2019—2020 学年第二学期模拟试卷
高三文科数学试卷
（完卷时间 120 分钟满分 150 分）
（请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.集合 ， ，若 ，则实数 a 的取值范围是
A． B． C． D．
2. 复数 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
3．已知平面向量 ， ，若向量 与向量 共线，则
A． B． C． D．
4.已知 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ，则“ ”是“ ”
的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件 5．已知 ，则 的大小关系是
A. B． C． D．
6.已知正项等比数列 的首项和公比相等，数列 满足 ，且 ，
则
A． B． C． D．
7.已知函数 ，则不等式 的解集是
A. B.
C. D.
8.在区间 上随机取一个数 ，使直线 与圆 相交的概率为
A. 1
2 B. 1
3 C. D.2
4
2
3
{ }A x x a= < { }1 2B x x= < < A B =R R
1a ≤ 1a < 2a ≥ 2a >
3| |iz ii
−= − i z
2 i− 2+i 4 i− 4+i
(1, )a x= (2,3)b = 2a b+ b x =
7
2
5
2
3
2
1
2
,m n α m α⊥ m n⊥ / /n α
1
2
4 34 , log 9, log 2a b c
−= = = , ,a b c
a b c< < a c b< < c a b< < c b a< <
{ }na { }nb 2logn nb a= 1 2 3+ + 12b b b =
4 =a
4 32 108 256
, 0( )
ln , 0
xe xf x
x x
≤= >
1( ) 2f x ≤
( , ln 2] (0, ]e−∞ − ∪ ( , ln 2)−∞ −
(0, ]e ( , ln 2) (0, )e−∞ − ∪
[ ]1,1− k ( )3y k x= + 2 2 1x y+ =9.函数 的部分图像大致是
A B C D
10.已知函数 ，对于满足 的 ，
有 ，又 ，则下列说法正确的是
A． B．函数 为偶函数
C.函数 在 上单调递增 D．函数 的图象关于点 对称
11. 过 抛 物 线 的 焦 点 的 直 线 与 抛 物 线 交 于 两 点 ， 且
，直线 与抛物线 的准线 交于点 , 于 ，若 的面积等于
，则
A. B. C. D.
12.如图，正三棱锥 的侧棱长为 2，底面边长为 ， 分别是 的中
点， 是 上的动点， 是平面 上的动点，则 的最小值是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第 13－21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第 22－23 题为选考题，考生按要求做答.
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位
( ) 2 2 )sin cosx xf x x x−= − （
( ) 2sin( ) ( 0, )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < 1 2( ) ( ) 4f x f x− = 1 2,x x
1 2 min
3
2x x
π− = ( ) 02f
π =
2ω =
2y f x
π = −
( )f x 3,4 4
π π −
( )y f x= ,04
π
2 2 ( 0)C y p x p= >： F C ,A B
3AF FB= AB C l D 1AA l⊥ 1A 1AA D∆
8 3 p =
3
2 2 5
2 4
P ABC− 2 2 ,D E ,AC AB
M PD N PCE AM MN+
3
2
6
4
2+ 6
4
2+ 6
2置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13. _________.
14.已知变量 满足 ，则 的最大值是 .
15.在 中，点 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 上，满足
, , 则双曲线 的离心率为 .
16. 已 知 的 三 个 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 且 满 足
， ，则角 ， 的周长的
取值范围是 .
三、解答题：（共 70 分. 第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为
选考题，考生根据要求作答. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 12 分)
已知等差数列 ，且 .
（1）求数列 的通项公式以及数列的前 项和 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ，并比较 与 的大小（不需要证
明）.
18.（本小题满分 12 分)
如图，四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形，点 E 在 PA 线段上，PC 平面 BDE
（1）请确定点 E 的位置；并说明理由.
（2）若 是等边三角形， , 平面 PAD 平面 ABCD，
四棱锥 的体积为 ，求点 E 到平面 PCD 的距离.
19.（本小题满分 12 分)
2019 年 6 月 25 日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委
会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专项规定.某小区采取一系列措施，宣
传垃圾分类的知识与意义，并采购分类垃圾箱.为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机
抽取了 200 位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的
评价.根据调查结果统计并做出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图，如下：
cos15 cos45 cos75 cos45 =° ° − ° °
,x y
1
2 0
4 8 0
x
x y
x y
≥
− − ≤
+ − ≤
22 x yz − −=
ABC∆ ,A B E C E
0AB AC⋅ = ( ) 0AB AC BC+ ⋅ = E
ABC△ , ,A B C , ,a b c
( )( )cos sin 1 0b C a c b C+ + − = 3a c+ = =B ABC△
{ }na 3 105, 100a S= =
{ }na n nS
12 1na
nb += − { }nb n nT nT 4 nS
P ABCD− / /
PAD∆ 2AB AD= ⊥
P ABCD− 9 3在这 200 份问卷中，持满意态度的频率是 0.65.
（1）完成下面的 列联表，并判断能否有 95﹪的把握认为“51 岁及以上”和“50 岁及
以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异
满意 不满意 总计
51 岁及以上的居民
50 岁及以下的居民
总计 200
（2）按“51 岁及以上”和“50 岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取 5 份，
再从这 5 份调查问卷中随机抽取 2 份进行电话家访，求电话家访的两位居民恰好一位年龄在
51 岁及以上，另一位年龄在 50 岁及以下的概率.
附表及参考公式：
，其中 .
20.（本小题满分 12 分)
已知经过圆 上点 的切线方程是 .
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆 上一点 的切线
方程;
（2）已知椭圆 ，P 为直线 上的动点，过 P 作椭圆 E 的两条切线，切点
分别为 A、B，
①求证：直线 AB 过定点.
②当点 P 到直线 AB 的距离为 时，求三角形 PAB 的外接圆方程.
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2 2×
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2 2 2
1 :C x y r+ = 0 0( , )x y 2
0 0x x y y r+ =
2 2
2 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 0 0( , )x y
2
2: 16
xE y+ = 3x =
3 5
5
2
0( )P K k≥
0k21.（本小题满分 12 分)
已知函数 ，（ 是自然对数的底数）.
（1）求 的单调区间；
（2）若函数 ，证明： 有极大值 ，且满足 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），
以原点 O 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知 ，曲线 与 的交点 A, B 满足 （A 为第一象限的点），
求 的值.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 .
（1）求解不等式： ；
（2）设 为正实数，若函数 的最大值为 ，且 .
求证：
( ) 1xf x e x= − − e
( )f x
( ) ( )xF x e f x= ( )F x 0( )F x 02
1 1( ) 4F xe
< <
xOy 1C 1 cos
sin
x t
y t
α
α
= +
= t 0 α π≤ <
x 2C
2
2
12
3 sin
ρ θ= +
1C 2C
(1,0)F 1C 2C 2BF AF=
cosα
( ) 2 2f x x x= − −
2( )f x x≥ −
, ,a b c ( )f x m 2a b c m+ + =
2 1ab ac bc c+ + + ≤ 2019—2020 学年第二学期模拟试卷解答
一．选择题：
1～5 CBCAB 6～10 DACBC 11.12. BD
二．填空题：
13. 14. 15. 16. ； （第一问 2 分，第二问 3 分）
三．解答题：
17.解：（1）∵ ， ………………2 分
；……3 分 . ………5 分
（2）∵ ， ………………5 分
∴ ………………8 分
∴ . 又∵ 比较 的增长速度更快. …………9 分
∴当 时, ; ………10 分
当 时, . ∴当 时， . ……………12 分
18.解：（1）点 E 为 AP 的中点. ………………1 分
连接 AC 交 BD 于 O，当 E 为 AP 的中点时, 点 O 为 AC 的中点.
∴在 中， , 平面 BDE, ………………3 分
平面 BDE. ∴ 平面 BDE. ………………5 分
（2）取 AD 的中点为 F, ∵ 为等边三角形，∴ .
又∵平面 PAD 平面 ABCD, 平面 PAD 平面 ABCD=AD,
∴PF 平面 ABCD, ………………6 分
CD 平面 ABCD, ∴ , CD AD
AD, PF 平面 APD, AD PF=F, ∴CD 平面 APD,
1
2
1
2 2 1+
3
π 3 3[ , 2 3)2
1
1
2 5
10 910 1002
a d
a d
+ = ×+ × =
1 1
2
a
d
=⇒ =
1 ( 1) 2 1na a n d n= + − × = − 2
1
( 1)
2n
n nS na d n
⋅ −= + × =
22 1 4 1n n
nb = − = −
2 4 (1 4 ) 4(4 4 4 ) (4 1)1 4 3
n
n n
nT n n n
⋅ −= + + + − = − = ⋅ − −−
244 (4 1) 43
n
n nT S n n− = ⋅ − − − 4n 24n n+
1n = 1 14 1 0T S− = − <
2n = 2 24 2 0T S− = > 2n ≥ 4n nT S>
APC∆ / /EO PC EO ⊂
PC ⊄ / /PC
PAD∆ PF AD⊥
⊥ ∩
⊥
⊂ PF CD⊥ ⊥
⊂ ∩ ⊥CD 平面 PDC, ∴平面 PAD 平面 PCD, ………………7 分
平面 PAD 平面 PCD=PD, 做 EG PD, ∴EG 平面 PCD
即点 E 到平面 PCD 的距离为 EG. ………………9 分
设边长 AD= ,由已知 ，
∴求得： . ………………11 分
∴求得 E 到平面 PCD 的距离为 . ………………12 分
19.解：（1）在这 200 份问卷中，持满意态度的频数为 ，持不满意态度和
频数为 . ………………2 分
∴ 列联表如下：
………
………4 分
∴ .
………………6 分
故有 95﹪的把握认为“51 岁及以上”和“50 岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价
有差异. ………………7 分
（2）利用分层抽样的特点可知：“51 岁以上”居民抽到 2 份记为： ；
“50 岁以下”居民抽到 3 份记为： . ………………8 分
∴基本事件共有：
，共有 10 个. 满足条件的事件有：
，共有 6 个. ………………11 分
∴求得电话家访的两位居民恰好一位年龄在“51 岁以上”，另一位年龄在“50 岁以下”
的概率为： . ……………12 分
20.解：（1）切线方程为： . ………………2 分
（2）设切点为 ，点 ， 由（1）的结论的
满意 不满意 总计
51 岁以上的居民 45 35 80
50 岁以下的居民 85 35 120
总计 130 70 200
⊂ ⊥
∩ ⊥ ⊥
a 1 1 3 2 9 33 3 2P ABCD ABCDV PF S a a a− = × × = × × × =
3a =
3 3
4EG =
200 0.65 130× =
200 130 70− =
2 2×
2 2
2 ( ) 200 (45 35 85 35) 4.487 3.841( )( )( )( ) 80 120 130 70
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= = ≈ >+ + + + × × ×
1 2,a a
1 2 3, ,b b b
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),a a a b a b a b a b a b 2 3 1 2( , ), ( , ),a b b b
1 3 2 3( , ),( , )b b b b 1 1 1 2 1 3 2 1( , ), ( , ), ( , ), ( , )a b a b a b a b
2 2 2 3( , ), ( , )a b a b
6 3( ) 10 5P A = =
0 0
2 2 1x x y y
a b
+ =
1 2 2 2( , ), ( , )A x y B x y (3, )P tAP 直线方程： ， BP 直线方程： , ………………3 分
通过点 ，∴有 ， ∴A, B 满足方程： ，………5 分
∴直线 AB 恒过点： 即直线 AB 恒过点 . ………………6 分
又∵已知点 到直线 AB 的距离为 . ∴ ………………7 分
， ， ∴ . ………………8 分
方法 1 当 时，点 ，直线 AB 的方程为: .
求得交点 . ………………9 分
设 的外接圆方程为： ，代入得
解得： 的外接圆方程为
即 的外接圆方程为: ………………11 分
当 时，由对称性可知，三角形 PAB 的外接圆方程为: .
………………12 分
方法 2 当 时，点 ，直线 AB 的方程为: .
求得交点 . ………………9 分
直线 AP 的中垂线方程： ， 直线 AB 的中垂线方程：
1
1 16
x x y y+ = 2
2 16
x x y y+ =
(3, )P t
1
1
2
2
3 16
3 16
x y t
x y t
× + × = × + × =
12
x ty+ =
1 02
0
x
y
− =
=
(2,0)
(3, )P t 3 5
5 2
3 2 2 3 5
51 4
t t
t
+ ⋅ − =
+
4 25 4 1 0t t⇒ − − = 2 2(5 1)( 1) 0t t+ − = 1t = ±
1t = (3,1)P 2 2 0x y+ − =
2 2
2 2 0
6 6
x y
x y
+ − =
+ =
12 1(0,1), ( , ), (3,1)5 5A B P
−
PAB∆ 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
1
3 10
12 5 29
E F
D E F
D E F
+ = −
+ + = −
− + = −
PAB∆ 2 2 3 2 1 0x y x y+ − − + =
PAB∆ 2 23 9( ) ( 1)2 4x y− + − =
1t = − 2 23 9( ) ( 1)2 4x y− + + =
1t = (3,1)P 2 2 0x y+ − =
2 2
2 2 0
6 6
x y
x y
+ − =
+ =
12 1(0,1), ( , ), (3,1)5 5A B P
−
3
2x = 102 5y x= −∴ ，解得圆心 ，半径 .
∴解得 的外接圆方程为 ……………11 分
同理解得：当 时，三角形 PAB 的外接圆方程为: .
………………12 分
21.解：（1） ，设 ………………1 分
∴当 时， ， 单调递减； ………………2 分
当 时， ， 单调递增.
即函数 的减区间为 ；增区间为 . ………………3 分
（2）又 ，
设 ，且 ………………4 分
∵ ， 在 ， ， 是增函数，∴ .
∴ ， 在 上是单调递增，∴没有极值. ………………5 分
∵ ， .
在 ， ， 单调递减， ………………6 分
∴ ， .
由根的存在性定理：设 ，使得： ，
即 . ………………8 分
∵在 ， ，∴ 单调递增； 在 ，
，∴ 单调递减；∴ 有极大值 .………………9 分
∵有 . ………………10 分
3
2
102 5
x
y x
=
= −
2
3( ,1)2O 2 2 23 9( 0) (1 1)2 4r = − + − =
PAB∆ 2 2 3 2 1 0x y x y+ − − + =
1t = − 2 23 9( ) ( 1)2 4x y− + + =
( ) 1( )xf x e x R′ = − ∈ ( ) 0 0f x x′ = ⇒ =
( , 0)x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
(0, )x∈ + ∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+ ∞
( ) ( 1)x xF x e e x= − − ( ) ( 1) ( 1) (2 2)x x x x x xF x e e x e e e e x′ = − − + − = − −
( ) 2 2xh x e x= − − 0(0) 2 0 2 0h e= − − =
( ) 2 1 0xh x e′ = − = (0, )x∈ + ∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) (0) 0h x h> =
( ) 0F x′ > ( )F x (0, )x∈ + ∞
( ) 2 1 0xh x e′ = − = ln 2x⇒ = −
x∈ ( , ln 2)−∞ − ( ) 0h x′ < ( )h x
1 2( 1) (2 1 2) ( 1) 0h e e
−− = + − = − < 2 2( 2) (2 2 2) (2 ) 0h e e− −− = + − = >
0 ( 2, 1)x ∈ − − 0( ) 0h x =
0
0 0( ) ( ) 0xF x e h x′ = =
0( , )x x∈ −∞ ( ) ( ) 0xF x e h x′ = > ( )F x 0( , )x x∈ +∞
( ) ( ) 0xF x e h x′ = < ( )F x ( )F x 0( )F x
1 1
0 2
1( ) ( 1) ( 1 1)F x F e e e
− −> − = + − =又∵ ， ∴ ， ………………11 分
.
综上可得：函数 有极大值 ，且满足 . ………………12 分
22.解：（1） ，当 时， …………2 分
又∵ ，∴ ， ………………4 分
（2） 直线为： （t 为参数，）
不妨设 对应的直线参数为 ，且 ，将 代入
得 ， ………………5 分
∴ , …① …② ………………6 分
∵已知 ，∴ …③. ………………7 分
联立①，③得： ， . 代入③式，
， ∴ ………………9 分
∴ ，（ 为锐角） ∴求得： ……………10 分
23.解：（1）当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
0
0 0( ) 2 2 0xh x e x= − − = 0 0 2
2
x xe
+=
0 0 20 0
0 0 0 0 0 0
2 2 1 1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1)2 2 4 4 4 4
x x x xF x e e x x x x x
+ += − − = − − = − + = − + <
( )F x 0( )F x 02
1 1( ) 4F xe
< <
1 : tan tanC y xα α= ⋅ −
2 2
2 : 14 3
x yC + =
,A B 1 2,t t 1 20, 0t t> < 1 cos ,
sin ,
x t
y t
α
α
= +
=
2 2
14 3
x y+ =
( )2 23 sin 6cos 9 0t tα α+ + ⋅ − =
1 2 2
6cos
3 sint t
α
α
−+ = + 1 2 2
9
3 sint t α
−⋅ = +
2BF AF= 1 22t t= −
1 2
6cos
3 sint
α
α= + 2 2
12cos
3 sint
α
α
−= +
2 2 2
6cos 12cos 9
3 sin 3 sin 3 sin
α α
α α α
− −⋅ =+ + +
2 28cos 3 sinα α= +
2 4cos 9
α = α 2cos 3
α =
0x ≤ ( ) ( 2) 2 2f x x x x= − − + = +
0 2x< ≤ ( ) ( 2) 2 3 2f x x x x= − − − = − +
2x > ( ) ( 2) 2 2f x x x x= − − = − −
1x =
2 2 23 3 12x y y+ + =
1C 1 cos
sin
x t
y t
α
α
= + ⋅
=
( )2
πα ≠
2
πα =综合得： . ……………3 分
∴求得不等式 的解集为 ……………5 分
（2）∵由函数 的图象，得 的最大值是 2，即 .……………6 分
∴
……………10 分
2 ( 0)
( ) 3 2 (0 2)
2 ( 2)
x x
f x x x
x x
+ ≤
= − + < ≤
− − >
2( )f x x≥ − { }1 2x x x≤ ≥
( )f x ( )f x 2m =
2 2a b c⇒ + + = 2 ( ) ( ) ( )( )ab ac bc c a b c c b c b c a c+ + + = + + + = + +
2 2( ) ( ) 2[ ] ( ) 12 2
a c b c+ + +≤ = =
微信/支付宝扫码支付