辽宁省葫芦岛市 2020 届高三 5 月联合考试数学(文)试卷全国版 I
文科数学
本试卷 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5mm 黑色笔迹
签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则 A∩B＝
A.{－1，0，1，2} B.{0，1，2} C.{1，2} D.{2}
2.已知 (m，n∈R)，则复数 z＝m＋ni 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.书籍是人类的智慧结晶和进步阶梯，阅读是一个国家的文化根基和创造源泉。2014 年以来，
“全民阅读”连续 6 年被写人政府工作报告。某高中为了解学生假期自主阅读书籍类型，在
全校范围内随机抽取了部分学生进行调查。学生选择的书籍大致分为以下四类：A 历史类、B
文学类、C 科学类、D 哲学类。根据调查的结果，将数据整理成如下的两幅不完整的统计图，
其中 a－b＝10。
根据上述信息，可知本次随机抽查的学生中选择 A 历史类的人数为
A.45 B.30 C.25 D.22
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
3 22
m i n ii
− + = +−A.18＋6 B.24 C.13 D.18
5.“李生素数猜想”是数学史上著名的未解难题，早在 1900 年国际数学家大会上，由德国数
学家希尔伯特提出。所谓“孪生素数”是指相差为 2 的“素数对”，例如 3 和 5。从不超过 20
的素数中，找到这样的“孪生素数”，将每对素数作和。从得到的结果中选择恰当的数，构成
一个等差数列，则该等差数列的所有项之和为
A.72 B.68 C.56 D.44
6.函数 f(x)＝ 的部分图象大致为
7.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第 34 届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位
同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获
奖”；丁说：“我获奖了”若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 a＝6，c＝2 ，tanA＋tanB＝
，则 S△ABC＝
A.3 B.9 C.9 D.3
y.在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝ ，点 M 在对角线 AC 上，点 N 在边 CD 上，且
， ，则 ＝
A. B.4 C. D.
2 2
ln
x
x
e
6
2sin
cos
C
A
2 2 3 3
3
1
4AM AC= 1
3DN DC= MN AC⋅
1
2
7
3
3
1610.已知 x1＝ ，x2＝ 分别是函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )相邻的极大值点与零点。
若将函数 f(x)的图象向左平移 θ 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象关于原点对称，则 θ 的值
可以为
A. B. C. D.
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，双曲线的左支上有 A，B
两点使得 。若△AF1F2 的周长与△BF1F2 的周长之比是 ，则双曲线的离心率是
A. B. C.2 D.
12.已知函数 h(x)＝ －ax－a 有两个零点 m，n，且在区间(m，n)上有且仅有一个正整数，则
实数 a 的取值范围是
A.[1，2] B.[2，＋∞) C.[ ， ) D.(－1， ]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.记 Sn 为递增等比数列{an}的前 n 项和，若 S1＝1，S4＝5S2，则 an＝ 。
14.若 tanα＝ ，向量 a＝(1，－1)，b＝(cos2α，sin2α)，则 a·b＝ 。
15.已知 AC＝2，动点 B 在以 AC 为直径的圆上(不与 A，C 重合)，△PAC 为等边三角形，当
三棱锥 P－ABC 的体积最大时，它的外接球的表面积是 。
16.已知抛物线 C：x2＝8y 的焦点为 F，过点 P(0，－2)的直线 l 与抛物线相交于 M，N 两点，
且|MF|＋|NF|＝32。若 Q 是直线 l 上的一个动点，B(0，3)，则|QF|＋|QB|的最小值为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
记 S。是正项数列{an}的前 n 项和，an＋1 是 4 和 Sn 的等比中项。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
18.(12 分)
24
π
6
π
2
π
2
π
4
π
3
π
2
π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1 12AF F B= 5
4
2 5 13
9
3
x
x
e
2
xe
3
2e
3
2e
2
( ) ( )1
1
1 1n na a +⋅ ++第十四届全国学生运动会将于 2020 年 8 月在山东青岛举行。九所高中、五所高校、四个社会
场馆将同时开赛，上演 12 个项目的精彩赛项。某所高中将在此次运动会中承办“大学生女子
篮球比赛”。为了更好的服务赛事、宣传赛事，该校学生会宣传部举办了“篮球术语知多少”
知识竞赛，满分 100 分。从收回的试卷中，随机抽取 100 份，将成绩分成五组，依次为[0，
20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，根据成绩得到如下的频率分布直方图。
(1)已知第 5 组中，男生和女生人数的比例是 2：1。从第 5 组的学生中随机抽取 2 人，作为赛
事咨询处的志愿者，求选出的 2 人中恰好是 1 男 1 女的概率；
(2)根据收回的试卷，经分析之后认为：成绩低于 40 分的学生，不了解篮球运动；成绩不低于
40 分的学生，了解篮球运动。由学生的竞赛成绩，得到如下列联表，判断能否有 90%的把握
认为是否了解篮球运动与性别有关。
参考数据与公式
，其中 n＝a＋b＋c＋d。
19.(12 分)
如图①，在等腰梯形 ABCD 中，AB＝3，AD＝2，CD＝5。AE⊥CD，交 CD 于点 E。将△ADE
沿线段 AE 折起，使得点 D 在平面 ABCE 内的投影恰好是点 E，如图②。
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +(1)若点 M 为棱 AD 上任意一点，证明：平面 MBC⊥平面 DEB。
(2)在棱 BD 上是否存在一点 N，使得三棱锥 E－ANC 的体积为?若存在，确定 N 点的位置；若
不存在，请说明理由。
20.(12 分)
已知椭圆 E： 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，点 A 在椭圆
E 上且位于第一象限，直线 AF1 与 y 轴的交点为 C，△ACF2 的周长为 4。
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)是否存在直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 B，使得 ，若存在，求出 AF2 的
方程，若不存在，说明理由。
21.(12 分)
已知函数 f(x)＝xlnx－x－ ，g(x)＝2x2－4x＋4alnx。
(1)求函数 f(x)的极值；
(2)若 x1，x2 为函数 g(x)两个不同的极值点证明：(x1＋x2)(g(x1)＋g(x2)]>4f( )。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4——4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (α 为参数)。以坐标原点 O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(ρ－4cosθ)＝6。
(1)求曲线 C1 和 C2 的直角坐标方程；
(2)若过 P(－1,0)且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C2 交于 M，N 两点，求|PM|·|PN|的值。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
设函数 f(x)＝2－|x－1|。
(1)求不等式 f(x)≥|x－3|－2 的解集；(2)若 f(a－l) > 1
2
2 2
3 5ACF BCFS S∆ ∆=
1
2
1
4
3 4cos
1 4siny
x α
α
= +
− +=
4
π
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