2020 年甘肃省第二次高考诊断考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合交集的运算即可得解.
【详解】集合 ， ，
根据集合交集运算可知 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题.
2.若 ，则 =（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算，化简即可得解.
{ }1 2A x x= − ≤ ≤ { }1,1B = − A B =
{ }1,1− { }0,1 { }1,0,1−
{ }1 1x x− ≤ ≤
{ }1 2A x x= − ≤ ≤ { }1,1B = −
{ }1,1A B = −
(1 )(1 )iz i i= − + z
2i i− 2i−【详解】 ，
则由复数除法运算可得
，
故选：D.
【点睛】本题考查了复数 除法运算，属于基础题.
3.已知向量 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 5 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算，可得 ，再由模的运算即可得解.
【详解】向量 ，
则 ，
则 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.
4.定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数定义可得零点 ，结合函数单调性及函数零点定义可得函数 的其他零点，
即可得解.
【详解】由奇函数定义可知，当定义域为 时， ，
当 时， ，由 单调递增且 可知当 时有 1 个零
点，
的
(1 )(1 )iz i i= − +
(1 )(1 )i iz i
− +=
2 2ii
= = −
(1, 1) ( 2,3)a b= − = − ， a b− =
5
a b−
(1, 1) ( 2,3)a b= − = − ，
( )(1, 1) ( 2,3) 3, 4a b− = − − − = −
( )223 4 5a b− = + − =
R ( )f x 0x > ( ) lgf x x= ( )f x
0x = ( )f x
R (0) 0f =
0x > ( ) lgf x x= ( ) lgf x x= (1) lg1 0f = = 0x >根据奇函数性质可知，当 时也为单调递增，且 ，
综上可知， 有 3 个零点，分别为 0， ，1.
故选：B.
【点睛】本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题.
5.命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定即可得解.
【详解】根据全称量词命题的否定可知，
“ ”的否定为 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题.
6.2020 年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前
重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人
的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁 6 个冬季体育运动项目进行
了指标测试（指标值满分为 5 分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达
图．则下面叙述正确的是（ ）
A. 甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B. 乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
0x < ( 1) (1) 0f f− = − =
( )f x 1−
2[0, ), 2020cos 0x x x∀ ∈ +∞ − >
2
0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x∃ ∈ +∞ − ≤ 2
0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x∀ ∈ +∞ − ≤
2
0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x∃ ∉ +∞ − ≤ 2
0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x∀ ∉ +∞ − <
2[0, ), 2020cos 0x x x∀ ∈ +∞ − > 2
0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x∃ ∈ +∞ − ≤C. 甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D. 乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指标雷达图，分别判断各选项即可.
【详解】由指标雷达图可知：
对于 A，甲的轮滑指标为 4，雪地足球指标为 4，所以 A 错误；
对于 B，乙 雪地足球指标为 4，甲的冰尜指标 3，所以 B 错误；
对于 C，甲的爬犁速降指标为 5，乙的爬犁速降指标为 4，所以 C 正确；
对于 D，乙的俯卧式爬犁指标为 5，甲的雪合战指标为 5，所以 D 错误；
综上可知，正确的为 C，
故选：C.
【点睛】本题考查了读图分析能力，统计图表的简单应用，属于基础题.
7.记 为等差数列 的前 n 项和，若 ，则 的值为（ ）
A. 9 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式及等差数列前 n 项和公式，可得关于 的方程组，进而解方程组可
得 的值.
【详解】根据等差数列通项公式及前 n 项和公式可得
，
解方程组可得 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式及等差数列前 n 项和公式的简单应用，属于基础题.
的
nS { }na 2 4 410, 24a a S+ = = 1a
9− 2−
1,a d
1a
2 4 1 1
4 1
3 10
4 34 242
a a a d a d
S a d
+ = + + + = ×= + × =
1 9
2
a
d
=
= −8.在棱长均相等的四面体 中， 分别是棱 的中点，则异面直线 与
所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 为异面直线 与 所
成角，由线面垂直的判定定理可证明 平面 ，因而可知 ，从而可得
为等腰直角三角形，即可得 .
【详解】取 中点 ， 中点 ，连接 ，
由中位线定理可知 ,
则 （或补角）为异面直线 与 所成角，
，
且 ，所以 平面 ，
则 ，所以 ，
四面体 棱长均相等，则 ，
OABC ,M N ,OA BC MN AB
30° 45° 60° 90°
OB P AB Q , , ,MP PN CQ OQ PMN∠ MN AB
AB ⊥ OCQ PM PN⊥ MPN△
PMN∠
OB P AB Q , , ,MP PN CQ OQ
/ /MP AB
PMN∠ MN AB
/ / , / /MP AB PN OC ,OQ AB CQ AB⊥ ⊥
CQ OQ Q∩ = AB ⊥ OCQ
AB OC⊥ PM PN⊥
OABC PM PN=所以 为等腰直角三角形，
所以 ，
故选：B.
【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，线面垂直的判定，属于中档题.
9.兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为 的面团经过第一次拉伸成长为
100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为 的面条，……，则经过五次对
折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是
均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法
即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得拉伸后截面的直径.
【详解】经过五次对折拉伸之后面条的数量成等比数列，
因而可知经过五次对折拉伸之后面条的长度为 ，
设拉伸五次后面条的截面半径为 ，由面团体积为 可得
，
解得 ，所以直径为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式求法，圆柱体积公式及等体积法的应用，属于基础题.
10.已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点， ，若双曲线
的左支上有一点 ，满足 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
MPN△
45PMN∠ = °
31000cm
2 100cm×
102 31π
52 16π
102 31
52 8π
4 01002 160× =
r 31000cm
21600 1000rπ× × =
5
8r π= 52 8d π=
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1( 2,0)F −
P 1 2 2PF PF− = −
3y x= ± 3
3y x= ± 3y x= ± 1
3y x= ±【解析】
【分析】
根据双曲线定义可得 ，由焦点坐标可知 ，进而由 可求得 ，即可得双曲线的
渐近线方程.
【详解】双曲线的左支上有一点 ，满足 ，
则由双曲线定义可得 ，所以 ，
由 ，可知 ，
根据双曲线中 ，可得 ，
所以渐近线方程为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线定义及几何性质的简单应用，渐近线方程的求法，属于基础题.
11.定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，则使
成立的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 是偶函数，结合函数图像平移变换可知 关于 对称，再由函数
在 上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解.
【详解】定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，
所以 的图像关于 对称，示意图如下图所示：
a c 2 2 2c a b= + b
P 1 2 2PF PF− = −
1 2 2 2PF PF a− = = 1a =
1( 2,0)F − 2c =
2 2 2c a b= + 3b =
3by x xa
= ± = ±
R ( )y f x= ( ,1]−∞ ( 1)f x +
(2 1) (3)f x f− > x
(1, )+∞ ( , 0) (2, )−∞ +∞ (0,1) ( ,0)−∞
( 1)f x + ( )y f x= 1x =
( )y f x= ( ,1]−∞
R ( )y f x= ( ,1]−∞ ( 1)f x +
( )y f x= 1x =而 ，且 在 单调递增，
所以若 ，需满足 或 ，
解得 或 ，
所以使 成立的 的取值范围为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图
像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.
12.在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师
组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生
人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解
员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这 5 类人群的人数作为一组数据，当该微信群
总人数取最小值时，这组数据的中位数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
设讲解员人数为 ，由题意可依次表示出教师人数、家长人数、女学生人数、男学生人数，结
合讲解员人数的两倍多于男生人数可确定讲解员人数的最小值，进而得各组人数，即可求得
中位数.
【详解】设讲解员人数为 ，
由题意教师人数多于讲解员人数，则教师人数 ，
( ) ( )3 1f f= − ( )y f x= [ )1,+∞
(2 1) (3)f x f− > 2 1 1x - < - 2 1 3x − >
0x < 2x >
(2 1) (3)f x f− > x ( , 0) (2, )−∞ +∞
x
x
1x≥ +家长人数多于教师人数，则家长人数 ，
女学生人数多于家长人数，则女学生人数 ，
男学生人数多于女生人数，则男学生人数 ，
而讲解员人数的两倍多于男生人数，则满足 ，解得 ，
所以当该微信群总人数取最小值时 ，
则各组人数分别为讲解员 5 人，教师 6 人，家长 7 人，女学生 8 人，男学生 9 人，
所以中位数为 7.
故选：C.
【点睛】本题考查了不等式在实际问题中的应用，中位数的求法，正确理解题意是解决问题
的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数 定义域为 ，值域为 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得 的值，进而得解.
【详解】因为 ，由余弦函数的图像与性质可得 ，
则 ，
由值域为 可得 ，
所以 ，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.
14.数列 中，已知 ，则 ______.
【答案】21
【解析】
【分析】
利用递推公式，即可得解.
2x≥ +
3x≥ +
4x≥ +
2 4x x> + 4x >
5x =
2cosy x= [ , ]3
π π [ , ]a b b a− =
,a b
[ ]3 ,x
π π∈ 1cos [ 1, ]2x∈ −
[ ]2cos 2,1y x= ∈ −
[ , ]a b 2, 1a b= − =
( )1 2 3b a− = − − =
{ }na 1 11, 2n
n na a a += + = 6a =【详解】数列 中， ，
当 时，代入可得 ，则 ，
当 时，代入可得 ，则 ，
当 时，代入可得 ，则 ，
当 时，代入可得 ，则 ，
当 时，代入可得 ，则 ，
故答案为：21.
【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用，属于基础题.
15.已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，即可求得 的值，结合正切函数差角公式即可得解.
【详解】曲线 ，
则 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以当 时，满足 ，
解得 ，
代入并由正切函数的差角公式可得
{ }na 1 11, 2n
n na a a += + =
1n = 1 2 2a a+ = 2 1a =
2n = 2 3 4+ =a a 3 3a =
3n = 3 4 8a a+ = 4 5a =
4n = 4 5 16a a+ = 5 11a =
5n = 65 32a a+ = 6 21a =
4 sin cosy a x x= − (0, 1)− 1y x= − tan( )6a
ππ − =
2 3−
a
4 sin cosy a x x= −
4 cos siny a x x′ = +
4 sin cosy a x x= − (0, 1)− 1y x= −
0x = 4 1y a′ = =
1
4a =
tan tan4 6tan 4 6 1 tan tan4 6
π π
π π
π π
− − = + ⋅，
故答案为： .
【点睛】本题考查了导数的几何意义简单应用，正切函数差角公式的简单应用，属于基础题.
16.“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光
辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 ，所以也称为“黄金
椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，则 ______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据椭圆标准方程及几何性质，即可求得 关系，由 的坐标，可得 ，进而
结合平面向量数量积的坐标运算得解.
【详解】设椭圆的标准方程为 ，
则 ，则
，
所以 ，
由平面向量数量积的坐标运算可得
，
故答案为：0.
【点睛】本题考查了椭圆几何性质的简单应用，离心率公式的简单应用，平面向量数量积的
坐标运算，属于中档题.
31 3 2 3
31 3
−
= = −
+
2 3−
5 1
2
−
FB AB⋅ =
,a c , ,F A B ,FB AB
( )2 2
2 2 1, 0x y a ba b
+ = > >
5 1
2
c
a
−= 5 1
2c a
−=
( ) ( ) ( ),0 , ,0 , 0,F c A a B b−
( ) ( ), , ,FB c b AB a b= = −
( ) ( ) 2 2 2, ,FB AB c b a b ac b ac a c⋅ = ⋅ − = − + = − + −
2
2
25 1 5 1 02 2aa a
= − − =
− + −三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答．
（一）必考题；共 60 分．
17.已知 是矩形， 分别是线段 的中点， 平面
．
（1）求证： 平面 ；
（2）若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，求 的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）通过证明 ，然后再利用线面垂直的判定定理，即可证
明 平 面 ； （ 2 ） 过 作 交 于 ， 则 平 面 ， 且
．再过 作 交 于 ，所以 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ，进而满足题意．
试题解析：（1）在矩形 中，因为 ，点 是 的中点，所以
．
所以 ，即 ．
又 平面 ，所以 ，所以 平面 ．
（2）过 作 交 于 ，
则 平面 ，且 ．再过 作 交 于 ，
所以 平面 ，且 ．所以平面 平面 ，
ABCD 2AD AB E F= ， ， AB BC， PA ⊥
ABCD
DF ⊥ PAF
PA G / /EG PFD AG
AP
1
4
DF AF DF PA⊥ ⊥，
DF ⊥ PAF E / /EH FD AD H / /EH PFD
1
4AH AD= H / /HG PD PA G / /GH PFD 1
4AG PA=
/ /EHG PFD
ABCD 2=AD AB F BC
45AFB DFC∠ = ∠ = °
90AFD∠ = ° AF DF⊥
PA ⊥ ABCD PA DF⊥ DF ⊥ PAF
E / /EH FD AD H
/ /EH PFD 1
4AH AD= H / /HG PD PA G
/ /GH PFD 1
4AG PA= / /EHG PFD所以 平面 ，从而点 满足 ．
考点：1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．
18.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若 的面积 ，其外接圆的半径 ，求 的周长．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解.
（2）根据外接圆半径及正弦定理可求得 ，结合三角形面积公式可得 ，代入余弦定理可得
，进而得 的周长．
【详解】（1） ，
由正弦定理得 .
即 ，
又 ，故 ，
又 ，
所以
（2）由 ， 及 ，
可得 ，
又 ，即 ，
由余弦定理 ，
得 ，
/ /EG PFD G 1
4
AG
AP
=
ABC , , ,a b c (2 )cos cos 0a b C c B+ + =
C
ABC 8 3=S 4 21
3R = ABC
2
3C
π= 12 4 7+
c ab
+a b ABC
( )2 cos cos 0a b C c B+ + =
2sin cos sin cos cos sin 0A C B C B C+ + =
( )2sin cos sin sinA C B C A= − + = −
sin 0A ≠ 1cos 2C = −
0 C π< <
2
3C
π=
2
3C
π= 4 21
3R = 2 sinc R C=
4 7c =
1 2 1 3sin 8 32 3 2 2S ab ab
π= = × = 32ab =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
( )22 2 22 cos 4 73a b ab
π+ − =即 ，
又 ，故 .
所以 ，
即 的周长为 .
【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属
于基础题.
19.某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽 影响，对温差与发芽率之间的关
系进行统计分析研究，记录了 6 天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下：
日期 1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月 4 日 1 月 5 日 1 月 6 日
温差 （摄氏度） 10 11 12 13 8 9
发芽数 （粒） 26 27 30 32 21 24
他们确定的方案是先从这 6 组数据中选出 2 组，用剩下的 4 组数据求回归方程，再用选取的
两组数据进行检验.
（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）若由线性回归方程得到 估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒，则认为得到的线性回
归方程是可靠的.请根据 1 月 2，3，4，5 日的数据求出 关于 的线性回归方程（保留两位小
数），并检验此方程是否可靠.
参考公式： ，
【答案】（1） （2） .可靠
【解析】
【分析】
的
的
( )22 2 112a b ab a b ab+ + = + − =
32ab = 12a b+ =
12 4 7a b c+ + = +
ABC 12 4 7+
x
y
y x
1 1
22 2
1 1
( )( )
( )
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
1
3
2.21 3.19y x= +（1）先求得从 6 组数据中任选 2 组数据的基本事件个数，再得相邻 2 天数据事件个数，即可
得选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）根据所给数据，分别求得 ，代入公式可得 ，进而得回归直线方程；分别再代入
， 检验即可判断.
【详解】（1）从 6 组数据中任选 2 组数据，共有 15 个基本事件，
， ，
， ， .
记这 2 组数据恰好是相邻两天数据为事件 A，
则 A 中有 ，共 5 个基本事件，
故 .
（2） ，
，
所以
.
所求的回归方程为 .
当 时， ， ，
当 时， ， .
故此线性回归方程是可靠的.
【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题.
20.已知圆 与圆 相外切，且与直线 相切．
（1）记圆心 的轨迹为曲线 ，求 的方程；
（2）过点 的两条直线 与曲线 分别相交于点 和 ，线段 和 的中
点分别为 .如果直线 与 的斜率之积等于 1，求证：直线 经过定点．
x y， ˆ,b a
10x = 9x =
( ) ( )( )( )( )1.1,1.2 , 1.1,1.3 1.1,1.4 1.1,1.5 1.1,1.6 ( )( )( )( )1.2,1.3 1.2,1.4 1.2,1.5 1.2,1.6
( )( )( )1.3,1.4 1.3,1.5 1.3,1.6 ( )( )1.4,1.5 1.4,1.6 ( )1.5,1.6
( )( )( )( )( )1.1,1.2 1.2,1.3 1.3,1.4 1.4,1.5 1.5,1.6
( ) 5 1
15 3P A = =
( )1 11 13 12 8 114x = + + + =
( )27 30 32 21 27.54
1y = + + + =
( )
( )
11 27 12 30 13 32 8 21 4 11 27.5 1241 1210ˆ 2.21121 169 144 64 4 121 498 484b
× + × + × + × − × × −= = ≈+ + + − × −
ˆ 27.5 2.21 11 3.19a = − × =
2.21 3.19y x= +
10x = 25.29y = 25.29 26 1− <
9x = 25.08y = 23.08 24 1− <
E 2 2: ( 2) 1F x y− + = 1 0x + =
E G G
(3,2)P 1 2,l l G ,A B ,C D AB CD
,M N 1l 2l MN【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线定义可知圆心 的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程.
（2）由题意可设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，表示出直线 的方程，联立直
线与抛物线方程即可求得交点 的坐标，进而以 代替点 坐标中的 ，可得点 的坐标；
即可表示出直线 的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标.
【详解】（1）依题意 等于 到直线 的距离，
故所求轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线.
故其轨迹 的方程为 .
（2）依题意直线 斜率都存在且均不为 ，
故设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .
直线 的方程为 ，
即为 .
由 消去 整理得 ，
所以 ，点 的坐标为 ，
以 代替点 坐标中的 ，可得点 的坐标为 ，
所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，
2 8y x=
E
1l k 2l 1
k AB
M 1
k M k N
MN
EF E 2 0x + =
( )2,0F 2x = −
G 2 8y x=
1 2,l l 0
1l k 2l 1
k
AB ( )2 3y k x− = −
( )3 2y k x= − +
( )
2
3 2
8
y k x
y x
= − +
=
x 2 8 24 16 0ky y k− − + =
8
A By y k
+ = M 2
4 2 43,k k k
− +
1
k M k N ( )24 2 3,4k k k− +
MN
2
2
2
1
14
1 14 2 2 1
MN
kk
k kk
k
kkk
−
− − −
= = + −
MN
( )224 4 2 312 1
y k x k k
kk
− = − − + + − 即 .
故 经过定点 .
【点睛】本题考查了抛物线定义及方程的求法，直线与抛物线的位置关系及应用，直线过定
点的求法，属于中档题.
21.已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）极大值为 ，极小值为 .（2）
【解析】
【分析】
（1）将 代入解析式，求得 并令 ，求得极值点；由导函数的符号，可判
断函数 的单调性，进而求得其极值.
（2）根据解析式求得 ，并令 ，求得极值点；讨论 的取值范围，即可由最
值及不等式求得符合题意的 的取值范围．
【详解】（1）由 得 ，
故 .
令 ，解得 或 ，
由 ，得 或 ，
所以 在 和 单调递增，
由 ，得 ，
所以 在 单调递减.
所以 极大值为 ，极小值为 .
1 1 12k y xk
+ − = +
MN ( )1,0−
2( ) [ (2 5) 8 5]( )xf x e x a x a a R= + − − + ∈
1a = ( )f x
[0,2]x∈ 2( ) 2f x e≥ a
2
7
e
33e−
25 2, 8
e −−∞
1a = ( )f x′ ( ) 0f x′ =
( )f x
( )f x′ ( ) 0f x′ = a
a
1a = ( ) ( )2 3 3xf x e x x= − −
( ) ( ) ( )( )2 6 2 3x xf x e x x e x x′ = − − = + −
( ) 0f x′ = 2x = − 3x =
( ) 0f x′ > 2x < − 3x >
( )f x ( ), 2−∞ − ( )3,+∞
( ) 0f x′ < 2 3x− < <
( )f x ( )2,3−
( )f x ( ) 2
72f e
− = ( ) 33 3f e= −（2） ， ，
令 ，得 ， ，
（i）当 ，即 时， 在 单调递减，
依题意则有 成立，
得 ，此时不成立；
（ii）当 ，即 时，
在 上单调递增，在 上单调递减，
依题意则有
得 ，由于 ，故此时不成立；
（iii）当 ，即 时， 在 上单调递增，
依题意则有 ，得
综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了导数与函数单调性和极值的关系，由导数求函数的单调性与最值，根据
不等式求参数的取值范围的应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
（二）选考题；共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答．并用 2B 铅笔在
答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均
按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
( ) ( )( )2 3xf x e x a x′ = + − [ ]0,2x∈
( ) ( )( )2 3 0xf x e x a x′ = + − = 1 2x a= − 2 3x =
2 0a− ≤ 0a ≥ ( )f x ( )0,2
( ) ( ) 2 22 4 1 2f a e e= − + ≥
3
4a ≤ −
0 2 2a< − < 1 0a− < <
( )f x ( )0, 2a− ( )2 ,2a−
( )
( ) ( )
2
2 2
0 8 5 2 ,
2 4 1 2 ,
f a e
f e a e
= − + ≥ = − − ≥
25 2
8
3
4
ea
a
−≤
≤
25 2 18
e− < −
2 2a− ≥ 1a ≤ − ( )f x ( )0,2
( ) 20 2f e≥ 25 2
8
ea
−≤
a
25 2, 8
e −−∞
xOy l
2
2
22 2
x a t
y t
= +
= +
t O
x C 2
2cos
1 cos
θρ θ= −（1）求直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）若点 坐标为 ，直线 与曲线 交于 两点，且 ，求实数 的
值．
【答案】（1） ， .（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）根据参数方程，消参后可得直线 直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标方程转化关系，
即可得曲线 的直角坐标方程；
（2）将直线参数方程代入曲线 的直角坐标方程，并设 两点对应参数为 ， ，即可由
韦达定理及 求得 的值．
【详解】（1）直线 的参数方程为 （ 为参数），
直线 直角坐标方程为 ，
将 ， ，代入 即得，
曲线 的直角坐标方程为 .
（2）将 代入 ，化简得 ，
由判别式 得 ，
设 两点对应参数为 ， ，
则 ， ，
依题意有 ，即 ，
l C
P ( ,2)a l C ,A B 4PA PB= a
2 0x y a− − + = ( )2 2 0y x x= ≠ 42
25
26
9
l
C
C ,A B 1t 2t
4PA PB= a
l
2
2
22 2
x a t
y t
= +
= +
t
l 2 0x y a− − + =
cos xρ θ = sin yρ θ = C
C ( )2 2 0y x x= ≠
2 ,2
22 ,2
x a t
y t
= +
= +
2 2y x= 2 2 2 4 8 0t t a+ − + =
> 0∆ 3
2a >
,A B 1t 2t
1 2 2 2t t+ = − 1 2 8 4t t a= −
1 24t t= 1 24t t= ±代入解得 或 ，均满足 ，
所以实数 的值为 或 .
【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方
程的几何意义，由韦达定理求参数值，属于中档题.
23.已知函数
（1）解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 .（2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，化简变形为绝对值形式，利用分类讨论法即可解不等式，求得解集.
（2）根据不等式无解，结合绝对值不等式求得最小值，即可由恒成立问题求得 的取值范围.
【详解】（1）函数 ，
不等式可化为 ，
即 ， 或 ，
解得 或 .
所以不等式 解集为 或 .
（2）由于
当 时， ，
的
42
25a = 26
9a = 3
2a >
a 42
25
26
9
2 2( ) 4 4 4 4 1f x x x x x= − + + − +
( ) (2)f x f≥
x 2 5( ) 2f x t t≤ − [0,3] t
{ | 0x x ≤ 2}x ≥ 1 32t t
− <
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