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2020 届高三（下）高考模拟考试 2020.6
理科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.集合 A = { x | x < a}，B = { x | 1 < x < 2}，若 ，则实数 a 的取值范围是
A． B． C． D．
2. 复数 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
3. 等于
A．0 B． C． D．2
4．若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是
A． B． C． D．
5. 数列 的前 n 项和为 ，若 ，则
A．20 B．15 C．10 D.-5
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
7．在区间 上随机取一个数 ，使直线 与圆 相交的概率为
A. 1
2 B. 1
3 C. D.
8. 向量 a、b、c 满足 a + b + c = 0，a⊥b，(a－b)⊥c， ，则 M =
A．3 B． C． D．
na 22 3 ( )nS n n n N ∗= − ∈ 5p q− = p qa a− =
2
4
2
3
A B =R R
1a ≤ 1a < 2a ≥ 2a >
3| |iz ii
−= − i z
2 i− 2+i 4 i− 4 i+
1 2
1
(3 sin )x x dx−
−∫
2sin1 2cos1
( )y f x= [ ]0,2 (2 )( ) 1
f xg x x
= −
[0,1) (1,2] [0,1) (1,4] [0,1) (1,4]
3π 10
3
π
6π 8
3
π
[ ]1,1− k ( )3y k x= + 2 2 1x y+ =
| | | | | |
| | | | | |M a
= + +a b c
b c
3 2 22 2
+ 3 21 2
+2
9．已知正方体 的棱长为 ， 分别为 的中点， 是线段
上的动点， 与平面 的交点 的轨迹长为
A. B. C. D.
10. 已知曲线 在 处的切线为 ，曲线 在 处的切线为 ，且
，则 的取值范围是
A. B. C. D.
11. 某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有 5 处阀门（ ）发生有害气体泄漏。
每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为 0.01 立方米。阀门的修复工作可在
不停产的情况下实施。由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必
须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：
泄露阀门
修复时间
（小时）
11 8 5 9 6
需先修复
好的阀门
在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为
A．1.14 立方米 B. 1.07 立方米 C. 1.04 立方米 D. 0.39 立方米
12. 设 是常数，对于 ，都有
，
则
A. B. C. D
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位
置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13. _________.
1 1 1 1ABCD A B C D− 3 2 ,E F ,BC CD P
1A B 1C P 1D EF Q
3 13 4 3 2
x
xy e
= 1x x= 1l lny x= 2x x= 2l
1 2l l⊥ 2 1x x−
10, e
( ), 1−∞ − ( ),0−∞ 1, e
−∞
A E−
A B C D E
− C − − B
( )0,1,2, ,2020ia i = x R∀ ∈
( ) ( )( ) ( )( ) ( )2020
0 1 2 20201 1 2 1 2 2020x a a x a x x a x x x= + − + − − + + − − −
0 1 2 3 4 5 2019 20202! 3! 4! 2018! 2019!a a a a a a a a− + − + − + − + − =
2019 2020 2019！ 2020！
cos15 cos45 cos75 cos45 =° ° − ° °3
14. 寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排
五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己
车票相符座位的坐法有 种.
15. 如图，将地球近似看作球体。设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射
纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值。已知太阳每年直射范围在
南北回归线之间，即 。如果在北京地区（纬度数约为北纬 ）的一
幢高为 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼
的距离不应小于_________.（只需列出式子）
16. 已知椭圆 的焦点是 ， 是 上（不在长轴上）的两点，且
。 为 与 的交点，则 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分)已知数列 ， 满足 ， ， ，
的前 项和为 ，前 项积为 .
（1）证明： 是定值；
（2）试比较 与 的大小。
, , , ,A B C D E
θ δ
ϕ
23 26 ,23 26δ ′ ′ ∈ − 40
0h
2 2
: 14 3
x yC + = 1 2,F F ,A B C
1 2F A F B ∥ M 1F B 2F A M
{ }na { }nb 1
1
2a = ( )1 +1n n na a a+ = 1
1n
n
b a
= +
{ }nb n nS n nT
2n nS T+
nS nT4
18. (本小题满分 12 分)已知圆 ，设 为圆 与 轴负半轴的交
点，过点 作圆 的弦 ，并使弦 的中点恰好落在 轴上。
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）延长 交直线 于点 ，延长 交曲线 于点 ，曲线 在点 处的切
线与 轴交于点 。求证： 。
19. (本小题满分 12 分)如图，组合体由半个圆锥 和一个三棱锥 构成，其中
是圆锥 底面圆心， 是圆弧 上一点，满足 是锐角， ．
（1）在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求证
明；
（2）在（1）中，若 是 中点，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦
值．
20. (本小题满分 12 分)已知 6 名某疾病病毒密切接触者中有 1 名感染病毒，其余 5 名健康，
需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．
（1）若从这 6 名密切接触者中随机抽取 3 名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干
组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，
则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。
（i）采取逐一化验，求所需检验次数 的数学期望；
（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选
D
C
A
OB
S
( ) ( )22 2: 1 0C x y r r+ − = > A C y
A C AM AM x
M E
MO 1y = − P MC E N E N
y Q MN QP∥
S O− S ACD− O
S O− B AC BOC∠ 2AC CD DA= = =
SAB B BP∥ SCD SA P
P SA 3SO = BP SAD
ξ5
择合理的平均分组方案．
21. (本小题满分 12 分)已知函数 ， 。
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若存在直线 ，使得对任意的 ， ，对任意的 ，
，求 的取值范围。
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按
所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以原点 为
极 点 ， 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为
．
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知 ，曲线 与 的交点为 ，求 的值。
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知
( ) lnf x e x ax= − ( ) 2
2
xg x x= −
( )f x
( )y h x= ( )0,x ∈ +∞ ( ) ( )h x f x≥ x R∈
( ) ( )g x h x≥ a
xoy 1C ( )
31 ,2
,2
tx
t
ty
= +
=
为参数 O
x 2C
2
2
12
3 sin
ρ θ= +
1C 2C
( )1,0F − 1C 2C ,A B AF BF−
( ) | 1| | 2 |.f x x a x= − + −6
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1-12：CBDCA ACDBB CA
13. 14.45 15. 16. 椭圆,
17. （1）证明：依题意 ，……2 分
则 ，
所以 ，…………4 分
，所以 。…………6 分
（2） ，…………8 分
因为 ， ，所以 单调递增。…………6 分
又因为 ，所以当 时， …………10 分
所以当 时， ；
当 时， 。…………12 分
18.
2a = ( )f x
( ) 1f x ≥ − a
1
2
0
tan26 34
h
′
4
5
( )1
1 1 1 1=+1 1n n n n na a a a a+
= − +
1
1 1 1
1n
n n n
b a a a +
= = −+ 1
1
+1
n
n
n n
ab a a +
= =
1 2
1 2 2 3 1 1
1 1 1 1 1 1 12n n
n n n
S b b b a a a a a a a+ +
= + + + = − + − + + − = −
1 2
1 2
2 3 1 1
1
2
n
n n
n n
a a aT b b b a a a a+ +
= = ⋅ ⋅⋅ ⋅ = 2 2n nS T+ =
1 1 1 1
1 1 3 3 4 12 22 2 2 3n n
n n n n
S T a a a a+ + + +
− = − − = − = −
1
1
2a = 2
1 0n n na a a+ − = > { }na
1 2 3
1 3 21 3, ,2 4 16 4a a a= = = > 3n ≥ 3
4na >
1n = 1 1=S T
2n ≥ n nS T>7
解：（1）设 ，依题意 ，满足 ，消 得 ，
所以 。………………5 分
（2）设 ，将 代入 得
， ，………………7 分
，令 得 ，所以 ，………………8 分
因为 ，所以点 处的切线为 ，即 ，
令 得 ，所以 .………………10 分
所以 的斜率
所以 。………………12 分
19.
解法一：（1）①延长 交 的延长线于点 ；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
P
Q
D
C
A
OB
S
( ),M x y ( )0,1A r− ( )22 2
1 0
1
y r
x y r
+ − = + − =
r 2 4x y=
( )2: 4 0E x y x= ≠
( ) ( )1 1 2 2: 1, , , ,MN y kx M x y N x y= + 1y kx= + 2 4x y=
2 4 4 0x kx− − = 1 2 1 24 , 4x x k x x+ = = −
1
1
: yMO y xx
= ⋅ 1y = − 1
1
P
xx y
= − 1
1
, 1xP y
− −
2
xy′ = N ( )2
2 22
xy y x x− = − 2
22
xy x y= ⋅ −
0x = 2y y= − ( )20,Q y−
PQ
2
2 2
2 1 1 2 1 2
1
1 1
11 4 4 44
4 16 160
x
y x x x x xk kx
y x
−− + − +′ = = = = =
− −
MN QP∥
AB DC Q8
②连接 ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
③过点 作 交 于点 。∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（ 2 ） 若 是 中 点 ， 则 是 中 点 ， 又 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，从而 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
依题意， 两两垂直，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐
标系，
则 ，
从而 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
设平面 的法向量为 ，
则 即 取 ，得 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20. 解：（1） ………………3 分
（2）（i） 的可能取值是 1，2，3，4，5，且分布列如下：
1 2 3 4 5
………………6 分
（ii）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为 ， 的可能取值是 2，3，
SQ
B BP QS∥ SA P
P SA B AQ CB AQ⊥ CA CQ=
90QAD∠ = 30BAC∠ =
, ,OS OC OD OC OD OS x y z
( ) ( ) ( ) 1 3 1 31,0,0 , 0, 3,0 , 0,0, 3 , ,0, , , ,02 2 2 2A D S P B
− − −
( ) ( ) 3 31, 3,0 , 1,0, 3 , 1, ,2 2AD AS BP
= = = −
SAD ( ), ,x y z=n
0,
0,
AS
AD
⋅ = ⋅ =
n
n
3 0,
3 0,
x z
x y
+ =
+ =
3x = ( )3, 1, 1= − −n
2 3 2 3 2 6cos , 53 3 101 3 1 1 54 4 2
BP
⋅ − −= = = = −
+ + ⋅ + + ⋅
n BPn
n BP
BP SAD 2 6
5
2
5
3
6
1= = 2
CP C
ξ
ξ
P 1
6
1
6
1
6
1
6
1
3
( ) 10= 3E ξ
η η9
，
分布列如下：
2 3
………………9 分
再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为 ， 的可能取值是 2，3，
，
分布列如下：
2 3
所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可。………………12 分
21. 解：（1） ………………1 分
（i）若 ，则 ；………………2 分
（ii）若 ，则由 得 ，由 得 ；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；…………4 分
（2）设存在 满足题意。
( ) 1
3
1 1=2 = = 3P C
η ( ) 1
2
1
3
2=3 = = 3
CP C
η
η
P 1
3
2
3
( ) 8= 3E η
δ δ
( ) 1
5
2
6
1=2 = = 3
CP C
δ ( ) 2
5
2
6
2=3 = = 3
CP C
η
δ
P 1
3
2
3
( ) 8= 3E δ
( ) e e axf x ax x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ >
0a > ( ) 0f x′ > ex a
< ( ) 0f x′ > ex a
>
0a ≤ ( )f x ( )0 +∞，
0a > ( )f x 0 e
a
， +e
a
∞ ，
y kx b= +10
（i）由 ，即 ，得 ，
所以 ………………5 分
（ii）令 ，
………………6 分
①若 ，则 ， 单调递增， ，不合
题意； ………………7 分
②若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ………………8 分
所以 ，即 ，
由（i）得 ………………9 分
即 ，
令 ， ，………………10 分
，所以 单调递增，
又因为 ，所以 在 是单调递减， 是单调
递减，所以 ，所以 ………………12 分
22．解：（1） 。………………5 分
（2）设 对应的直线参数为 ，
2
2
x x kx b− ≥ + ( )2
1 02
x k x b− + − ≥ ( )2= 1 2 0k b∆ + + ≤
( )21 02
kb
+≤ − ≤
( ) ( )lnF x e x a k x b= − + −
( ) ( ) ( )e a k xeF x a kx x
− +′ = − + =
0a k+ ≤ ( ) 0F x′ > ( )F x ( ) ( ) 0F e e a k e b= − + − >
0a k+ > ( )F x 0 e
a k
+ ， +e
a k
∞ + ，
( ) ( )max = ln = lne eF x F e e b e a k ba k a k
= − − − + − + +
( )ln 0e a k b− + − ≤ ( )lne a k b+ ≥ −
( ) ( )21ln 2
ke a k
++ ≥
( )21
2
k
ea k e
+
≥ − +
( )
( )21
2
k
ek k eϕ
+
= − + ( )
( )21
2 11
k
e kk e e
ϕ
+ +′ = − + ⋅
( )
( ) ( )2 221 1
2 21 1+ 0
k k
e ekk e ee e
ϕ
+ ++ ′′ = ⋅ ⋅ >
( )kϕ′
( )1 0eϕ′ − = ( )xϕ ( )1e∞ −- ， ( )1 +e − ∞，
( ) ( )min 1 1x eϕ ϕ= − = [ )1,a ∈ +∞
2 2
1 2
3 3: , : 13 3 4 3
x yC y x C= − + =
,A B 1 2,t t11
将 代入 得
，故 ，………………8 分
当 在 轴上方，
当 在 轴下方， ………………10 分
23．解：（1） ………………3 分
故 ………………5 分
（2）令 得 ，………………7 分
此时 ，
所以 。………………10 分
31 ,2
,2
tx
ty
= +
=
2 2
14 3
x y+ =
213 12 3 36 0t t+ − = 1 2
12 3+ 13t t
−=
A x ( )1 2 1 2
12 3=2 2 13AF BF a t a t t t− − − + = − − =
A x 12 3= 13AF BF− −
3 5, 1
( ) +3,1 2
3 5, 2
x x
f x x x
x x
− + ≤
= − < ≤
− >
( ) ( )min 2 1f x f= =
1x = 1a ≥ −
( ) | 1| | 2 | | 1| | 2 | | 1 2 | 1f x x a x x x x x= − + − ≥ − − − ≥ − − − + = −
[ )1 +a ∈ − ∞，
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