数学试卷二
一、单选题（共 20 题；共 40 分）
1.已知双曲线 M 的实轴长为 2，且它的一条渐近线方程为 y=2x，则双曲线 M 的标准方程可能
是（ ）
A. x2﹣4y2=1 B. =1 C. ﹣x2=1 D. y2﹣4x2=1
2.已知集合 A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则 A∩B=（ ）
A. （2，+∞） B. （4，+∞） C. [2，4] D. （2，4]
3.已知复数 z 满足 z= （i 为虚数单位，a∈R），若复数 z 对应的点位于直角坐标平面内的
直线 y=﹣x 上，则 a 的值为（ ）
A. 0 B. l C. ﹣l D. 2
4.等差数列 的前 n 项和为 ,且满足 ,则下列数中恒为常数的是( )
A. B. C. D.
5.已知直线 l1:y=4x，l2:y=-4x，过 的直线 l 与 l1,l2 分别交于 A,B，若 M 是线段 AB 的中点，
则|AB|等于（ ）
A. 12 B. C. D.
6.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到 ，则 的函
数解析式为（ ）
A. B. C. D.
7.已知在长为 的线段 上任取一点 ，并以线段 为半径作圆，则这个圆的面
积介于 与 之间的概率为( )
A. B. C. D.
8.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含 正半轴上的整点），其运动规律为
或 。若该动点从原点出发，经过 6 步运动到 点，则有
（ ）种不同的运动轨迹。
A. 15 B. 14 C. 9 D. 10
9.已知集合 ,从集合 A 中任取一个元素,则这个元素也是集合
B 中元素的概率是
A. B. C. D.
10.如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C：x2+y2=λ 恰好有两个不同的公共点，则实数 λ 的取值范
围是（ ）
A. {2}∪（4，+∞） B. （2，+∞） C. {2，4} D. （4，+∞）
11.设定义在（0，+∞）上的单调函数 f（x），对任意的 x∈（0，+∞）都有 f[f（x）﹣log2x]=3，
若方程 f（x）+f′（x）=a 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （1，+∞） B. （2+ ，+∞） C. （2﹣ ，+∞） D. （3，+∞）
12.设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域
为 （ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数 为“3 倍
函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13.椭圆与双曲线共焦点 、 ，它们的交点 对两公共焦点 、 的张角为
，椭圆与双曲线的离心率分别为 、 ，则（ ）
A. B.
C. D.
14.设函数 ， 则函数 的各极小值之和为 （ ）
A. B. C. D.
15.已知函数 f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的图象过点 ，且在（ ，
）上单调，同时 f（x）的图象向左平移 π 个单位之后与原来的图象重合，当 ，
且 x1≠x2 时，f（x1）=f（x2），则 f（x1+x2）=（ ）
A. ﹣ B. ﹣1 C. 1 D.
16.对 ， 运算“ ”、“ ”定义为： ， ， 则下列各式其
中不恒成立的是（ ）
⑴ ⑵
⑶ ⑷
A. ⑴、⑶ B. ⑵、⑷ C. ⑴、⑵、⑶ D. ⑴、⑵、⑶、⑷
17.已知函数 ，则（ ）
A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减
C. 的图像关于直线 x=1 对称 D. 的图像关于点（1，0）对称
18.已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递增区间是
（ ）.
A. B. C. D.
19.已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，数列 满足 ，
且 ，（其中 为 的前 n 项和）.则 =（ ）
A. B. C. D.
20.已知函数 ，集合 M={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，现从 M 中任取两个不同元
素 m，n，则 f（m）f（n）=0 的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共 10 题；共 10 分）
21.函数 f（x）= 的反函数 f﹣1（x）=________．
22.设向量 =（3，3）， =（1，﹣1），若（ +λ ）⊥（ ﹣λ ），则实数
λ=________．
23.若变量 x，y 满足约束条件= ， 则 z=2x+3y 的最大值为________
24.p：x≠2 或 y≠4 是 q：x+y≠6 的________条件．（四个选一个填空：充分不必要，必要不充分，
充要，既不充分也不必要）
25.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为________．（选填“甲”或
“乙”）
26.若 ，则 ________， ________.
27.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点 P 在以点 C 为圆心，且与直
线 BD 相切的圆内运动，设 （α，β∈R），则 α+β 的取值范围是
________．
28.设 是边长为 的正六边形 的边上的任意一点，长度为 的线段
是该正六边形外接圆的一条动弦，则 的取值范围为________.
29.定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（e+x）＝f（e﹣x），且 f（0）＝0，当 x∈（0，e]时，f
（x）＝lnx 已知方程 在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为 3ea，将函数
的图象向右平移 a 个单位长度，得到函数 h（x）的图象，，则 h（7）＝
________.
30.各项均为正数的等比数列{an}满足 a3、a5、a6 成等差数列，则 =________．
三、解答题（共 5 题；共 50 分）
31.企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）
的 8%缴纳，某企业员工甲在 2010 年至 2016 年各年中每月所缴纳的养老保险数额 y（单位：
元）与年份序号 t 的统计如表：
年份 20102011 2012 2013 2014 2015 2016
t 1 2 3 4 5 6 7
y 270 330 390 450 490 540 610
（1）求 y 关于 t 的线性回归方程 = t+ ；
（2）按照这种变化趋势，利用（1）中回归方程，预测 2017 年该员工每月的平均工资（精确
到 0.1）．
参考公式和数据： = ， = ﹣b ， tiyi=13860， ti2=140．
32.已知数列 满足 ，且 时， ， ， 成等差数列．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
33.已知函数 f（x）=ex﹣ax﹣1（a 为常数），曲线 y=f（x）在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为
﹣1．
（1）求 a 的值及函数 y=f（x）的单调区间；
（2）若 x1＜ln2，x2＞ln2，且 f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜2ln2．
34.从 0，1，2，3，4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 Y 为所组成的三位数
各位数字之和．
（1）求 Y 是奇数的概率；
（2）求 Y 的概率分布和数学期望．
35.已知椭圆 过点（0，﹣2），F1 ， F2 分别是其左、右焦点，O 为坐
标原点，点 P 是椭圆上一点，PF1⊥x 轴，且△OPF1 的面积为 ，
（1）求椭圆 E 的离心率和方程；
（2）设 A，B 是椭圆上两动点，若直线 AB 的斜率为 ，求△OAB 面积的最大值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】 D
5.【答案】 B
6.【答案】 C
7.【答案】 D
8.【答案】 C
9.【答案】 C
10.【答案】 A
11.【答案】B
12.【答案】 A
13.【答案】 B
14.【答案】 D
15.【答案】A
16.【答案】 B
17.【答案】 C
18.【答案】 C
19.【答案】 A
20.【答案】A
二、填空题
21.【答案】x3+1
22.【答案】 ±3
23.【答案】5
24.【答案】必要不充分
25.【答案】 甲
26.【答案】 –2；–154
27.【答案】（1， ）
28.【答案】
29.【答案】
30.【答案】 1 或
三、解答题
31.【答案】 （1）解：∵ =4， =440， tiyi=13860， ti2=140，
∴ = =55， =220，所求回归方程为 =55t+220
（2）解：将 t=8 代入（1）中的回归方程，得 =55×8+220=660，
故预测 2017 年该员工每月的平均工资为 =8250
32.【答案】 （1）证明：由题意，当 时， ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，
，
又 ，
数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）解：由（1），知 ，
即 ， ．
33.【答案】 （1）解：由 f（x）=ex﹣ax﹣1，得 f′（x）=ex﹣a．
又 f′（0）=1﹣a=﹣1，
∴a=2．
∴f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2．
由 f'（x）=ex﹣2＞0，得 x＞ln2．
∴函数 f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
（2）解：证明：设 x＞ln2，
∴2ln2﹣x＜ln2，
∴f（2ln2﹣x）=e2ln2﹣x﹣2（2ln2﹣x）﹣1= +2x﹣2ln2﹣1，
令 g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）= ﹣4x+4ln2，（x＞ln2），
∴g′（x）=ex+4e﹣x﹣4≥0，当且仅当 x=ln2 时，等号成立，
∴g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
又 g（ln2）=0，
∴当 x＞ln2 时，g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）＞g（ln2）=0，
即 f（x）＞f（2ln2﹣x），
∴f（x2）＞f（2ln2﹣x2），
又 f（x1）=f（x2），
∴f（x1）＞f（2ln2﹣x2），
由于 x2＞ln2，
∴2ln2﹣x2＜ln2，
∵x1＜ln2，
由（Ⅰ）函数 f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，
∴x1＜2ln2﹣x2 ，
即 x1+x2＜2ln2
34.【答案】 （1）解：记“Y 是奇数”为事件 A．能组成的三位数的个数为 48，Y 是奇数的个数
为 28．
所以 ．
答：Y 是奇数的概率为 ．
（2）Y 的可能取值为 3，4，5，6，7，8，9．
∴当 Y=3 时，组成的三位数只能是 0，1，2 三个数字组成，P（Y=3）= = = ；
同理可得：P（Y=4）= = ；P（Y=5）= ×2= ；P（Y=6）= + = =
；
P（Y=7）= + = ；P（Y=8）= = ；P（Y=9） = ．
可得分布列：
Y 3 4 5 6 7 8 9
P（Y）
∴EY= +4× +5× +6× +7× +8× +9× = ．
35.【答案】 （1）解：由题意可得：b=2．由 PF1⊥x 轴，把 x=c 代入题意可得： + =1，
解得 y= ．
∵△OPF1 的面积为 ，∴ = ，可得： = =e，又 a2=b2+c2 ，
联立解得 a2=8，c=2．
∴椭圆 E 的方程为： =1
（2）解：设直线 AB 的方程为：y=﹣ x+t，与椭圆方程联立可得：9x2﹣8tx+16t2﹣64=0．
△=64t2﹣36（16t2﹣64）＞0，解得 ＜t＜ ．
∴x1+x2= ，x1•x2= ，
∴|AB|= = • = ．
点 O 到直线 AB 的距离 d= ．
∴S△OAB= |AB|•d= ≤ × =2 ．当且仅当 t= 时取等号，
满足△＞0．
∴△OAB 面积的最大值为 2
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