福建省2020届高三数学（文）考前冲刺适应性模拟卷（一）（Word版附答案）

福建省 2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷 文 科 数 学（一） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．设复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 3．若椭圆 的焦点和顶点分别是双曲线 的顶点和焦点，则 的离心率是 A． B． C． D． 4．甲、乙、丙三部门组织人员报名参加一项志愿者活动，已知甲、乙两部门各报了 2 人，丙 部门报了 1 人，若从这 5 人中随机抽取 3 人，则这 3 人来自不同部门的概率为 A． B． C． D． 5．已知函数 是 上的奇函数，当 时， ，则 在 处的切线的斜率为 A． B． C． D． 6． 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 的 取值范围是 A． B． C． D． 7．已知某圆锥的母线与底面所成的角为 ，轴截面的面积为 ， 则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 8． 2020 年 是 5G 的 爆 发 之 年 ，5 月 中国信 通 院 发 布 了 2020 年 4 月 国 内 手 机 市 场 运 行 分 析 报 告 ，该报 告 统 计 了 从 2019 年 7 月 到 2020 年 4 月 这 十 个 月 国 内 手 机 市 场 总 出 货 量 与 国 内 5G 手 机 出 货 量 占 同 期 手 机 出 货 量 比 重 变 化 情 况 （ 简 称 市 场 占 比 ），得 到 下 面 两 个 统 计 图 ， z i 2 iz⋅ = + z 2{ 2 0}A x x x= ∈ − − ≤N| { 1,1,2}B = − A B = { 1,1,2}− {1,2} { 1,1}− {1} 149 22 =+ yx E E 5 53 5 54 13 133 3 5 1 3 2 3 3 10 2 5 )(xfy = R 0>x ( ) 2 sinf x x x= + )(xf 2x π= − π π− π1− π 1+ ]1,1[−∈x y ]1,1[− ]4 1,1[− ]4 1,2[− ]1,0[ 60 34 4 3 π 4π 8π 16π则 下 列 描 述 不 正 确 的 是 A．2020 年 4 月国内 5G 手机出货量是这十个月中的最大值 B．从 2019 年 7 月到 2020 年 2 月，国内 5G 手机出货量保持稳定增长 C．相比 2020 年前 4 个月，2019 年下半年 的 国内手机市场总出货量相对稳定 D．2019 年 12 月到 2020 年 1 月国内 5G 手机市场占比的增长率比 2020 年 1 月到 2 月的 增长率大 9．若 ，则 A． B． C． D． 10． 中，角 的平分线交 于 ，已知 ，则 A． B． C． D． 11．已知函数 则 在 的所有零点之和等于 A． B． C． D． 12．已知半径为 的球 与正方体 的六个面均相切， 为球 的球面上的 动点，若 ，则 的轨迹对应的曲线长度为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置． 0c b a> > > c ca ba b − > − 2ln ln lnb a c< + b c c ba b a b> log loga bc c> ABC△ A BC D 422 === ADACAB =BC 23 3 22 3 6    >+− ≤−= .0,1)1( ,0,)( 2 xxf xxxf xxfxg −= )()( ( ,3]−∞ 0 2 5 6 1 O 1111 DCBAABCD − P O CAPD 11 ⊥ P π3 6 π3 2 π3 4 π3 6213．已知向量 ，且 ，则实数 _____________． 14．角 的顶点为坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 交于点 ，则 _____________． 15．若椭圆 的左焦点是 ，坐标原点为 ，给定 上的任意一点 ，则 的最小值为_____________． 16．点 为函数 图象 上一点，已知 向右平移 个 单位后仍落在 上． ① ②存在这样的 ，使得 上任一点向左平移 后仍在 上 ③存在这样的 ，使得 上的点 向右平移 后仍在 上 ④若 在 单调递减，则 上述四个结论中，所有正确结论的编号为_____________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 记 为正项数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）记 为正项等比数列 的前 项和，且 ， ，若 ，求 的最小值． 18．（12 分） 某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个 年度两家店 20 天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率 分布直方图如下： ( ) ( )2,1 , 1,= = − ta b ( )⊥ −a a b =t α O x O 1( , )2P b sin( 2 )2 απ =+ 13: 2 2 =+ yxE F O E P 22 |||| PFPO + P ( , ( ))4 4f π π ( ) sin( )( 0)8f x xω ωπ= + > C P 2 π C *{ | 4 , }Nk kω ω ω∈ = ∈ ω C 4 π C ω C ( ( ))12 12f π π , 5 6 π C ( )f x 19( )54 2 π π , 27 4 ω = nS { }na n nnn Saa 422 =+ { }na nT { }nb n 21 ab = 283 =T 1562 ≥+ n nT n（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为 ，方差为 ． ①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②若公司规定，分店一年（按 360 天计算）中日销售额不低于 58 万的天数应不少于 90 天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？ （2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你 的理由． 19．（12 分） 如 图 ， 在 六 棱 锥 中 ， 底 面 是 边 长 为 的 正 六 边 形 ， ． （1）点 在侧棱 上，且 平面 ，证明： 为 的中点； （2）若 ，求点 到平面 的距离． 20．（12 分） 已知函数 ． 49 33.87 P ABCDEF− ABCDEF 4 2 7PA PC= = Q PE PB∥ CFQ Q PE 2 5PB = E PCD 2( ) ( 2) lnf x ax a x x= + − −（1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围． 21．（12 分） 已知点 ，直线 ，直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 作 的两条切线，切点分别为 ，记△ 的外接圆为 ，不论 取何值，试判断以 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不 是，请说明理由． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分） 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 的极坐标方程为 ，将曲线 绕点 顺时针旋转 得到曲线 ． （1）求曲线 的极坐标方程和直角坐标方程； （2）过点 的直线 交曲线 于 两点，求 的最小值． 23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分） 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； ( )f x ( )f x a ( )0,1F : 1= −l y l′ l P PF l′ Q Q C ( ), 2−H a C ,A B HAB G a HG xOy O x 1C 12sin2 =θρ 1C O 4 π 2C 2C ( )1 1P −， l 2C BA, PBPA ⋅ 3)( +−−= xaxxf 2=a ( ) 1f x ≤（2） ， ，求 的取值范围． 2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷 文科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答 应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D 1．【解析】依题意， ，则其在复平面内对应的点位于第四象限，故选D． 2．【解析】依题意， ，则 ，故选B． 3．【解析】椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ， 设 双 曲 线 ， 则 有 ， 故 其 离 心 率 ，故选 A． 4．【解析】设甲部门的两人为 ，乙部门的两人为 ，丙部门的一人为 ， 从中随机抽取 3 人，则所有基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 种； [ 3,3]x∀ ∈ − ( ) 4f x x −≤ a ii i 212 −=+=z }2,1,0{}21{ =≤≤−∈= xxA N }2,1{=BA 149 22 =+ yx ( ) ( )0,5,0,5− ( ) ( )0,3,0,3− 1: 2 2 2 2 =− b y a xE 3,5 == ca 5 53 5 3 === a ce 21, AA 21, BB C },,{ 121 BAA },,{ 221 BAA },,{ 21 CAA },,{ 211 BBA },,{ 11 CBA },,{ 21 CBA },,{ 212 BBA },,{ 12 CBA },,{ 22 CBA },,{ 21 CBB3 人来自不同部门包含的基本事件为 ， ， ， ，共 4 种； 则 3 人来自不同部门的概率为 ．故选 D． 5 ．【 解 析 】 方 法 一 ： 由 函 数 是 上 的 奇 函 数 可 得 ， 当 时 ， ，所以 ，所以 ，由导数的几何意义可得所求切线的斜率 为 ，故选 A． 方法二：当 时， ，所以 ，因为函数 是 上 的 奇 函 数 ， 可 导 的 奇 函 数 的 导 数 是 偶 函 数 ， 所 以 ，由导数的几何意义可得所求切线的斜率为 ，故 选 A． 6．【解析】由程序框图可知，函数 ，绘制图象如下所示，结合图 象可知，当 时， ，故选 ． 7．【解析】 如图是圆锥的轴截面，由题意可得， ，所以△ 是等边三角形，设圆锥底面圆半径为 ，则 ， 所以 ，所以 ，所以圆锥侧面积为 ，故选 C． 8．【解析】因为 2020 年 4 月国内手机市场总出货量和国内 5G 手机市场占比均为 十个月中的最大值，所以国内 5G 手机出货量最大，故 A 正确； 从 2019 年 7 月到 2020 年 2 月，国内 5G 手机的市场占比保持稳定增长，受国内手 机总出货量影响，2 月国内 5G 手机的出货量比 1 月有所下降，故 B 错误； 由上图知，相比 2020 年前 4 个月，2019 年下半年的国内手机市场总出货量相对稳 定，故 C 正确；2019 年 12 月到 2020 年 1 月国内 5G 手机市场占比的增长率为 ，2020 年 1 月到 2 月的增长率为 ， 前者大，故 D 正确；故选 B． 9．【解析】通过 ，或构造函数 ，根据其在 单调递增，可知 ，故 A 错误； 因为 与 大小不能确定，故 B 错误； 因为 ，所以 ，故 C 正确； },,{ 11 CBA },,{ 21 CBA },,{ 12 CBA },,{ 22 CBA 5 2 10 4 = ( )xfy = R 0x ( ) 2 sinf x x x= + ( ) xxxf cos2 +=′ ( )xfy = R 2 2f f π π   ′ ′− = = π       π 2 , 0, 2 2, 0.x x x xy x−  − >=  − ≤ ]1,1[−∈x 1[ 1, ]4y∈ − B 60, =∠= SABSBSA SAB r rAB 2= 34322 1 =××=∆ rrS SAB 42 =r 2 8rl r rπ = π × = π 26.3% 17.8% 0.4817.8% − ≈ 37.3% 26.3% 0.4226.3% − ≈ ( ) ( )(1 ) 0c c ca b a ba b ab − − − = − + < ( ) cf x x x = − (0, )+∞ ( ) ( )f a f b< 2b ac ( ) 1 b c b c c b b c c b a b aa ba b b − − −= = > b c c ba b a b>令 ，则 ，故 D 错误．故选 C． 10．【解析】解法一：依题意， ， ，由正弦 定理可知， 中 ， ① ； 中 ， ②， 将①÷②，得 ，故设 ，则 ， 又因为 ③，由余弦定理可知， 中， ④； 中， ⑤， 联立③④⑤，可求得 ，故 ，故选A． 解法二：过 作 ， 因为 ，所以 ， 由角平分线定理可知， ，若设 ，则 ， ． 在 中， ① 在 中， ② 联立①②可得 ，故 ，故选A． 11．【解析】由已知可作出函数 的部分图象，可得当 时 与 的图象的交点的横坐标分别为 ， 所以 在 的所有零点之和等于 5，故选 C． 12．【解析】依题意， 的轨迹为平面 与球 的截面对应的圆 ． 依题意，可计算得， ，记 的中点为 ， 1c = log log 0a bc c= = sin sinBAD CAD∠ = ∠ sin sinCAD ADC∠ = ∠ ABD△ sin sin BD AB BAD ADB =∠ ∠ ACD△ sin sin CD AC CAD ADC =∠ ∠ : :AB AC BD CD= 2BD x= CD x= cos cosADB ADC∠ = − ∠ ABD△ 2 2 2 cos 2 AD BD ABADB AD BD + −∠ = ⋅ ACD△ 2 2 2 cos 2 AD CD ACADC AD CD + −∠ = ⋅ 2x = 3 2BC = A EBCAE =⊥ ADAC = EDEC = CDBDACAB :: = xCD = 2 xEDEC == xBD 2= AED△ 22 4 EDAE −= AEB△ 222 )( ABBDEDAE =++ 2x = 3 2BC = ( )xf 3≤x ( )xfy = xy = 1,0,1,2,3− ( ) ( ) xxfxg −= ( ,3]−∞ P 1 1AB D O 1O 1 3 3OO = 1 1B D 1P在直角 中，可求得 ，故圆 的周长为 ，故选 ． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．【解析】解法一：由已知 ，得 ，根据 得 ，解得 ． 解法二：由 ，得 构成以 为斜边的直角三角形， 又 ，由勾股定理，得 ， 即 ，解得 ． 14．【解析】由已知可得， ． 15．【解析】解法一： 由已知，得 设 ， 则 解法二：设 ， 所以 令 ，则 ， 当 ， 解 法 三 ： 由 中 线 定 理 ， 得 设 ， 1 1OO P△ 1 1 6= 3O P 1O π3 62 D ( ) ( )2,1 , 1,t= = −a b ( )3,1 t− = −a b ( )⊥ −a a b ( ) 2 3 1 (1 ) 7 0⋅ − = × + ⋅ − = − =t ta a b 7=t ( )⊥ −a a b , , −a b a b b ( )225, 1 , 9 1= = + − = + −t ta b a b ( )2 25 9 1 1+ + − = +t t 5 9 2 0+ − =t 7=t 2 2 1 1sin( 2 cos2 2cos 1 2 12 2 2 α α απ  = = − = − = −  + ） ( ),0,2−F ),( yxP ( ) 222222 2|||| yxyxPFOP ++++=+       ++=++=+      −++= 32 23 3 44223 42312222 2 22 2 xxxxxxx 2 5 2 5 4 23 3 4 8 15 4 23 2 23 3 4 22 2 ≥+      +=         +     ++= xxx )33( ≤≤− x ( )θθ sin,cos3P ( ),0,2−F ( ) θθθθ 222222 sin2cos3sincos3|||| ++++=+ PFPO θθθθθ cos62cos442cos62sin2cos6 222 ++=+++= [ ]1,1cos −∈= θt 4624|||| 222 ++=+ ttPFPO 4 6−=t ( ) .2 5 16 40 16 2464|||| min 22 ==−=+ PFPO ( ) 122 2222|||| 2 2 22222 +=     +=+=+ PMPMOMPMPFPO ( )θθ sin,cos3P ,0,2 2      −M则 （令 ） ， 所以 ． 16．【解析】由已知可得，图象 的周期为 ，或一条对称轴为 ， 故 或 ，所以①错误； 存在 ， ，所以②正确； 因 为 图 象 有 一 条 对 称 轴 为 ， 则 关 于 的 对 称 点 为 ，故存在 ，使得 上的点 向右平移 后仍在 上 ，所以③正确； 因为 时， 在 单调递减，且 ，故 时， 在 单调递减也成立，所以④错误．故选②③． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 记 为正项数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）记 为正项等比数列 的前 项和，且 ， ，若 ，求 θθ 2 2 sin2 2cos3 +      +=PM [ ]1,1cos −∈= θt ≥++=++= 2 36t22 3cos6cos2 22 tθθ 2 3 8 62 324 = −×× [ ]1,1−∈t ( ) 2 514 32122|||| 22222 =+×≥+=+=+ PMOMPMPFPO C (2 k k π ∈Z) 1 4 2 2 2x π π π= + × = 4kω = 3 24 kω = + 8ω = 4T π= 2 π=x ( ( ))12 12f π π , 2 π=x 11( , ( ))12 12f π π ω C ( ( ))12 12f π π , 11 5 12 12 6 π π− = π C 11 4 ω = ( )f x )4 2 π π（ , )4 2 π π（ , 19( )54 2 π π⊇ , 11 4 ω = ( )f x 19( )54 2 π π , nS { }na n nnn Saa 422 =+ { }na nT { }nb n 21 ab = 283 =T 1562 ≥+ n nT的最小值． 【命题意图】本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列通项与和等基础知识；考查 运算求解、推理论证等基本能力；考查分类与整合、化归与转化基本思想； 取向数学运算、逻辑推理核心素养． 解析：（1）当 时， ，可得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 当 时，由 ①，可得 ②． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 ①—②得： ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 整理得 ．因为 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙5 分 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （ 2 ） 依 题 意 ， 设 为 的 公 比 ， ， ， 又 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 所以 ， 由 ，得 ，故所求 的最小值为 5． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 18．（12 分） 某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个 年度两家店 20 天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率 分布直方图如下： n 1=n 11 2 1 42 Saa =+ 21 =a 2≥n nnn Saa 422 =+ 11 2 1 42 −−− =+ nnn Saa 1 2 1 2 22 −− +=− nnnn aaaa ( )( ) 0211 =−−+ −− nnnn aaaa 0>na ( )221 ≥=− − naa nn ( ) nnan 2212 =⋅−+= q { }nb 421 == ab ( ) 2814 2 3213 =++=++= qqbbbT 0>q 2=q ( ) ( )12421 214 −=− −= n n nT 42524242 −⋅=+−⋅=+ nnnn nT 156425 ≥−⋅ n 5≥n n（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为 ，方差为 ． ①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②若公司规定，分店一年（按 360 天计算）中日销售额不低于 58 万的天数应不少 于 90 天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？ （2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你 的理由． 【命题意图】本题主要考查平均数、方差、直方图基础知识；考查数据处理、运算求解 基本能力；或然与必然的统计概率基本思想；取向数据分析、数学运算核心 素养． 解法一：（1）①估计算乙店的日销售额平均数为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ②日销售额超过 58 万的天数占比不少于 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 甲日销售额不低于 58 万的概率约为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 乙日销售额不低于 58 万的概率约为 ， 两者均大于 ，两店均有达到这一规定的要求．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 （2）答案不唯一，但需结合数据与统计概率相关知识加以说理，方能给分． 答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，经计算，乙店方差为 771，故甲 49 33.87 20 0.1 25 0.3 25 0.5 10 0.7 20 0.9 47x = × + × + × + × + × =乙 4 1 360 90 = (60 58) 0.03 20 0.0075 20 0.0025 0.26− × + × + × = (60 58) 0.0125 20 0.005 20 0.010 0.325− × + × + × = 4 1店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店； 答案二：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知，甲店 的销售额方差明显低于甲店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以 我选甲店； 答案三：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在 80 万-100 万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙 店．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 解法二：（1）①同解法一．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ②日销售额超过 58 万的天数占比不少于 ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 由甲店的频率分布直方图可知，若甲店日销售额不低于 万元时的概率不 低于 ， 则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由乙店的频率分布直方图可知，乙店日销售额不低于 60 万元的概率约为 ，两店均有达到这一规定的要求．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 （2）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 19．（12 分） 如 图 ， 在 六 棱 锥 中 ， 底 面 是 边 长 为 的 正 六 边 形 ， ． （1）点 在侧棱 上，且 平面 ，证明： 为 的中点； （2）若 ，求点 到平面 的距离． 【命题意图】本题主要考查线面平行、线面垂直、多面体的 体积、点面距等基础知识；考查空间想象、运 算求解、推理论证等基本能力；考查转化与化归、 数形结合等基本思想；取向数学运算、直观想 象、逻辑推理等核心素养． 解析：（1）设 ，在正六边形 中，易知 为 中点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 因 为 平 面 ， 平 面 ， 平 面 平面 ， 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 因为 为 中点，所以 为 的中点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 4 1 360 90 = x 4 1 0.25 0.0075 20 0.0025 20 160 58 580.03 3x − × − ×= − = > 120 0.005 20 0.010 0.3 4 × + × = > P ABCDEF− ABCDEF 4 2 7PA PC= = Q PE PB∥ CFQ Q PE 2 5PB = E PCD CF BE R= ABCDEF R BE PB∥ CFQ PB ⊂ PBE PBE  CFQ QR= PB QR∥ R BE Q PE（2）设 ，连结 ． 在正六边形 中，易得 ， ． 又因为 ，所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 在正六边形 中， ，所以 ， ． 又因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ，即 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 平 面 ， 平 面 ， 所 以 平 面 平 面 ， 又 因 为 平 面 ， ， 平 面 平 面 ， 所以 平面 ，又因为 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ，易得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 记 为点 到平面 的距离，由 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 可得 ，可得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 20．（12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查函数单调性、零点基础知识；考查运算求解、推理论证基本 能力；考查数形结合、分类与整合等基本思想；取向数学运算、逻辑推理等 核心素养． 解法一：（1） ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ①当 时， ，所以 ，所以 在 上递减．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 ②当 时，由 可得 ，由 可得 ， AC BE O= PO ABCDEF AC BE⊥ AO CO= PA PC= PO AC⊥ ABCDEF 4AB BC= = 2 3AO CO= = 2BO = 2 7PA PC= = 4PO = 2 5PB = 2 2 2PB BO PO= + PO BO⊥ PO AC⊥ PO BO⊥ BO AC O= ,BO AC ⊂ ABCDEF PO ⊥ ABCDEF PO ⊥ ABCDEF PO ⊂ PAC PAC ⊥ ABCDEF BE ⊂ ABCDEF BE AC⊥ PAC  ABCDEF AC= BE ⊥ PAC CD BE∥ CD ⊥ PAC PC ⊂ PAC CD PC⊥ 74=PCDS△ h E PCD E PCD P CDE =- -V V 34=CDES△ 1 1 3 3PCD CDES h S PO⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 4 21 7h = 2( ) ( 2) lnf x ax a x x= + − − ( )f x ( )f x a ( ) ( ) ( )( )2 1 112 2 ( 0)x axf x ax a x xx x + −′ = + − − = > 0a ≤ 1 0ax − < ( ) 0f x′ < ( )f x ),0( +∞ 0a > ( ) 0f x′ > 1x a > ( ) 0f x′ < 10 x a < ( ) min 1 1 ( 2) 1 1ln 1 lnaf x f aa a a a a −   = = + − = − +     ( ) 11 lng a aa = − + ( ) 2 1 1 0g a a a ′ = + > ( )g a ( )0,+∞ ( )1 0g = 1a ≥ ( ) ( ) min 0g a f x=   ≥  ( )f x 0 1a< < ( ) ( ) min 0g a f x=                  ( )f x 1 1,e a      1 1 ,a  +∞   3 11x a a = − > ( )23 3 3 3 3 31 1 2 1 ln 1 1 ln 1 0f a aa a a a a a            − = − + − − − − = − − − >                       ( )f x 1 ,a  +∞   1 a ( )0,1 2 ( 2) ln 0ax a x x+ − − = 2 2 lnx xa x x += + ( )f x 2 2 lnx xa x x += + ( ) 2 2 lnx xG x x x += +则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 令 ，则 ，所以 在 上递增，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 而 ，所以当 时， ， ，当 时， ， ，所以 在 上递增，在 上递减．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ，当 时， ，当 时， ．若 有两个零点，则 与 有两个交点，所以 的取值范围是 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 解法三：（1）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）问题等价于方程 有两个解，即 ． 令 ， ， 则 有两个零点等价于 与 有两个交点．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 因为 ，由 可得 ，由 可得 ， 所以 在 上递增，在 上递减， ，当 时， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 是斜率为 ，过定点 的直线． 当 与 相切的时候，设切点 ， 则有 ，消去 和 ，可得 ， 即 ，即 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 令 ，显然 是增函数，且 ， 于是 ，此时切点 ，斜率 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 12 2 ln 2 1x x x x xxG x x x  + + − + +  ′ = = + ( )( ) ( )22 2 1 1 lnx x x x x + − +− + ( ) 1 lnH x x x= − + ( ) 11 0H x x ′ = + > ( )H x ( )0,+∞ ( )1 0H = 0 1x< < ( ) 0H x < ( ) 0G x′ > 1x > ( ) 0H x > ( ) 0G x′ < ( )G x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1 1G = 0x +→ ( )G x → −∞ x → +∞ ( ) 0G x +→ ( )f x y a= ( )G x a ( )0,1 2 ( 2) ln 0ax a x x+ − − = ( ) ln1 2 xa x x + − = ( ) ( )1 2k x a x= + − ( ) ln xx x ϕ = ( )f x ( )y k x= ( )y xϕ= ( ) 2 1 ln xx x ϕ −′ = ( ) 0xϕ′ > 0 ex< < ( ) 0xϕ′ < ex > ( )xϕ ( )0,e ( )e,+∞ ( ) 1e e ϕ = x → +∞ ( ) 0xϕ +→ ( )y k x= a ( )1, 2A − − ( )y k x= ( )y xϕ= ( )0 0,P x y ( ) 0 0 0 0 0 0 2 0 ln 1 2 1 ln xy x y a x x ax  =  = + −  − = a 0y ( )0 0 02 0 0 ln 1 ln 1 2x x xx x −= + − ( )( )0 0 02 1 ln 1 0x x x+ + − = 0 0ln 1 0x x+ − = ( ) ln 1p x x x= + − ( )p x ( )1 0p = 0 1x = ( )1,0P 1a =所以当 与 有两个交点时， ，所以 的取值范围是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 21．（12 分） 已知点 ，直线 ，直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 作 的两条切线，切点分别为 ，记△ 的外接圆为 ，不论 取 何值，试判断以 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说 明理由． 【命题意图】本题主要考查曲线的方程、垂直平分线的性质等基础知识；考查运算求解 能力；体现数形结合思想；取向逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素 养． 解析：（1）依题意，得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 假设 点的坐标为 ，则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 化简，得到 ，所以点 的轨迹 的方程是 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）解法一：假设 ， ， 抛物线方程化成 ，求导，得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 ， 中 垂 线 的 斜 率 是 中 点 坐 标 是 的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 又 即 代入上面式子，得 同理可得 的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 联立方程，得圆心坐标是 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 以 为直径的圆的方程为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 化简整理，得 ， ( ) ( ) 23 2 1 0.2 2 ax a x a y y   − − + + − − =      ( )y k x= ( )y xϕ= 0 1a< < a ( )0,1 ( )0,1F : 1= −l y l′ l P PF l′ Q Q C ( ), 2−H a C ,A B HAB G a HG =FQ PQ Q ( ),x y 2 2( 1) 1+ − = +x y y 2 4=x y Q C 2 4=x y 2 2 1 1 2 2 1 1( , ), ( , )4 4A x x B x x ( ), 2−H a 21 4y x= 1 2y x′ = 1 1 2 =HAk x HA 1 2 ,k x = − HA 2 1 1 8( , ),2 8 x a xA + − HA 2 1 1 1 8 2 8 2 x x ay xx − + − = − −   ( )1 2 1 1 42 ,8 x a x x −− = − + 2 1 12 8,x ax− = 1 1 1 2 4 2 ax x ay xx + − = − −   HB 2 2 2 2 4 2 ax x ay xx + − = − −   23( ,1 )2 2 + aG a HG 2 2 2 25 12 02 2 2 − + + − − + =ax ax y y y a即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 由 的任意性，得 ， 即 ，解得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 所以以 为直径的圆恒过定点 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 解法二：（1）同解法一； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）假设 ， ， 抛物线方程化成 ，求导得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 ， 中 垂 线 的 斜 率 是 中 点 坐 标 是 ， 的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 又 即 代入上面式子，得 同理可得 的中垂线方程是 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 联立方程，得圆心坐标 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由对称性可知，定点存在且必在 轴上，设为点 ，则 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ( )2 2 2 25 2 2 2 4= + + − − +ax x y a y a a ( )2 2 2 2 0 2 2 2 4 0 = + + − − + = x x y a y a ( ) ( )2 0 1 2 4 0 =  − − − =   x y y a 0 1 =  = x y HG ( )0,1 2 2 1 1 2 2 1 1( , ), ( , )4 4A x x B x x ( ), 2−H a 21 4y x= 1 2y x′ = 1 1 2 =HAk x HA 1 2 ,k x = − HA )8 8,2( 2 11 −+ xax HA 2 1 1 1 8 2 8 2 x x ay xx − + − = − −   ( )1 2 1 1 42 ,8 x a x x −− = − + 2 1 12 8,x ax− = 1 1 1 2 4 2 ax x ay xx + − = − −   HB 2 2 2 2 4 2 ax x ay xx + − = − −   23( ,1 )2 2 + aG a y ( )00,M y 2 0 3( , 1 )2 2 = − − − aGM a y 0( , 2)= − +HM a y 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 3 3( 1 )( 2) 2 22 2 2 2 ⋅ = ⋅ + − − + = + + − − − −  a aGM HM a a y y a y y y y a 2 2 0 0 0 1 1 2 02 2  = − + + − =  y a y y由 的任意性，得 ，解得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 所以以 为直径的圆恒过定点 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分） 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 的极坐标方程为 ，将曲线 绕点 顺时针旋转 得到曲线 ． （1）求曲线 的极坐标方程和直角坐标方程； （2）过点 的直线 交曲线 于 两点，求 的最小值． 【命题意图】本题主要考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、参数几何意义基础 知识；考查推理论证、运算求解等基本能力；考查数形结合、化归与转化等 基本思想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养． 解析：（1）设 是曲线 上任意一点， 则 绕点 逆时针旋转 得到点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 因为 在曲线 上，所以 =1， 化简得曲线 的极坐标方程是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 可得 ，将 代入 即得 a 0 2 0 0 1 1 02 2 2 0  − =  + − = y y y 0 1=y HG ( )0,1 xOy O x 1C 12sin2 =θρ 1C O 4 π 2C 2C ( )1 1P −， l 2C BA, PBPA ⋅ ( )θρ,M 2C ( )θρ,M O 4 π      +′ 4 π,θρM 'M 1C      + 4 π2sin2 θρ 2C 12cos2 =θρ 12cos2 =θρ 1sincos 2222 =− θρθρ yx == θρθρ sin,cos曲线 直角坐标方程 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）设直线 的参数方程为 （ 为参数） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 代入 直角坐标方程 得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 设点 对应的参数分别为 ，则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 由参数 的几何意义得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 当且仅当 时， 取得最小值 1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分） 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2） ， ，求 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式基础知识；考查运算求解基本能力；考查函数 与方程、分类与整合、数形结合等基本思想；取向数学运算核心素养． 解析：（1）当 时， 当 时， 无解，故不成立；.....................................................................1 分 当 时， ，解得 ； .................................................3 分 当 时， 恒成立，综上所述， ．.................................................5 分 （2） ， 等价于 ， .................................................7 分 即 ， ..............................................................................................................8 分 得 ．......................................................................................................................10 分 2C 122 =− yx l    +−= += ， ， α α sin1 cos1 ty tx t 2C 122 =− yx ( ) 01cossin22cos 2 =−++⋅ tt ααα BA, 21,tt α2cos 1 21 −=tt t α2cos 1 21 ==⋅ ttPBPA 0=α PBPA ⋅ 3)( +−−= xaxxf 2=a ( ) 1f x ≤ [ 3,3]x∀ ∈ − ( ) 4f x x −≤ a 2=a 5, 3 ( ) 2 3 1 2 , 3 2 5, 2 x f x x x x x x − = − − + = − − −  ≤ ≤ 3x −≤ ( ) 5 1f x = ≤ 3 2x− < ≤ ( ) 1 2 1f x x= − − ≤ 1 2x− ≤ ≤ 2x > ( ) 5 1f x = − ≤ x≥- 1 [ 3,3]x∀ ∈ − 3 4x a x x− − + −≤ 7x a− ≤ 77 +≤≤− axa 44 ≤≤− a