甘肃省武威第六中学2020届高三数学（文）下学期第六次诊断试题（Word版附答案）

武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 文 科 数 学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1．设全集 ，且 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知 （ 是虚数单位），那么复数 对应的点位于复平面内的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成 绩 关于测试序号 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变 化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大； ③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升。 其中错误的结论的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 4．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式为 A. B. 　 C. D. 5. 已知 ，若 ， ，则 是 的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在△ABC 中，若 ，那么△ABC 一定是 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。已知 某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则 该“堑堵”的侧面积为 U R= { || 1| 2}A x x= − > 2{ | 6 8 0}B x x x= − + < ( )UC A B = [ 1,4)− ( 1,4)− (2,3) (2,3] (3 3 ) 2 3i z i+ ⋅ = − i z y x ( ) sin(2 )6f x x π= + 6 π ( )g x ( )g x ( ) cos2g x x= ( ) cos2g x x= − ( ) sin 2g x x= ( ) sin(2 )3g x x π= + ,x y R∈ : 2 2 4x yp + > : 2q x y+ > p q sin 2sin cosB A C=A． B． C． D． 8．已知函数 的图象恒过定 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 9．已知函数 （其中 为自然对数的底数），则 图象大致为 A． B． C． D． 10．菱形 的边长为 ， ，沿对角线 折成一个四面体，使得平面 平面 ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为 A． B C． D． 11．已知 、 为椭圆 ： （ ）的左右焦点，过 的直线交椭圆 于 、 两点， ，且 ，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 12．设函数 ，则满足 的 的取值范围为 A．（﹣4，3） B．（﹣5，2） C．（﹣3，4） D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．不等式组 ，则表示区域的面积为 14．如图所示，在 中， ， ，在 内过点 任作 一射线与 相交于点 ，使得 的概率为 2 2 4 2+ 4 2 2+ 4 4 2+ ( ) 2 1f x ax a= + − A A 1 0mx ny+ + = 0m n⋅ > 1 2 m n + 2 2 2 4 2 8 ( ) 2 1xf x e x= − − e ( )y f x= ABCD 3 60B∠ =  AC ACD ⊥ ABC 15π 12π 8π 6π 1F 2F C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2F P Q 1PF PQ⊥ 1| | | |PF PQ= 3 2− 2 2 6− 2 3− 6 3− 2log ( 1), 0 ( ) , 0 x x f x x x + ≥=  − 3 m P l Q OP | | | | 1OP OQ⋅ = Q方程，并指出轨迹是什么图形。 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲 设不等式 的解集为 ， 。 （1）证明： ； （2）若函数 ，关于 的不等式 恒成 立，求实数 的取值范围。 武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 文科数学试卷答案 1-5 D C AAA, 6-10 BDDCA 11-12 DB 13． 14. 1/2 15.-2 16. 1 与 3 17(1)证明：∵ ，∴ ， 1 分 又∵底面 为菱形， ， 2 分 连 ，则 为正三角形，∴ ， 3 分 又 ， 平面 ， 4 分 ∴ 平面 ； 5 2 | 1| | 2 | 0x x− < − − + < M ,a b M∈ 1 1 1| |3 6 4a b+ < ( ) | 2 1| | 2 3|f x x x= + + − x 2 2( ) log ( 3 ) 2f x a a− − > a PDPA = ADPQ ⊥ ABCD 60=∠BAD BD ABD∆ ADBQ ⊥ QBQPQ = ⊂BQPQ、 PQB ⊥AD PQB分 (2)解：∵平面 平面 ，平面 平面 ， 6 分 ，∴ 平面 ， 7 分 ∵ 平面 ，∴ ， 8 分 又 ， ，∴ 平面 ，又 ， 10 分 ∴ 。 12 分 18．(1)由 餐厅分数的频率分布直方图，得对 餐厅评分低于 分的频率为： 2 分 ∴对 餐厅评分低于 的人数为 人， 4 分 (2)对 餐厅评分在 范内的有 人，设为 、 ， 对 餐厅评分在 范围内的有 人，设为 、 、 ， 从这 人中随机选出 人的选法为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 共 种 ， 6 分 其中恰有 人评分在 范围内的选法包括： 、 、 、 、 、 ，共 种， 8 分 故 人 中 恰 有 人 评 分 在 范 围 内 的 概 率 为 ， 9 分 (3)从两个餐厅得分低于 分的人数所占的比例来看，由(1)得，抽样的 人中， 餐厅评分低于 的人数为 ， ∴ 餐厅评分低于 分的人数所占的比例为 ， 10 分 餐厅评分低于 分的人数为 ， ⊥PAD ABCD PAD ADABCD = ADPQ ⊥ ⊥PQ ABCD ⊂BC ABCD BCPQ ⊥ BQBC ⊥ QQPQB = ⊥BC PQB MCPM 3= 4 324 3332 1 3 1 =×××××== −− PQBMQBMP VV A A 30 2.010)012.0005.0003.0( =×++ A 30 202.0100 =× B )10,0[ 2 m n B )20,10[ 3 a b c 5 2 mn ma mb mc na nb nc ab ac bc 10 1 )10,0[ ma mb mc na nb nc 6 2 1 )10,0[ 5 3 10 6 ==P 30 100 A 30 20 A 30 %20 B 30 10532 =++∴ 餐厅得分低于 分的人数所占的比例为 ， 11 分 ∴会选择 餐厅用餐。 12 分 19．解：（1）令 ， 当 时， ， 当 时， ，则 ， 故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2） ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 20． (1)设 ， ， 以 为切点的切线为 ，整理得： ， 1 分 同理：以 为切点的切线为： ， 2 分 联立方程组： ，解得 。 3 分 不妨设直线 的方程为： ， 4 分 联立方程组 得： ， 5 分 ∴ ， ，∴ ， ∴点 的轨迹方程为 ； 6 B 30 %10 B ,3 2 5n n n n nS b a = = − 2n ≥ 1 1 1 3 3 3n n n n nb S S − −= − = − = 1n = 1 1 3b = 1 2 5 3n n nb a = =− 3 5.2n na +=  1 1 4 4 1 1[ ](3 5)[3( 1) 5] 3 (3 5) 3( 1) 5n na a n n n n+ = = −+ + + + + + 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]3 1 5 3 2 5 3 2 5 3 3 5 3 5 3( 1) 5nT n n ∴ = − + − + ⋅⋅⋅ + −× + × + × + × + × + + + 166249 4 6 1 5)1(3 1 8 1 3 4 +=+−=    ++−= n n nn )2,( 2 1 1 xxA )2,( 2 2 2 xxB A )(2 11 2 1 xxxxy −=− 2 2 1 1 xxxy −⋅= B 2 2 2 2 xxxy −=       −= −= 2 2 2 2 2 2 1 1 xxxy xxxy )2,2( 2121 xxxxP + AB )1(1 −=− xky    = −=− 2 2 1 )1(1 xy xky 02222 =−+− kkxx kxx 221 =+ 2221 −= kxx )1,( −kkP P 1−= xy分 (2) 由 (1) 知 ： ， 9 分 到直线 的距离为： ， 10 分 ∴ ， 11 分 ∴ 时， 取得最小值 ，此时直线 的方程为 。 12 分 21． (1) 的定义域为 ， 。 1 分 若 ，则 ，∴ 在 上单调递增。 2 分 若 ，则当 时， ； 3 分 当 时， 。 4 分 ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减。 5 分 (2)由(1)知，当 ， 在 上无最大值； 6 分 当 时， 在 取得最大值， 7 分 最大值为 。 8 分 22124)(1|| 22 21 2 21 2 +−⋅+=−+⋅+= kkkxxAB )1,( −kkP AB 2 2 1 |22| k kkd + +−= 3232 ]1)1[()22(||2 1 +−=+−=⋅= kkkdABS 1=k S 1 AB xy = )(xf ),0( +∞ axxf −=′ 1)( 0≤a 0)( >′ xf )(xf ),0( +∞ 0>a )1,0( ax ∈ 0)( >′ xf ),1( +∞∈ ax 0)( a )(xf ax 1= 1ln)11(1ln)1( −+−=−+= aaaaaaf∴ 等价于 。 9 分 令 ， 则 在 上 单 调 递 增 ， 。 10 分 于是，当 时， ；当 时， 。 11 分 ∴ 的取值范围是 。 12 分 22．【解析】(1)以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系， 则点 的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 ， 2 分 由 点 到 直 线 的 距 离 为 ， ∴ ； 4 分 (2) 由 (1) 得 直 线 的 方 程 为 ， 设 ， ， ( )， 则 ，即 ①， 6 分 ∵点 在直线 上，∴ ②， 7 分 将①代入②得 ，则点 轨迹方程为 ， ( )，8 分 化为直角坐标方程为 ( )， 则点 的轨迹是以 为圆心， 为半径，除去原点的圆。。 10 分 22)1( −> aaf 01ln