高三数学试卷(理科)
考生注意：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.若集合 M＝{x|x6}，则 M∩N＝
A.(－ ，2) B.(－∞，－ ) C.(－∞，2) D.(－∞，－ )∪(2， )
2.设 z＝2＋(3－i)2，则 ＝
A.6＋10i B.6－10i C.10＋6i D.10－6i
3.已知 P 为椭圆 短轴的一个端点，F1，F2 是该椭圆的两个焦点，则△PF1F2 的面积
为
A. B.2 C.4 D.2
4.2020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的 70
名患者中了解到以下数据：
根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为(精确到个位数)
A.6 天 B.7 天 C.8 天 D.9 天
5.若函数 f(x)＝3x＋log2(x－2)，则 f(5)＋f( )＝
A.24 B.25 C.26 D.27
6.函数 f(x)＝|1＋2sin2x|的最小正周期为
A. B.π C. D.2π
7.在平行四边形 ABCD 中，若 ，则 ＝
6 6 6 6
z
2 2
13 2
x y+ =
2 2
10
3
2
π 3
2
π
4CE ED= BEA. B. C. D.
8.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a10＝ a6，若 mS32＝S8＋S24，则 m＝
A. B. C. D.
9.已知双曲线 C： 的右顶点为 A，直线 y＝ (x＋a)与 C 的一条渐
近线在第一象限相交于点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为
A. B. C.2 D.3
10.已知函数 f(x)＝ ，若关于 x 的方程(f(x)－ )(f(x)－m)＝0 恰有 5 个
不同的实根，则 m 的取值范围为
A.(1，2) B.(2，5)∪{1} C.{1，5} D.[2，5)∪{1}
11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为
A. B. C.25π D.32π
12.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f( )＝ ，f'(x)＋4x>0，其中 f'(x)为 f(x)的导函数，则不
等式，f(sinx)－cos2x≥0 的解集为
A.[－ ＋2kπ， ＋2kπ]，k∈Z B.[－ ＋2kπ， ＋2kπ]，k∈Z
C.[ ＋2kπ， ＋2kπ]，k∈Z D.[ ＋2kπ， ＋2kπ]，k∈Z
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。
4
5 AB AD− + 4
5 AB AD− 4
5AB AD− + 3
4 AB AD− +
2
7
15
1
2
8
15
7
16
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 3
2
2 3
2 4 1 0
2 2 0x
x x x
x−
− − + ≤
− >
，
，
2
25
4
π 64
3
π
1
2
1
2
3
π
3
π
6
π
6
π
3
π 2
3
π
6
π 5
6
π13.( )20 的展开式的第 2 项的系数为 。
14.设 x，y 满足约束条件 ，则当 z＝2x＋y 取得最大值时，y＝ 。
15.在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 BC 的中点，若 BD1 与该正四棱柱的每个面所成
角都相等，则异面直线 C1E 与 BD1 所成角的余弦值为 。
16.定义 p(n)为正整数 n 的各位数字中不同数字的个数，例如 p(555)＝1，p(93)＝2，p(1714)＝
3。在等差数列{an}中，a2＝9，a10＝25，则 an＝ ，数列{p(an)}的前 100 项和为 。
(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分
17.(12 分)
设 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边。已知 acosB＝bcosA＋c。
(1)证明：△ABC 是直角三角形。
(2)若 D 是 AC 边上一点，且 CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD 的面积。
18.(12 分)
甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的 2 倍，丙的命中率等于甲与
乙的命中率之和。若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为 0.18。
(1)求甲、乙、丙三人投篮的命中率；
(2)现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为 X，求 X
的分布列及数学期望。
19.(12 分)
如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA⊥底面 ABCD。
(1)证明：平面 PBD⊥平面 PAC。
3
1x
x
−
1 0
1 0
3 0
x y
x y
x
− + ≥
+ + ≥
− ≤
(2)若∠BAD＝60°，且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 ，求∠PCA 的大
小。
20.(12 分)
设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点。
(1)若 l 过点 F，且|MN|＝3p，求 l 的斜率；
(2)若 p( ，p)，且 l 的斜率为－1，当 P l 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围(用 p 表示)，
并证明∠MPN 的平分线始终与 y 轴平行。
21.(12 分)
已知函数 f(x)＝ex－1－2lnx＋x。
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)≥(x－2)3－3(x－2)。
(二)选考题：共 10 分。请考生从第 22，23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
个题目计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝k|x－3|。以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 E 的极坐标方程为 ρ＋ ＝6(cosθ＋2sinθ)。
(1)求 E 的直角坐标方程(化为标准方程)；
(2)若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)＝|2x－5|－|2x＋1|。
(1)求不等式，f(x)>1 的解集；
(2)若不等式 f(x)＋|4x＋2|>|t－m|－|t＋4|＋m 对任意 x∈R，任意 t∈R 恒成立，求 m 的取值范
围。
2 7
7
2
p ∉
27
ρ
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