数学(理科)
注意事项:
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.已知全集 U=Z,A={1,2,3,4},B={x|(x+1)(x-3)>0,x∈Z},则 A∩( B)=
A.{1,2} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{1,2,3,4}
2.已知复数 z= ,则 z 的共轭复数 =
A. B. C. D.
3.函数 y=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是
4.(1-2t)(1+t)6 的展开式中,t3 项的系数为
A.20 B.30 C.-10 D.-24
5.2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式。孪生
素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数 p
使得 p+2 是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数。从 20 以内的素数中任取两个,其中能构
成孪生素数的概率为
A. B. C. D.
6.如图所示的程序框图,则输出的 x,y,z 的值分别是
U
1
2
i
i
−
+ z
1 3
5 5 i− 1 3
5 5 i+ 1 3
5 5 i− − 1 3
5 5 i− +
1
a
1
14
1
7
3
14
1
3A. ,600, B.1200,500,300 C.1100,400,600 D.300,500,1200
7.若 θ∈[ ],sin2θ= ,则 sinθ=
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的一点,
若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 36π,则 p=
A.2 B.4 C.6 D.8
9.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,△ABC 为等边三角形,PA=AB,E 是 PC 的中点,
则异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
10.直线 x=2 与双曲线 的渐近线交于 A,B 两点,设 P 为双曲线上任意一点,若
(a,b∈R,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是
A.|ab|=2 B.a2+b2≥4 C.|a-b|≥2 D.|a+b|≥2
11.已知函数 f(x)=cosxsin2x,给出下列命题:
① x∈R,都有 f(-x)=-f(x)成立; ②存在常数 T≠0, x∈R 恒有 f(x+T)=f(x)成立;
③f(x)的最大值为 ; ④y=f(x)在[ ]上是增函数。
以上命题中正确的为
A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④
12.已知函数 f(x)=lnx- ax2+(a-1)x+a(a>0)的值域与函数 f(f(x))的值域相同,则 a 的取值
范围为
A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0, ] D.[ ,+∞)
第 II 卷
1300
9
1120
3
,4 2
π π 3 7
8
3
5
4
5
7
4
3
4
1
6
1
4
1
3
1
2
2 2
116 9
x y− =
OP aOA bOB= +
∀ ∀
2 3
9 ,6 6
π π−
1
2
4
3
4
3二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把各题答案的最简形式写在题中的横
线上。
13.已知向量 a=(1,4),b=(-2,k),且(a+2b)与(2a-b)共线,则实数 k= 。
14.某中学有学生 3600 名,从中随机抽取 300 名调查他们的居住地与学校之间的距离,其中不
超过 1 公里的学生共有 15 人,不超过 2 公里的学生共有 45 人,由此估计该学校所有学生中
居住地到学校的距离在(1,2]公里的学生有 人。
15.如图所示,在正四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,E,F 分别是 AB,
CD 的中点,cos∠PEF= ,若 A,B,C,D,P 在同一球面上,则此球的体积为 。
16.如图,在△ABC 中,AC⊥BC,D 为 BC 边上的点,M 为 AD 上的点,CD=1,∠CAB=∠
MBD=∠DMB,则 AM= 。
三、解答题:本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为
必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分
17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}和递增的等比数列{bn}满足:a1=1,b1=3 且 b3=2a5+3a2,b2=a4+2。
(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,若对任意的 n∈N*,kbn≥Sn 恒成立,求实数 k 的取值范围。
18.(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,AB=AA1,∠BAA1=60°。
(1)求证:A1C⊥B1A1;
(2)若平面 ABC⊥平面 ABB1A1,且 AB=BC,求直线 CB1 与平面 A1BC 所成角的正弦值。
2
219.(本小题满分 12 分)
2019 年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情,生猪大量病死,存栏量急剧下降,一
时间猪肉价格暴涨,其他肉类价格也跟着大幅上扬,严重影响了居民的生活。为了解决这个
问题,我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情,扩大生产;另一方面积极向多个
国家开放猪肉进口,扩大肉源,确保市场供给稳定。某大型生猪生产企业分析当前市场形势,
决定响应政府号召,扩大生产。决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就“一天中一头猪
的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究。现相关数据统计如下表:
(1)研究员甲根据以上数据认为 y 与 x 具有线性回归关系,请帮他求出 y 关于 x 的线性回归方
程 ;(保留小数点后两位有效数字)
(2)研究员乙根据以上数据得出 y 与 x 的回归模型: 。为了评价两种模型的拟
合效果,请完成以下任务:
①完成下表(计算结果精确到 0.01 元)(备注: 称为相应于点(xi,yi)的残差);
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 Q1 及 Q2,并通过比较 Q1,Q2 的大小,判断哪个模
型拟合效果更好。
(3)根据市场调查,生猪存栏数量达到 1 万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为 7.5 元;生猪
存栏数量达到 1.2 万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为 7.2 元。若按(2)中拟合效果较好的
模型计算一天中一头猪的平均成本,问该生猪存栏数量选择 1 万头还是 1.2 万头能获得更多利
润?请说明理由。(利润=收入-成本)
( )
1
y bx a= +
( )2 4 8 0 8y x
= +. .
ie参考公式: 。
参考数据: 。
20.(本小题满分 12 分)
已知 A(x0,0),B(0,y 0)两点分别在 x 轴和 y 轴上运动,且|AB|=1,若动点 P(x,y)满足
。
(1)求出动点 P 的轨迹 C 的标准方程;
(2)设动直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点,与圆 x2+y2=7 相交于两点 P1,P2(两点均不在
坐标轴上),求直线 OP1、OP2 的斜率之积。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)= +lnx(a∈R,a 为常数)。。
(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2)若函数 f(x)在(e,+∞)内有极值,试比较 ea-1 与 ae-1 的大小,并证明你的结论。
(二)选考题:共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题记
分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),曲线 C1 的方程为 x2
+(y-1)2=1。以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求直线 l 和曲线 C1 的极坐标方程;
(2)曲线 C2:θ=α(ρ>0,0