2020届高三数学6月模拟试题（Word版附答案）

1 绝密★启用并使用完毕前 2020 届高三模拟考试 数 学 试 题 2020．06 注意事项： 1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置 贴条形码． 2．本试卷满分 150 分，分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷为第 1 页至第 3 页，第Ⅱ卷为第 4 页至第 6 页． 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题的作答：用 0．5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域 内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A={x｜x=2k，k∈Z)，B={x∈N｜x＜4)，那么集合 A∩B= A．(1，4) B．{2} C．{1，2} D．{1，2，4} 2．若 z(2－i)2=－i(i 是虚数单位)，则复数 z 的模为 A． B． C． D． 3．已知 ，则 cos2α== A．0 B．1 C． D． 4．已知平面向量 a，b 满足(a+b)·b=2，且 ， ，则 A． B． C．1 D． 1 2 1 3 1 4 1 5 sin( ) cos( )3 3 π πα α+ = − 2 2 3 2 1a = 2b = a b+ = 3 2 2 32 5．己知 是定义域为 R 的奇函数，若 为偶函数，f(1)=1，则 f(2019)+f(2020)= A．－2 B．－1 C．0 D．1 6．已知点 F1(－3，0)，F2(3，0)分别是双曲线 C： (a＞0，b＞0)的左、右焦 点，M 是 C 右支上的一点，MF1 与 y 轴交于点 P，△MPF2 的内切圆在边 PF2 上的切点为 Q，若 ，则 C 的离心率为 A． B．3 C． D． 7．在二项式 的展开式中，各项系数的和为 128，把展开式中各项重新排列， 则有理项都互不相邻的概率为 A． B． C． D． 8．已知函数 f(x)=ax2－x－lnx 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 A．( ，1) B．(0，1) C．(－∞， ) D．(0， ) 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．CPI 是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项 目价格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第 n 月与去年第 n 月比； 环比，表示连续 2 个统计周期(比如连续两月)内的量的变化比．如图是根据国家统计局发 布的 2019 年 4 月—2020 年 4 月我国 CPI 涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下 列说法正确的是 ( )f x ( 5)f x + 2 2 2 2 1x y a b − = 2PQ = 5 3 3 2 5 2 1( )nx x + 4 35 3 4 3 14 1 14 1 e 2 1 e e + 2 1 e e +3 A．2020 年 1 月 CPI 同比涨幅最大 B．2019 年 4 月与同年 12 月相比较，4 月 CPI 环比更大 C．2019 年 7 月至 12 月，CPI 一直增长 D．2020 年 1 月至 4 月 CPI 只跌不涨 10．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在实数 H，使得对任意的 n∈N+，都有 ＜H， 则称数列{an}为“和有界数列”．下列说法正确的是 A．若{an}是等差数列，且公差 d=0，则{an}是“和有界数列” B．若{an}是等差数列，且{an}是“和有界数列”，则公差 d=0 C．若{an}是等比数列，且公比 ＜l，则{an}是“和有界数列” D．若{an}是等比数列，且{an}是“和有界数列”，则{an}的公比 ＜l 11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱 称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳 马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵 ABC-A1B1C1 中，AC⊥BC，且 AA1=AB=2．下列说法正确的是 A．四棱锥 B－A1ACC1 为“阳马” B．四面体 A1C1CB 为“鳖膈” C．四棱锥 B－A1ACC1 体积最大为 D．过 A 点分别作 AE⊥A1B 于点 E，AF⊥A1C 于点 F，则 EF⊥A1B 12．已知 ，下面结论正确的是 A．若 f(x1)=1，f(x2)=－1，且 的最小值为 π，则 ω=2 B．存在 ω∈(1，3)，使得 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称 C．若 f(x)在[0，2π]上恰有 7 个零点，则 ω 的取值范围是 D．若 f(x)在 上单调递增，则 ω 的取值范围是(0， ] nS q q 2 3 2( ) 1 2cos ( )( 0)3f x x πω ω= − + ＞ 1 2x x− 6 π 41 47[ , )24 24 [ , ]6 4 π π− 2 34 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ． 以 抛 物 线 y2=2x 的 焦 点 为 圆 心 ， 且 与 抛 物 线 的 准 线 相 切 的 圆 的 方 程 为 ______________． 14．我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳 恒山，中岳嵩山．某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字 1—5，他让甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下： 甲：2 是泰山，3 是华山； 乙：4 是衡山，2 是嵩山； 丙：1 是衡山，5 是恒山； 丁：4 是恒山，3 是嵩山； 戊：2 是华山，5 是泰山． 老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是__________． 15 ．己知函数 f(x)= ，若 0 ＜a ＜b ，且 f(a)=f(b) ，则 a+4b 的取值范围是____________． 16．已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为 O＇，在 平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆 C．如图椭 圆中心为 O ，球与地面的接触点为 E ，OE=3 ．若光线与地 面所成角为 θ ，则 sinθ=__________________ ， 椭圆的离心率 e=_____________________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分) 已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，a=2．设 F 为线段 AC 上一点，CF= BF．有 下列条件：①c=2；②b= ；③ ． 请从这三个条件中任选两个，求∠CBF 的大小和△ABF 的面积． 18．(12 分) 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S4，S2，S3 成等差数列，且 S4－a1=－18． (1)求数列{an}的通项公式； ln x 2 2 3 2 2 23a b ab c+ − =5 (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2020?若存在，求出符合条件的 n 的最小值；若不存在， 说明理由． 19．(12 分) 四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥面 ABCD，直角梯形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，点 M 在 PB 上且 PB=4PM．PB 与平面 PCD 所成角为 60°． (1)求证：CM∥面 PAD： (2)求二面角 B－MC－A 的余弦值． 20．(12 分) 某公司为研究某种图书每册的成本费 y(单位：元)与印刷数量 x(单位：千册)的关系，收集 了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 15.25 3.63 0.269 2085.5 －230.3 0.787 7.049 表中 ， (1)根据散点图判断：y=a+bx 与 y=c+ 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费 y 与 印刷数量 x 的回归方程?(只要求给出判断，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程(结果精确到 0.01)； (3)若该图书每册的定价为 9．22 元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于 80000 元?(假设能够全部售出，结果精确到 1) x y u 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 1 ( ) ( )i i i x x y y = − ⋅ −∑ 8 2 1 ( )i i u u = −∑ 8 1 ( ) ( )i i i u u y y = − ⋅ −∑ 1 i i u x = 8 1 1 8 i i u u = = ∑ d x6 附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为 ， ． 21．(12 分) 已知椭圆 C： (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2 点．M 为椭圆上的一动点，△ MF1F2 面积的最大值为 4．过点 F2 的直线 l 被椭圆截得的线段为 PQ，当 l⊥x 轴时， ． (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 F1 作与 x 轴不重合的直线 l，l 与椭圆交于 A，B 两点，点 A 在直线 x=－4 上的投 影 N 与点 B 的连线交 x 轴于 D 点，D 点的横坐标 x0 是否为定值?若是，求出定值；若不 是，请说明理由． 22．(12 分) 已知函数 f(x)=lnx－x+1． (1)求 f(x)的最大值； (2)设函数 g(x)=f(x)+a(x－1)2，若对任意实数 b∈(2，3)，当 x∈(0，b]时，函数 g(x)的最大 值为 g(b)，求 a 的取值范围； (3)若数列{an}的各项均为正数，a1=1，an+1=f(an)+2an+1(n∈N+)．求证：an≤2n－1．  v α βω= +  1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i v vω ω β ω ω = = − − = − ∑ ∑  vα βω= − 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2PQ =7 2020 届高三模拟考试 数学试题答案 2020.06 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B C D B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 AB BC ABD BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. ；14.5；15. ；16. （本题题每一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.【解析】解析：选①②，则 . 由余弦定理可得 ……………………………………2 分 又 所以 …………………………………………………………………………4 分 在 中，由正弦定理 可得 ，…………………………………………………………………6 分 又 ，………………………………………7 分 所以 ，所以 2 21 12x y − + =   ( )5 + ∞， 4 3 5 5 ， 2, 2 3a c b= = = 2 2 2 1cos 2 2 a c bABC ac + −∠ = = − ( ) 20, 3ABC ABC ππ∠ ∈ ∠ =，所以 6A C π= = BCF∆ 2sin sin CF BF CF BFCBF C = =∠ ，及 2sin 2CBF∠ = 2 3 4CBF CBA CBF π π∠ < ∠ = ∠ =，所以 5 12ABF AFB π∠ = ∠ = 2AF AB= =8 所以 …………………………………………………………10 分 选②③，因为 ，所以 . 由余弦定理可得 …………………………………………2 分 又 ，所以 所以 ……………………………………………4 分 在 中，由正弦定理 可得 ，…………………………………………………………………6 分 又 ，所以 ，………………………………………7 分 所以 ，所以 所以 …………………………………………………………10 分 选①③，由余弦定理可得 ，………………………………………………………………2 分 因为 ， 所以 ……………………………………………………………4 分 在 中，由正弦定理 ， 可得 ，……………………………………………………………………6 分 又 ，…………………………………………7 分 1 2 2sin 12 6ABFS π ∆ = × × = 2 2 22, 2 3, 3a b a b ab c= = + − = 2c = 2 2 2 3cos 2 2 a b cC ab + −∠ = = ( )0,C π∈ 6C π= 2,6 3A C ABC A C π ππ= = ∠ = − − = BCF∆ 2sin sin CF BF CF BFCBF C = =∠ ，及 2sin 2CBF∠ = 2 3CBF CBA π∠ < ∠ = 4CBF π∠ = 5 12ABF AFB π∠ = ∠ = 2AF AB= = 1 2 2sin 12 6ABFS π ∆ = × × = 2 2 2 3cos 2 2 a b cC ab + −= = ( )0, 6C C ππ∈ =，所以 , 6a c A C π= = =所以 2 3ABC A C ππ∠ = − − = BCF∆ 2sin sin CF BF CF BFCBF C = =∠ ，及 2sin 2CBF∠ = 2 3 4CBF CBA CBF π π∠ < = ∠ =，所以9 所以 所以 …………………………………………………………10 分 18.【解析】 （1）设等比数列 的公比为 q，则 . 由题意得 即 ………………………………………………………………2 分 解得 ………………………………………………………………………………4 分 故数列 的通项公式为 .……………………………………………5 分 （2）由（1）有 .………………………………………6 分 假设存在 ，使得 ， 即 .…………………………………………………………………………7 分 当 为偶数时， ，上式不成立；………………………………………………8 分 当 为奇数时， ， 解得 .…………………………………………………………………………………10 分 综上，存在符合条件的正整数 ，最小值为 11.…………………………………………12 分 19.【解析】 解析：（1）在线段 AB 上取一点 N，使 ， 因为 ，所以 ， 所以 为平行四边形， 所以 CN//AD，………………………………………2 分 5 212ABF AFB AF AB π∠ = ∠ = = =，所以 1 2 2sin 12 6ABFS π ∆ = × × = { }na 1 0, 0a q≠ ≠ 2 4 3 2 2 3 4 , 18, S S S S a a a − = −  + + = − 2 3 2 1 1 1 2 3 1 1 1 18 a q a q a q a q a q a q − − = + + = − 1 3, 2. a q =  = − { }na ( ) 13 2 n na −= × − ( ) ( ) ( )3 1 2 1 21 2 n n nS  − − = = − −− − n ( )2020 1 2 2020n nS ≥ − − ≥，则 ( )2 2019n− ≤ − n ( )2 0n− > n ( )2 2019 2 2019n n n− = −2 ≤ − ≥，即 11n ≥ n 1AN CD= = / /CD AB / /CD AN ANCD10 在三角形 ABP 中， ，所以 MN//AP， 所以平面 MNC//平面 PAD，又 平面 MNC， 所以 CM//平面 PAD…………………………………………………………………………4 分 （2）以 C 为原点，CB，CD，CP 所在直线为 轴 轴 轴， 面 ABCD，所以 ， 又因为 ，所以 面 ， 所以 在面 PCD 的射影为 PC， 所以 与平面 PCD 所成角， 所以 ………………6 分 所以 ， . 面 法向量 ，……………………………………………………………8 分 面 法向量 ，所以 ，……………………………………………10 分 所以 ， 所以二面角 所成角的余弦值为 …………………………………………12 分 20.【解析】 （1）由散点图判断， 更适合作为该图书每册的成本费 y（单位：元）与印刷数 量 （单位：千册）的回归方程.…………………………………………………………2 分 （2）令 ，先建立 y 关于 u 的线性回归方程， 1 4 MP AN PB AB = = CM ⊂ x y z PC ⊥ PC CB⊥ BC CD⊥ BC ⊥ PCD PB BPC PB∠ 为 60 , 2 3BPC BC∠ = = ( ) ( ) ( ) ( )3 32 3,0,0 , 0,0,2 , ,0, , 2 3,4,0 , 0,1,02 2B P M A D       3 3 3 3 3,0, , , 4,2 2 2 2CM AM    = = − −            BMC ( )1 0,1,0n = AMC ( )2 , ,n x y z= 2 2 0 0 n AM n CM  ⋅ = ⋅ =   ( )2 2 3, 3, 2n = − − 1 2 3cos , 5n n = − B MC A− − 3 5 dy c x = + x 1u x =11 由于 ，………………………………………………………4 分 所以 ，……………………………………6 分 所以 y 关于 u 的线性回归方程为 ， 所以 y 关于 x 的回归方程为 …………………………………………8 分 （3）假设印刷 千册，依题意得 ，…………………10 分 解得 ， 所以至少印刷 11120 册才能使销售利润不低于 80000 元.………………………………12 分 21.【解析】 （1）由题意： 的最大面积 ……………………2 分 又 ，联立方程可解得 ， 所以椭圆的方程为 …………………………………………………………4 分 （2）D 的横坐标为定值 ，理由如下： 已知直线斜率不为零， ， 得 ，…………………………5 分 设 均不为零 ①， ②，………………………………………………6 分 两式相除得 ③………………………………………………………………7 分 的方程 ，令 ，  7.049 8.957 8.960.787d = ≈ ≈  3.63 8.957 0.269 1.22c y d u= − ⋅ = − × ≈  1.22 8.96y u= +  8.961.22y x = + x 8.969.22 1.22 80x xx  − + ≥   11.12x ≥ 1 2MF F∆ 224, 2 2bS bc PQ a = = = = 2 2 2a b c= + 2 2, 2a b= = 2 2 18 4 x y+ = 3− 2 2 : 2 18 4 x yAB x my= − + =代入 ( ) ( )2 2 2 22 2 8 0 2 4 4 0my y m y my− + − = + − − =整理 ( ) ( )1 1 2 2 1 2, , , ,A x y B x y y y，可知 1 2 2 4 2 my y m + = + 1 2 2 4 2y y m −= + 1 2 1 2 y y my y + = − ( )14,N y BN− ∴ 设 ( )2 1 1 2 44 y yy y xx −− = ++ 0y =12 ④ ………………………………………………………………………………………………10 分 将③代入④ 点的横坐标为定值 ………………………………………………………………………………………………12 分 22.【解析】 （1） 的定义域为 ， 当 单调递增； 当 单调递减， 所以 …………………………………………………………………3 分 （2）由题意 ………4 分 ①当 时，函数 上单调递增，在 上单调递减，此时，不存在实 数 ，使得当 时，函数 的最大值为 .……………………5 分 ②当 时，令 ， （i）当 时，函数 在 上单调递增，显然符合题意. （ii）当 时，函数 上单调递增，在 上单调递减， 处取得极大值，且 ， 要使对任意实数 时，函数 的最大值为 ，只需 ， 解得 ，所以此时实数 的取值范围是 . ( )1 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 44 4 2 44 y my yy x y y x y my y y yx y y y y y y y y − − −− − − − − + −∴ = − = = =− − − − 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 4 3 3 3y y y y y yx Dy y y y + + − −= = = − ∴− − 3− ( )f x ( ) ( ) 1 10, , 1 xf x x x −′+∞ = − = ( ) ( ) ( )0,1 0,x f x f x′∈ >时， ( ) ( ) ( )1, 0,x f x f x′∈ +∞ 0a ≤ ( ) ( )01g x 在 ， ( )1 + ∞， ( )2,3b∈ ( ]0,x b∈ ( )g x ( )g b 0a > ( ) 1 2 10 1, 2g x x x a ′ = = =，有 1 2a = ( )g x ( )0,+∞ 1 11 02 2aa > <    ( ) 1 1ln 2 02 2h a h > = − >   1 2a > a [ )1 ln 2,− +∞ { }na 1 11, ln 2n n na a a a+= = + + ( ) ( )ln 1 1 0f x x x f= − + ≤ = ( )ln 1 0x x x≤ − > ( )10, ln 2 1 2 2 1n n n n n n na a a a a a a+> = + + ≤ − + + = + ( )1 1 2 1n na a+ + ≤ + ( ) ( ) ( )2 1 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2n n n n nn a a a a− − −≥ + ≤ + ≤ + ≤ ⋅⋅⋅ ≤ + =时， 2 1 1n na n≤ − =，对 ( )2 1n na n N ∗≤ − ∈