理科数学 第 1 页（共 14 页） 理科数学第 2 页（共 14 页）
本试卷共 23 题，共 6 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘区.
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则
A． B． C．
D．
2．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 为
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的焦距为 4，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C ．
D．
4．已知向量 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
5．已知 是直线， 是平面，给出下列命题：①若 ，则 ；②若 ，
则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中为真命题的是
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
6．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、
庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥
叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，
构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅 癸酉、甲戌、乙亥、丙子
癸未、甲申、乙酉、丙戌 癸巳 癸亥，60 年为一个纪年周期，周而复始，
循环记录．按照“干支纪年法”，今年（公元 2020 年）是庚子年，则中华人民共和国成立
100 周年（公元 2049 年）是
A．己未年 B．辛巳年 C．庚午年 D．己巳年
7．已知 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
8．早在 17 世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的
“概率”．18 世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率 ，
20 世 纪 40 年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算
机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方
法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法. 如右图所示的程序
框图就是利用随机模拟方法估计圆周率 ，（其中
是
产生 内的均匀随机数的函数， ），则 的值约
为
A． B． C． D．
2019—2020 学年高三年级下学期
第五次模拟考试（数学）学科试卷
考试时间：120 分钟 试卷满分:150 分
{ } { }2| 4 , 1,0,2,3A x x B= ∈ ≥ = −R A B =
{ }2,3 { }1,2,3 { }1,0,2−
{ }1,0,1,2,3−
z (1 2i) 3 4iz − = + i | |z
1 2 5 5
2
2 1yx m
− =
3 0x y± = 3 0x y± = 3 0x y± =
15 0x y± =
,a b | | 1a = | | 2b = ( )a b a⊥ − | 2 |a b+ =
4 2 3 3 2 12
, ,a b c β , //a b b c^ a c^ ,a b b c^ ^
//a c , //a b b β^ a β^ , //a bβ β^ a b^
0.80.5a = 0.5log 0.8b = 0.8log 0.5c = , ,a b c
a b c< < a c b< < b a c< < c b a< <
π
π ()rand
[0,1] *k ∈N π
m
k
2m
k 4 m
k
− 4m
k理科数学 第 3 页（共 14 页） 理科数学第 4 页（共 14 页）
9．函数 的图象大致是
A． B． C． D．
10．已知 ，则
A． B． C． D．
11．若函数 在区间 是单调函数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
12．如图，三棱柱 的所有棱长都为 ，侧棱 底面 ， 分别
在棱 上， ，过 三点的平面将三棱柱分为
两部分，下列说法错误的是
A．截面是五边形
B．截面面积为
C．截面将三棱柱体积平分
D．截面与底面所成的锐二面角大小为
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：
甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三
名”；
最 后 公 布 结 果 时 ， 发 现 每 个 人 的 预 测 都 只 猜 对 了 一 半 ， 则 这 次 竞 赛 第 一 名 的
是 ．
14．在 中， ， ，则 ．
15．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，直线 过点 且与
轴 垂 直 ， 点 是 椭 圆 上 异 于 的 动 点 ， 直 线 与 直 线 交 于 点 ， 若
，则椭圆的离心率是 ．
16．已知函数 （ 为自然对数的底数， ），当
时，函数 有 个零点；若函数 有四个不同零点，则实数 的取值范围
是 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题～第 21 题为必
考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．（本题满分 12 分）
已知 是数列 的前 项和，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18．（本题满分 12 分）
一次大型考试后，年级对某学科进行质量分析，随机抽取了 名学生成绩分组为
， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方
图．
（1）从这 名成绩在 ， 之间的同学中，随机选择三名同学做进一步
调查分析，记 为这三名同学中成绩在 之间的人数，求 的分布列及期望 ；
（2）（i）求年级全体学生平均成绩 与标准差 的估计值（同一组中的数据用该组区
间的中点值为代表）；（精确到 ）
( ) ln( 1) ln(1 )f x x x= + + -
π 2sin( )6 3
α− = πsin( 2 )6
α+ =
1
9
1
9
− 5
9
− 4 5
9
( ) cos sinf x x a x= +
π π( , )4 2
a
( ,0]−∞ ( ,1]−∞ ( , 2]−∞ [ 1,1]−
1 1 1ABC A B C− 4 1AA ⊥ ABC , ,P Q R
1 1 1, ,AA AB B C 12, 3AP AQ B R= = = , ,P Q R
3 15
π
3
ABC△ 60A = 5, 7AB BC= = AC =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > A B、 l B x
P C A B、 AP l M
OM PB⊥
2 2( ) (e 2 )e ( 4)x xf x ax a x= − + − e a∈R 1a =
( )f x ( )f x a
nS { }na n 1 1a = 2 ( 1)n nS n a= +
{ }na
1{ }
nS n nT
40
[50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
40 [50,60) [90,100]
X [50,60) X ( )E X
x s
1
x
y
O 1 x
y
O 1
x
y
O 1
x
y
O 1理科数学 第 5 页（共 14 页） 理科数学第 6 页（共 14 页）
（ii）如果年级该学科的成绩服从正态分布 ，其中 ， 分别近似为（i）中
的 ， . 若从年级所有学生中随机选三名同学做分析，求这三名同学中恰有两名同学成
绩在区间 的概率.(精确到 )
附： .
若 ，
则
19．（本题满分 12 分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
20．（本题满分 12 分）
已知动圆 过定点 ，且截 轴所得弦长为 ，设圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 为曲线 上的两个动点，且线段 的中点 到 轴距离 ，求
的最大值，并求此时直线 方程．
21．（本题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第
一题记分.
22．（本题满分 10 分） [选修 4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）曲线 与直线 交于点 ，点 ，求 的值．
23．（本小题满分 10 分）[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数 .
2( , )N µ σ µ σ
x s
(62,95) 0.01
29 5.385≈
2( , )Nξ µ σ
( ) 0.68,P µ σ ξ µ σ− < < + ≈
( 2 2 ) 0.96P µ σ ξ µ σ− < < + ≈
P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 4AB =
60ABC∠ =
PC BD⊥
PB PD⊥ A PD C− −
M (4,0)N y 8 M C
C
,A B C AB P y 4d = | |AB
AB
21( ) cos 2f x x x= +
( )f x
cos 2xe x ax+ ≥ + 0x ≥ a
xOy l
51 5
2 54 5
x t
y t
= +
= − +
t
O x C 2 cos2 4ρ θ =
l C
C l ,A B (1, 4)M − MA MB+
( ) 2 | | 1f x x a x= − − +理科数学 第 7 页（共 14 页） 理科数学第 8 页（共 14 页）
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
2019—2020 学年高三年级第五次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分）
（1）A （2）C （3）C （4）B （5）B （6）D
（7）C （8）D （9）C （10）A （11）B （12）D
二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分）
（13） 丙 （14） （15） （16）3 ；
三、解答题
17．解：（1） ， ，
相减得 ， ，
， ．
（2） ，
，
．
18．解：(1)由直方图，40 名同学中成绩在[50,60)，(90,100]之间的同学的人数均为 4，
的所有可能取值为 0，1，2，3
，
，
的分布列为
0 1 2 3
．
(2)(i) (分),
(ii)由（i）, ，
记“三名同学中恰有两名同学成绩在区间（62，95）”为事件 ，
1a = ( ) 0f x <
0x > ( ) 0f x ≥ a
8 2
2
e 2a > +
2 ( 1)n nS n a= + 1 12 n nS na− −= 2)(n ≥
12 ( 1)n n na n a na −= + − 1( 1) n nn a na −− =
1 1 11 1
n na a a
n n
−= = = =− na n=
2 ( 1) ( 1)n nS n a n n= + = +
1 2 1 12( )( 1) 1nS n n n n
= = −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 22(1 )2 2 3 1 1n
n
nT S S S n n n
= + + + = − + − + + − =+ +
X
3
4
3
8
1( 0) 14
CP X C
= = =
1 2
4 4
3
8
3( 1) 7
C CP X C
= = =
2 1
4 4
3
8
3( 2) 7
C CP X C
= = =
3
4
3
8
1( 3) 14
CP X C
= = =
X
X
P 1
14
3
7
3
7
1
14
1 6 6 1( ) 0 1 2 3 1.514 14 14 14E X = × + × + × + × =
55 0.1 65 0.3 75 0.4 85 0.1 95 0.1 73x = × + × + × + × + × =
2 2 2 2 2(55 73) 0.1 (65 73) 0.3 (75 73) 0.4 (85 73) 0.1 (95 73) 0.1
116 2 29 11
s = − × + − × + − × + − × + − ×
= = ≈
1 1(62 95) ( 2 ) 0.68 0.96 0.822 2P Pξ µ σ ξ µ σ< < = − < < + ≈ × + × =
A理科数学 第 9 页（共 14 页） 理科数学第 10 页（共 14 页）
则 ．
19．解：（1）证明：连接 交 于点 ．
因为 为菱形，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．又由于 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ．
（ 2 ） 解 ： 因 为 平 面 ， 平 面 ， 平 面 ， 所 以
， ，所以 ，即 ．
在菱形 中， ，得 ，则 ，又因为
，所以 ．在 中， ．
取 中点 ，连接 ．在 中， 中点 ，所以 // ．又因为
平面 ，所以 平面 ．在菱形 中， ．
如图，以点 为坐标原点，分别以向量 ， ， 的方向为 轴， 轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系 ．
由题意知， ， ，
， ，
所以 ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，
则 即 所以可取 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即 所以可取 ．
所以 ．所以二面角 的余弦值为 ．
20．解：（1）设动圆圆心 ，则 ，
化简整理得 ，故曲线 的轨迹方程为 ．
（2）设直线 方程为 ，
由 消去 得 ,
所以 ，
，
， ，
， 。
,
当且仅当 ，即 （满足 ）时，取得最大值，
2 2
3( ) 0.82 0.18 0.36P A C= × × ≈
AC BD O
ABCD AC BD⊥
PA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD
PA BD⊥ PA AC A=
PA ⊂ PAC AC ⊂ PAC
BD ⊥ PAC PC ⊂ PAC
PC BD⊥
PA ⊥ ABCD AD ⊂ ABCD AB ⊂ ABCD
PA AD⊥ PA AB⊥ PAB PAD≅△ △ PB PD=
ABCD 60ABC∠ = ° 120BAC∠ = ° 4 3BD =
PB PD⊥ 2 6PB PD= = Rt PAB△ 2 2PA =
PC E EO PAC△ AC O EO PA PA ⊥
ABCD EO ⊥ ABCD ABCD AC BD⊥
O OB OC OE x y z
O xyz−
(0,2,0)C (0, 2,0)A −
( 2 3,0,0)D − (0, 2,2 2)P −
(0,0,2 2)AP = ( 2 3,2,0)AD = −
(2 3,2,0)DC = (0, 4,2 2)CP = −
PAD ( , , )m x y z=
0,
0,
AP m
AD m
⋅ = ⋅ =
0,
3 0.
z
x y
=− + =
(1, 3,0)m =
PCD ( , , )n x y z=
0,
0,
DC n
CP n
⋅ = ⋅ =
3 0,
2 2 0.
x y
y z
+ =
− + =
( 1, 3, 6)n = −
| | 10cos , 10
m nm n
m n
⋅= =
⋅
A PD C− − 10
10
( ),M x y ( )2 2 2 24 4x y x− + = +
2 8y x= C 2 8y x=
AB x my n= +
2 8
x my n
y x
= +
=
x 2 8 8 0y my n− − =
2 2=64 32 0,2 0m n m n∆ + > + >
1 2 1 28 , 8y y m y y n+ = = −
21 2 1 2 4 42 2P
x x y yx m n m n
+ += = + = + = 24 4n m= −
2 22 4 2 0m n m∆ = + = − > 2 2m <
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4 1 64 32AB m y y m y y y y m m n= + − = + + − = + +
2 2 2 2 12(1 )(128 64 ) 8 (1 )(2 )m m m m= + − = + − ≤
2 21 2m m+ = − 2 1
2m = 2 2m <
O
P
A
B
D
Cx y
z
E理科数学 第 11 页（共 14 页） 理科数学第 12 页（共 14 页）
此时 ，直线 ．
21．解：（1） ，
在 上为增函数，又 ，
， ， 单调递减；
， ， 单调递增，
．
（2）方法 1：①当 时， ，
设 ，则 ， ，
， ， 单调递增，
又 ， ， 单调递增，
又 ， ， ，
，
②当 时， ，
设 ，则 ，令 ，
， ， 单调递减，
又 ， ， ，
，不合题意．
由①②知实数 的取值范围是 ．
方法 2：（分离参数法）
当 时， 成立，
当 ， ，
设 ( )
设 ，( )，
单调递增，
又 ， ， ，
单调递增， ．
， ．
方法 3：设 ，
则 ，
，
， ， 单调递增，
①当 时， ，即 ，
单调递增， 恒成立，
②当 时， ， ,
,使 ，
， 单调递减，
，不合题意。
由①②知实数 的取值范围是 ．
22．解：（1）曲线 ；
直线 的普通方程为 ，极坐标方程为 ．
2 , 22m n= ± = 2: 2 02AB x y± − =
21( ) cos , ( ) ( ) sin , ( ) 1 cos 02f x x x h x f x x x h x x′ ′= + = = − = − ≥
( ) sinf x x x′∴ = − ( , )−∞ +∞ (0) 0f ′ =
∴ ( ,0)x∈ −∞ (0) 0f ′ < ( )f x
(0, )x∈ +∞ (0) 0f ′ > ( )f x
min( ) (0) 1f x f= =
1a ≤
2 2
cos 2 1 2 12 2
x x xx xe x ax e ax e x+ − − ≥ + − − − ≥ − − −
2
( ) 12
x xg x e x= − − − ( ) ( ) 1xp x g x e x′= = − − ( ) 1xp x e′ = −
0x ≥ ( ) 1 0xp x e′∴ = − ≥ ( )g x′
(0) 0g′ = ∴ ( ) 1 0xg x e x′ = − − ≥ ( )g x
(0) 0g = ∴ ( ) 0g x ≥ cos 2 ( ) 0xe x ax g x∴ + − − ≥ ≥
cos 2xe x ax+ ≥ +
1a > cos 2 1 2 1x x xe x ax e ax e ax+ − − ≤ + − − = − −
( ) 1xh x e ax= − − ( ) xh x e a′ = − ( ) 0, lnxh x e a x a′ = − = =
(0,ln )x a∈ ( ) 0xh x e a′ = − < ( )h x
(0) 0h = (0,ln )x a∴ ∈ ( ) 1 0xh x e ax= − − <
∴ cos 2 0xe x ax+ − − <
a 1a ≤
0x = 0 cos0 2 0e a+ ≥ + ×
0x > cos 2cos 2
x
x e xe x ax a x
+ −+ ≥ + ⇔ ≤
cos 2( )
xe xF x x
+ −= 0x >
2 2
( sin ) ( cos 2) ( 1) sin cos 2( )
x x xe x x e x x e x x xF x x x
− − + − − − − +′ = =
( ) ( 1) sin cos 2xG x x e x x x= − − − + 0x ≥
( ) cos ( cos ) (1 cos ) 0x xG x xe x x x e x x x′ = − = − ≥ − ≥ ( )G x∴
(0) 0G = ( ) 0G x∴ ≥ ( ) 0F x′ ≥
( )F x∴
0
( ) lim ( )
x
F x F x→
∴ >
0 0 0
cos 2 sinlim ( ) lim lim 11
x x
x x x
e x e xF x x→ → →
+ − −= = = ∴ 1a ≤
( ) cos 2 ( 0)xg x e x ax x= + − − ≥
( ) ( ) sinxp x g x e x a′= = − −
( ) cosxp x e x′ = −
0x ≥ ( ) 0p x′∴ ≥ ( )p x∴
1a ≤ ( ) (0)=1 0p x p a≥ − ≥ ( ) 0g x′ ≥
( )g x ( ) (0) 0g x g≥ =
1a > (0) 1 0p a= − < (ln( 1)) 1 sin(ln( 1)) 0p a a+ = − + ≥
0 (0,ln( 1)]x a∃ ∈ + 0 0( ) ( ) 0p x g x′= =
0(0, ),x x∈ ( ) 0g x′ ≤ ( )g x
( ) (0) 0g x g< =
a 1a ≤
2 2 2 22 2: cos2 4, (c 4os sin ) 4,C ρ θ θ yρ xθ = − − ==
l 2 6 0x y− − = 2 cos sin 6 0ρ θ ρ θ− − =理科数学 第 13 页（共 14 页） 理科数学第 14 页（共 14 页）
（2）将 代入 中，得 ，
， 均为正，则 ．
23．解：（1）当 时， ，
原不等式等价于 或 或 ，
解得 ，解集为 ．
（2）当 时， ，
依题意有 恒成立，则有 ， ，
当 时， ，
依题意有 恒成立，则有 ，且 ， ，
综上， 的取值范围是 ．
51 5
2 54 5
x t
y t
= +
= − +
2 2 4x y− = 23 18 5 95 0t t− + =
1 2
1 2
+ 6 5
95
3
t t
t t
= ⋅ =
1 2,t t 1 2= 6 5MA MB t t+ + =
1a = ( ) 2 | | 1 0f x x x= − − + <
2
2 1 0
x
x x
≥
− − +
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