高三数学试题
2020.6
本试卷共 6 页，共 22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考
生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则
A． C. C．M∈N D．N∈M
2．函数 的图象在点 (e 为自然对数的底数)处的切线方程为
A． B. C． D．
3．已知 ，当复数 的模长最小时， 的虚部为
A． B．2 C． D.
4．已知 为两条不同的直线， 为三个不同的平面，则下列命题正确的是
A.若 B..若
C.若 D. 若
5．已知随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，如果 P(X≤1)=0.8413，则
A．0.3413 B．0.6826 C．0.1587 D．0.0794
6．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中．把部分与整体以某种方式
相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相
似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都
{ } { }4 1, , 2 1,M x x n n Z N x x n n Z= = + ∈ = = + ∈
M N⊆ N M⊆
lny x= x e=
1 0x ey e+ − + = 1 0x ey e− + − = 0x ey+ = 0x ey− =
x R∈ ( )2 3z x x i= + − z
2 2− 2i−
,m n , ,α β γ
/ / , / / , / /m n m nα α 则 , =m mα β γ β α γ β⊥ ⊥ ∩ ⊥，且 ，则
, , / / , / / , / /m n m nα α β β α β⊂ ⊂ 则 , / / ,m n m nα β α β⊥ ⊥ ⊥，则
( )1 0P X− < ≤ =在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是
由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图
1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图 2)，对其
余三个小三角形重复上述过程(如图 3)．
若图 1(阴影部分)的面积为 1，则图 4(阴影部分)的面积为
A. B. C. D.
7．已知抛物线 相交于 A，B 两点，点 M 为劣弧 上不
同 A，B 的一个动点，平行于 轴的直线 MN 交抛物线于点 N，则 的周长的取值范围
为
A．(3，5) B.(5，7) C．(6，8) D.(6，8]
8．已知点 O 是 内一点，且满足 ，则实数 m 的值为
A． B． C. 2 D．4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分．部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．2020 年 3 月 12 日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放 40 年，特别是党的十八
大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠
定了坚实的基础．下图是统计局公布的 2010 年～2019 年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．
则下面结论正确的是
A. 2010 年～2019 年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降
9
16
4
19
27
64
8
27
( )22 24 1 9C y x E x y= − + =： 与圆 ： AB
x MNE∆
ABC∆ 42 0, 7
AOB
ABC
SOA OB mOC S
∆
∆
+ + = =
4− 2−B．2012 年~2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万，且 2019 年贫困发生率最低
C．2010 年～2019 年十年间超过 1.65 亿人脱贫，其中 2015 年贫困发生率低于 6％
D．根据图中趋势线可以预测，到 2020 年底我国将实现全面脱贫
【年底贫困人口的线性回归方程为 (其中 )，贫困发生
率的线性回归方程为 (其中 )】
10．已知曲线 ，则下面结论正确的是
A．把 上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位
长度，得到曲线
B．把 上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位
长度，得到曲线
C．把 向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 倍．纵坐标
不变，得到曲线
D.把 向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不
变，得到曲线
11．已知曲线 ，则曲线 C
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D.所围成图形的面积为
12．已知函数 ．则下面结论正确的是
A． 是奇函数 B． 在 上为增函数
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 的展开式中， 的系数为__________．
1609.9 15768y x= − + 2009x = −年份
1.6729 16.348y x= − + 2009x = −年份
1 23sin , : 3sin 2 4C y x C y x
π = = + ：
1C 1
2 8
π
2C
1C 1
2 4
π
2C
1C 4
π 1
2
2C
1C 8
π 1
2
2C
2 2: 2 2C x y x y+ = +
x y
8 4π+
( ) x xf x e e x−= + +
( )f x ( )f x [ )0,+∞
0x ≠ 21 2f x ex
+ > +
( ) ( )1 1f x f− < − 0 x< < 2
( ) 10
2 12x x x
+ −
6x14．已知
________， ________．(本小题第一空 2 分，第二空 3 分)
15．已知 P，A，B，C 是球 O 的球面上的四个点， 平面
，则球 O 的表面积为__________．
16.已知函数 ．若 ，使得
，则实数 的最大值为__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)
如图，半圆 O 的直径 AB=2，点 C 在 AB 的延长线上，
BC=1，点 P 为半圆上异于 A，B 两点的一个动点，以
点 P 为直角顶点作等腰直角△PCD，且点 D 与圆心 O
分布在 PC 的两侧，设 ．
(1)把线段 PC 的长表示为 的函数；
(2)求四边形 ACDP 面积的最大值．
18．(12 分)
在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下
依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等， 表示第 行，第 列的数．已知
．
(1)求数列 的通项公式；
( ), , 0, ,sin sin sin ,cos cos cos cos2
πα β γ α γ β β γ α α β ∈ + = + = − = ，则
α β− =
PA ⊥ , 2 6,ABC PA BC= =
AB AC⊥
( ) ( ) ( )2 2 1, 4 12
xx xf x h x a ax
− += = − >− [ )1 23, ,x x∀ ∈ +∞ ∃ ∈[ )3,+∞
( ) ( )1 2f x h x= a
PAC θ∠ =
θ
( ),n ma n m
( ) ( ) ( )1,1 2,2 3,31, 4, 12a a a= = =
( ){ },2na(2)设 ，求数列 的前 n 项和 .
19．(12 分)
在如图所示的圆柱 中，AB 为圆 的直径， 的
两个三等分点，EA，FC，GB 都是圆柱 的母线．
(1)求证： 平面 ADE；
(2)设 BC=1，已知直线 AF 与平面 ACB 所成的角为 30°，求二面
角 A—FB—C 的余弦值．
20．(12 分)
在平面直角坐标系 中，
①已知点 ，直线 ，动点 P 满足到点 Q 的距离与到直线 的距离之比
为 ．
②已知点 是圆 上一个动点，线段 HG 的垂直平分
线交 GE 于 P．
③点 分别在 轴，y 轴上运动，且 ，动点 P 满足 ．
(1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
(2)设圆 上任意一点 A 处的切线交轨迹 C 于 M，N 两点，试判断以 MN 为直径
的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．
21．(12 分)
近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电
动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电
量 y 与行驶时问 (单位：小时)的测试数据如下表：
( ) ( )2 ,2 ,2
1
1log ,n nn n
n n
b a c a b b +
= = + { }nc nS
1 2O O 1O ,C D AB是
1 2O O
1 / /FO
xOy
( )3,0Q : 2 3l x = l
2
2
( )3,0 ,H G− 2 2: 2 3 21 0E x y x+ − − =
,S T x 3ST = 6 3
3 3OP OS OT= +
2 2: 2O x y+ =
x(1)根据电池放电的特点，剩余电量 y 与行驶时间 之间满足经验关系式： ，通过散
点图可以发现 y 与 之间具有相关性．设 ，利用表格中的前 8 组数据求相关系数 r，
并判断是否有 99％的把握认为 与 之间具有线性相关关系；(当相关系数 r 满足
时，则认为有 99％的把握认为两个变量具有线性相关关系)
(2)利用 的相关性及表格中前 8 组数据求出 之间的回归方程；(结果保留两位小数)
(3)如果剩余电量不足 0.8，电池就需要充电．从表格中的 10 组数据中随机选出 8 组，设 X 表
示需要充电的数据组数，求 X 的分布列及数学期望．
附：
相关数据： ．
表格中前 8 组数据的一些相关量：
，
，
相关公式：对于样本 ，其回归直线 的斜率和戗距的最小二
乘估计公式分别为： ，
相关系数 ．
22．(12 分)
已知函数 ，其中 e 是自然对数的底数， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，讨论函数 零点的个数，并说明理由．
x bxy ae=
x ln yω =
x ω 0.789r >
x ω与 y x与
1.1742 6.48 6 2.45 1.70 1.30 3.22e≈ ≈ ≈ ≈， ， ，
( ) ( )8 8 8 8 82 2
1 1 1 1 1
36, 11.68, 2.18, 42, 3.61i i i i i
i i i i i
x y x x y yω
= = = = =
= = = − = − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( )( ) ( )( )8 8 82
1 1 1
1.70, 11.83, 8.35i i i i i
i i i
x x y y x xω ω ω ω
= = =
− = − − = − − − = −∑ ∑ ∑
( )( ), 1,2,3, ,i iu i nυ = ⋅⋅⋅ u b aυ= +
( )( )
( ) 1
2
1
,
n
i i
i
n
i
i
u u
b a u b
υ υ
υ
υ υ
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
u u
r
u u
υ υ
υ υ
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
( ) ( )xf x e x a= + a R∈
( )f x
( ) ( ) 2g x f x a x= − − ( )g x高三数学试题参考答案
2020.6
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.BD 10.AC 11.ABCD 12.BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 14. （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 15. 16.2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（1 ）依题设易知 为直角的直角
三 角 形 ， 又 已 知 ， ， 所 以
.…………………………………………1 分
在 ， 由 余 弦 定 理 得 ，
.……2 分
所以 ，…………………………3 分
定义域为 .…………………………4 分
（2）
………………………………………………5 分
.………………………………………………………………6 分
（方法一）
30− 1 ,2 3
π− 45π
APB APB∆ ∠为以
2,AB PAB θ= ∠ =
2cosPA θ=
3,PAC AC PAC θ∆ = ∠ =中，
2 2 2 2PC PA AC PA= + − ⋅ 2 2 2cos 4cos 9 12cos 9 8cosAC θ θ θ θ= + − = −
29 8cosPC θ= −
0 2
πθ θ < − >
( ) ( )00f θ θ在 ,
( ) ( )00f θ θ在 ,
( ) ( )0 0
3, 2 2 tan 2 4sin 2 3cos2 , 02 4 f
πθ θ θ θ π θ θ θ θ ′∈ ∈ > − < −
( )0q q >
( ) ( )1,2 1,31 , 1 2a d a d= + = +.①………………………………………2 分
②………………………………3 分
联立①②解得， （舍去）
从而 ，
所以 .……………………………………………………6 分
（2）由（1）知， .
所以 ，……………………………………………………7 分
所以 ，………………………………………………8 分
所以
………………………………………………………………………………………………9 分
………………………………………………………11 分
…………………………………………………………12 分
19.解：（1）连接 ，
因为 C，D 是半圆 的两个三等分点，
所以 ，
又 ，
所以 均为等边三角形.
( ) ( ) ( ) ( )2.2 1.2 1 1 4a qa q d q d= = + + =，从而
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
3.3 1.3 1 2 1 2 12.a q a q d q d= = + + =，从而
11, ,32, 6.
d d
q q
= = − = =
或
( )1.2 2a =
( ) ( )
1 1
,2 1.2 2 2 2n n n
na a q − −= ⋅ = × =
( ),2 2n
na =
( )2 2log ,2 log 2n
nb a n n= = =
( )
1 1 12 21 1
n n
nc n n n n
= + = + −+ +
1 2 3 1n n nS c c c c c−= + + +⋅⋅⋅+ +
2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 21 2 2 3 3 4 1 1
n n
n n n n
− = + − + + − + + − +⋅⋅⋅+ + − + + − − +
( )2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 1
n n
n n
− = + + +⋅⋅⋅+ + + − + − + − +⋅⋅⋅+ − −
11 1 2 2 111 1 2 1
n
n n n
+− + − = + − + − +
1 11 22 1 2 .1 1
n n n
n n
+ + += − − = −+ +
1 1,O C O D
AB
1 1 1 60AO D DO C CO B∠ = ∠ = ∠ =
1 1 1 1O A O B O C O D= = =
1 1 1, ,AO D CO D BO C∆ ∆ ∆所以 ，
所以四边形 是平行四边形.
所以 ，………………………………1 分
又因为 平面 ADE， 平面 ADE，
所以 平面 ADE.……………………………………………………………………2 分
因为 EA，FC 都是圆柱 的母线，
所以 EA//FC.
又因为 平面 ADE， 平面 ADE，
所以 平面 ADE.………………………………………………………………………3 分
又 平面 ，
所以平面 平面 ADE，……………………………………………………………4 分
又 平面 ,
所以 平面 ADE.……………………………………………………………………5 分
（2）连接 AC，
因为 FC 是圆柱 的母线，
所以 圆柱 的底面，
所以 即为直线 AF 与平面 ACB 所成的角，即 .…………………6 分
因为 AB 为圆 的直径，所以 ，
在 ，
所以 ，
所以在 ………………………………………………7 分
（方法一）因为
又因为 ，
所以 平面 FBC，
1 1O A AD DC CO= = =
1ADCO
1 / /CO AD
1CO ⊄ AD ⊂
1 / /CO
1 2O O
FC ⊄ EA ⊂
/ /FC
1,CO FC ⊂ 1 1FCO CO FC C∩ =，且
1 / /FCO
1FO ⊂ 1FCO
1 / /FO
1 2O O
FC ⊥ 1 2O O
FAC∠ 30FAC∠ =
1O 90ACB∠ =
60 1Rt ABC ABC BC∆ ∠ = =中， ，
tan60 3AC BC= ⋅ =
tan30 1Rt FAC FC AC∆ = =中，
AC BC⊥
AC FC⊥
AC ⊥又 平面 FBC，
所以 .
在 内，作 于点 H，连接 AH.
因为 平面 ACH，
所以 平面 ACH，……………………………………………………………………8 分
又 平面 ACH，
所以 ，
所以 就是二面角 的平面角.…………………………………………9 分
在 .………………………………………………10 分
在 ，
所以 ，……………………………………………………11 分
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .…………12 分
（方法二）以 C 为坐标原点，分别以 CA,CB,CF 所在直 线 为
轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
，
所以 .…………………………………………………8 分
设平面 AFB 的法向量为 ，则
………………………………………………………………9 分
令 ，
所以平面 AFB 的一个法向量为 .………………………………………10 分
又因为平面 BCF 的一个法向量 ，…………………………………………11 分
所以 .
FB ⊂
AC FB⊥
FBC∆ CH FB⊥
, ,AC CH C AC CH∩ = ⊂
FB ⊥
AH ⊂
FB AH⊥
AHC∠ A FB C− −
2
2
FC BCRt FBC CH FB
⋅∆ = =中，
90Rt ACH ACH∆ ∠ = 中，
2 2 14
2AH AC CH= + =
7cos 7
CHAHC AH
∠ = =
A FB C− − 7
7
, ,x y z
( ) ( ) ( )3,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1A B F
( ) ( )3,1,0 , 3,0,1AB AF= − = −
( ), ,n x y z=
, 3 0,
, 3 0,
AB n x y
AF n x z
⊥ − + = ⊥ − + =
即
1 3x y z= = =，则
( )1, 3, 3n =
( )1,0,0m =
1 7cos , 77
m nm n m n
⋅= = =所以二面角 的余弦值为 .………………………………………………12 分
（注：如果用左手系解答，全对不扣分.若有错，不得分.）
20.解：（1）若选①
设 ，根据题意得， ，………………………………2 分
整理得， .
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 .………………………………………………4 分
若选②
由 ，………………………………1 分
由题意得 ，
所以 ，…………………………2 分
所以点 P 的轨迹 C 是以 H，E 为焦点的椭圆，且 ，……3 分
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 .………………………………………………4 分
若选③
设 …………………………………1 分
因为 ，
所以 …………………………………………………………………………2 分
即 ……………………………………………………………………………3 分
A FB C− − 7
7
( ),P x y
( )2 23 2
22 3
x y
x
− +
=
−
2 2
16 3
x y+ =
2 2
16 3
x y+ =
( )22 2 2: 2 3 21 0 3 24E x y x x y+ − − = − + =得
PH PG=
2 6 2 3PH PE PG PE EG HE+ = + = = > =
6, 3 3a c b= = =，则
2 2
16 3
x y+ =
( ) ( ) ( ) ( )2 2, , ,0 , 0, 9,P x y S x T y x y′ ′ ′ ′+ = ∗，则
6 3
3 3OP OS OT= +
6 ,3
3 ,3
x x
y y
′=
′=
6 ,2
3 ,
x x
y y
′ =
′ =将其代入 ，
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 .……………………………………………4 分
（2）当过点 A 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，切线方程为 .
当 切 线 方 程 为 为 直 径 的 圆 的 方 程 为
.①
当 切 线 方 程 为 为 直 径 的 圆 的 方 程 为
.②
由①②联立，可解得交点为 .………………………………………………………5 分
当过点 A 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为 ，
则 .……………………………………………………6 分
联立切线与椭圆 C 的方程 并消去 y，得
.………………………………………………………7 分
因为
，
所以切线与椭圆 C 恒有两个交点.
设 .………………………8 分
因为 ，
所以 ………………………………9 分
( ) 2 2
16 3
x y∗ + =，得
2 2
16 3
x y+ =
2, 2x x= = −
( ) ( )2 2, 2 , 2, 2x M N MN= −时， ，以
( )2 22 2x y− + =
( ) ( )2 2, 2 , 2, 2x M N MN= − − − −时， ，以
( )2 22 2x y+ + =
( )0,0
y kx m= +
( )2 2
2
2 2 1
1
m m k
k
= = +
+
，即
2 2
,
1,6 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m+ + + − =
( )( ) ( )2 2 2 2 2 216 4 1 2 2 6 8 6 3k m k m m k∆ = − + − = − − −
( ) ( )2 2 28 2 2 6 3 8 4 1 0k k k= − + − − = + >
( ) ( ) 2
1 1 2 2 1 2 1 22 2
4 2 6, , , , ,1 2 1 2
km mM x y N x y x x x xk k
−+ = − =+ +则
( ) ( )1 1 2 2, , ,OM x y ON x y= =
( )( )1 2 1 2 1 2 1 2OM ON x x y y x x kx m kx m⋅ = + = + + +
( ) ( )2 2
1 2 1 21 k x x km x x m= + + + +.…………………………………………10 分
所以 .…………………………………………………………………………11 分
所以以 MN 为直径的圆过原点 .
综上所述，以 为直径的圆过定点 .…………………………………………12 分
21.解：（1）由题意知， .…2 分
因为 ，所以有 99%的把握认为 之间具有线性相关关系.……3 分
（2）对 两边取对数得 ，
设 ，…………………………………………………4 分
，……………………………………………5 分
易知 .
.………………………………………………6 分
所以 .……………………………………………………………………7 分
所以所求的回归方程为 .……………………………8 分
（3）10 组数据中需要充电的数据组数为 4 组，X 的所有可能取值为 2，3，4.
.………10 分
所以 X 的分布列如下：
( ) 2
2 2
2 2
2 6 41 1 2 1 2
m kmk km mk k
− −= + ⋅ + ⋅ ++ +
( )2 22 2
2 2
3 2 1 6 63 6 01 2 1 2
k km k
k k
× + − −− −= = =+ +
OM ON⊥
( )0,0
MN ( )0,0
( )( )
( ) ( )
8
1
8 82 2
1 1
8.35 0.99
42 1.70
i i
i
i i
i i
x x
r
x x
ω ω
ω ω
=
= =
− − −= = ≈ −
×− −
∑
∑ ∑
0.99 0.789r ≈ > x ω与
bxy ae= ln lny a bx= +
ln , =ln =a y bxµ ω ω µ= +又 ，则
( )( )
( )
8
1
8 2
1
8.35 0.2042
i i
i
i
i
x x
b
x x
ω ω
=
=
− − −= = ≈ −
−
∑
∑
2.184.5, 0.278x ω= = ≈
( )0.27 0.20 4.5 1.17bxµ ω= − = − − × =
0.20 1.17xω = − +
0.20 1.17 0.203.22x xy e y e− + −= =，即
( ) ( ) ( )2 6 3 5 4 4
4 6 4 6 4 6
8 8 8
10 10 10
2 8 12 , 3 , 415 15 3
C C C C C CP X P X P XC C C
= = = = = = = = =………………………………………………………………………………………………11 分
X 的数学期望为 .…………………………12 分
22.解：（1）因为 ，
所以 .………………………………………………………………1 分
由 ；
由 .………………………………………………………………2 分
所以由 的增区间是 ，减区间是 .………………………3 分
（2）因为 .
由 ，得
.………………………………………………………………………4 分
设 ，
又 不是 的零点，
故只需再讨论函数 零点的个数.
因为 ，
所以当 单调递减；
当 单调递增.…………………………………………5 分
所以当 取得最小值 .………………………………………6 分
①当 无零点；…………………………………7 分
②当 有唯一零点；…………………………………………8 分③当
，
( ) 2 8 1 162 3 4 3.215 15 3 5E X = × + × + × = =
( ) ( )xf x e x a= +
( ) ( )1xf x e x a′ = + +
( ) 0 1f x x a′ > > − −，得
( ) 0 1f x x a′ < < − −，得
( )f x ( )1,a− − +∞ ( ), 1a−∞ − −
( ) ( ) ( )2 2x a x ag x f x a x xe x x e x− −= − − = − = −
( ) 0g x =
0 0x ax e x−= − =或
( ) x ah x e x−= −
( )0 0 0ah e x−= ≠ =，即 ( )h x
( )h x
( ) 1x ah x e −′ = −
( ) ( ) ( ), 0,x a h x h x′∈ −∞ 时，
( )x a h x= 时， ( ) 1h a a= −
( ) ( ) ( )0 1 0,h a a h x h x> < >，即 时，
( ) ( )0 1h a a h x= =，即 时，
( ) 0 1h a a< >，即 时因为 ，
所以 上有且只有一个零点.……………………………………………9 分
令 .
设 ，
所以 上单调递增，
所以， .
所以 .………………………………………………………10 分
所以 上有且只有一个零点.
所以当 有两个零点.………………………………………………………11 分
综上所述，当 有一个零点；
当 有两个零点；
当 有三个零点.……………………………………………………………12 分
( )0 0ah e−= >
( ) ( )h x a−∞在 ，
( )2 2 2ax a h a e a= = −，则
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 0a aa h a e a a a eϕ ϕ′= = − > = − >，则
( ) ( )1aϕ + ∞在 ，
( ) ( ) ( )1, 1 2 0a a eϕ ϕ∀ ∈ +∞ ≥ = − >，都有
( ) ( )2 ah a a e aϕ= = − 2 > 0
( ) ( ),h x a +∞在
( )1a h x> 时，
( )1a g x< 时，
( )1a g x= 时，
( )1a g x> 时，
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