黑龙江省2020届高三数学（理）第三次模拟试题（Word版附答案）

2020 届高三第三次模拟 考试 理科数学试卷 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分， 满分 150 分，考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的 签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸 刀． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2．设 ,则 （ ） A．2 B．3 C． D． 3．已知向量 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．设 则（ ） A． B． { }032 ≤−== xxyxA { }13 >== xyxB =∪ BA ]3,0( ),0[ +∞ { }30 ( ]0,x a∈ ( )f x [ ]ea 2,1∈ x 4 5)( =xf mxf =)( 4 5−=m ( )2,2P 2 4y x= ,A B 0PA PB+ =   xxxf ln)( = , , ,A B C D A C B D A B C D A B C D则 队最终获得冠军的概率为_____. 16．正方体 的棱长为 2，点 在棱 上运动，过 三点作正方体的截面，若 为棱 的中点，则截面面积为 _________，若截面把正方体分成体积之比为 的两部分，则 =_______. 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为 ， （Ⅰ）求等差数列 的通项公式； （Ⅱ）若公差 ，求数列 的前 项和 . 18．（本小题满分 分） 如图，在多面体 中，正方形 所在平面垂直于平 面 ， 是 等 腰 直 角 三 角 形 , ， ∥ ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值. n A 1 1 1 1ABCD A B C D− K 1 1A B , ,A C K K 1 1A B 1:3 KB1 { }na 3− 15 { }na 0>d { }na nT 12 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C ABC ABC∆ 1== BCAC 1 1B A BA 1 1 1 2B A BA= 1 1C A ⊥ 1 1ABB A M BB1 CM AAC 11y xDo 19．（本小题满分 分） 已知点 ，过点 作抛物线 的两切线，切点为 ． （Ⅰ）求两切点 所在的直线方程； （Ⅱ）椭圆 ，离心率为 ，（Ⅰ）中直线 AB 与 椭圆交于点 P，Q， 直线 的斜率分别为 ， ， ，若 ， 求椭圆的方程． 20．（本小题满分 分） “海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在 海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞 争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病 的功效，防癌效果尤为显著。海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验 基地为了研究海水浓度 (‰)对亩产量 (吨)的影响,通过在试验田的种植实 验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用 线性回归模型拟合亩产量 与海水浓度 之间的相关关系,用最小二乘法计 算得 与 之间的线性回归方程为 ． 12 )2,2 1( −D D yxC =2 1 : ,A B ,A B 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 , ,PQ OP OQ k 1k 2k 1 2+ =3k k k 12 x y y x y x .88ˆ 0ˆy bx= +海水浓度 (‰) 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （Ⅰ）请你估计：当浇灌海水浓度为 8‰时，该品种的亩产量. （Ⅱ） (i )完成上述残差表: (ii)统计学中，常用相关指数 来刻画回归效果, 越大,模型拟合效果越好, 并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据， 利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?（计算中数据 精确到 ） (附:残差公式 ，相关指数 ) 21．（本小题满分 分） 已知函数 （ ） （Ⅰ）若 为 的极大值点，求 的取值范围；. （Ⅱ）当 时，判断 与 轴交点个数，并给出证明. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时请写清题号。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 ix iy ∧ ie 2R 2R 01.0 ˆ ˆi i ie y y= − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ˆ 1 n i i i n i i y y R y y = = − = − − ∑ ∑ 12 axxaexxf x −+−= ln)2()( Ra∈ 1=x )(xf a 0≥a )(xfy = x在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 ， 的极坐标方程分别为 ， ， 交 曲 线 于 点 , 交 曲 线 于 点 . （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）求 的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲 已知函数 ． （Ⅰ）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若不等式 对任意 成立，求实数 的取值范围． C 2 3cos 3sin x y α α = +  = α 1l 2l 0 θ θ= 0 0( (0, ), )2 R πθ θ θ π ρ= + ∈ ∈ 1l C NM , 2l C QP, C 2 2| | | |MN PQ+ ( ) 1 2 2x xx xf + − − −= x ( )f x a> a ( ) 3f x x m≤ −+ x R∈ m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A C D C C D B D B 13、 14、 15、0.22 16、 17.解： （1）由 ，得 所以 ( 1 分 ) 又 得 ，即 ( 2 分 ) 所以 ， ( 4 分 ) 即 或 ( 6 分 ) （2）当公差 时， 1）当 时， ， ( 7 分 ) 设数列 的前项和为 ，则 ( 8 分 ) 2）当 时， ( 10 分) 所以数列 的前 项和 ( 12 分) 18.解： （1）可取 中点 ，连结 ,证明四边形 为平行四边形， 且 平面 即可（6 分） （2）易知 两两垂直，故以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系。 可求得 ，（7 分） 平面 的一个法向量为 （9 分） 设直线 与平面 所成角为 ，则 （11 分） n xy = 3321 −=++ aaa 33 2 −=a 12 −=a 15321 =aaa 1531 −=aa    −=+ −=+ 15)2( 1 11 1 daa da    = −= 4 51 d a    −= = 4 31 d a 94 −= na n nan 47 −= 0>d 94 −= na n 2≤n 094 +=′ xexxg ）（ ea = ea > ea < 1=x ea >① 在 单调递增， ， 有唯一零点 ② 满足 ， 在 增， 减 增 当 时 恒成立，当 有唯一零点 ③ 在 增， 减 增 在 无零点，在 有唯一零点 综上： ， 有唯一零点（12 分） 22．解：（1）曲线 E 的普通方程为 令 ， 得 ， 即曲线 E 极坐标方程为 ......4 分 （2）依题意得 ，根据勾股定理， ， 将 ， 代入 中， 得 ， ......6 分 设点 所对应的极径分别为 ， ， ， ， ... ...7 分 则 ， ， ， ... ...8 分 ∴ ... ...10 分 ea = )(xf )0( ∞+， 0)2( f ea < 0x 0)( =−= axexg x 10 + aaaaaaaf ） ea > )(xf )1,0( ),1( 0x )( 0 ∞+，x 0)1()( 0