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（在此卷上答题无效）
工作秘密★启用前
2020 年福建省高三毕业班质量检查测试（B 卷）
文 科 数 学
本试卷共 6 页。满分 150 分。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．等差数列 的前 项和为 ，若 是方程 的两实根．则
A． B． C． D．
3．已知函数 则 的值为
A. B. C. D.
4．设函数 ，则“ ”是“ 在 单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
5. 如图，在直角坐标系 中，点 ，点 ，点 在 轴上，曲线
与线段 交于点 ．若在四边形 内随机取一点，则此
{ }2 1x xA = − > 0 { }= 0,1,2,3B A B =
{ }0,1,2,3 { }1,2,3 { }2,3 { }0,1
{ }na n nS 2 4,a a 2 2 3 0+ − =x x 5
=S
10 5 5− 10−
3log , 0,
( ) 1( ) , 0,3
>=
x
x x
f x
x≤
1( ( ))2f f −
1
2 2 1
2
− 2−
( ) sinf x ax= 1=a ( )f x 3 3
π π − ，
xOy ( )4,4B ( )0,4C A x sin 32
xy
π= +
AB ( )4,3D OABC点取自阴影部分的概率等于
A. B. C． D.
6．函数 在 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
7．小王于 2015 年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了 10 年期每月还
款数额相同的还贷方式，且截止 2019 年底，他没有再购买第二套房子.下图是 2016 年和
2019 年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：
根据以上信息，判断下列结论中正确的是
A．小王一家 2019 年用于饮食的支出费用跟 2016 年相同
B．小王一家 2019 年用于其他方面的支出费用是 2016 年的 3 倍
C．小王一家 2019 年的家庭收入比 2016 年增加了 1 倍
D．小王一家 2019 年用于房贷的支出费用比 2016 年减少了
8． 原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：
“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如
图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线 上取长
度为 1 的线段 ，做一个等边三角形 ，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画
圆弧，交线段 的延长线于点 ,再以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧，交线段
的延长线于点 ，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线 恰有 个交点时，“螺
旋蚊香”的总长度的最小值为
A. B. C． D.
9． 在正方体 中，点 分别为线段 ， 上的动点，
1
5
1
4
1
3
1
2
( ) = + af x x x 1=x 2 0− + =x y b + =a b
3− 1− 0 1
l
AB ABC B AB
BC D C CD
AC E l 21
310π 340π 930π 1020π
1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1AC 1CB且 ，则以下结论错误的是
A． 平面
B．平面 平面
C． ，使得 平面
D． ，使得 平面
10.在等腰 中， ， ， ，则
A． B．
C．
D．
11. 在直角坐标系 中，双曲线 的右顶点为 ，直线
与 相交于 两点， 位于第一象限，若 平分 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
12. 已知函数 ，以下关于 的结论
①当 时， 在 上无零点；
②当 时， 在 上单调递增；
③当 时， 在 上有无数个极值点；
④当 时， 在 上恒成立．
其中正确的结论是
A．①④ B．②③ C．①②④ D． ②③④
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知复数 的实部为 ，则实数 .
14．设正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，若 ，则数列 中最大
的项为 .
15．设 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线 交 于 两点，且
又与圆 相切于 的中点，则 的值为 .
1 1= =C M B N kMA NC
MN∥ ABCD
1MNC ⊥ 1 1BB C C
( )0,∃ ∈ +∞k MN ⊥ 1 1BB C C
( )0,∃ ∈ +∞k MN∥ 1 1AA B B
ABC△ 120C = ° 6A B B C⋅ = − 2AD DC= BD CA⋅ =
10
3
− 10
3
22
3
2
3
xOy
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > A 2=y a
C ,P Q Q OQ AOP∠ C
3 11 2 3 13
( ) e sin= − +xf x ax x ( )f x
0=a ( )f x R
0=a ( )f x π
2
− + ∞ ，
1=a ( )f x R
[ ]1 e∈a ， ( ) 0>f x R
( )( )1 2i i+ +a 4− a =
{ }na n nS 1 2=a 3 14=S n
n
nb a
= { }nb
( )2: 2 0C y px p= > F F 45° l C ,A B
l ( ) ( )2 2 25 0x y r r− + = > AB r16．三棱锥 中， ， ， ，三棱锥
的体积是 ，则它的外接球体积的最小值是 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
在 中， ， ， 在 上，且满足 .
（1）求证： 为 的中点；
（2）若 ，求 的面积.
18．（12 分）
某疫苗进行安全性临床试验．该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中
的高铁血红蛋白（MetHb）的含量（以下简称为“M 含量”）不超过 1%，则为阴性，认为受
试者没有出现高铁血红蛋白血症（简称血症）；若 M 含量超过 1%，则为阳性，认为受试者出
现血症. 若一批受试者的 M 含量平均数不超过 0.65%，且出现血症的被测试者的比例不超过
5%，则认为该疫苗在 M 含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”．现有男、女志愿者各 200
名接受了该疫苗注射，按照性别分层，随机抽取 50 名志愿者进行 M 含量的检测，其中女性志
愿者被检测出阳性的恰好 1 人．经数据整理，制得频率分布直方图如下．
sin 7
sin 3
CAD
BAD
∠ =∠
S ABC− 90SAC SBC∠ = ∠ = SC AB⊥ 2SC AB= S ABC−
4
ABC△ 7=AB 3=AC D BC
D BC
3 2=AD ABC△注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表．
（1）请说明该疫苗在 M 含量指标上的安全性；
（2）请利用样本估计总体的思想，完成这 400 名志愿者的 列联表，并判断是否有超
过 99%的把握认为，注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？
附： .
19．(12 分)
如 图 ， 四 棱 锥 中 ， ， ，
， ， 为等边三角形， 是棱 上
一点．
（1）证明： ；
（2）若 平面 ,求三棱锥 的体积.
20．(12 分)
已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为 ，点 ，
男 女
阳性
阴性
2 2×
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
P ABCD− / /AD BC 2BC CD= =
1AD AP= = 90BCD °∠ = PBC△ M PC
PA BC⊥
/ /DM PAB B MCD−
:E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A B ( )0,2P
( )2P K k≥ 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828的面积为 ，直线 过 上的点 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为 的短轴端点，直线 过点 交 于 ，证明：四边形 的两
条对角线的交点在定直线上.
21． (12 分)
已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）求证：当 时，有 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修 ：坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系 中，圆 的方程为 ．以原点 为极点， 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 与 的交点的极坐标；
（2）设 是 的一条直径，且 不在 轴上，直线 交 于 两点，直线
交 于 两点，求四边形 的面积的最小值．
23．[选修 ：不等式选讲] (10 分)
已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）对任意 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
PAB△ 12
5 PA E ( )2,0M
E
,C D E l P E ,G H CDHG
1( ) ln ( )f x a x x ax
= − + ∈R
( )f x
*n∈N 2
3 5 2 1ln( 1) 4 12 2 2
nn n n
++ < + + + +
4 4−
xOy 1C 2 2( 2) 4x y− + = O x
2C 2
2
6
2cos 1
ρ θ= +
1C 2C
MN 1C MN x OM 2C ,A C ON
2C ,B D ABCD
4 5−
2( ) 1, ( ) | | | 2 1|,f x x g x x a x a= + = − − − ∈R
1
2a = 2 7( ) 2g x < −
1 2,x x ∈R 1 2( ) ( )f x g x≥ a2020 年福建省高三毕业班质量检查测试（B 卷）
文科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。
1．C 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A
7．B 8．A 9．B 10．B 11．D 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（12 分）
【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ， ①
在 中，由正弦定理得 ， ② ………………2 分
又 ， ，………………………………3 分
将① ②，得 ， ， ，
所以 ，即 为 的中点.……………………………………………5 分
（2）设 ，在 和 中，由余弦定理可得
，
，…………………………………7 分
因为 ， ………………………………………………8 分
所以 ，故 ，即 .……………………………9 分
2− 1
2 2 2 32 3π
3
ACD△
sin sin
CD AC
CAD ADC
=∠ ∠
ABD△
sin sin
BD AB
BAD ADB
=∠ ∠
sin sinADB ADC∠ = ∠ sin 2sin
CAD
BAD
∠ =∠
÷ 3
7
CD AC
BD AB
= 7=AB 3=AC
CD BD= D BC
= =BD DC x ABD△ ACD△
2 2 2 2+ +18 49cos 2 6 2
BD AD AB xADB BD AD x
− −∠ = =⋅
2 2 2 2 +18 9cos 2 6 2
CD AD AC xADC CD AD x
+ − −∠ == =⋅
cos cos 0ADB CDB∠ + ∠ =
22 22 0x − = 11=x 2 11=BC在 中，由余弦定理可得， ,
…………………………………………………………………………………10 分
所以 .
故 . ………………………12 分
18．（12 分）
【 解 析 】（ 1 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 得 ， M 含 量 数 据 落 在 区 间 上 的 频 率 为
，…………………………………………………………………………2 分
故出现血症的比例为 5%，符合“安全的”条件；……………………………………3 分
由直方图得平均数为 ，
求得 ，即志愿者的 M 含量的平均数为 ，
综上，该疫苗在 M 含量指标上是“安全的”. ………………………………………5 分
（2）依题意得，抽取的 50 名志愿者中女性志愿者应为 25 人，
由已知，25 名女性志愿者被检测出阳性恰有 1 人，故女性中阳性的频率 ，
所以全部的女性志愿者共有 人，………………………………………6 分
由（1）知 400 名志愿者中，阳性的频率为 ，所以阳性的人数共有 人，
因此男性志愿者被检测出阳性的人数是 .……………………………………7 分
所以完成表格如下：
由 列联表可 ，………………………………9 分
由参考表格，可得 ，
故没有超过 99%的把握认为，注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关. ……10 分
19. (12 分)
【解析】解法一：（1）取 中点为 ，连结 ， .
男 女
阳性 12 8
阴性 188 192
ABC△
2 2 2+ 49+9 44 1cos 2 2 7 3 3
− −∠ = = =⋅ × ×
AB AC BCBAC AB AC
2 2sin 3
∠ =BAC
1 1 2 2sin 7 3 7 22 2 3
= ⋅ ∠ = × × × =ABCS AB AC BAC△
( ]1.00,1.2
0.25 0.2 0.05× =
0.3 0.2 0.5 0.3 0.7 0.3 0.9 0.15 1.1 0.05x = × + × + × + × + ×
0.61x = 0.61% 0.65%＜
0.04
200 0.04 8× =
0.05 400 0.05 20× =
20 8 12− =
2 2× ( )2
2 400 12 192 8 188 16 1200 200 20 380 19K
× − ×= =
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