青岛市 2020 年高三自主检测
数学试题
2020.06
本试题卷共 6 页， 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位
置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择
题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的
四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．若复数 （i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面上对应的点所在
的象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.已知全集 U=R，集合 ，集合
,则
3.右表是一个 2×2 列联表，则表中 a， b 处的值分别为
A． 96， 94
B． 60， 52
C． 52，54
3
2
1
iz i
= +
2{ | 0}M x R x x= ∈ − ≤
{ | cos , }N y R y x x R= ∈ = ∈ ( )UC M N∩ =
A. [ 1,0) B. (0,1) C. ( ,0) D. − −∞ ∅D． 50， 52
4.若直线 .p：a=0，q：l1 与 l2 平
行，则下列选项中正确的
A． p 是 q 的必要非充分条件
B． q 是 p 的充分非必要条件
C．p 是 q 的充分非必要条件
D． q 是 p 的非充分也非必要条化
5.在△ABC 中，如果 ，那么△ABC 的形状为
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种。现有十
二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和
羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物
珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有
A． 50 种
B． 60 种
C． 80 种
D． 90 种
7.在三棱柱 中， AB=BC=AC，侧棱 ⊥底面 ABC，若该三棱
柱的所有顶点都在同一个球 O 的表面上，且球 O 的表面积的最小值为 4π，则该
三棱柱的侧面积为
A． 6 3
B． 3 3
C． 3 2
D．3
8.已知函数 ，若函数 有
13 个零点，则实数 k 的取值范围为
2
1 2: 3 2 0, : 2 5 0l a x y l ax y a− + = + − =
cos(2 ) cos 0B C C+ + >
1 1 1ABC A B C− 1AA
2( 6) , 7 5( )
( 2), 5
x xf x
f x x
+ − ≤ < −= − ≥ −
( ) ( ) | ( 1) |g x f x k x= − +二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的
四个选项中，有多页符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，
有选错的得 0 分。
9.将函数 的图象向右平移 π
12个单位长度得到函数 y=g
（x）的图象，若函数 g（x）在区间 上是单调增函数，则实数 ω 可能的取
值为
A．2
3 В． 1
C． 5
6 D． 2
10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩。
《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创
作于公元五世纪。书中有如下问题： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，
今一月织九匹三丈，问日益几何？ ”。其大意为： “有一女子擅长织布，织
布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一
天织 5 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺
布？”。已知 1 匹=4 丈， 1 丈=10 尺，若这一个月有 30 天，记该女子这一个
月中的第 n 天所织布的尺数为 ，对于数列 ，下列选项中正
确的为
A．
B． 是等比数列
C．
D
11．已知曲线 上存在两条斜率为 3 的不同切线，且
切点的横坐标都大于零，则实数 a 可能的取值
1 1 1 1.( , ) B. [ , )8 6 8 6A 1 1 1 1.( , ] [ , )6 8 8 6C − − ∪ 1 1 1 1.( , ) ( , )6 8 8 6D − − ∪
( ) sin ( 0)f x xω ω= >
[0, ]2
π
, 2 na
n na b = |{ },{ }n na b
10 58b b=
{ }nb
1 30 105a b =
3 5 7
2 4 6
209
193
a a a
a a a
+ + =+ +
3 22( ) 13f x x x ax= − + −12.在如图所示的棱长为 1 的正方体 中，点 P 在侧面
所在的平面上运动，则下列命题中正确的
A．若点 P 总满足 PA⊥BD，则动点 P 的轨迹是一条直线
B．若点 P 到点 A 的距离为 2，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2π 的圆
C．若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是
椭圆
D．若点 P 到直线 AD 与直线 的距离相等，则动点 P 的轨迹是双曲线
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围
为________
14.已知定义在 的偶函数 f（x）在 单调递减，
，若 ，则 x 取值范围________
15.若 ，则
(1) ________； (2)
________（本题第一个空 2 分，第二个空 3 分）
16.已知 是平面上不共线的两个向量，向量 与 共面，若
， 与 的夹角为π
3， 且 ，则 =________
19 10 9, B. 3 C. D. 6 3 2A
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1BCC B
1CC
2 2
11
x y
m m
+ =−
( , )−∞ +∞ [0, )+∞
1( 1) 2f − = − 1(2 1) 2f x − ≥ −
17 2 16 17
0 1 2 16 17(2 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x a a x a x a x a x− = + + + + + + + + +
0 1 2 16a a a a+ + +…+ = 1 2 3 162 3 16a a a a+ + +…+ =
1 2,e e b
1 2,e e
1 2| | 1,| | 2e e= =
1e
2e
1 21, 2b e b e⋅ = ⋅ = b四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤。
17. (10 分)
如图，在直角梯形 中，
,点 B 是线段 的中点，将
分别沿 AB， BC 向上折起， 使OO重合于点 O，得到三棱锥 O—
ABC．试在三棱锥 O—ABC 中,
(1)证明：平面 AOB⊥平面 BOC；
(2)求直线 OC 与平面 ABC 所成角的正弦值．
18． (12 分)
已知 为等差数列， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，
且 中的任何两个数都不在下表的同一列．
请从 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的
数列 存在；并在此存在的数列 中，试解答下列两个问题
（1）求数列 的通项公式；
1 2AO O C
1 2 1 1 2 1 2 2 1/ / , , 4, 2, 4AO CO AO O O O O CO AO⊥ = = = 1 2O O
1 2,ABO BCO∆ ∆
{ }na 1 2 3, ,a a a
1 2 3, ,a a a
1 1 12, 1, 3a a a= = =① ② ③
{ }na { }na
{ }na(2)设数列 满足 ,求数列 的前 n 项和 Tn．
19． （12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,
（1）若△ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：① a=7， ②b=10，
③c=8， ④△ABC 的面积 ，请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若 a=3，求△ABC 周长 L 的取值范围．
20． (12 分)
某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：
从该市随机抽取 10 户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计
表如下：
（1）求一户居民年用气费 y （元）关于年用气量 x （立方米）的函数关系
式；
（2）现要在这 10 户家庭中任意抽取 3 户，求抽到的年用气量超过 228 立
方米而不超过 348 立方米的用户数的分布列与数学期望；
（3）若以表中抽到的 10 户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全
市中依次抽取 10 户，其中恰有 k 户年用气量不超过 228 立方米的概率为 P
（k），求 P（k）取最大值时的值．
{ }nb 1 2( 1)n
n nb a+= − { }nb
sin sin sin
cos cos cos
A B C
A B C
+= +
10 3S =21． （12 分）
已知函数 ，（其中 e＝2．71828…是自然对数的底数），
， ．
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
（2）设函数 h（x）＝g（x）－f（x），若 h（x）＞0 对任意的 恒
成立，求实数 a 的取值范围．
22． （12 分）
已知直线 过坐标原点 O 且与圆 相交于点 A， B，圆 M 过点
A， B 且与直线 y＋2＝0 相切．
（1）求圆心 M 的轨迹 C 的方程；
（2）若圆心在 x 轴正半轴上面积等于 2π 的圆 W 与曲线 C 有且仅有 1 个公
共点．
（i）求出圆 W 标准方程；
（i）已知斜率等于－1 的直线 ，交曲线 C 于 E，F 两点，交圆 W 于 P，
Q 两点，求 的最小值及此时直线 的方程．
( ) lnxf x ae x=
2( ) lng x x x a= + 0a >
(0,1)x∈
1l 2 2 4x y+ =
2l
| |
| |
EF
PQ 2l
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