福建省2020届高三数学（理）考前冲刺适应性模拟卷（二）（Word版附答案）

福建省 2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷 理 科 数 学（二） （福建省高三毕业班复习教学指导组 厦门市执笔整理） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共 4 页，满分 150 分．考 试时间 120 分钟 一.选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知 为实数， 为虚数单位，若复数 ，则“ ”是 “复数 在复平面上对应的点在第四象限”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为 A．2017 B．2016 C．1009 D．1008 4. 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 的值为 A． B． C． D． 5. 某校开设 A 类选修课 3 门和 B 类选修课 4 门，一位同学从中任选 3 门， 则两类课程都有选的概率为 A． B． C． D． 6．函数 的图象可能为 7．区 域 经 济 变 化 影 响 着 人 口 的 流 动，如图为过去某连续 5 年各省、自治区及 直辖市 不含港澳台 人口增长统计图． z 2{ } { 3 2 0}A x x a B x x x= < = − + m i 2 1 m iz i += + 2m > − 4( )(1 )a x x+ − x a 3− 3 5− 5 6 7 5 7 3 7 1 7 ( ) ( )1 cos 0f x x x x xx π π = − − ≤ ≤ ≠   且根据图中的信息，下面结论中不正确的是 A.广东人口增量最多，天津增幅最髙 B.黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾 C.天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过 D.人口增量超过 200 万的省、自治区或直辖市共有 7 个 8. 不等式组 的解集记为 ，命题 ： ， 命题 ： ，则下列命题为真命题的是 A． B． C． D． 9. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是棱 AB 的中点，F 是侧 面 AA1D1D 内一点，若 EF∥平面 BB1D1D，则 EF 长度的范围为 A． B． C． D． 10. 已知双曲线 C： （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆 心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点．若∠MAN=60°，则 C 的离心率为 A． B． C． D．2 11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明， 也是人类利用自然和改造自然的象征. 如图是一个半径为 的水 车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋 转，且旋转一周用时 60 秒.经过 秒后，水斗旋转到 点，设 的 坐 标 为 ， 其 纵 坐 标 满 足 .则下列叙述错误的是 3 4 y x y x x y ≤  ≥  + ≥ D p ( , ) , 2 5x y D x y∀ ∈ + ≥ q ( , ) ,2 2x y D x y∃ ∈ − < p¬ q ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∨ [ 2, 3] [ 2, 5] [ 2, 6] [ 2, 7] 2 2 2 2 1x y a b − = 2 3 3 3 3 1+ R ( )3 3, 3A − t P P ( ),x y ( ) ( )siny f t R tω ϕ= = + ( 0, 0, )2t πω ϕ≥ > 2 : xC y e= a 2 (0, ]8 e 2 (0, ]4 e 2 [ , )8 e +∞ 2 [ , )4 e +∞ 6, ,30 6R π πω ϕ= = = − [ ]10,25t ∈ ( )y f t= [ ]35,55t ∈ P x 20t = 6 3PA = ( ) ( )13 ~ 21 ( ) ( )22 23、 ,a b 1, 2,|2 | 2a b a b= = + =   b a 7cos 25 θ = − ( ,2 )θ π π∈ sin cos2 2 θ θ+ = ABCD 2 2 ( 0)y px p= > // , 2, 4, 60 ,AB CD AB CD ADC= = ∠ =  A { }na 1 2 4 7, , , ,a a a a  { }nb nS nb 1 1 51, 15.b a S= = = 9 16,a = 50a 1 2 2 1 1 1... , .n n n n n T TS S S+ + = + + + 求 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a18.（12 分） 等边三角形 的边长为 3，点 、 分别是边 、 上的点，且满足 （如图 1）．将△ 沿 折起到△ 的位置，使二面角 成直二面角，连 结 、 （如图 2）． （1）求证： 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由． 19.（12 分） 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续 6 个月内，月份 和关注人数 （单位：百） 数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明，并建立 关于 的回归方程； （2）经统计，调查材料费用 （单位：百元）与调查人数满足函数关系 ，求 材料费用的最小值，并预测此时的调查人数； （3）现从这 6 个月中，随机抽取 3 个月份，求关注人数不低于 1600 人的月份个数 分布列与 数学期望． ABC D E AB AC AD DB = 1 2 CE EA = ADE DE 1A DE 1A DE B− − 1A B 1AC 1A D ⊥ BCED BC P 1PA 1A BD 60 PB ix iy ( 1,2,3, ,6)i =  y x y x ν 1863 23 yv y = + ξ B C E D 1A 图 2图 1 A B C D E参考公式：相关系数 ，若 ，则 与 的线性相关程度 相当高，可用线性回归模型拟合 与 的关系．回归方程 中 ， ． 20.（12 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 的右顶点, 分别为椭圆 的上、下顶点.线 段 的延长线与线段 交于点 ,与椭圆 交于点 . （1）若椭圆的离心率为 , 的面积为 ,求椭圆 的方程； （2）设 ,求实数 的最小值. 21. (12 分) 函数 ， ． （1）讨论 的极值点的个数； （2）若对于 ，总有 . （i）求实数 的取值范围； （ii）求证：对于 ，不等式 成立．（e 为自然对数的底数) 22.（本题 10 分）（选修 4-4：坐标系与参数方程） n 1 n 2 2 1 1 )( ) ) ( ) i i i n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ （ （ 0.95r > y x y x ˆˆ ˆy bx a= + 6 1 6 2 1 ( ) ) ˆ ( ) ( i i i i i x x y y x x b = = − = − −∑ ∑ ˆˆa y bx= − 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1F 2F A E ,B C E 2CF AB M E P 2 2 1PFC∆ 12 E 1 1CMF CPFS Sλ∆ ∆= ⋅ λ 21( ) ln ( )2f x x x ax a R= + + ∈ 23( ) e 2 xg x x= + ( )f x 0x∀ > ( ) ( )f x g x≤ a 0x∀ > 2 ee (e 1) 2x x x x + − + + > y xF2 M C B AO P F1已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参 数）. （1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线 与 轴的交点是 ，直线 与曲线 交于 两点，求 的值. 23.（本题 10 分）（选修 4—5：不等式选讲） 已知函数 ， （1）当 时，函数 的最小值为 ，求实数 的值； （2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 福建省 2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷 理 科 数 学（二）参考答案 1. 【解析】选 C．因为 ，所以 . 2. 【解析】选 B．因为 ，所以复数 在复平面上对应的点在第 四象限的充要条件是 且 ，即 . 3．【解析】选 D． 4. 【解析】选 A．方法 1：由已知得 ，故 的 展开式中 x 的奇数次幂项分别为 ， ， ， ， ，其系数之和为 ，解得 ． 方法 2：设 ，则有 ，解得 ． 5．【解析】选 A.方法 1：可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 a a z 1 2 3 4C C C 2 2 2 1 sin θρ = + l 2 12 2 2 x t y  = − +  = t C l x P l C ,M N 1 1 | | | |PM PN + ( ) 2 1 2 ( )f x x x a x R= + + − ∈ 2a > − ( )f x 4 [ 1,4]x∈ − ( ) 3f x x≥ (1,2),B A B B B A= = ⇔ ⊆ 2a ≥ 2 2 2 1 2 2 m i m mz ii + + −= = ++ 2 02 m + > 2 02 m− < 2m > 4 2 3 4(1 ) 1 4 6 4x x x x x− = − + − + 4( )(1 )a x x+ + 4ax− 34ax− x 36x 5x 4 4 1+6+1=32a a− − + 3a = − 4 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5( ) ( )(1 )f x a x x a a x a x a x a x a x= + + = + + + + + 1 3 5 (1) ( 1) 322 f fa a a − −+ + = = 3a = − x y B(3,1) A(2,2) O种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 种不同的选法.又所有选法共 有 ，所以所求概率为 方法 2：（间接法）都选 A 类选修课或都选 B 类选修课，有 种 不同的选法，所以所求的概率为 。 6.【解析】选 D.因为 是奇函数，可以排除 A 和 B, 又当 时， ，可以排除 C. 7.【解析】选 C. 8．【解析】选 C.作出不等式组表示的平面区域如图所示.因为当直线 经过点 A(3，1)时， 取得最小值 ，所以 为真命题直线 经过点 B(2，2)时， 取得最小值 ，所以 为假命题, 为真命题. 9．【解析】选 C.过 作 ，交 于点 ，交 于 ，则 底面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，又 平面 平面 又平面 平面 ， 平面 为 中点 为 中点，则 为 中点 即 在线段 上 ， ， 则线段 长度的取值范围为： 本题正确选项： 2 1 3 4C C 3 7 35C = 30 6 35 7 = 3 3 3 4 5C C+ = 35 5 6 35 7 − = ( ) ( )1 cos 0f x x x x xx π π = − − ≤ ≤ ≠   且 0 1x< < ( ) 0f x < 2z x y= + z 5 p 2z x y= − z 2 q q¬ F 1/ /FG DD AD G 1 1A D H FG ⊥ ABCD 2 2 2 2 2 2 2 2 21EF EG FG AE AG FG AE AF AF∴ = + = + + = + = + / /EF 1 1BDD B / /FG 1 1BDD B EF FG F∩ = ∴ / /EFG 1 1BDD B GE Ì EFG / /GE∴ 1 1BDD B ABCD  1 1BDD B BD= GE Ì ABCD / /GE BD∴ E AB G∴ AD H 1 1A D F GH min 1AF AG∴ = = max 1 4 5AF AH= = + = min 1 1 2EF∴ = + = max 1 5 6EF = + = EF 2, 6   C10.【解析】选 A. 如图所示，ΔMAN 为等腰三角形， ， ，因为 ， 所以 ， ．所以 ， 又因为 ，所以 ，解得 ．所以 ． 11. 【解析】选 B. 由点 可得 ，由旋转一周用时 60 秒，可得 ， 由 ，可得 ，所以选项 A 正确．则可得 ． 由 可得 ， 由 可得 ，函数 先增后减，所以选项 B 错误． 则当 ，即 时， 取到最大值为 6，所以选项 C 正确． 时，点 ，可得 ，所以选项 D 正确．因此选 B. 12.【解析】选 D.因为 ， ； ， ．设公切线与 切于点 ，与 切于 ，则 ，可 得 ，所以 ；记 ，则 ， 当 时 ， ， 即 在 上 单 调 递 减 ； 当 时 ， ，即 在 上单调递增， ，故 . 13.【解析】 .设向量 的夹角为 ，对 的两边同时平方可得， 2 1 : ( 0)C y ax a= > ' 2y ax= 2 : xC y e= ' xy e= 2 1 : ( 0)C y ax a= > 2 1 1( , )x ax 2 : xC y e= 2 2( , )xx e 2 2 2 1 1 2 1 2 x x e axax e x x −= = − 2 12 2x x= + 1 12 12 x ea x + = (0,2)x∈ ' ( ) 0f x < ( )f x (0,2)x∈ (2, )x∈ +∞ ' ( ) 0f x > ( )f x (2, )x∈ +∞ 2 min( ) 4 ef x = OA a= AN AM b= = 60MAN∠ =  3 2AP b= 2 2 2 23 4OP OA PA a b= − = − 2 2 3 2tan 3 4 bAP OP a b θ = = − tan b a θ = 2 2 3 2 3 4 b b aa b = − 2 23a b= 2 2 1 2 31 1 3 3 be a = + = + = ( )3 3, 3A − 6R = 30 πω = 6xOA π∠ = 6 πφ = − ( ) 6sin 30 6y f t t π π = = −   [ ]35,55t ∈ 5,30 6 3t π π ππ − ∈   [ ]10,25t ∈ 2,30 6 6 3t π π π π − ∈   ( )y f t= 3 30 6 2t π π π− == 50t = y 20t = ( )0,6P 6 3PA = 12 ( ) 2 x ef x x + = 12 2 ( 2)( ) (2 ) x e xf x x + −′ = 2 [ , )4 ea∈ +∞ 1− ,a b θ | 2 | 2a b+ =，所以 ， 故向量在向量 在 方向上的投影是 . 14．【解析】 .因为 =- ， 所以 =- ， 所以 ，又 ，所以 ，所以 所以 且 ，所以 15. 【解析】 .方法 1：依题意设 ，则 ，即 ， 又 ，所以 ，解得 ， 所以 ，所以点 到抛物线的焦点的距离是 . 方法 2： . 16. 【解析】【详解】 如图所示， ， ， ， ， ，设 ， ， ， ， ，因为 所以 ， ， ，故答案为 . 17.【解析】解：（1）∵ 为等差数列，设公差为 。设从第三行起，每行的公比都是 ，且 ， 故 （2） = 。 2 2 2| 2 | 4 4 4 8cos 4 4a b a a b b θ+ = + ⋅ + = + + =     1cos 2 θ = − b a 1| | cos 2( ) 12b θ = − = − 1 5 cosθ ( ,2 )θ π π∈ sinθ 2 1(sin cos ) 1 sin2 2 25 θ θ θ+ = + = cos 0θ < 3( , )2 πθ π∈ 3( , )2 2 4 θ π π∈ cos 0,sin 02 2 θ θ< > | sin | | cos |2 2 θ θ> 1sin cos2 2 5 θ θ+ = 7 3 12 1 2 1 2( ,1), (( ,2)( 0, 0)A x D x x x> > 1 2 2 1 2 4 px px =  = 2 14x x= | | 2AD = 2 2 2 1 2 1 1( ) (1 2) 2 ( 4 ) 3x x x x− + − = ⇒ − = 1 3 3x = 1 1 3 2 2p x = = A 1 3 3 7 3 2 3 4 12 px + = + = 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 33 3AD y y p pk px x y y −= = = = ⇒ =− + 1 3 3x⇒ = 1 7 3 2 12 px⇒ + = { }nb 1 5, 1, 15,d b S= = 5 5 10 15, 1S d d= + = = 1 ( 1) 1nb n n\ = + - ´ = q 0q > 2 2 9 4 ,4 16, 2,a b q q q= = = 1 2 3 9 45,+ + + + = 4 4 50 10 10 2 160.a b q= = ´ = ( 1)1 2 3 ,2n n nS n += + + + + =  1 2 2 1 1 1 n n n n T S S S+ + \ = + + + 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2)( 3) 2 (2 1) ( 1)(2 1) n n n n n n n n n+ + + =+ + + + + + + A B C D E18. 【解析】证明：（1）因为等边△ 的边长为 3，且 ， 所以 ， ． 在△ 中， ， 由余弦定理得 ． 因为 ， 所以 ． 折叠后有 因为二面角 是直二面角，所以平面 平面 ． 又平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ． 解法 2：由（1）的证明，可知 ， 平面 ． 以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正半轴，建立空 间直角坐标系 如图． 设 ， 则 ， ， ． 所以 ， ， ． 所以 ．因为 平面 ， 所以平面 的一个法向量为 ．因为直线 与平面 所成的角 为 ， 所以 ， 解得 ．即 ，满足 ，符合题意． 所以在线段 上存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ，此时 ． ABC AD DB = 1 2 CE EA = 1AD = 2AE = ADE 60DAE∠ =  2 21 2 2 1 2 cos60 3DE = + − × × × = 2 2 2AD DE AE+ = AD DE⊥ 1A D DE⊥ 1A DE B− − 1A DE ⊥ BCED 1A DE  BCED DE= 1A D ⊂ 1A DE 1A D DE⊥ 1A D ⊥ BCED ED DB⊥ 1A D ⊥ BCED D DB DE 1DA x y z D xyz− 2PB a= ( )0 2 3a≤ ≤ BH a= 3PH a= 2DH a= − ( )1 0,0,1A ( )2 , 3 ,0P a a− ( )0, 3,0E ( )1 2, 3 ,1PA a a= − − ED ⊥ 1A BD 1A BD ( )0, 3,0DE = 1PA 1A BD 60 1 1 sin 60 PA DE PA DE =      2 3 3 24 4 5 3 a a a = = − + × 5 4a = 52 2PB a= = 0 2 3a≤ ≤ BC P 1PA 1A BD 60 5 2PB = B C E D 1A H x y z P19.【解析】（1） ，∴ ， 又∵ ， ， ∴相关系数 ，………………………2 分 由于 关于 的相关系数 ，这说明 关于 的线性相关程度相当高，可用线 性回归模型拟合 与 的关系； 又 ，且 ， ∴ ，∴回归方程为 ．…………………………4 分 （2） ，即调查材料最低成本为 1800 元，………6 分 此时 ，所以 ． ………………………………………………………7 分 （3） 可能的取值为 0，1，2，3，且 ； ； ； ．所以 的分布列为…………………………………………………11 分 所以 ．…………………………………12 分 20.【解析】（Ⅰ）方法 1：设 ， 1 (11+13+16+15+20+21)=166y = 26 1 ( ) 76i i y y = − =∑ 6 2 1 ) 17.5i i x x = − =∑（ 6 1 )( ) 35i i i x x y y = − − =∑（ 1 2 2 1 1 )( ) ) ( 35 35 0.96 17.5 76) 1330 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = − = ≈ ×− ∑ ∑ ∑ （ （ y x 0.96 0.95r ≈ > y x y x 6 1 6 2 1 ( )( ) ( ) 35ˆ 217.5 i i i i i x x y y x x b = = − = = − = − ∑ ∑ 1 (1+2+3+4+5+6 )=3.56x = ˆˆ 16 2 3.5 9a y bx= − = − × = ˆ 2 9y x= + 18632 1823 1863 23 yy yyv = + =≥ × y y 1863 23 = 207y = ξ 3 3 3 6 ( 0) 1 20P C C ξ = == 2 1 3 3 3 6 9( 1) 20 C C CP ξ = == 1 2 3 3 3 6 9( 2) 20 C C CP ξ = == 3 3 3 6 ( 3) 1 20P C C ξ = = = ξ 1 9 9 1( ) 0 1 2 3 1.520 20 20 20E ξ = × + × + × + × = 1 2| | 2 ( 0)F F c c= >因为 ，所以 ，………………1 分 又 ，所以 ，所以 是等腰直角三角形，所以 直线 的倾斜角为 即直线 的斜率为 ，所以直线 的 方程为 ，又 ，所以椭圆 的方程可以写成 即 ………………2 分 由 ，得 ， 解得点 的横坐标为 ，所以 ，………………4 分 所以 ，又 ，所以 ，…………5 分 解得 ，所以椭圆 的方程为 .………………6 分 方法 2：同法一可知所以 是等腰直角三角形，由勾股定理知 解得 ， ，…………………4 分 则 ，即 ， . 所以椭圆 的方程为 .………………6 分 （Ⅱ）设 ，因为直线 的方程为 ,直线 的方程为 ，所以 联立方程解得 .………………7 分 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，………………8 分 代入椭圆 的方程，得 ， 即 ， 所以 ………………11 分 2 2e = 1 22 | | 2 2a c F F c a= ⇔ = = 1 2| | | |CF CF a= = 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |F F CF CF= + 1 2FCF∆ PC 45 PC 1 PC y x c= − b c= E 2 2 2 2 12 x y c c + = 2 2 22 2x y c+ = 2 2 22 2 y x c x y c = −  + = 23 4 0x cx− = P 4 3x c= 2 4 2| | 1 | | 3p cCP k x x c= + − = 1 2 1 1 1 4 2 4| | | | 22 2 3 3PFCS CP CF c c c∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 12PF CS∆ = 24 123 c = 3c = E 2 2 118 9 x y+ = 1 2FCF∆ 2 2 2 2 2 )2 2 2 )2 1 1 1 2 1 1|P | | | | | P | ( | | | P | (3 | |F CF CP F a a PF F a a PF= + ⇒ = + + = = + − 1 5| P | 3 aF = 2 4| P | ,| PC |3 3 a aF = = 1 1 4 122 3PF C aS a∆ = ⋅ = 2 18a = 2 9b = E 2 2 118 9 x y+ = ( , )P x y AB by x ba = − + PC by x bc = − 2( , )ac ab bcM a c a c − + + 1 1CMF CPFS Sλ∆ ∆= ⋅ | | | |CM CPλ= CM CPλ= ⋅  2 2( , ) ( , )ac ab x y ba c a c λ= ++ + 2 2 ( ),( ) ac ab b a cx ya c a c λ λ − += =+ + E 2 2 2 2 2 2 4 [2 ( )] 1( ) ( ) c a a c a c a c λ λ λ − ++ =+ + 2 2 2 24 [2 ( )] ( )c a a c a cλ λ+ − + = + 2 2 21 2 21 2 2 1 2 2 2 2( ) 1 1 1 a c e e ea a c e e e λ + += = = + + − ≥ + ⋅ − = −+ + + +（ ） x y F2 M B C AO P F1因为 所以 ,所以当且仅当 即 时, 取到最小值 .………………12 分 21【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得 ， 令 （1）当 ，即 时， 对 恒成立 即 对 恒成立，此时 没有极值点；…………2 分 （2）当 ，即 ① 时，设方程 两个不同实根为 ，不妨设 则 ，故 ∴ 时 ；在 时 故 是函数 的两个极值点. ② 时，设方程 两个不同实根为 ， 则 ，故 ∴ 时， ；故函数 没有极值点. ……………………………4 分 综上，当 时，函数 有两个极值点； 当 时，函数 没有极值点. ………………………………………5 分 解法二： , …………………………………………1 分 , ①当 ，即 时， 对 恒成立， 在 单调 增， 没有极值点； ……………………………………………………………3 分 ②当 ，即 时，方程 有两个不等正数解 ， 0 1e< < 1 1 2e< + < 1 2e + = 2 1e = − λ 2 2 2− 21 1( ) = ( 0)x axf x x a xx x + +′ = + + > 2 4a∆ = − 2 4 0a∆ = − ≤ 2 2a− ≤ ≤ 2 1 0x ax+ + ≥ 0x > 2 1( ) 0x axf x x + +′ = ≥ 0x > ( )f x 2 4 0a∆ = − > 2 2a a< − >或 2a < − 2 1=0x ax+ + 1 2,x x 1 2x x< 1 2 1 20, 1 0x x a x x+ = − > = > 2 1 0x x> > 1 2x x x x< >或 ( ) 0f x′ > 1 2x x x< < ( ) 0f x′ < 1 2,x x ( )f x 2a > 2 1=0x ax+ + 1 2,x x 1 2 1 20, 1 0x x a x x+ = − < = > 2 10, 0x x< < 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x 2a < − ( )f x 2a ≥ − ( )f x 1( )f x x ax ′ = + + 0, ( ) [ 2, )x f x a′> ∴ ∈ + +∞ 2 0a + ≥ [ 2, )a ∈ − +∞ ( ) 0f x′ ≥ 0x∀ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 2 0a + < ( , 2)a ∈ −∞ − 2 1 0x ax+ + = 1 2 , x x 2 1 2( )( )1 1( ) ( 0)x x x xx axf x x a xx x x − −+ +′ = + + = = >不妨设 ，则当 时， 增； 时， 减； 时， 增，所以 分别为 极大 值点和极小值点， 有两个极值点. 综上所述，当 时， 没有极值点； 当 时， 有两个极值点. ………………………………5 分 （Ⅱ）（i） ， 由 ，即 对于 恒成立，设 ， ， ， 时， 减， 时， 增， ， ． ……………………………………9 分 （ii）由（i）知，当 时有 ，即： ， ……①当且仅当 时取等号, …………………………10 分 以下证明： ，设 ， ， 当 时 为减函数， 时 为增函数， ， ，……②当且仅当 时取等号； 由于①②等号不同时成立，故有 .……………………12 分 22. 【解析】：（1）由 ，得 ， 又 ， ，所以 ，即 ， 故 即为曲线 的直角坐标方程. （2）设直线 上点 对应的参数分别是 . 将直线的参数方程代入 ，得到 ， 1 20 x x< < 1(0, )x x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ > 1 2( , )x x x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ < 2( , )x x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ > 1 2,x x ( )f x ( )f x [ 2, )a∈ − +∞ ( )f x ( , 2)a∈ −∞ − ( )f x 2( ) ( ) lnxf x g x e x x ax≤ ⇔ − + ≥ 0x > 2 lnxe x xa x + −≤ 0x∀ > 2 ln( ) ( 0) xe x xx xx ϕ + −= > 2 2 2 1( 2 ) ( ln ) ( 1) ln ( 1)( 1)( ) x x xe x x e x x e x x x xxx x x ϕ + − − + − − + + + −′ = = 0x > (0,1)x∴ ∈ ( ) 0, ( )x xϕ ϕ′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )x xϕ ϕ′ > ( ) (1) 1x eϕ ϕ∴ = +≥ 1a e∴ +≤ 1a e∴ = + ( ) ( )f x g x≤ 2 23 1ln ( 1)2 2 xe x x x e x+ + + +≥ 2 ( 1) lnxe x e x x⇔ + − + ≥ 1x = ln 2ex x + ≥ ( ) ln ex x x θ = + 2 2 1( ) e x ex x x x θ −′ = − = ∴ (0, )x e∈ ( ) 0, ( )x xθ θ′ < ( , )x e∈ +∞ ( ) 0, ( )x xθ θ′ > ( ) ( ) 2x eθ θ∴ =≥ ln 2ex x ∴ + ≥ x e= 2 ( 1) 2x ee x e x x + − + + > 2 2 2 1 sin θρ = + 2 2 22 sinρ ρ θ= + siny ρ θ= 2 2 2x yρ = + 2 22 2x y= + 2 2 12 x y+ = 2 2 12 x y+ = C l ,M N 1 2,t t 2 2 12 x y+ = 23 2 1 02 t t− − =由根与系数的关系得 ， ， 所以 . 所以 ，解得 ，…………9 分；由 知，所求 的值为 .………10 分 23.【解析】（I）方法 1： 将函数分段为：因为 所以当且仅当 时， ．由题意得 ，即 ．………………5 分 方法 2： 由绝对值不等式性质可得 ． 当且仅当 ，即 时等号成立， 故 即 ．………………5 分 （Ⅱ）当 时 恒成立 恒成立， 若 ，不等式恒成立，此时 ；………………6 分 若 ， 或 即 或 在 恒成立，所以 或 ………………9 分 综上知，所求实数 的取值范围是 ………………10 分a 1 2 2 2 3t t+ = 1 2 2 3t t⋅ = − 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 ( ) 4| |1 1 | | | | 2 2| | | | | | | | | | | | t t t tt tPM PN PM PN PM PN t t t t + − ⋅−++ = = =⋅ ⋅ ⋅ 2 3 6m − = ± 3m = ± 0∆> m 3− 4 2, 2 ( ) 2, 1 2 4 2, 1 ax a x af x a x x a x  − + ≥ = + − <