解得直线 的斜率取值范围；
写出直线 的方程为 ，令 ，得 ，
然后将韦达定理代入求解.
【详解】（1）设点 O 关于直线 的对称点为 ，则
，
解得 ，
依题意，得 ，
∴ ， ， ，
∴椭圆 C 的方程是 ；
（2）设直线 的方程为 ，且 ， ，
则 ，
由 ，消去 y 得 ，
，
解得 ，且 ，
∴直线 的斜率取值范围是 ；
由韦达定理得： ，
直线 的方程为 ，
令 ，解得：
，
，
2 2
14 3
x y+ = 1 1,0 0,2 2
−
2 5 0x y− − = ( )0 0,O x y′
0x 1
2
2 5 0x y− − =
2x a=
2 4
1
2
a
ce a
= = =
PN ( )4y k x= − ( )0k ≠ ( )1 1N x y, ( )2 2,E x y
( )1 1,M x y− > 0∆ PN
ME ( )2 1
1 1
2 1
y yy y x xx x
++ = −− 0y = 1 2 2 1
1 2
x y x yx y y
+= +
2 5 0x y− − = ( )0 0,O x y′
0 0
0
0
2 5 02 2
2 1
x y
y
x
× − − =
× = −
0
0
4
2
x
y
=
= −
2 4
1
2
a
ce a
= = =
2a = 1c = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
PN ( )4y k x= − ( )0k ≠ ( )1 1N x y, ( )2 2,E x y
( )1 1,M x y−
2 2
( 4)
14 3
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k+ − + − =
( ) ( )( )2 2 232 4 3 4 64 12 0k k k∆ = − − + − >
1 1
2 2k− < < 0k ≠ PN 1 1,0 0,2 2 − 2 1 2 2 2 1 2 2 32 3 4 64 12 3 4 kx x k kx x k + = + − ⋅ = + ME ( )2 1 1 1 2 1 y yy y x xx x ++ = −− 0y = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 11 2 2 1 1 2 1 2 4 4 4 4 kx x kx xx y x yx y y k x k x − + −+= =+ − + − ( )1 2 1 2 1 2 2 4 8 x x x x x x − += + −
高三数学 第 11 页,共 14 页 高三数学 第 12 页,共 14 页
密 封 线 内 不 得 答 题
，
∴直线 与 x 轴交于定点 .
21.【答案】（1）详见解析过程；（2） ， ，
.
【解析】
【分析】
（1）求出 ，分别讨论 ， ， 时 正负情况即可；
（2）判断函数 在[0，k]上单调性，求出 ，再利用导数求最值即可.
详解】（1） ，
当 时 ，令 得 ，令 得 ，故 的单
调递增区间为 的单调递减区间为
当 时，令 得 ，或 ，
当 时 ，当 时 或 ；当 时
； 的单调递增区间为 ；减区间为 .
当 时 ，当 时 ；当 时 ； 的单调递
增区间为 ；
（2）当 时，由（1）知， 的单调递增区间为为
；减区间为 .
令 ， ，
故 在 上单调递减，故 ，
所以当 [0，k]时函数 单调减区间为 ，单调增区间为 ；
故函数
由于
对于 ， ，即 ，当 时等号成
立，
故 .
当 时由（1）知； 的单调递增区间为 ；所以当 [0，k]时
函数 单调递增，故 .
综上所述：函数 在[0，k]上的最大值为 ，
，由于 ，
∴ 对 恒成立
∴ 在 上为增函数.
∴ .
22.【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【
( )2 2
2 2
2
2
2 64 12 4 32
3 4 3 4 132 83 4
k k
k k
k
k
− ×−+ += =
−+
ME ( )1,0
2( ) ( 1)ekg k k k k= − − [ ]1,2k ∈
( ) 2
max 2 4g k e= −
( )f x′ 0k ≤ 0 2k< < 2k = ( )f x′ ( )f x ( )g k ( ) 2 ( 2)x xf x kxe x x ke′ = − = − 0k ≤ 2 0xke − < '( ) 0f x > 0x < '( ) 0f x < 0x > ( )f x
( 0) ( )f x−∞，， (0 )+ ∞，
0 2k< ≤ '( ) 0f x = 0x = 2ln 0x k = ≥ 0 2k< < 2ln 0k > '( ) 0f x > 2lnx k
> 0x < '( ) 0f x >
20 lnx k
< < ( )f x ( ) 2,0 , ln ,k −∞ +∞ 20 ln k ， 2k = 2ln 0k = 0x > '( ) 0f x > 0x < '( ) 0f x > ( )f x
( ),−∞ +∞
1 2k≤ < ( )f x ( ) 2,0 , ln ,k −∞ +∞ 20 ln k ， 2( ) ln [1 2]h k k kk = − ∈， ， 2 1 1( ) 2 1 1 02 kh k k k ′ = × − − = − − 2ke e≥ >
( )( )2 2( ) ( 1)e 2 2 2 2 2 2 1 1 0kg k k k k k k k k k′ = + − − > + − − = + − ≥ [ ]1,2k∀ ∈
( )g k [ ]1,2
( ) ( ) 2
max 2 2 4g k g e= = −
4
cos
ρ θ= 4sinρ θ= 1
2
高三数学 第 13 页,共 14 页 高三数学 第 14 页,共 14 页
密 封 线
学校 班级 姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
【分析】
（1）结合直角坐标方程、参数方程和极坐标方程间的关系，求出直线 l 和曲
线 C 的极坐标方程即可；
（2）将射线 与曲线 C 和直线 l 的极坐标方程联立，可
求得 的表达式，然后求出 的取值范围即可.
【详解】（1）由 得 ，即 ，
所以 的极坐标方程为 .
由 得 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 的极坐标方程为 .
（2）由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
所以当 或 时， 的最大值为 .
23.【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，代入得到不等式 ，分类讨论，即可求解不等式的
解集；
（2）根据绝对值的三角不等式，以及基本不等式，即可作出证明.
【详解】（1）由 得 ，
当 时，得 ，所以 ；
当 时，得 ，所以 ；
当 时，得 ，所以 ；
综上，此不等式的解集为： ；
（2）由 ，
由绝对值不等式得 ，
又因为 同号，所以 ，
由基本不等式得： ，当且仅当 时，等号成立，
所以 .
[ )( ), 0,Rθ α ρ α π= ∈ ∈
,OA OB | |
| |
OA
OB
4x = cos 4 0ρ θ − = 4
cos
ρ θ=
l 4
cos
ρ θ=
2cos
2 2sin
x
y
θ
θ
=
= +
3 2( 2) 4x y+ − = 2 2 4 0x y y+ − =
2 4 sin 0ρ ρ θ− = 4sinρ θ=
C 4sinρ θ=
4
cos
θ α
ρ θ
= =
4
cosAOA ρ α= =
4sin
θ α
ρ θ
=
= 4 sinBOB ρ α= =
cos 14 sin sin cos sin 24 2
OB
OA
αα α α α= ⋅ = = [ )0,α π∈
4
πα = 3
4
π OB
OA
1
2
3 5, ,2 2
−∞ − ∪ +∞
1 4x x− + ≥
( ) ( 1) 4f x f x+ + ≥ 1 4x x− + ≥
1x > 2 1 4x − ≥ 5
2x ≥
0 1x≤ ≤ 1 4≥ x∈∅
0x < 1 2 4x− ≥ 3 2x ≤ − 3 5, ,2 2 −∞ − ∪ +∞ 1( ) ( )f x f x − + = 11 1x x + + − 1 11 1x xx x + + − ≥ + 1,x x 1 1x xx x + = + 1 2x x + ≥ 1x = 1( ) ( ) 2f x f x − + ≥
微信/支付宝扫码支付