高三第二轮复习质量检测
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在
答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别化简集合 和 ，然后直接求解 即可
【 详 解 】 ∵ ， ， ∴
.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简 ，再由共轭复数的概念得结论.
( )( ){ }1 2 0A x x x= + − < { }ln 0B x x= > A B =
{ }1 2x x< < { }1 1x x− < < { }1 2x x− < <
{ }2 1x x− < <
A B A B
( )( ){ } { }1 2 0 1 2A x x x x x= + − < = − < < { } { }ln 0 1B x x x x= > = >
{ }1 2A B x x∩ = < <
1
2
iz i
−= + z =
1 3
5 5i− 1 3
5 5i+ 1 3
5 5 i− − 1 3
5 5 i− +
z【详解】∵ ，
∴ .
故选：B.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
3.已知直线 过点 P(3，0)，圆 ，则（ ）
A. 与 C 相交 B. 与 C 相切
C. 与 C 相离 D. 与 C 的位置关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
代入计算得到点 在圆内，得到答案.
【详解】 ，即 ， ，故点 在圆内，故 与
C 相交.
故选：A.
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定点 在圆内是解题的关键.
4.已知 若 则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项式定理得到 ， ，解得答案.
【详解】 展开式的通项为： ，
故 ， ，解得 ， .
故选：C.
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
( )( )
( )( )
21 21 2 2 1 3
2 2 2 5 5 5
i ii i i iz ii i i
− −− − − += = = = −+ + −
1 3
5 5z i= +
l 2 2: 4 0C x y x+ − =
l l
l l
P
2 2 4 0x y x+ − = ( )2 22 4x y− + = ( )2 23 2 0 4− + < P l
P
( ) 2
0 1 21 n n
npx b b x b x b x− = + + +⋅⋅⋅+ ， 1 23, 4b b= − = ， p =
1
2
1
3
1
4
1 3b pn= − = − ( ) 2
2
1 42
n nb p
−= =
( )1 npx− ( ) ( ) ( )1 1 n r r rr r
r n nT C px C px−
+ = ⋅ ⋅ − = ⋅ −
( )1
1 3nb C p pn= ⋅ − = − = − ( )2 2 2
2
1 42n
n nb C p p
−= ⋅ = = 9n = 1
3p =5.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生
木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不
相生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
总共有 10 种结果，其中相生的有 5 种，由古典概型的计算公式计算出概率即可
【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，共 种，
而相生的有 5 种，则抽到的两种物质不相生的概率
故选：D
【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.
6.命题 成立的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意 ，设 ，计算得到答案.
【详解】 ， ，则 ，故 ，
设 ， ，故当 时，函数有最小值为 .
故 .
故选：B.
【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，转化为求函数的最小
值是解题的关键.
7.在直角三角形 ABC 中， ，点 P 是斜边 AB 上一点，且 BP=2PA，
1
5
1
4
1
3
1
2
2
5 10C =
5 11 10 2P = − =
[ ] 2: 2,1 , 0p x x x m∃ ∈ − + − ≤
0m ≥ 1
4m ≥ − 1 24 m− ≤ ≤ 2m ≥
2
min( )m x x≥ +
2
2 1 1
2 4y x x x = + = + −
[ ]2,1x∃ ∈ − 2 0x x m+ − ≤ 2m x x≥ + 2
min( )m x x≥ +
2
2 1 1
2 4y x x x = + = + −
[ ]2,1x∈ − 1
2x = − 1
4
−
1
4m ≥ −
, 22ACB AC BC
π∠ = = =则 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示：以 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，计算得到答案.
【详解】如图所示：以 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，则 ， ，
，
.
故选：D.
【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.
8.已知函数 只有一个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
CP CA CP CB⋅ + ⋅ =
4− 2−
CB x CA y
CB x CA y ( )0,2A ( )2,0B
2 4,3 3P
( ) ( )2 4 2 4 8 4, 0,2 , 2,0 43 3 3 3 3 3CP CA CP CB ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =
( ) ( ) 21 2
x xaf x x e e ax= − − + a
0a ≤ 1
2a ≥ 0a ≤ 1
3a ≥
0a ≤ 0a ≥ 1
3a ≤ −讨论 ， 两种情况，变换得到 ，设 ，求导得到单调性，
画出函数 和 的图像，根据图像得到答案.
【 详 解 】 ， 则 ， 故
，
当 时， ，函数在 上单调递减，在 上单调递增， ，
故函数有唯一极大值点，满足；
当 时，即 ，设 ，
则 恒成立，且 ，
画出函数 和 图像，如图所示：
根图像知：当 时，即 或 时，满足条件
综上所述： 或 .
故选：A.
【点睛】本题考查了根据极值点求参数，变换 ，画出函数图像是解题的关键.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
0a = 0a ≠ x xx e ea
−= − ( ) x xg x e e−= −
( )g x xy a
=
( ) ( ) 21 2
x xaf x x e e ax= − − + ( )' 2 0x xf x xe ae a= − + =
0x
x
ax ae e
− + =
0a = ( )' xf x xe= ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )' 0 0f =
0a ≠ x xx e ea
−= − ( ) x xg x e e−= −
( )' 2x xg x e e−= + ≥ ( )' 0 2g =
( )g x xy a
=
1 2a
≤ 0a < 1
2a ≥
0a ≤ 1
2a ≥
x xx e ea
−= −有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”
籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食
安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻
的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为
，则下列说法正确的是（ ）
A. 该地水稻 平均株高为 100cm
B. 该地水稻株高的方差为 10
C. 随机测量一株水稻，其株高在 120cm 以上的概率比株高在 70cm 以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据函数解析式得到 ， ，故 A 正确 B 错误，根据正态分布的对称性得到 C
正确 D 错误，得到答案.
【详解】 ，故 ， ，故 A 正确 B 错误；
，故 C 正确；
根据正态分布的对称性知： ，故 D 错
误.
故选：AC.
【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布的理解和应用.
10.如图，正方体 ABCD— 的棱长为 2，线段 上有两个动点 且 ，
则下列结论正确的是（ ）
的
( )
( )
( )
2100
2001 , ,
10 2
x
f x e xπ
−−= ∈ −∞ +∞
100µ = 2 100σ =
( )
( )2100
2001
10 2
x
f x eπ
−−= 100µ = 2 100σ =
( ) ( ) ( )120 80 70p x p x p x> = < > <
( ) ( ) ( )100 110 90 100 80 90p x p x p x< < = < < > < <
1111 DCBA 1 1B D ,M N， 1MN =A. B. MN∥平面 ABCD
C. 三棱锥 A—BMN 的体积为定值 D. △AMN 的面积与△BMN 的面积相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】
如图所示，连接 ，根据 平面 得到 ，A 正确， ，故 MN∥
平面 ABCD，B 正确，计算 ，C 正确， ， ，D 错误，得到
答案.
【详解】如图所示：连接 ，易知 ， 平面 ， 平面 ，
故 ，故 平面 ， 平面 ，故 ，A 正确；
易知 ，故 ，故 MN∥平面 ABCD，B 正确；
为定值，故 C 正确；
， ，其中 为点 到直线 的距离，根据图像知 ，
故 ，故 D 错误；
故选：ABC.
AC BM⊥
BD AC ⊥ 1 1BDD B AC BM⊥ //MN BD
2
3A MNBV − = 1BMNS =△ 1AMNS >△
BD AC BD⊥ 1DD ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD
1AC DD⊥ AC ⊥ 1 1BDD B BM ⊂ 1 1BDD B AC BM⊥
1 1 //D B BD //MN BD
1 1 1 21 2 23 3 2 3A MNB BMNV S AO− = ⋅ = × × × × =△
1BMNS =△
1
2 2AMN
hS MN h= ⋅ =△ h A 1 1B D 2h >
1AMNS >△【点睛】本题考查了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考查学生的计算能
力和空间想象能力.
11.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，双曲线的左焦点在
直线 上，A、B 分别是双曲线的左、右顶点，点 P 为双曲线右支上位于第一象
限的动点，PA，PB 的斜率分别为 ，则 的取值可能为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】CD
【解析】
【分析】
计算得到双曲线方程为 ，则 ， ，设 ， ，
根据渐近线方程知： ，代入计算得到答案.
【详解】根据题意知： ， ，故 ， ，双曲线方程为 ，
则 ， ，设 ，则 ， ， ，
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2 0x y− =
5 0x y+ + =
1 2,k k 1 2k k+
3
4
4
3
2
2 14
x y− = ( )2,0A − ( )2,0B ( )0 0,P x y 1 2
0
02k yk x=+
0
0
10 2
y
x
< <
1
2
b
a
= 5c = 2a = 1b =
2
2 14
x y− =
( )2,0A − ( )2,0B ( )0 0,P x y
2
20
0 14
x y− = 0 0x > 0 0y >，根据渐近线方程知： ，
故 .
故选：CD.
【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定 是解题的关键.
12.在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD 沿 轴滚动(无滑动滚动)，
点 D 恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 的判
断正确的是（ ）
A. 函数 在 上有两个零点
B. 函数 是偶函数
C. 函数 在 上单调递增
D. 对任意的 ，都有
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据题意中的轨迹，画出函数图像，根据图像判断每个选项得到答案.
【详解】当以 点为中心滚动时， 点轨迹为 为圆心， 为半径的 圆弧；
当以 点为中心滚动时， 点轨迹为 为圆心， 为半径的 圆弧；
当以 点为中心滚动时， 点轨迹为 为圆心， 为半径的 圆弧；
当以 点为中心滚动时， 点不动，然后周期循环，周期为 .
0 0 0 0 0
2
0
1
0
2
0 0
2
2 2 4 2
y y x y x
x x xk k y
= + = =+ − −+ 0
0
10 2
y
x
< <
0
1 2
0
12
xk k y
= >+
0
0
10 2
y
x
< <
xOy x
( ),B x y ( )y f x= ( )y f x=
( ) ( ) 2 2g x f x= − [ ]3 9− ，
( )y f x=
( )y f x= [ ]8 6− −，
x∈R ( ) ( )
14f x f x
+ = −
A B ( )2,0− 2 1
4
D B ( )0,0 2 2 1
4
C B ( )2,0 2 1
4
B B 8画出函数图像，如图所示：
， ，A 正确；
根据图像和周期知 B 正确；
函数 在 上单调递减，故在 上单调递减，C 错误；
取 ，易知 ，故 D 错误.
故选：AB.
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像确定周期是
解题的关键.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.函数 的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】
化简得到 ，取 ， ，解得答案.
【详解】 ，取 ， ，
解得 .
( ) ( )0 0 2 2 0g f= − = ( ) ( ) ( )8 8 2 2 0 2 2 0g f f= − = − =
( )y f x= [ ]0,2 [ ]8 6− −，
2x = − ( ) ( )
12 2f f
≠ − −
cos4 3sin 4y x x= +
( ),2 6 2 12
k k k Z
π π π π − + ∈
2sin 4 6y x
π = + 2 4 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈
cos4 3sin 4 2sin 4 6y x x x
π = + = + 2 4 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈
( ),2 6 2 12
k kx k Z
π π π π ∈ − + ∈ 故答案为： .
【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.
14.北京大兴国际机场为 4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于 2019 年
9 月 25 日正式通航.目前建有“三纵一横”4 条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、
北一跑道，如图所示；若有 2 架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一
跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有______种不同的安排方法.(用数字作答).
【答案】10
【解析】
【分析】
根据题意，共有 种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的 种选择，得到答案.
【详解】不考虑西一跑道、西二跑道共有 种选择，
排除西一跑道、西二跑道都没有的 种选择，共有 种选择.
故答案为：10.
【点睛】本题考查了排列的应用，利用排除法可以简化运算，是解题的关键.
15.已知抛物线 的准线方程为 ，直线 与抛物线
C 和圆 从左至右的交点依次为 A、B、E、F，则抛物线 C 的方程为______，
______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
( ),2 6 2 12
k k k Z
π π π π − + ∈
2
4 12A = 2
2
4 12A =
2
2 2A = 10
( )2: 2 0C x py p= > 1y = − :3 4 4 0l x y− + =
2 2 2 0x y y+ − =
EF
AB
=
2 4x y= 16计算 ，故抛物线方程为 ，联立方程得到 ， ，计算 ，
，得到答案.
【详解】根据题意知 ，故 ，故抛物线方程为 ，设焦点为 ，
，即 ，直线 过圆心，
联立方程 ，得到 ，解得 ， .
故 ， ，故 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了抛物线方程，抛物线中的弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能
力.
16.已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O－ABC 体
积的最大值为 36，则球 O 的表面积为________．
【答案】144π
【解析】
【分析】
易知当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球 O 的半径为 R，列方程
求解即可.
【详解】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球 O 半径为 R，此时 VO－ABC＝VC－AOB＝ × R2×R＝ R3＝36，
故 R＝6，则球 O 的表面积为 S＝4πR2＝144π.
的
2p = 2 4x y= 1
1
4y = 2 4y = 1
4AB =
4EF =
12
p− = − 2p = 2 4x y= ( )0,1M
2 2 2 0x y y+ − = ( )22 1 1x y+ − = :3 4 4 0l x y− + =
2 4
3 4 4 0
x y
x y
=
− + =
24 17 4 0y y− + = 1
1
4y = 2 4y =
1 11 1 14 4AB AM= − = + − = 1 4 1 1 4EF FM= − = + − = 16EF
AB
=
2 4x y= 16故答案为 144π.
【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在
下面的问题中，并解答.
设 是公比大于 0 的等比数列，其前 n 项和为 是等差数列.已知 ，
，__________.
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 求 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.
（2） ，利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1）方案一：选条件①：设等比数列 的公比为 q， ，
，解得 或 ， ， ， .
设等差数列 的公差为 d， ， ，
解得 ， ， .
方案二：选条件②：设等比数列 的公比为 q， ，
，解得 或 ， ， ， .
5 4 62a b b= + ( )3 5 1 44a a b b+ = + 2 4 2 35b S a b=
{ }na { },n nS b 1 1a =
3 2 2 1 4 3 52 ,S S a a a b b− = + = +
{ }na { }nb
1 1 2 2 3 3n n nT a b a b a b a b= + + +⋅⋅⋅+ ， nT
1, .n
n na b n−= 2 = ( )1 2 1.n
nT n= − ⋅ +
2n
n na b n= ⋅
{ }na 1 3 2 2 11, 2a S S a a= − = +
2 2 0q q∴ − − = 2q = 1q = − 0q > 2q∴ = 12n
na -\ =
{ }nb 4 3 5 5 4 6, 2a b b a b b= + = +
1
1
2 6 8
3 13 16
b d
b d
+ =∴ + =
1 1
1
b
d
=
= nb n∴ = 12 ,n
n na b n−∴ = =
{ }na 1 3 2 2 11, 2a S S a a= − = +
2 2 0q q∴ − − = 2q = 1q = − 0q > 2q∴ = 12n
na -\ =设等差数列 的公差为 ， ， ，
解得 ， ，
方案三：选条件③，设等比数列 的公比为 ， ，
，解得 或 ， ， ， .
设等差数列 的公差为 ， ， ，
解得 ， ，
（2） ，
，
，
，
【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列
公式方法的综合应用.
18.如图，在△ABC 中， ，
（1）求 BC 的长度；
（2）若 E 为 AC 上靠近 A 的四等分点，求 .
【答案】（1） （2）
【解析】
{ }nb d ( )4 3 5 3 5 1 4, 4a b b a a b b= + + = +
1
1
2 6 8
2 3 5
b d
b d
+ =∴ + =
1 1
1
b
d
=
= nb n∴ = 12 , .n
n na b n−∴ = =
{ }na q 1 3 2 2 11, 2a S S a a= − = +
2 2 0q q∴ − − = 2q = 1q = − 0q > 2q∴ = 12n
na -\ =
{ }nb d 4 3 5 2 4 2 3, 5a b b b S a b= + =
1
1
2 6 8
0
b d
b d
+ =∴ − =
1 1
1
b
d
=
= nb n∴ = 12 , .n
n na b n−∴ = =
12 ,n
n na b n−= =
1 1 2 2n n nT a b a b a b∴ = + +⋅⋅⋅+ ( )0 1 2 11 2 2 2 1 2 2n nn n− −= × + × +⋅⋅⋅+ − × + ×
( )1 2 12 1 2 2 2 1 2 2n n
nT n n−∴ = × + × +⋅⋅⋅+ − × + ×
1 2 11 2 2 2 2n n
nT n−∴− = + + +⋅⋅⋅+ − × 1 2 2 2 1 21 2
n
n n nn n
−= − × = − − ×−
( )1 2 1.n
nT n∴ = − ⋅ +
5: 5:3, 1 sin 5AD DC BD A= = =， 0BA BD⋅ =
sin DBE∠
2BC = 3 10
10【分析】
（1）计算得到 ， ，利用余弦定理计算得到答案.
（2）根据余弦定理得到 ，利用正弦定理计算得到答案.
【详解】（1） ， ，在 中， ， ，
， ，又 ， ，
在 中， ，
.
（2）由（1）知 AB=2， ， ，
中， ，
，
在 ， ，
.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19.如图所示，在直三棱柱 中 ，侧面 是正方形，
.
5cos 5ADB∠ = 3 5
5DC =
2 10
5BE =
0BA BD∴ ⋅ = BA BD∴ ⊥ ABD∆ 1BD = 5sin 5A =
5AD∴ = 5cos 5ADB∠ = : 5:3AD DC =
3 5
5DC∴ =
BCD∆ 5cos 5BDC∠ = −
2 2 2= 2 cosBC CD BD CD BD BDC∴ + − × × × ∠ 9 3 5 5= 1 2 15 5 5
+ − × × × − =4
2BC∴ =
1 2 54 5AE AC= = 2 5cos 5A =
ABE∆ 2 2 2 2 cosBE AB AE AB AE A= + − × × × 4 2 5 2 54 2 25 5 5
= + − × × × 8
5
=
2 10
5BE∴ =
3 5 2 5sin =5 5BDE DE BDE∆ = ∠中， ， sin sin
DE BE
DBE BDE
=∠ ∠
sin 3 10sin 10
DE BDEDBE BE
× ∠∴ ∠ = =
1 1 1ABC A B C− AB AC⊥， 1 1ABB A
3, 3 6AB AC= =（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明 平面 得到 ，证明 平面 得到答案.
（2）如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，求得平面 的一个法向量
为 ， 是平面 的一个法向量，计算向量夹角得到答案.
【详解】（1） 三棱柱 为直三棱柱， ，
， ，又 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
又侧面 为正方形， ，又 平面 ，
， 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，
则 ，
， ，
1 1AB C ⊥ 1 1A BC
1
6AM AC=
1 1M BC A− −
3
π
1 1AC ⊥ 1 1ABB A 1 1 1AB AC⊥ 1AB ⊥ 1 1A BC
1A O xyz− 1MBC
6 1, ,15 5n
=
1AB
1 1A BC
1 1 1ABC A B C− 1 1 1AA AC∴ ⊥
AB AC⊥ 1 1 1 1AC A B∴ ⊥ 1 1 1,AA A B ⊂ 1 1 1 1 1 1,ABB A AA A B A∩ =
1 1AC∴ ⊥ 1 1ABB A 1AB ⊂ 1 1ABB A 1 1 1AB AC∴ ⊥
1 1ABB A 1 1A B AB∴ ⊥ 1 1 1,AC A B ⊂ 1 1A BC
1 1 1 1A B AC A= 1AB∴ ⊥ 1 1A BC 1AB ⊂ 1 1AB C
∴ 1 1AB C ⊥ 1 1A BC
1A O xyz−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10,0,3 , 0,3,3 , 0,3,0 , 3 6,0,0 , 3 6,0,3A B B C C
( ) ( )13 6,0,0 , 0,3, 3AC AB∴ = = − ( ) ( )10,3,0 , 3 6, 3, 3AB BC= = − − ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，解得 ，
，又 是平面 的一个法向量，
， ，
二面角 的大小为 .
【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20.某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是 ，棋盘上标有第 0 站，
第 1 站，第 2 站，……，第 100 站.一枚棋子开始在第 0 站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳
动一次，若掷出朝上的点数为 1 或 2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，
直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第 站的概率为 .
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子 3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望；
（2）证明： ；
（3）若最终棋子落在第 99 站，则记选手落败，若最终棋子落在第 100 站，则记选手获胜，
请分析这个游戏是否公平.
MB AB AM∴ = − 1
6AB AC= − 6 ,3,02
= −
1MBC ( ), ,1n x y=
1
0
0
n MB
n BC
⋅ = ⋅ =
6 1,5 5x y= =
6 1, ,15 5n
∴ =
1AB
1 1A BC
1
3 3 15cos , 232 1825
n AB
−
∴ = = −
×
1
2, 3n AB
π∴ =
∴ 1 1M BC A− −
3
π
1
6
n nP
( )( )1 1
1 1 983n n n nP P P P n+ −− = − − ≤ ≤【答案】（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析
【解析】
【分析】
（1）随机变量 X 的所有可能取值为 3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.
（2）根据题意得到 ，化简得到 .
（3）计算得到 ， ，得到答案.
【详解】（1）随机变量 X 所有可能取值为 3，4，5，6，
，
，
所以，随机变量 X 的分布列为：
.
（2）由题意知，当 时，棋子要到第 站，有两种情况：
①由第 n 站跳 1 站得到，其概率为 ；
②由第 站跳 2 站得到，其概率为
， ，
，
（3）由（2）知，当棋子落到第 99 站游戏结束的概率为 ，
当棋子落到第 100 站游戏结束的概率为 ，
的
1 1
2 1
3 3n n nP P P+ −= + ( )1 1
1
3n n n nP P P P+ −− = − −
99 98 97
2 1
3 3P P P= + 100 99P P<
( ) ( )3 2
1
3
2 8 2 1 43 , 43 27 3 3 9P X P X C = = = = = × × =
( ) ( )2 3
2
3
2 1 2 1 15 , 63 3 9 3 27P X C P X = = × × = = = =
X 3 4 5 6
p 8
27
4
9
2
9
1
27
( ) 8 4 2 13 4 5 6 427 9 9 27E X∴ = × + × + × + × =
1 98n≤ ≤ ( )1n +
2
3 nP
( )1n − 1
1
3 nP −
1 1
2 1
3 3n n nP P P+ −∴ = + ( )1 1 1
2 1 1
3 3 3n n n n n n nP P P P P P P+ − −∴ − = + − = − −
( )( )1 1
1 1 983n n n nP P P P n+ −∴ − = − − ≤ ≤
99 98 97
2 1
3 3P P P= +
100 98
1
3P P=， 最终棋子落在第 99 站的概率大于落在第 100 站的概率，
游戏不公平.
【点睛】本题考查了分布列和数学期望，数列的递推公式，概率的计算，意在考查学生的计
算能力和综合应用能力.
21.已知椭圆 的离心率 e 满足 ，以坐标原点为圆
心，椭圆 C 的长轴长为半径的圆与直线 相切.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 P(0，1)的动直线 (直线 的斜率存在)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，问在 y 轴上是否
存在与点 P 不同的定点 Q，使得 恒成立？若存在，求出定点 Q 的坐标；若不存
在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在；定点
【解析】
【分析】
（1）根据点到直线距离公式计算得到 ，计算 ，得到答案.
（2）设 ，直线 的方程为 ，联立方程得到
， ，得到 ，计算得
到答案.
【详解】（1）由题意知 ， ，
100 99P P > 22 3 2 2 0e e− + =
2 4 5 0x y− + =
l l
APQ
BPQ
SQA
QB S
=
2 2
14 2
x y+ = ( )0,2Q
2a = 2
2e =
( )( ) ( ) ( )1 1 2 20, 1 , , , ,Q m m A x y B x y≠ l 1y kx= +
1 2 1 22 2
4 2,2 1 2 1
kx x x xk k
+ = − = −+ +
sin
sin
APQ
BPQ
S QA PQA
S QB PQB
∠= ∠
QA QBk k= −
0 0 4 5
2
4 1
a
− +
=
+
2a∴ =由 ，解得 或 （舍），故 ， ，
椭圆 C 的方程为 .
（2）存在，
假设 y 轴上存在与点 P 不同的定点 Q，使得 恒成立，
设 ，直线 的方程为 ，
由 ，得 ， ，
，
，
， ， ， ，
， ，即 ，
解得 ， 存在定点 ，使得 恒成立.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22.已知函数 .
22 3 2 2 0e e− + = 2
2e = 2e = 2c = 2b∴ =
∴ 2 2
14 2
x y+ =
APQ
BPQ
SQA
QB S
=
( )( ) ( ) ( )1 1 2 20, 1 , , , ,Q m m A x y B x y≠ l 1y kx= +
2 2
14 2
1
x y
y kx
+ =
= +
( )2 22 1 4 2 0k x kx+ + − = 1 2 1 22 2
4 2,2 1 2 1
kx x x xk k
∴ + = − = −+ +
( )2 2 216 8 2 1 32 8 0k k k∆ = + + = + >
1 sin sin2
1 sinsin2
APQ
BPQ
QP QA PQAS QA PQA
S QB PQBQP QB PQB
∆
∆
∠ ∠= = ∠∠
APQ
BPQ
SQA
QB S
=
sin sinPQA PQB∴ ∠ = ∠ PQA PQB∴∠ = ∠ QA QBk k∴ = −
1 2
1 2
y m y m
x x
− −∴ = − ( )( )1 2 1 21 2m x x kx x∴ − + = ( ) 2 2
4 21 22 1 2 1
km kk k
− − = −+ +
2m = ∴ ( )0,2Q APQ
BPQ
SQA
QB S
∆
∆
=
( ) ( ) ( )1 1 , 0x xf x x e x e x−= + + − ≥（1）证明： ；
（2）若 当 恒成立，求实数 的取
值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） ， 得 到 ， 得 到 ， 整 理 得 到
，即 ，令 ，证明 得到答案.
（2）当 时，要证 即证 ，令
，证明 在 上是减函数，得当 时， 在
上恒成立，再证明 时， 在 上不恒成立，得到答案.
【详解】（1） ，当 时， ， ，
在 上是增函数，又 ， .
由 整理得 ，即 ，
令 ，即 ，
在 上是增函数，又 ， ， ，
，
综上，
（2）当 时，要证 ，
( ) 10 11
xf x x ex
≤ ≤ + − +
( ) 3
2 cos2
xxg x ax x x x e
= + + +
， [ ] ( ) ( )0,1 ,x f x g x∈ ≥ a
( ], 3−∞ −
( ) ( )x xf x x e e−′ = − ( ) 0f x′ ≥ ( )0 0f = ( ) 0f x ≥
( ) ( )2 21xe x≥ + 1xe x≥ + ( ) ( )1 0xx e x xϕ = − − ≥ ( ) 0xϕ ≥
[ ]0,1x∈ ( ) ( )f x g x≥ ( ) 3
21 1 2 cos 02
x xx e ax x x− + − + + + ≥
( ) 2
2cos2
xG x x= + ( )G x [ ]01， 3a ≤ − ( ) ( )f x g x≤ [ ]01，
3a > − ( ) ( )f x g x≥ [ ]01，
( ) ( )x xf x x e e−′ = − 0x ≥ 1, 1x xe e−≥ ≤ ( ) 0f x′∴ ≥
( )f x∴ [ )0 + ∞， ( )0 0f = ( ) 0f x∴ ≥
( ) 1 11
xf x x ex
≤ + − +
( ) ( )2 21xe x≥ + 1xe x≥ +
( ) ( )1 0xx e x xϕ = − − ≥ ( )' 1 0xx eϕ = − ≥
( )xϕ∴ [ )0 + ∞， ( ) 0xϕ = ( ) 0xϕ∴ ≥ 1xe x∴ ≥ +
( ) 1 11
xf x x ex
∴ ≤ + − +
( ) 10 11
xf x x ex
≤ ≤ + − +
[ ]0,1x∈ ( ) ( )f x g x≥即证 ，
只需证明 .
由（1）可知：当 时， ，
即 ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上是减函数，
故当 时， ， 在 上是减函数，
， ，
故当 时， 在 上恒成立.
当 时，由（1）可知： ，即 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上是减函数，
在 上的值域为 .
( ) ( ) 3
1 1 2 cos2
x x xxx e x e ax x x x e− + + − ≥ + + +
( ) 3
21 1 2 cos 02
x xx e ax x x− + − + + + ≥
[ ]0,1x∈ ( ) ( ) ( )1 1 0x xf x x e x e−= + + − ≥
( ) 21 1xx e x−+ ≥ −
( ) 3 3
21 1 2 cos 1 1 2 cos2 2
x x xx e ax x x x ax x x− ∴ + − + + + ≥ − − − − −
2
1 2cos2
xx a x
= − + + +
( ) 2
2cos2
xG x x= + ( ) 2sinG x x x′ = −
( ) 2sinH x x x= − ( ) 1 2cosH x x′ = −
[ ]0,1x∈ ( ) 0H x′ < ( )G x′∴ [ ]01，
[ ]0,1x∈ ( ) ( )0 0G x G′ ′≤ = ( )G x∴ [ ]01，
( ) ( )0 =2G x G∴ ≤ ( )1 3a G x a∴ + + ≤ +
3a ≤ − ( ) ( )f x g x≤ [ ]01，
3a > − ( )22 1xe x≥ + ( ) 2 11 1
xx e x
−+ ≤ +
( ) 3 3
2 11 1 2 cos 1 2 cos2 1 2
x x xx e ax x x ax x xx
− ∴ + − + + + ≤ − − − − +
3
2 cos1 2
x xax x xx
−= − − −+
21 2cos1 2
xx a xx
= − + + + +
( ) ( )21 12cos1 2 1
xI x a x a G xx x
= + + + = + ++ +
( ) ( ) ( )2
1
1
I x G x
x
−′ ′= +
+
[ ]0,1x∈ ( ) 0I x′ < ( )I x∴ [ ]01，
( )I x∴ [ ]01， [ ]1 2cos1, 3a a+ + +， ， 存在 ，使得 ，此时
故 时， 在 上不恒成立.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和
综合应用能力.
3a > − 3 0a∴ + > ∴ [ ]0 0,1x ∈ ( )0 0I x > ( ) ( )0 0f x g x<
3a > − ( ) ( )f x g x≥ [ ]01，
a ( ], 3−∞ −
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