福建省2020届高三数学（文）考前冲刺适应性模拟卷（二）（Word版附答案）

福建省 2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷 文 科 数 学（二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共 4 页，满分 150 分．考 试时间 120 分钟 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知全集 ,集合 ，则集合 （ ） A．{1, 2, 3, 4} B．{2, 3, 4} C．{1,5} D．{5} 2．欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有 非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中 位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. “直线 在坐标轴上截距相等”是“ ”的 （ ） A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．在等差数列{ }中， ，则数列{ }的前 11 项和 等于 （ ） A．24 B．48 C．66 D．132 5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 （ ） 6. 已知 等于 （ ） A． B． C． D． 7．已知向量 , 满足 , , ,则 与 的夹角为 （ ） A． B． C． D． }5,4,3,2,1{=U }23{ ( )f x [ ]0 π， 3c = π π( ) ( ) 4 6 sin sin4 4f A f B A B− + − = 1AB BC= = 1 2BB = O OM DCBA ,,, O AB DBDACBCAO == ,, 1=DC BCDA − ( ) 2 ln , 0 4 1, 0 x x f x x x x  >=  + + ≤ x ( ) ( )2 0f x bf x c− + = ,b c∈R 8 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 60C = ° ABC∆ 1 1 1ABC A B C− 1 1AB BB C C⊥ 侧面 1 3BCC π∠ = 1C B ABC⊥ 平面 B 11CAB A1 C1 B A C B119.（本小题满分 12 分） 某 城 市 户 居 民 的 月 平 均 用 电 量 （ 单 位 ： 度 ），以 ， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图: （Ⅰ）求直方图中 的值； （Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数； （Ⅲ）在月平均用电量为 ， ， ， 的四组用户 中，用分层抽样的方法抽取 户居民，则月平均用电量在 的用户中应 抽取多少户？ 20.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 C ： 的离心率为 ，右焦点 F （1,0）. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 PQ 与圆 O： 相切于点 M., 且 OP⊥OQ，求点 Q 的纵坐标 t 的值. [ ]280,300 xOy 100 [ )160,180 [ )180,200 [ )200,220 [ )220,240 [ )240,260 [ )260,280 x [ )220,240 [ )240,260 [ )260,280 [ ]280,300 11 [ )220,240 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 1 222 byx =+ O P M Q F x y 组距 频率 160 180 200 220 240 260 280 300 度月平均用电量/0 002.0 0025.0 005.0 x 0095.0 011.0 0125.021. (本小题满分 12 分) 已知函数 , （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）若函数 有极大值点 ，求证 . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.作答时请写清题 号. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 . （Ⅰ）求圆 的极坐标方程； （Ⅱ）若点 在圆 上运动，点 在 的延长线上，且| |∶| |＝ ，求 动点 的轨迹方程． 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若对于 ，有 ．求证： ． ( ) 2 1 ,f x x x R= − ∈ ( ) 1f x x< + ,x y R∈ 1 11 , 2 13 6x y y− − ≤ + ≤ ( ) 1f x < 2( ) 1 + 1 lnf x x mx x= − −（ ） （ ） 2m = ( )y f x= 1 ex = ( )f x 0 0( 1)x x ≠ 0( ) 1f x > C )6,3( π C 3=r C Q C P OQ OQ QP 2:3 P机密 启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考答案 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 35 三、解答题（本大题共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意， 的最大值为 ，所以 ． 而 ，于是 ， ． 为递减函数，则 满足 ， 即 ． 所以 在 上的单调递减区间为 ． （2）化简 ，得 ． 由正弦定理知 所以得由正弦定理知 ， ． ① 由余弦定理，得 ，即 ．② 将①式代入②，得 ． 解得 ，或 （舍去）． ． 6 3 ),2()1,( +∞∪−−∞ ( )f x 2 2m + 2 2=2m + 0m > 2m = π( ) 2sin( )4f x x= + ( )f x x π π 3π2 π+ 2 π+2 4 2k x k+≤ ≤ ( )k ∈Z π 5π2 π+ 2 π+4 4k x k≤ ≤ ( )k ∈Z ( )f x [ ]0 π， π π4     ， π π( ) ( ) 4 6 sin sin4 4f A f B A B− + − = sin sin 2 6 sin sinA B A B+ = 2a b ab+ = 2 2 9a b ab+ − = ( )2 3 9 0a b ab+ − − = ( )22 3 9 0ab ab− − = 3ab = 3 2ab = − 1 sin2ABCS ab C∆ = 3 3 4 = 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D D A D A A C C B 2-1 0 3 2 3sin sin sin sin60 a b c A B C = = = = 2 3( ) 2 6a b ab+ =18．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 , 侧面 ，故 , 在 中, 由余弦定理得： ， 所以 ， 故 ,所以 ,而 ， 平面 ．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （Ⅱ） 19.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）依题意 解得 （Ⅱ）由直方图可知，月平均用电量的众数为 230. 设中位数为 ，则 ，解得 月平均用电量的中位数为 224. （Ⅲ）月平均用电量为 ， ， ， 的四组 用户之和为 ，故月平 均用电量在 的用户中 应抽取户数为 . 20.（本小题满分 12 分） 解.（1） ， ∴c=1，a=2，∴ ，∴椭圆方程为 （2）法一：①当 PM⊥x 轴时，P ，Q ， 2 2 2 2 2 1 1 1 12 cos 1 2 2 1 2 cos 33BC BC CC BC CC BCC π= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × = 1 1AB BB C C⊥ 1BC ⊂ 1 1BB C C 1AB BC⊥ 1BCC∆ 1 1 11, 2, 60BC CC BB BCC °= = = ∠ = 1 3BC = 2 2 2 1 1BC BC CC+ = 1BC BC⊥ BC AB B= 1C B∴ ⊥ ABC 2 3 2 3 6 313 1 3 1 12 1 1,2,5 6 3 2 1 3 1 11 11 11 11 2 1 2 1 2 1 2 1 111 1111 11 11 的距离为到平面点 的距离为到平面设点 又 CABB hhhSV hCABB BCACS CBBCABACBBABAB ABCBBCV CABCABB CAB BCBA ∴ =∴=××=×=∴ =×=∴ ==+==+= =××××= ∆− ∆ − 1=20×0125.0+20×011.0+20×0095.0+20+20×005.0+20×0025.0+20×002.0 x 0075.0=x x 5.0=)220-(0125.0+20×011.0+20×0095.0+20×002.0 x 224=x [ )220,240 [ )240,260 [ )260,280 [ ]280,300 55=100×]20×0025.0+20×005.0+20×0075.0+20×0125.0[ [ )220,240 5=20×0125.0×100×55 11    = = 1 2 1 c a c 3=b 134 22 =+ yx )2 3,3( ),3( t A1 C1 B A C B1 由 解得 ② 当 PM 不 垂 直 于 x 轴 时 ， 设 ， PQ 方 程 为 ， 即 ∵PQ 与圆 O 相切，∴ ，∴ ∴ 又 ，所以由 得 ∴ = =12 ， ∴ 综上： . 法二：设 ，则直线 OQ： ，∴ ， ∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ ∴ ∴ ∴ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 21. (本小题满分 12 分) 解: 解: 的定义域为 ， (1) 时， 曲线 在 处的切线方程为 即 (2) , ① 0=⋅OQOP 32=t ),( 00 yxP )( 00 yy −=− 000 =+−− ykxykx 3 1 || 2 00 = + − k ykx 33)( 22 00 +=− kykx 002 ykx 33 22 0 2 0 2 −−+= kyxk ),( 00 tk kxytQ +− 0=⋅OQOP 00 000 )( kyx kxyxt + −= =+ −= 2 00 2 00 2 02 )( )( kyx kxyxt = ++ − 00 2 0 22 0 2 00 2 0 2 )( ykxykx ykxx 33 )33( 22 0 2 0 22 0 22 0 22 0 −−+++ + kyxkykx kx 33)4 33)(1()1( )33( 22 0 22 0 2 22 0 −−−+++ + kxkxk kx 32±=t 32±=t ),( 00 yxP xy xy 0 0−= ),( 0 0 ttx yQ − 2 0 2 0 0 0 22 2 0 2 02 0 2 0 )()(3 tytx yxtt x yyx −++⋅=+⋅+ )(33)( 22 02 0 2 0 2 022 0 2 2 0 2 02 0 2 0 2 02 0 2 2 0 2 0 tx x yxtyt x yxyx x tyx ++⋅=+++⋅=+⋅+ )(3)( 22 0 22 0 2 0 txtyx +=+ 3 3 2 0 2 0 2 02 −+ = yx xt 134 2 0 2 0 =+ yx 4 33 2 02 0 xy −= 12 4 1 3 2 0 2 02 == x xt 32±=t ( )f x (0, )+∞ ( ) 2 2f x x mlnx′ = − − ， 2m = 1 2 1 2( ) 2 2e e e ef ln′ = − − = ， 2 2 1 1 2 1 1 2( ) ( 1) (1 )e e e e e ef ln= − + − = + +1， ∴ ( )f x 1 ex = 2 1 2 2 1( ) ( )e e e ey x− + = −+1 2 2 1 2 e e ey x= − + +1 ( )1 0f ′∴ = ( ) 2 mf x x ′′ = − ( ) ( )0 0,m f x f x′′ ′≤ > ∞时， 是( 0, + ) 上的增函数， ( ) 1f x x′∴ =只有 一个零点，不合题意② ， 在 上为增函数，不合题意 由 ， 要证 ，即证 22.解：（Ⅰ）设 为圆 上任一点， 的中点为 ， ∵ 在圆 上，∴ 为等腰三角形，由垂径定理可得 ∴ 即 为所求圆 的极坐标方程． （Ⅱ）设点 的极坐标为 ，因为 在 的延长线上，且 ，所以 0m > 时， ( ) 0 ,2 mf x x′′ = =由 得 ( ) ( )0, ( ) ( , ) 0 ( ) (0, )2 2 m mf x f x f x f x′′ ′ ′′ ′> +∞ > ∴ ∈ > = ∈ < =当 即 时， 时， 时， 1∴ 是唯一极大值点，不合题意； 2 2 2 2 0 0 0 0 3 1 0 2 (1, ) , ( ) (1) 0,2 ( ,1) , ( ) (1) 0, ( ) 02 2 (e ) 2e lne 2 2e 0, (0, ), ( ) 0 (0, ) ( ) 0, ( ,1) ( ) 0,2 m m m m m m x f x f m mx f x f f f m mx f x x x f x x x f x ° − − − − ′ ′< < < ∈ +∞ > = ′ ′ ′∈ < = < ′ = − − = > ′ ′ ′∴∃ ∈ ∴ = ∈ > ∈ <  当 ，即 时， 时 时 ； 使 ， 时， 时， 0 0( ) 01x f x x′∴ ∈为 的极大值点，且 （ ，） 0 0 0 0 0 2 2( ) 2 ln 2 0 ln xf x x m x m x −′ = − − = =，得 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2( ) 1 + (1 ln )ln ln x x xf x x x x xx x − −∴ = − − = − +（ ） +1 0( ) 1f x > 2 2 0 0 0 0 2 2 1 1,ln x xx x −− + + > 0 0 0 0ln 0, ln 2 2 0x x x x< ∴ − + > 需证 0 0 0 ( ) ln 2 2, (0,1), ( ) ln 1 2 ln 1 0, ( ) (0,1) ( ) (1) 0 ln 2 2 0 g x x x x x g x x x g x g x g x x x = − + ∈ ′ = + − = − < ∴ > = ∴ − + > 令 则 在 上为减函数， 成立 .∴结论成立 ),( θρM C OM N O C OCM∆ ),6cos(|||| πθ −= OCON ),6cos(32|| πθ −×=OM ),6cos(6 πθρ −= C P ),( θρ P OQ 2:3||:|| =QPOQ点 的坐标为 ， 由于点 在圆上，所以 ,故点 的轨迹方程 为 23. 解：（Ⅰ） 不等式的解集为 （Ⅱ）证明： Q ),5 3( θρ Q )6cos(65 3 πθρ −= P )6cos(10 πθρ −= 20 2 1022 1 121 012 112 0121)(