甘肃省武威第六中学2020届高三数学（理）下学期第六次诊断试题（Word版附答案）

武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 数 学（理） 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ， ，则 ( ) A． B． C ． D． 2．已知复数 z 满足 ，则 　　 A． B．1 C． D．5 3． 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手机市场 每月出货量以及与 2018 年当月同比增长的情况得到如下统计图，根据该图，下列说法 错误的是（ ） A．2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多 B．2019 年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C．2019 年全年手机市场总出货量低于 2018 年全年总出货量 D．2018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量 4．已知向量 ， ， ，则实数 的值为（ ） { }| 0 2A x x= < < 1 3 |log 2B x x  = 1|0 9x x < 1F 2F 2 2 2x y a+ = 1PF C P P 2 1 2PF F F= C为（ ）． A. B. C. D. 10．已知函数 ，其图象相邻的最高点之间的距离为 ， 将函数 的图象向左平移 个单位后得到 的图象，且 为奇函数， 则（ ） A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递增 11．已知三棱锥 中，侧面 底面 ， 是边长为 3 的正三角形， 是直角三角形，且 ， ，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A. B. C. D. 12．已知 M 是函数 的所有零点之和，则 M 的值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必 须做答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．曲线 在 处的切线斜率为_________． 14. 已知抛物线 过点 ，则抛物线 的准线方程为______. 15．已知下列命题： ①命题“ ”的否定是“ ”； ②已知 为两个命题，若“ ”为假命题，则“ 为真命题”； ③在 中，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件； ④“若 ，则 且 ”的逆否命题为真命题 10 3 5 3 3 2 5 4 ( ) ( )2sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > >=+ bab y a x 2 3 ），（ 2 31- ）（ 0,3若不存在，说明理由. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝ax－1－ln x(a∈R). （Ⅰ）讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2 恒成立，求实数 b 的 最大值. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4；坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为 （m 为参数），以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴，建立坐标系． （Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，若 ，求 的 值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）求不等式 f(x)>0 的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 有解，求实数 m 的取值范围. 2 3 4 2 4 x cos y sin θ θ  = − + = + 2 3 3 x m y m  = − + = ( )2 3 0P − ， 2 2 1 1 | |PNPM + ( ) 2 1 2f x x x= − − + 2 1 ( 3) 3 5m f x x+ ≥ + + +武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 理科数学答案 一、选择题 1--5 DCDCD 6---10 DDCBC 11---12 BD 二、填空题 13. 14. 15. ② 16.243 3402 三、解答题 17.解：（1）由 及正弦定理知 ， 又 ， 由余弦定理得 . ， .---------6 分 （2）由（1）知 ， 又 ，在 中，由正弦定理知： ，在 中，由正弦定理 及 ， ，解得 ， 故 .---------12 分 18.【详解】 （Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ，因为 为 的中点，则 ，且 ， 又 ，且 ，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ……5 分 （Ⅱ）由题意可知 ，所以 或其补角为异面直线 与 所成 e 1− 1 16y = − sin 3sinA B= 3a b= b c= 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 2 2 2 2 3 1 2 2 b b b b + −= = − ( )0,A π∈ 2 3A π= 6B C π= = 2 3a = ABC∆ 2AB = ABD∆ sin sin AB AD D ABD = ∠ 12ABD π∠ = 4D π∠ = 3 1AD = − 3 3 2ABDS∆ -= PD N ,CN MN M PA //MN AD 1 2MN AD= //BC AD 1 2BC AD= //MN BC MN BC= BMNC //BM CN CN ⊂ PCD BM ⊄ PCD //BM PCD //BC AD ADPÐ BC PD角，又 ， 为钝角三角形，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 ，以 为坐标原 点， 所在直线为 轴、 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ，向量 ， ， 设平面 的法向量为 ，由 得 ，令 ，得平面 的一个法向量为 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，设 二面角 的平面角为 ，则 ，则 ，故二面角 的正弦值为 …………12 分 19.解（Ⅰ）因为 ， ． 所以 ，所以 ， 所以 关于 的回归直线方程为： ．----------6 分 （Ⅱ）当 时， ，则 ， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．…… 8 分 （Ⅲ）设销售利润为 ，则 ，所以 时， 取最大值， 所以该产品单价定为 元时，公司才能获得最大利润．…………12 分 20.解：(1)由题意可得c a ＝ 3 2 ， 1 a2 ＋ 3 4b2 ＝1， 又 a2－b2＝c2，所以 a2＝4，b2＝1. 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)存在定点 Q(4 3 3 ，0)，满足直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称. AD PD= PAD△ 120ADP∠ = ° ABCD ⊥ PAD ABCD  PAD AD= AB AD⊥ AB ⊥ PAD A ,AD AB y z ( )0,0,0A ( )0,0,1B ( )0,2,0D ( )0,1,1C ( )3,3,0P ( )3, 2,1PC = − − ( )3, 3,1PB = − − PBC ( ), ,n x y z= 0 0 n PC n PB  ⋅ =  ⋅ =   3 0 0 z x y  − = = 1x = PBC ( )1,0, 3n = PCD ( )1, 3, 3m = − − B PC D− − θ 2 7cos 72 7 m n m n θ ⋅ = = =     2 42sin 1 cos 7 θ θ= − = B PC D− − 42 7 ( )1 11 10.5 10 9.5 9 105x = + + + + = ( )1 5 6 8 10 11 85y = + + + + = 2 392 5 10 8ˆ 3.2502.5 5 10b − × ×= = −− × ( )ˆ 8 3.2 10 40a = − − × = y x 3.2 40ˆy x= − + 7x = ˆ 3.2 7 40 17.6y = − × + = 17.6 18 0.4 0.5− = < M ( )( )( )5 3.2 40 5 11M x x x= − − + < ≤ 23.2 56 200M x x= − + − 8.75x = M 8.75设直线 l 的方程为 x＋my－ 3＝0，与椭圆 C 的方程联立得{x＋my－ 3＝0， x2 4＋y2＝1， 整理得 (4＋m2)y2－2 3my－1＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t，0)(依题意 t≠x1，t≠x2). 由根与系数的关系可得，y1＋y2＝2 3m 4＋m2 ，y1y2＝ －1 4＋m2. 直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称，则直线 QA 与直线 QB 的斜率互为相反数， 所以 y1 x1－t ＋ y2 x2－t ＝0，即 y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0. 又 x1＋my1－ 3＝0，x2＋my2－ 3＝0， 所以 y1( 3－my2－t)＋y2( 3－my1－t)＝0，整理得，( 3－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0， 从而可得，( 3－t)·2 3m 4＋m2 －2m· －1 4＋m2 ＝0， 即 2m(4－ 3t)＝0， 所以当 t＝4 3 3 ，即 Q (4 3 3 ，0)时，直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称.特别地，当 直线 l 为 x 轴时，Q (4 3 3 ，0)也符合题意. 综上所述，在 x 轴上存在定点 Q(4 3 3 ，0)，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对 称. 21.解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1 x ＝ax－1 x . 当 a≤0 时，f′(x)0 时，由 f′(x)0 时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，∴f′(1)＝a－1＝0，则 a＝1，从而 f(x)＝x－1－ln x. 因此 f(x)≥bx－21＋1 x －ln x x ≥b， 令 g(x)＝1＋1 x －ln x x ，则 g′(x)＝ln x－2 x2 ， 令 g′(x)＝0，得 x＝e2， 则 g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(e2)＝1－1 e2 ，即 b≤1－1 e2. 故实数 b 的最大值是 1－1 e2. 22.解（1）曲线 的参数方程为 为参数），转换为直角坐标方程为 ，整理得 ，根据 ，转 换为极坐标方程为 ，即 所以曲线 C 的极坐标方程为 ． （2）直线 的参数方程为 转换为直线的标准参数式为 为参数）代入圆的直角坐标方程为 ， ，设方程 两根为 ，所以 ， ，所以 ． 23．解：（1）， 当 时，得 ；当 时，得 ；当 时，得 C 2 3 4cos ( 2 4sin x y θ θ θ  = − + = + 2 2( 2 3) ( 2) 16x y+ + − = 2 2 4 3 4 0x y x y+ + − = 2 2 2 cos sin x y x y ρ θ ρ θ ρ =  =  = + 2 4 sin 4 3 cosρ ρ θ ρ θ= − 4sin 4 3cosρ θ θ= − 4sin 4 3cosρ θ θ= − l 2 3 3 x m y m  = − + = 12 3 2 ( 3 2 x t t y t  = − +  = 2 2 3 12 0t t− − = 2(2 3) 4 12 60 0∆ = + × = > 1 2,t t 1 2 2 3t t+ = 1 2 12t t = − 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 21 1 1 1 12 24 1 | | | | ( ) 12 4 t t t t PM PN t t t t + − ++ = + = = = ( ) 13, 2 13 1, 2 2 3, 2 x x f x x x x x  − ≥ = − − − < 3x > 3 1 0x− − > 12 3x− < < − 3 0x− + >，综上可得不等式 的解集为 . （2）依题意 ， 令 . ∴ ，解得 或 ，即实数 的取值范围是 . 2x ≤ − ( ) 0f x > ( )1, 3,3  −∞ − ∪ +∞   ( )( ) min 2 1 3 3 5m f x x+ ≥ + + + ( ) ( )3 3 5 2 5 2 10g x f x x x x= + + + = + + + 2 5 2 10 5x x≥ − − + + = 2 1 5m + ≥ 2m ≥ 3m ≤ − m ] [( ), 3 2,−∞ − ∪ +∞