高三数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1-3 页，第Ⅱ
卷 3-6 页，共 150 分，测试时间 120 分钟.
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.若全集 则集合 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据补集、并集的定义计算即可；
【详解】解：因为
所以 ，
所以
故选：D
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2.已知实数 x，y 满足 则“ 是 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由对数的性质分析可得“若 ，则 ”和“若 ，即
{1,2,3,4,5,6 {1,3,4} {2,3,4},}U M N= = =， ， ( ) ( )U UC M C NÈ
{5,6} {1,5,6} {2,5,6} {1 2 5 6}，，，
{1,2,3,4,5,6 {1,3,4} {2,3,4},}U M N= = =， ，
{ }2,5,6UC M = { }1,5,6UC N =
( ) ( ) { }1,2,5,6UUC NM C =
1, 0,x y> > x y< log 1x y >
x y< log log 1x xy x> = log 1x y >，必有 ”，结合充分、必要条件的定义分析可得答案.
【详解】根据题意，实数 满足 ，
若 ，即 ，则 ，则“ ”是“ ”的充分条件，
反之若 ，即 ，由 ，则必有 ，则“ ”是
“ ”的必要条件，
故“ ”是“ ”的充要条件；
故选：C
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数函数的单调性，属于基础题.
3.欧拉公式 ，把自然对数的底数 e，虚数单位 i，三角函数 和 联
系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数 z 满足 则 | z | =（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由新定义将 化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出 后再求模．
【详解】由欧拉公式 有： .
由 ，即
所以 ，即
所以
故选：A
【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义
化 为代数形式，然后求解．属于中档题.
4.设 ， ， ，若 ，则 与 的夹角余弦值为（ ）
log log 1x xy x> = x y<
,x y 1, 0x y> >
x y< 1 x y< < log log 1x xy x> = x y< log 1x y >
log 1x y > log log 1x xy x> = 1x > x y< x y<
log 1x y >
x y< log 1x y >
cos sinie iθ θ θ= + cosθ sinθ
( ) 1ie z i iπ − ⋅ = +
5 2 2 2
ie π z
cos sinie iθ θ θ= + cos sin 1ie iπ π π= + = −
( ) 1ie z i iπ − ⋅ = + ( 1 ) 1z i i− − ⋅ = +
11 1iz ii
+− − = = − 2z i= − +
( )2 22 1 5z = − + =
ie π
( )1,3a = − ( )1,1b = c a kb= + b c⊥ a cA. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ， ，表示 的坐标，再由 建立方程求得 k，得到 的坐标，然后
利用夹角公式求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 与 的夹角余弦值为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
5.已知 α 终边与单位圆的交点 且 ，则
的值等于（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
5
5
2 5
5
2
3
2 2
3
( )1,3a = − ( )1,1b = c b c⊥ c
( )1,3a = − ( )1,1b =
( )1 ,3c a kb k k= + = − + +
b c⊥
( ) ( )1 1 3 1 0k k− + × + + × =
1k = −
( )2,2c = −
8, 10, 2 2a c a c⋅ = = =
8 2 5cos , 510 2 2
a ca c
a c
⋅= = =
⋅⋅
a c 2 5
5
3,- 5P x
， sin cos 0α α⋅ > 1 sin 2 2 2cos2α α− + +
9
5
7
5
6
5先根据三角函数的定义得 的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可
求解.
【详解】因为 终边与单位圆 交点 ，且 ，
所以 ， ，则
.
故选：A.
【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.
6.某中学共有 1000 人,其中男生 700 人,女生 300 人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时
间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体
育锻炼时间不少于 4 小时）,现在用分层抽样的方法从中收集 200 位学生每周平均体育锻炼时
间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有 40 位女生的每周
平均体育锻炼时间超过 4 小时,根据独立性检验原理（ ）
附： ,其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005
的
sin ,cosα α
α 3, 5P x − sin cos 0α α⋅ >
3sin 5
α = − 4cos 5
α = −
1 sin 2 2 2cos2α α− + +
( )1 2sin cos 2 1 cos2α α α= − ⋅ + +
( )2 2sin cos 4cosα α α= − +
1 8 9sin cos 2 cos 5 5 5
α α α= − + = + =
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a c b d a d b c
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥2.706 3.841 6.635 7.879
A. 有 95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B. 有 90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C. 有 90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D. 有 95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算 ,结合表中的数据判断即可.
【 详 解 】 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 平 均 体 育 锻 炼 时 间 不 少 于 4 小 时 的 频 率 为
,故经常进行体育锻炼的学生 人.
又其中有 40 位女生的每周平均体育锻炼时间超过 4 小时,故有 位男生经常锻
炼 . 根 据 分 层 抽 样 的 方 法 可 知 , 样 本 中 男 生 的 人 数 为 , 女 生 有
.列出 列联表有：
男生 女生 总计
经常锻炼 110 40 150
不经常锻炼 30 20 50
总计 140 60 200
故 ,因为 .
故有 90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”.
0k
2K
( )2 0.15 0.125 0.075 0.025 0.75× + + + = 200 0.75 150× =
150 40 110− =
700 200 1401000
× =
300 200 601000
× = 2 2×
( )2
2 200 110 20 30 40 3.17140 60 150 50K
× − ×= ≈× × × 2.706 3.17 3.841<
(1, )+∞ ( ,1)−∞ (0, )+∞ ( ,0)−∞
( ) ( ) 1
x
f xg x e
+= ( )g x ( )0g ( ) 1 3 xf x e+ >
( ) ( ) 1
x
f xg x e
+= ( ) ( ) ( ) 1 0x
f x fx eg x′ − −= >′ ( )g x R
( ) ( )
0
0 10 3fg e
+= = ( ) 1 3 xf x e+ > ( ) 1 3x
f x
e
+ > ( ) ( )0g x g> 0x >
1a b+ =
1
4
+a b 2
1 1
a b
+ 2 2a b+ 1
2【答案】AB
【解析】
【分析】
对 A,根据基本不等式求 的最大值；
对 B,对 平方再利用基本不等式求最大值；
对 C,根据 再展开求解最小值；
对 D,对 平方再根据基本不等式求最值.
【详解】对 A, ,当且仅当 时取等号.故 A 正确.
对 B, ,故 ,当且仅当
时取等号.故 B 正确.
对 C, .当且仅当 时取等号.
所以 有最小值 4.故 C 错误.
对 D, ,即 ,故 有最小
值 .故 D 错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利
用基本不等式.属于中档题.
10.直线 与圆 C： 相交于 A、B 两点,则 AB 长度可能为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求得圆心到直线 的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长 的范围即可.
ab
+a b
( )1 1 1 1 a ba b a b
+ = + +
1a b+ =
2 21 1
2 2 4
a bab
+ ≤ = =
1
2a b= =
( )2
2 2a b a b ab a b a b+ = + + ≤ + + + = 2a b+ ≤ 1
2a b= =
( )1 1 1 1 2 2 2 4b a b aa ba b a b a b a b
+ = + + = + + ≥ +
⋅ =
1
2a b= =
1 1
a b
+
( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 2 1a b a ab b a a b b+ = ⇒ + + = ≤ + + + 2 2 1
2a b+ ≥ 2 2a b+
1
2
1y kx= − ( ) ( )2 23 3 36x y+ + − =
1y kx= − AB【详解】因为直线 过定点 ,故圆 的圆心 到直线 的距离的
最 大 值 为 . 又 圆 的 半 径 为 6, 故 弦 长 的 最 小 值 为
.
又当直线 过圆心时弦长 取最大值为直径 12,故 .
故选：BC
【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距
离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.
11.CPI 是居民消费价格指数(comsummer priceindex)的简称.居民消费价格指数是一个反映居
民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的
2019 年 4 月——2020 年 4 月我国 CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019 年 6 月与 2018 年
6 月相比较，叫同比；2019 年 6 月与 2019 年 5 月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列
结论正确的是（ ）
A. 2019 年 4 月至 2020 年 4 月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌
B. 2019 年 4 月居民消费价格同比涨幅最小，2020 年 1 月同比涨幅最大
C. 2020 年 1 月至 2020 年 4 月 CPI 只跌不涨
D. 2019 年 4 月至 2019 年 6 月 CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据同比和环比的概念结合折线图，对各选项逐一分析，即可得到正确选项.
【详解】根据同比折线图可知：
2019 年 4 月至 2020 年 4 月各月与去年同期都是涨，只是涨的幅度有大有小，
1y kx= − ( )0, 1− C ( )3,3− 1y kx= −
( ) ( )2 23 0 1 3 5− − + − − = C AB
2 22 6 5 2 11− =
1y kx= − AB 2 11,12AB ∈ 其中，2019 年 4 月居民消费价格同比涨幅最小为 ，2020 年 1 月同比涨幅最大为 ，
故 A 错误，B 正确；
根据环比折线图可知：
2020 年 1 月至 2020 年 4 月 CPI 有跌有涨，故 C 错误；
2019 年 4 月至 2019 年 6 月 CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳，故 D 正确.
故选：BD.
【点睛】本题主要考查统计中的折线图，同时考查对图表的分析与数据处理能力，属于基础
题.
12.抛物线 的焦点为 F，P 为其上一动点，设直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，
点 下列结论正确的是（ ）
A. |PM| +|PF|的最小值为 3
B. 抛物线 C 上的动点到点 的距离最小值为 3
C. 存在直线 l，使得 A，B 两点关于 对称
D. 若过 A、B 的抛物线的两条切线交准线于点 T，则 A、B 两点的纵坐标之和最小值为 2
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质对每个命题进行判断．
【详解】A．设 是抛物线的准线，过 作 于 ，则 ，
当且仅当 三点共线时等号成立．所以 最小值是 3，A 正确；
B．设 是抛物线上任一点，即 ，
2.5% 5.4%
2 4C x y=：
( )2 2 ,M ，
( )0,3H
3 0x y+ − =
l P PN l′⊥ N 3PM PF PM PN+ = + ≥
, ,P M N PM PF+
( , )P x y 2 4x y=， 时， ，
B 错误；
C．假设存在直线 ，使得 A，B 两点关于 对称，设 方程 ，由
得 ，
所以 ， ，设 ，则 ， 中点为
，则 ， ， 必在直线 上，
所以 ， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；
D．设 ，由 即 ，得 ，则切线 方程为
，
即 ，同理 方程是 ，
由 ，解得 ，由题意 在准线 上，
所以 ， ，
所以 ，
所以 时， 为最小值．D 正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛
物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．
第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知双曲线 C 过点 且与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 C 的标
准方程为______.
为
2 2 2 2( 3) 4 ( 3) ( 1) 8PH x y y y y= + − = + − = − + 1y =
min 8 2 2PH = =
l 3 0x y+ − = l 0x y m− + =
2 4
0
x y
x y m
=
− + =
2 4 4 0x x m− − =
16 16 0m∆ = + > 1m > − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 4x x+ = AB
0 0( , )Q x y 1 2
0 22
x xx
+= = 0 0 2y x m m= + = + Q 3 0x y+ − =
2 2 3 0m+ + − = 1m = − l
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 4x y= 21
4y x= 1
2y x′ = AT
1 1 1
1 ( )2y y x x x− = −
2
1 1
1 1
2 4y x x x= − BT 2
2 2
1 1
2 4y x x x= −
2
1 1
2
2 2
1 1
2 4
1 1
2 4
y x x x
y x x x
= −
= −
1 2
1 2
1 ( )2
1
4
x x x
y x x
= +
=
T 1y = −
1 2
1 14 x x = − 1 2 4x x = −
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1( ) [( ) 2 ] ( ) 24 4 4y y x x x x x x x x+ = + = + − = + +
1 2 0x x+ = 1 2 2y y+ =
( )2 3, 1 ,− 2 2
112 6
x y− =【答案】
【解析】
【分析】
设所求双曲线方程为 ，代入所过点的坐标，可求解．
【详解】由题意设所求双曲线方程为 ，因为双曲线过点
所以 ， ，所以双曲线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程，掌握渐近线的定义是解题关键是．与双曲线
共渐近线的双曲线方程可设为 ．
14.已知 为奇函数，当 时 则曲线 在 处的切
线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质，求出 时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐
标，进而可求切线方程．
【详解】 为奇函数，当 时
可得 ，
根据奇函数性质
可得：
，可得
2 2
110 5
x y− =
2 2
12 6
x y k− =
2 2
12 6
x y k− = ( )2 3, 1 ,−
12 1
12 6 k− = 5
6k = 2 2 5
12 6 6
x y− =
2 2
110 5
x y− =
2 2
110 5
x y− =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2
x y ma b
− =
)(f x 0x < 3, ( ) 2 ,xf x ex e−= + ( )y f x= ( )( )1, 1f
2y ex e= −
0x >
)(f x 0x < 3, ( ) 2 ,xf x ex e−= +
0x > 30, ( ) ( ) 2 ,xx f x e x e− < − = − +
( ) ( )f x f x− = −
3( ) ( ) 2 xf x e x e− = − +
∴ 3( ) 2 xf x ex e= − 1(1) 2 =f e e e= − −故：
曲线 在 处的切线方程是：
整理可得：
故答案为：
【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的
斜率是关键，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
15.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数 ，已知函数
的图象向右平移 个单位后，与纯音的数学模型函数
图象重合，则 ______，若函数 在 是减函数，则 的最大值是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
将函数 的图象向左平移 个单位后可得到函数 的图象，结合诱导公式可
求得 的值，求得函数 的单调递减区间，由 属于该区间求得 的值，再由区
间的包含关系可求得 的最大值.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后可得到函数 的图象，
则 ，
又 ， ，
令 ，解得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，
2( ) 3 2 xf x ex e′ = −
∴ (1) 3 2f e e e′ = − =
∴ ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )1y e e x+ = −
2y ex e= −
2y ex e= −
siny A tω=
( ) ( )( )2cos 2f x x ϕ π ϕ π= + − ≤ ≤
3
π
2sin 2y x= ϕ = ( )f x [ ],a a− a
6
π
12
π
2sin 2y x=
3
π ( )y f x=
ϕ ( )y f x= 0x = k
a
2sin 2y x=
3
π ( )y f x=
( ) 22sin 2 2sin 2 2sin 2 2cos 23 3 6 2 6f x x x x x
π π π π π = + = + = + + = +
( ) ( )( )2cos 2f x x ϕ π ϕ π= + − ≤ ≤
6
πϕ∴ =
( )2 2 26k x k k Z
ππ π π≤ + ≤ + ∈ ( )5
12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
( )y f x= ( )5,12 12k k k Z
π ππ π − + ∈ 由 ，可得 ，
由于函数 在区间 上单调递减，则 ，
所以， ，解得 ，则 的最大值为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求
参数，考查计算能力，属于中等题.
16.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与
相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个
鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 中，
且有鳖臑 C1-ABB1 和鳖臑 ，现将鳖臑
沿线 BC1 翻折，使点 C 与点 B1 重合，则鳖臑 经翻折后，与鳖臑 拼接成的
几何体的外接球的表面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】
( )50 ,12 12k k k Z
π ππ π ∈ − + ∈ 0k =
( )y f x= [ ],a a− [ ] 5, ,12 12a a
π π − ⊆ −
12
5
12
a
a
a a
π
π
− ≥ −
≤
− = =
⋅
A BD E− − A BD E− − 15
5
−
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2 2 24
3x y b+ =形 MNPQ 为正方形，△PF1F2 的周长为
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 若直线 AD 与直线 BD 的斜率之积为 ，
证明：直线恒过定点.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据四边形 MNPQ 为正方形，可得到关于 的一个方程，由△PF1F2 的周长为
得到关于 的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆 C 的方程.
（2）对直线 l 的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在
时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线 AD 与直线 BD 的
斜率之积为 转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论.
【详解】解：（1）
如图所示，设点 ，
由题意四边形 MNPQ 为正方形，所以 ，即 ，
因为点 在圆 上，所以 ，
即 ，又点 在椭圆 上，
所以 ，即 ，
( )2 2 1 .+
( ), 0, 1 ,D − 1
6
2
2 12
x y+ =
,a b
( )2 2 1+ ,a b
1
6
( )0 0,N x y
0 0x y= ( )0 0,N x x
( )0 0,N x x 2 2 24
3x y b+ = 2 2 2
0 0
4
3x x b+ =
2 2
0
2
3x b= ( )0 0,N x x ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2 2
0 0
2 2 1x x
a b
+ =
2
2
2 2 13 3
b
a
+ =所以 ①，
又△PF1F2 的周长为 ，
即 ②，
由①②解得 ， ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）①当直线 斜率不存在时，设 ： ， ， ，
因为点 在椭圆 上，
所以 ，即 ，
所以 不满足题意.
②当直线 斜率存在时，设 ： ，
， ，联立 ，
整理得 ，
所以 ， ，
则
，
将 ， 代入上式化简得：
.
2
2
1
2
b
a
=
( )2 2 1+
( )2 2 2 2 1a c+ = +
2 2a = 2 1b =
C
2
2 12
x y+ =
l l x m= ( ), AA m y ( ), AB m y−
( ), AA m y
2
2 12
x y+ =
2
2 12 Aym + =
2
2 1 2Ay m= −
2
2
1 1 1A A A
AD BD
y y yk k m m m
+ − + −⋅ = ⋅ =
2
2
1 12
2 6
m
m
= = ≠
l l ( )1y kx b b= + ≠ −
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 22 2 0
y kx b
x y
= +
+ − =
( )2 2 21 2 4 2 2 0k x kbx b+ + + − =
1 2 2
4
1 2
kbx x k
−+ = +
2
1 2 2
2 2
1 2
bx x k
−⋅ = +
1 2
1 2
1 1
AD BD
y yk k x x
+ +⋅ = ⋅
( )( ) ( )1 2 2 1
1 2
2 1kx b kx b k x x b
x x
+ + + + + + =
( )2 2
1 2 1 2
1 2
( ) 2 1k x x kb k x x b b
x x
+ + + + + +=
1 2 2
4
1 2
kbx x k
−+ = +
2
1 2 2
2 2
1 2
bx x k
−⋅ = +
1 2
1 2
1 1
AD BD
y yk k x x
+ +⋅ = ⋅ 2( 1) 1
2( 1)( 1) 6
b
b b
+= =+ −即 ，解得， ，
所以直线 恒过定点 .
【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，椭圆中直线恒过定点问题，属于中档题.
21.已知函数
（1）若 时 在 上的最小值是 ，求 a；
（2）若 ，且 x1，x2 是 的两个极值点，证明： （其
中 e 为自然对数的底数 ）
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数得出函数 的单调性，再由最值，解出 的值；
（2）由题意结合韦达定理得出 ， ， ，将
化简为 ，构造函数
，利用导数得出其最大值，进而得出
.
【详解】解：（1） 定义域是 ， .
令 ，对称轴
因为 ， ，所以当 时， ，即
所以 在 上单调递增.
解得 .
1 1
1 3
b
b
+ =− 2b = −
l ( )0, 2−
( ) ( )21 ln 2 04f x x ax a x a= − + ≠
0a < ( )f x [1, ]e 5 ln 24
−
a e≥ ( )f x ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2
1 22f x f x x x e+ < + −
, 2.71e ≈
1a = −
( )f x a
1 2 2x x a+ = 1 2 2x x a= 2 2 2
1 2 4 4x x a a+ = −
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2
1 22f x f x x x e+ − + + 2ln8 3 2a a a a e− + +
2( ) ln8 3 2 ( )g a a a a a e a e= − + + ≥
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2
1 22f x f x x x e+ < + −
( )f x ( )0,+¥
2 2 2'( ) 2 2
a x x ax af x ax x
− += − + =
2( ) 2 2g x x ax a= − + 0 0x a= <
1 a> ( )1 1 0g = > [ ]1,x e∈ ( ) 0g x > ( ) ( )
' 02
g xf x x
= >
( )f x [ ]1,e
min
1 5( ) (1) ln 2 ln 24 4f x f a a= = − + = −
1a = −（2）由 有两个极值点 ， ，则 在 有 2 个不等的实根
即 在 有 2 个不等的实根，则 ，解得 .
， ，
当 时，
令 ，
令
，当 时， ，所以 在 单调递减.
所以
即
所以 在 单调递减
所以 所以原式成立.
即 .
【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立
问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.
22.新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进
行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，
每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月
竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加
2020 年 6 月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近 5 个月参
( )f x 1x 2x ( )' 0f x = ( )0,+¥
2 2 2 0x ax a− + = ( )0,+¥
24 8 0
0
a a
a
∆ = − >
> 2a >
1 2 2x x a+ = 1 2 2x x a= ( )22 2 2
1 2 1 2 1 22 4 4x x x x x x a a+ = + − = −
a e≥ ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2
1 22f x f x x x e+ − + + ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2
1ln 4 24a x x a x x x x e= − + − + +
( ) ( )2 2 21ln8 2 4 4 2 ln8 3 24a a a a a e a a a a e a e= − − − + = − + + ≥
2( ) ln8 3 2 ( )g a a a a a e a e= − + + ≥ '( ) ln8 6 2( )g a a a a e= − + ≥
( ) '( ) ln8 6 2h a g a a a= = − +
1 1 6'( ) 6 ah a a a
−= − = a e≥ ( )' 0h a < ( )h a [ ),e +∞
( ) ( )h a h e≤
'( ) '( ) ln8 6 2 (1 3ln 2) 6 2g a g e e e e≤ = − + = + − +
3ln 2 6 3 3 6 3 6 6 0e e e= − + < − + = − <
( )g a [ ),e +∞
2 2( ) ( ) ln8 3 3 (1 3ln 2) 3 3g a g e e e e e e e e≤ = − + = + − +
(3ln 2 3 4) (3 3 4) (7 3 ) 0e e e e e e= − + < − + = − <
( ) 0g a <
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2
1 22f x f x x x e+ < + −与竞价的人数（如下表）
月份 2020.01 2020.02 2020.03 2020.04 2020.05
月份编号 1 2 3 4 5
竞拍人数
（万人）
0.5 0.6 1 1.4 1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数 y（万人）与月份编号 t 之间
的相关关系.请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程： ，并预测 2020 年 6 月份
（月份编号为 6）参与竞价的人数；
（2）某市场调研机构对 200 位拟参加 2020 年 6 月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调
查，得到如表所示的频数表：
报价区间
（万元）
频数 20 60 60 30 20 10
（i）求这 200 位竞价人员报价的平均值 和样本方差 s2（同一区间的报价用该价格区间的中
点值代替）
（ii）假设所有参与竞价人员的报价 X 可视为服从正态分布 且 μ 与 σ2 可分别由（i）
中所示的样本平均数 及 s2 估计.若 2020 年月 6 份计划提供的新能源车辆数为 3174，根据市
场调研，最低成交价高于样本平均数 ，请你预测（需说明理由）最低成交价.
参考公式及数据：
①回归方程 ，其中
t
y
ˆ bty a= +
[ )6,8 [ )8,10 [ )10,12 [ )12,14 [ )14,16 [ ]16,18
x
( )2, ,N µ σ
x
x
ˆˆ ˆy bx a= + 1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
=
=
− ⋅
= = −
−
∑
∑②
③若随机变量 X 服从正态分布 则
.
【答案】（1） ，20000 人.（2）（i）11 万元，6.8（ii）13.6 万元
【解析】
【分析】
（1）利用最小二乘法得出回归方程，并将 代入回归方程，即可预测 2020 年 6 月份（月
份编号为 6）参与竞价的人数；
（2）（i）由频数表中数据，利用平均数和方差的求解方法求解即可；
（ii）由题意得出竞拍成功的概率，根据正态分布的性质，即可确定最低成交价.
【详解】解：（1）根据题意，得： ，
，
则
从而得到直线的回归方程为
当 时， .
所以预测 2020 年 6 月份（月份编号为 6）参与竞价的人数为 20000 人.
（2）（i）根据表中给的数据求得平均值和方差为
（万元）.
.
5 5
2
1 1
55, 18.8, 6.8 2.6;i i i
i i
t x y
= =
= = ≈∑ ∑
( )2, ,N µ σ
( ) ( )0.6826, 2 2 0.9544,P X P Xµ σ µ σ µ σ µ σ− < < + = − < < + =
( )3 3 0.9974P Xµ σ µ σ− < < + =
ˆ 0.32 0.08y t= +
6t =
3t = 1.04y =
5
2
1
55i
i
t
=
=∑
5
1
18.8i i
i
t y
=
=∑
5
1
5 2
2 2
1
5 18.8 5 3 1.04 0.3255 5 35
i i
i
i
i
t y t y
b
t t
=
=
− ⋅ − × ×∴ = = =− ×−
∑
∑
ˆ 1.04 0.32 3 0.08a y bt= − = − × =
ˆ 0.32 0.08y t= +
6t = 2y =
20 60 60 30 20 107 9 11 13 15 17 11200 200 200 200 200 200x = × + × + × + × + × + × =
2 2 2 2 2 220 60 30 20 10( 4) ( 2) 0 2 4 6 6.8200 200 200 200 200s = × − + × − + + × + × + × =（ii）竞拍成功的概率为
由题意知
所以
所以
所以 2020 年 6 月份的预测的最低成交价 万元.
【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，正态分布的实际应用，计算平均数和方差，属于
中档题.
3174 0.158720000P = =
( )~ 11,6.8X N
( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < < + =
( ) 1 0.6826 0.15872P X µ σ −≥ + = =
13.6µ σ+ =
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