江苏省南京师范大学附中2020届高三数学高考模拟试卷（1）（含附加题Word版附答案）

1 2020 高考数学模拟试卷（1） 2020．6 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上．） 1．已知集合 A＝{2，3}，B＝{2，4}，则 A B＝ ． 2．设 i 是虚数单位，复数 (a，b R)，若 ，则 ab＝ ． 3．将 6 个数据 1，2，3，4，5，a 去掉最大的一个，剩下的 5 个数 据的平均数为 1.8，则 a＝ ． 4．右图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 ． 5．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 ． 6．函数 的定义域为 ． 7．曲线 ( ＞0)的一个对称中心的坐标为(3，0)， 则 的最小值为 ． 8．设双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为 2：1，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别为 ， ，则 ＝ ． 9．如图，一个圆柱的体积为 4 ，AB、CD 分别是上、下底面直径，且 CD⊥AB，则三棱 锥 A—BCD 的体积为 ． 10．已知 ， ，则不等式 的解集 为 ． 11．直线 是曲线 的切线，则 a＋b 的最小值为 ． 12．各项为正且公差不为 0 的等差数列 的第 1 项、第 2 项、第 6 项恰好是等比数列 的连续三项（顺序不变），设 ，若对于一切的 ， ，则 的最小值为 ．  iz a b= + ∈ 2 4 2iz = + ( ) 1 lg(2 )f x x= − − 2sin( )4y x πω= + ω ω 2 2 2 2 1x y a b − = 1d 2d 1 2 d d π 3 , 0( ) sin , 0 x x xf x x x  − >=  ≤ 2 3 , 0( ) cos , 0 x x xg x x x x − + >=  + ≤ ( ( )) 6f g x > y ax b= + 1y x= + { }na { }nb 1 2 2 3 1 1 1 1 n n n S a a a a a a + = + + + Nn ∗∈ 1 1 nS a ≤ 1a 第 4 题 2 13．在△ABC 中，AC＝2BC＝4，∠ACB 为钝角，M，N 是边 AB 上的两个动点，且 MN＝ 1，若 的最小值为 ，则 cos∠ACB＝ ． 第 9 题 第 13 题 第 14 题 14．设 a，b 是两个实数，0≤a＜b，直线 l： 和圆 交于两点 A，B， 若对于任意的 k [a，b]，均存在正数 m，使得△OAB 的面积均不小于 ，则 b﹣2a 的 最大值为 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ PD，PA＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点． （1）求证：平面 PAB⊥平面 PCD； （2）求证：EF∥平面 PCD． 16．（本题满分 14 分） 已知 ， 均为锐角，且 ． （1）求 cos2 的值； （2）若 ，求 tan 的值． CM CN⋅  3 4 y kx m= + 2 2 1x y+ = ∈ 3 4 α β 5tan tan( )4 3 πα α+ − = α 1sin( ) 3 β α− = β 3 17．（本题满分 14 分） 一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A 是两个固定 点，OA＝2 米，线段 AB 是一个滑槽（宽度忽略不计），AB＝1 米，∠OAB＝60°，线段 OP，OQ，PQ 是三根可以任意伸缩的连接杆，OP⊥OQ，O，P，Q 按逆时针顺序排列，该 装置通过连接点 Q 在滑槽 AB 中来回运动，带动点 P 运动，在运动过程中，始终保持 OP＝ OQ． （1）当点 Q 运动到 B 点时，求 OP 的长； （2）点 Q 在滑槽中来回运动时，求点 P 的运动轨迹的长度． 18．（本题满分 16 分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： (a＞b＞0)，直线 l： (k，t R，k≠0)． （1）若椭圆 C 的一条准线方程为 x＝4，且焦距为 2，求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的左焦点为 F，上顶点为 A，直线 l 过点 F，且与 FA 垂直，交椭圆 C 于 M，N（M 在 x 轴上方），若 NF＝2FM，求椭圆 C 的离心率； （3）在（1）的条件下，若椭圆 C 上存在相异两点 P，Q 关于直线 l 对称，求 t2 的取值 范围（用 k 表示）． 1 4 2 2 2 2 1x y a b + = y kx t= + ∈ 4 19．（本题满分 16 分） 已知函数 ， ，其中 a R． （1）当 a＝0 时，求函数 在 R 上的零点个数； （2）对任意的 x≥1，有 恒成立，求实数 a 的取值范围． 20．（本题满分 16 分） 若无穷数列 和无穷数列 满足：存在正常数 A，使得对任意的 n ，均有 ≤A，则称数列 与 具有关系 P(A)． （1）设无穷数列 和 均是等差数列，且 ， (n )，问：数 列 与 是否具有关系 P(1)？说明理由； （2）设无穷数列 是首项为 1，公比为 的等比数列， ，n ，证明： 数列 与 具有关系 P(A)，并求 A 的最小值； （3）设无穷数列 是首项为 1，公差为 d(d R)的等差数列，无穷数列 是首项 为 2，公比为 q(q )的等比数列，试求数列 与 具有关系 P(A)的充要条件． 1( ) ( 1)exf x ax a −= − + 21 1( ) 2 2g x ax x a= + − ∈ 21( ) ( ) ( 1)2F x f x x= − − ( ) ( )f x g x≥ { }na { }nb N∗∈ n na b− { }na { }nb { }na { }nb 2na n= 2nb n= + N∗∈ { }na { }nb { }na 1 3 1 1n nb a += + N∗∈ { }na { }nb { }na ∈ { }nb N∗∈ { }na { }nb 5 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知二阶矩阵 M 的逆矩阵 ． （1）求矩阵 M； （2）设直线 l：x＝﹣4 在矩阵 M 对应的变换的作用下得到直线 l′，求 l′的方程． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 直线 l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆 C 的参数方程为 （m 为 参数），设 A 为曲线 C 上一动点，求 A 到直线 l 的距离的最小值． C．选修 4—5：不等式选讲 已知：a，b，c 且 ，求证： ． 1 2 1 M 3 1 2 2 − −   =  −  8 2 x t ty = − = 22 2 2 x m y m  = = R +∈ 2 3 1a b c+ + = 2 2 2 1 14a b c+ + ≥ 6 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所 大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率； （2）求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X)． 23．（本小题满分 10 分） 设整数 n≥3，集合 P＝{1，2，3，…，n}，A，B 是 P 的两个非空子集．记 Mn 为所有 满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A，B)的个数． （1）求 M3； （2）求 Mn． 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17