2020 届十一模拟数学（文）
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1、设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
答案 B
2. 已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的虚部是（ ）。
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴复数 的虚部是 ，
故选：B．
3.设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
4.已知命题 p： ;命题 q：若 ,则 a b a c> > c a b> > c b a> >
,x∃ ∈R 2 1 0x x− + ≥ 2 2a b<
p q∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q¬ ∧ ¬
0x = 2 1 0x x− + ≥ 2 21 ( 2) ,1 2< − > −
p q∧ ¬
3cos xy x e= −
∈=
+ ππααπ
,2,2
1
2
2019cos αcosA. B. C. D.
答案 C
7. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 ，则该椭
圆的标准方程为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆 标准方程为： .
短轴长为 ， ，解得： . 离心率 ，
又 ， ， 椭圆 的标准方程为 .
故选： .
8.如图是棱长为 1 的正方体截去部分后的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2
1
2
1−
2
3−
2
3
俯视图
侧视图正视图
1/2
1/2
4
3
8
5
12
7
16
9解析：直观图为：
故体积为： ，选 A
9．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：
其中 ， ， ，平移参照直线 3x-y=0,令 t=y-3x,平移到 处
最小 平移到 处最大 故
，所以 的最大值是 10.
10.等腰 中，点 D 在底边 BC 上， ，BD=8，CD=1，则 的面积为( )
A. B. C. D.
4
3
12
1
6
11 =−−
x y 2 3
3
y x
x y
x
≥
+ ≤
≥ −
3 2z y x= − −
( )3, 3A − − ( )1,1B ( )3,3C − ( )1,1B
min 1 3 2,t = − = − ( )3,3C − max 3 3 ( 3) 12,t = − × − =
4 3 2 10y x− ≤ − − ≤ 3 2z y x= − −
ABC∆ ADAB ⊥ ABC∆
4
79 74 4
727 78答案 C
11. 如图所示，在梯形 中， ， ， ， ， ，
， 分别为边 ， 的中点，则 （ ）。
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】在梯形 中, ,
则可建立以 为原点, 方向为 轴正方向的直角坐标系,如下图所示:
由题可得 ,因此 ,
所以 ,所以 ,
故选:B.
12. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原
点， 是双曲线上在第一象限内的点，直线 、 分别交双曲线 左、右支于另一
点 、 ， ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ， ， ， .
连接 、 ，根据双曲线的对称性可得 为平行四边形，
， ，
由余弦定理可得 ， ， ，
故选 B.二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13、网店为了拉升人气，吸引顾客，想方设法提高商品的好评率，某网店对店里热销的三类
产品:坚果、巧克力和麻辣熟食，统计一天的好评率：坚果类 100 个评价 90 个，好评率 90%；
麻辣类 100 个评价，好评率 86%；巧克力类评价 80 个，好评率 95%，则该店三类商品的平均
好评率为 。
【命题意图】考查古典概型，以生活时尚为实例考查考生知识的实际运用能力、数学建模
和运算能力，把生活实际实例与数学模型相结合。
【答案】90%
【解析】由题意可得，三类评价共有 100+90+80=270 个，好评共有
个 ， 所 以 该 店 三 类 商 品 的 平 均 好 评 率 为
。
14. .函数 在点 处的切线方程为 ．
答案
15..已知函数 的一条对称轴为 ，若 ，则
的最小值为_________.
答案
16.两个正三棱锥 与 有共同的外接球，且 的体积是
的体积的两倍，则 的侧面积是 的侧面积的 倍。
解析：轴截面如图
100 86%+90 90%+80 95%=243× × ×
243 =90%270
( ) (1 3 ) xf x x e= − ⋅ (0, (0))P f
2 1= − +y x
( ) xxaxf cos3sin −=
6
π−=x ( ) ( ) 421 −=⋅ xfxf
21 xx +
2
3
π
ABCP − ABCQ − ABCP − ABCQ −
ABCP − ABCQ −不妨设球的半径为 3，则 ,所以 ，所以 ，
所以 ，
所以侧面积之比为：
三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
（一）必
考题（本大题共 5 小题，共 60 分）
17、已知数列 满足： ， （ ）
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 。
解析：（1）证明：
D
Q
O1
O
A
P
11 =OO 221 =AO 21 =DO
2342 22
1
2
1 =+=+= PODOPD
622 22
1
2
1 =+=+= QODOQD
3
6
23 =
}{ na 21 =a 121 +=++ nn ana ∗∈ Nn
}{ nan −
}{ na n nS
121 +=++ nn ana
121 +−=∴ + naa nn
∴ =+−+ )1(1 nan )1(12 +−+− nnan
nan 22 −= )(2 nan −=且
是首项为 1，公比为 2 的等比数列。
（2）由（1）可得：
18. 已 知 直 三 棱 柱 的 底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 ，
（1）在棱 上是否存在点 使 ，若存在求 的位置，若不存在，说明理由；
（2）求点 到平面 的距离。
解析：（1）假设存在点 使 ，
因为 ，
所以 平面
所以
0111 ≠=−a
}{ nan −∴
12 −=− n
n na
na n
n +=∴ −12
)2()34()22()11( 1 nS n
n ++++++++=∴ −
)321()2421( 1 nn ++++++++= −
2
)1(12
++−= nnn
111 CBAABC − 90=∠BAC
21 == BCAA
1BB M 1BCAM ⊥ M
C 11BCA
B
1A B1
C1
C
A
M 1BCAM ⊥
1111 BACA ⊥ AACA 111 ⊥
⊥11CA 11 AABB
AMCA ⊥11又 ，所以 平面
所以
所以 ∽
所以
所以存在点 且 是 的中点；
（2）（等体积法）
19.某市教育局为了提高三数学学习效率，对数学课堂进行教改，打破原来题海战术，重视
知识点的掌握，现在记录某重点高中以学生所用时间 （单位： ）与掌握知识点个数 x 的
数据如下表所示：
知识点 x(个) 2 3 4 5
学习的时间 y(h) 2.5 3.0 4.0 4.5
(1) 据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用相关系数 加以说明（若 ，
则认为 y 与 x 有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
(2) 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
∧
＝ b
∧
x＋ a
∧
，预测掌握 6 个知识点需要多少时
间？
（3）据科学数据分析，大脑的遗忘规律性和学习的效率性，一个人连续学习最好不要
超过 5 个小时，学生的学习功效值 z 与 x,y 近似满足关系式 ，求掌握多少
个知识点时，学生的学习功效值最大？
附注：参考数据： ≈1.414.
参考公式：回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ，相关系数
1BCAM ⊥ ⊥AM 11BCA
BAAM 1⊥
ABMRt∆ ABARt 1∆
12
)2( 2
1
2
===
AA
ABBM
M M 1BB
BCA
CCA
S
ABS
d
11
11
∆
∆ ×
=
BACA
ABCCCA
111
111
×
××=
222
222
2 +×
××=
3
32=
y h
r | | 0.75r ≥
107.5 7z x xy= −
2
y bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
∧
=
=
− −
=
−
∑
∑ a y b x
∧ ∧
= −
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑【解析】由表中数据得：
4
∑
i＝1
xiyi＝52.5，x＝3.5，y＝3.5，
4
∑
i＝1
x2i＝54, ，
r＝
因为 y 与 x 的相关系数近似为 0.99>0.75，说明 y 与 x 的线性 相关程度相当高，从而可
以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
（2）∴ b
∧
＝ 0.7， a
∧
＝1.05，∴ y
∧
＝0.7x＋1.05.
将 x＝6 代入回归直线方程，
得 y
∧
＝0.7×6＋1.05＝5.25(小时)．
∴预测包装 10 个商品包装需要 5.25 小时．
（3）由题意可得
当掌握知识点个数 x=3 时，学生的学习功效值 z 取最大值 9.
20. 已知抛物线 的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点 为抛物线 上一点.
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，过 作 的两弦 与 ，若 ，求证:直线
过定点.
【答案】（1） 或 ； （2）证明见解析．
【解析】
（1）当焦点在 轴时，设 的方程为 ，代人点 得 ，即
.当焦点在 轴时，设 的方程为 ，代人点 得 ，即
，
4
2
1
51.5i
i
y
=
=∑
4
1
4 42 22 2
1 1
4 54 49
54 49 51.5 494 4
i i
i
i i
i i
x y xy
x x y y
=
= =
− −=
− −− −
∑
∑ ∑
3.5 0.7 0.9900.7075 2
2
= = ≈
4
1
4 22
1
4 52.5 49
54
i i
i
i
i
x y xy
x x
=
=
− −= =
−
∑
∑
2 2107.5 6 ( 3) 97z x xy x x x= − = − + = − − +综上可知： 的方程为 或 . ············4 分
（2）因为点 在 上，所以曲线 的方程为 . ········5 分
设点 ，
直线 ，显然 存在，联立方程有：
.··········7
分 ,
即 即 .··········9
分
直线 即 ············11
分
直线 过定点 . ············12 分
21. 已知函数
(1)求函数 在区间 的最小值;
(2)若函数 在 上有两个零点 且 ﹐证明:
【解】（1）由 ，令
，则
在 上单调递增，又
所以存在 ，使得 ，所以在 上 ， 单调递减，
在 上 ， 单 调 递 增 ， 又
，
所 以
对
2( ) cosπ= +f x x x
( )f x [0, ]2
π
( ) ( )= −g x f x m [0, ]π 1 2, ，x x 1 202
，π π π ′ ′= = f f
x [ ]2
，π π∈ ( ) 0′ ≥f x ( )f x [ ]2
，π π 2( ) ，π π=f
( ) ( )= −g x f x m [0, ]π 1 2, ，x x ( )=y f x =y m
2
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